109 年 國立臺灣大學機械系碩士班固力組《動力學（A）》

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第 1 題

If the lower end of a 6-kg slender rod is displaced a small angle θ\theta and released from the rest. Each spring has a stiffness of k=200k=200N/m and is un-stretched when the rod is hanging vertically. Please determine
(a) (10%) The total energy equation with respect to the parameter θ\theta
(b) (5%) The equation of motion with respect to the parameter θ\theta (assuming θ¨≈0\ddot{\theta} \approx 0)
(c) (5%) The natural frequency of system vibration

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核心觀念

本題考查：

  • 剛體繞固定點轉動的動能
  • 重力位能與彈簧位能
  • 能量守恆
  • 拉格朗日方程式
  • 小角度振動與自然頻率

設細長桿偏離鉛直方向的角度為 θ\theta，桿長為 L=4 mL=4\ \text{m}，質量為 m=6 kgm=6\ \text{kg}。兩條彈簧連接於距離固定點 OO 為 2 m2\ \text{m} 的位置。

幾何關係與能量

桿上彈簧連接點的水平位移為

x=2sin⁡θx=2\sin\theta

每條彈簧的伸長量大小皆為 xx，因此兩條彈簧的總位能為

Vs=2(12kx2)=kx2=4ksin⁡2θV_s=2\left(\frac{1}{2}kx^2\right) =kx^2 =4k\sin^2\theta

桿的質心位於距離 OO 為 2 m2\ \text{m} 處。相對於鉛直位置，質心上升高度為

Δh=2(1−cos⁡θ)\Delta h=2(1-\cos\theta)

所以重力位能為

Vg=2mg(1−cos⁡θ)V_g=2mg(1-\cos\theta)

細長桿繞端點的轉動慣量為

IO=13mL2=13(6)(42)=32 kg⋅m2I_O=\frac{1}{3}mL^2 =\frac{1}{3}(6)(4^2) =32\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

轉動動能為

T=12IOθ˙2=16θ˙2T=\frac{1}{2}I_O\dot{\theta}^2 =16\dot{\theta}^2

(a) 總能量方程式

由能量守恆，

T+Vg+Vs=ET+V_g+V_s=E

因此總能量方程式為

12IOθ˙2+2mg(1−cos⁡θ)+4ksin⁡2θ=E\boxed{ \frac{1}{2}I_O\dot{\theta}^2 +2mg(1-\cos\theta) +4k\sin^2\theta =E }

代入 IO=32I_O=32、m=6m=6、k=200 N/mk=200\ \text{N/m}，得

16θ˙2+12g(1−cos⁡θ)+800sin⁡2θ=E\boxed{ 16\dot{\theta}^2 +12g(1-\cos\theta) +800\sin^2\theta =E }

若初始偏角為 θ0\theta_0，且由靜止釋放，則 θ˙0=0\dot{\theta}_0=0，所以

E=12g(1−cos⁡θ0)+800sin⁡2θ0\boxed{ E=12g(1-\cos\theta_0) +800\sin^2\theta_0 }

故亦可寫成

16θ˙2+12g(1−cos⁡θ)+800sin⁡2θ=12g(1−cos⁡θ0)+800sin⁡2θ0\boxed{ 16\dot{\theta}^2 +12g(1-\cos\theta) +800\sin^2\theta = 12g(1-\cos\theta_0) +800\sin^2\theta_0 }

(b) 小角度運動方程式

採用拉格朗日方程式

ddt(∂T∂θ˙)−∂T∂θ+∂V∂θ=0\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) -\frac{\partial T}{\partial\theta} +\frac{\partial V}{\partial\theta}=0

其中

V=2mg(1−cos⁡θ)+4ksin⁡2θV=2mg(1-\cos\theta)+4k\sin^2\theta

位能對 θ\theta 微分：

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第 2 題

Two 0.1 kg-massed are connected to a linear spring on a frictionless table. The center of mass of the 2-particle system is stationary. At the instant shown, the velocity is v1=0.1i^+2.5j^v_1 = 0.1\hat{i} + 2.5\hat{j} m/s and r=0.5r = 0.5 m. The spring constant, K=10K=10 N/m, and the spring applies no force when the masses are at the origin, F=2KrF=2Kr. Note: You do not need to consider the gravity on this system.
(a) (5%) How many degrees of freedom are in the system?
(b) (5%) Write the total kinetic energy of this two masses system.
(c) (5%) Express the work done by the spring.
(d) (5%) Derive the equations of motion represented by the position θ\theta of the two masses system.
(e) (10%) Plot the path (x, y-coordinate) for one period of oscillation of particle m1m_1.

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核心觀念

本題考查：

  • 質心固定時的相對運動與自由度。
  • 平面極座標運動：r,θr,\theta。
  • 彈簧保守力與位能。
  • 拉格朗日方程或牛頓第二定律。
  • 中心力作用下的角動量守恆與粒子軌跡。

兩質量皆為 m=0.1 kgm=0.1\ \mathrm{kg}，質心固定，因此兩粒子位置與速度大小相等、方向相反。令 m1m_1 相對質心的位置為

r1=rer\mathbf r_1=r\mathbf e_r

則 m2m_2 位於相反位置 −rer-r\mathbf e_r，兩粒子間距為 2r2r。

（a）自由度

質心固定後，系統只需描述其中一個粒子相對質心的位