108 年 國立臺灣大學機械系碩士班設計組《動力學（D）》

核心觀念

本題考查：

1. 機構的運動學等價與動力學等價。
2. 旋轉座標系中的位置、速度與加速度分析。
3. 極座標形式的科氏加速度：
   $2\dot r\dot\phi$
4. 由指定末端位置、速度與加速度反求輸入參數。

以圖 1(a) 建立單位向量

$$\mathbf e_r=(\cos\phi,\sin\phi)$$ $$\mathbf e_\theta=(-\sin\phi,\cos\phi)$$

其中 $QB$ 沿 $\mathbf e_r$，而 $BA$ 與其垂直、沿 $\mathbf e_\theta$，因此

$$\overrightarrow{QA}=r\mathbf e_r+b\mathbf e_\theta$$

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1. 運動學等價與動力學等價

四種機構皆具有兩個輸入自由度，輸入為 $r$ 與 $\phi$，輸出為末端位置 $(X_A,Y_A)$。

各圖的差異主要是：

• 旋轉接頭與滑動接頭的配置位置不同；
• 兩連桿方向可能相差固定的 $90^\circ$；
• 輸入角度的定義方向可能不同；
• 局部座標軸與正負號約定不同。

這些差異可藉由固定角度偏移、座標轉換或參數正負號轉換表示。因此，若只考慮輸入 $(r,\phi)$ 到末端位置 $(X_A,Y_A)$ 的幾何映射，四者具有相同的自由度與等效的運動學功能。

所以：

• 運動學上等價：末端位置可透過相同型態的兩個輸入參數控制。
• 動力學上不等價：各連桿質量、質心位置、轉動慣量、重力力矩、致動器負載及慣性耦合均不同。

即使兩個機構具有相同的位置、速度與加速度輸出，在相同輸入運動下，所需的驅動力與驅動轉矩仍可能不同。

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(a) 工作空間

由幾何關係：

$$\overrightarrow{QA}=r\mathbf e_r+b\mathbf e_\theta$$

由於 $\mathbf e_r$ 與 $\mathbf e_\theta$ 互相垂直，

$$\rho^2=X_A^2+Y_A^2=r^2+b^2$$

滑塊行程假設為

$$0\le r\le L$$

且旋轉致動器沒有角度限制，因此

$$0\le\phi<2\pi$$

故末端到 $Q$ 的距離範圍為

$$b\le \rho\le\sqrt{L^2+b^2}$$

因此工作空間為以 $Q$ 為中心的圓環：

$$\boxed{ b^2\le X_A^2+Y_A^2\le L^2+b^2 }$$

若滑塊的行程定義允許 $r$ 在其他區間運動，只需將上述半徑範圍依該區間重新代入。

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(b) 末端位置、速度與加速度

位置

由

$$\overrightarrow{QA}=r\mathbf e_r+b\mathbf e_\theta$$

得到

$$X_A=r\cos\phi-b\sin\phi$$ $$Y_A=r\sin\phi+b\cos\phi$$

因此

$$\boxed{ X_A=r\cos\phi-b\sin\phi }$$ $$\boxed{ Y_A=r\sin\phi+b\cos\phi }$$

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速度

單位向量的時間導數為

$$\dot{\mathbf e}_r=\dot\phi\mathbf e_\theta$$ $$\dot{\mathbf e}_\theta=-\dot\phi\mathbf e_r$$

因此

$$\mathbf v_A =\frac{d}{dt} \left(r\mathbf e_r+b\mathbf e_\theta\right)$$ $$\mathbf v_A =\dot r\mathbf e_r+r\dot\phi\mathbf e_\theta-b\dot\phi\mathbf e_r$$

整理得

$$\mathbf v_A =(\dot r-b\dot\phi)\mathbf e_r +r\dot\phi\mathbf e_\theta$$

所以

$$\boxed{ \dot X_A =(\dot r-b\dot\phi)\cos\phi-r\dot\phi\sin\phi }$$ $$\boxed{ \dot Y_A =(\dot r-b\dot\phi)\sin\phi+r\dot\phi\cos\phi }$$

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加速度

再對速度微分：

$$\mathbf a_A =\frac{d}{dt} \left[ (\dot r-b\dot\phi)\mathbf e_r +r\dot\phi\mathbf e_\theta \right]$$

整理後得

$$\mathbf a_A = \left( \ddot r-b\ddot\phi-r\dot\phi^2 \right)\mathbf e_r + \left( 2\dot r\dot\phi-b\dot\phi^2+r\ddot\phi \right)\mathbf e_\theta$$

其中切向分量中的

$$\boxed{2\dot r\dot\phi}$$

就是科氏加速度分量。

令

$$a_r=\ddot r-b\ddot\phi-r\dot\phi^2$$ $$a_\theta=2\dot r\dot\phi-b\dot\phi^2+r\ddot\phi$$

則

$$\boxed{ \ddot X_A=a_r\cos\phi-a_\theta\sin\phi }$$ $$\boxed{ \ddot Y_A=a_r\sin\phi+a_\theta\cos\phi }$$

亦即

$$\boxed{ \begin{aligned} \ddot X_A={}& (\ddot r-b\ddot\phi-r\dot\phi^2)\cos\phi \\ &-(2\dot r\dot\phi-b\dot\phi^2+r\ddot\phi)\sin\phi \end{aligned} }$$ $$\boxed{ \begin{aligned} \ddot Y_A={}& (\ddot r-b\ddot\phi-r\dot\phi^2)\sin\phi \\ &+(2\dot r\dot\phi-b\dot\phi^2+r\ddot\phi)\cos\phi \end{aligned} }$$

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(c) 反求輸入參數

已知

$$b=4,\qquad Q=(0,0)$$

核心觀念

本題考查：

• 曲柄銷與垂直槽之間的相對滑動。
• 剛體轉動的切線速度與法向加速度。
• 不可伸長繩索的速度、加速度關係。
• 牛頓－歐拉法建立各構件的運動方程式。
• 將滑輪轉角 $\phi$ 作為系統廣義座標。

以下採用：

• $x$ 軸向右，$y$ 軸向上。
• $\phi$ 逆時針為正。
• 垂直槽與銷 $P$ 之間無摩擦。
• 繩索不可伸長、無滑動。
• $W$ 為重量，因此懸掛物質量為 $W/g$。

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(a) 連桿 2 的速度與加速度

銷 $P$ 的位置為

$$x_P=r\cos\phi,\qquad y_P=r\sin\phi.$$

由於銷 $P$ 在垂直槽內滑動，垂直方向位置由槽吸收，因此連桿 2 僅作水平平移，其水平位置為

$$x_2=x_P=r\cos\phi.$$

對時間微分，得到連桿 2 的水平速度：

$$\dot{x}_2=-r\sin\phi\,\dot{\phi}.$$

因此速度向量為

$$\boxed{\mathbf v_2=-r\sin\phi\,\dot{\phi}\,\mathbf i}$$

再微分一次：

$$\ddot{x}_2 =-r\left(\cos\phi\,\dot{\phi}^{\,2} +\sin\phi\,\ddot{\phi}\right).$$

故連桿 2 的水平加速度為

$$\boxed{\mathbf a_2 =-r\left(\cos\phi\,\dot{\phi}^{\,2} +\sin\phi\,\ddot{\phi}\right)\mathbf i}$$

其中：

• $-r\sin\phi\,\dot{\phi}^{\,2}$ 為由轉動造成的法向加速度項。
• $-r\cos\phi\,\ddot{\phi}$ 為由角加速度造成的切向加速度項。

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(b) 各構件自由體圖與運動方程式

令：

• $T$：繩索張力。
• $H$：銷 $P$ 對連桿 2 的水平作用力，向右為正。
• $A_x,A_y$：支點 $A$ 的反力。
• $R_y$：導軌對連桿 2 的垂直反力。
• 懸掛物質量為 $m_W=W/g$。

1. 懸掛重物 $W$

取鉛直向下為正。由繩索不可伸長且無滑動，重物的向下位移與滑輪轉角關係為

$$s=a\phi.$$

所以

$$\dot{s}=a\dot{\phi},\qquad \ddot{s}=a\ddot{\phi}.$$

對重物作鉛直方向受力分析：

$$W-T=\frac{W}{g}a\ddot{\phi}.$$

因此

$$\boxed{T=W-\frac{Wa}{g}\ddot{\phi}}$$

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2. 滑輪 Link 1

滑輪繞固定點 $A$ 轉動。繩索張力在滑輪左側產生逆時針力矩 $aT$。

銷 $P$ 對滑輪的水平反作用力為 $-H$，其對 $A$ 的力矩為

$$r\sin\phi\,H.$$

因此繞 $A$ 取力矩：

$$J_1\ddot{\phi}=aT+r\sin\phi\,H.$$

即

$$\boxed{J_1\ddot{\phi}=aT+r\sin\phi\,H}$$

支點反力 $A_x,A_y$ 雖存在於自由體圖中，但取 $A$ 點力矩時不產生力矩。

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3. 連桿 Link 2

連桿 2 作水平平移，因此水平方向運動方程式為

$$H=m_2\ddot{x}_2.$$

代入 (a) 的加速度：

這題屬於動力學的基礎概念題，要求對幾個重要的機械系統分析名詞進行定義與解釋。

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(a) Degree of freedom of a mechanical system (5%)

定義：
一個機械系統的自由度（Degree of Freedom, DOF）是指描述該系統狀態所需的獨立運動參數的最小數目。換句話說，它是一個系統在空間中運動時，能夠獨立運動的運動方式的數量。

解釋：

• 獨立性： 這些參數必須是獨立的，即一個參數的改變不應該受到其他參數的唯一決定。
• 運動參數： 這些參數可以是位置、角度等。
• 空間維度： 在三維空間中，一個剛體有六個自由度（三個平移，三個旋轉）。在二維平面上，一個剛體有三個自由度（兩個平移，一個旋轉）。
• 約束 (Constraints)： 機械系統中的約束（如鉸鏈、滑塊、固定端等）會減少系統的自由度。例如，一個鉸鏈連接兩個連桿，限制了它們之間的相對平移，從而減少了自由度。
• Kutzbach 準則： 對於平面機構，自由度 $DOF = 3(n-1) - 2j_1 - j_2$，其中 $n$ 是連桿數（包括機架），$j_1$ 是低副（一個自由度）的接頭數，$j_2$ 是高副（兩個自由度）的接頭數。對於空間機構，自由度 $DOF = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{j_1} (6-f_i) - \sum_{k=1}^{j_2} (6-f_k)$，其中 $f_i$ 和 $f_k$ 是接頭的自由度。
• 應用： 自由度的概念對於機構設計、運動學分析和控制系統設計至關重要。它決定了需要多少輸入來完全控制機構的運動。

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(b) State of equilibrium and state of stability (5%)

定義：

• 平衡狀態 (State of Equilibrium)： 指一個系統處於一種靜止狀態，其合外力（或合外力矩）為零，因此系統的加速度為零。在平衡狀態下，系統保持其原有的運動狀態（靜止則繼續靜止，勻速運動則繼續勻速運動）。
• 穩定性 (Stability)： 指當系統受到微小擾動而偏離平衡位置時，系統恢復到原平衡位置的能力。

解釋：

平衡狀態的分類：
根據系統受到微小擾動後，其狀態的變化，平衡狀態可分為三種：

1. 穩定平衡 (Stable Equilibrium)： 當系統受到微小擾動而偏離平衡位置時，會產生一個恢復力（或恢復力矩），使系統趨向於回到原來的平衡位置。
   • 圖示類比： 碗底的球。
   • 勢能觀點： 在穩定平衡點，系統的勢能取局部最小值。
2. 不穩定平衡 (Unstable Equilibrium)： 當系統受到微小擾動而偏離平衡位置時，會產生一個破壞力（或破壞力矩），使系統遠離原來的平衡位置。
   • 圖示類比： 碗頂的球。
   • 勢能觀點： 在不穩定平衡點，系統的勢能取局部最大值。
3. 隨遇平衡 (Neutral Equilibrium)： 當系統受到微小擾動而偏離平衡位置時，系統將停留在新的位置，既不恢復也不進一步遠離。
   • 圖示類比： 水平桌面上的球。
   • 勢能觀點： 在隨遇平衡點，系統的勢能保持不變（處於勢能平坦區域）。

穩定性分析的重要性：
在工程和物理學中，判斷系統的穩定性至關重要。例如，橋樑、建築結構的穩定性，控制系統的穩定性，以及物理系統（如原子、分子）的穩定性。

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(c) Pressure angle of a cam system and of a gear pair (5%)

定義：
壓力角（Pressure Angle）是作用在從動件（如凸輪從動件、齒輪嚙合點）上的力的方向與從動件運動方向（通常是速度方向或法線方向）之間的夾角。

解釋：

1. 凸輪系統 (Cam System)：

• 在凸輪機構中，當凸輪轉動驅動從動件（如滾子、平底從動件）運動時，凸輪輪廓與從動件接觸點處，從動件受到凸輪施加的作用力。
• 壓力角 $\psi$ 是指這個作用力（或其法向分量）的方向與從動件的運動軌跡（或其法線方向）之間的夾角。
• 影響：
  • 小壓力角： 通常有利於傳遞較小的力，但可能導致從動件在凸輪輪廓上滑動（滾動不良）。
  • 大壓力角： 傳力效率高，不易滑動，但可能導致從動件產生較大的約束力，增加磨損，甚至可能導致從動件被頂開（尤其是在下行行程）。
• 設計考量： 通常會限制壓力角在一個合理的範圍內（例如，對於升程行程，通常不大於 30° 到 40°；對於降程行程，可能允許較大的負壓力角，但需注意約束）。

2. 齒輪對 (Gear Pair)：

• 在齒輪嚙合時，一個齒輪的齒面與另一個齒輪的齒面之間會產生接觸力。
• 壓力角 $\psi$ 是指在嚙合點處，作用在齒面上的力的方向（稱為作用線或壓力線）與兩齒輪節圓上該點的公法線方向之間的夾角。更精確地說，它是作用在齒上的力與兩個齒輪在該點的速度方向（切線方向）之間的夾角。
• 影響：
  • 小壓力角（如 14.5°）： 傳力效率較高，但齒根較弱，且對安裝精度要求較高。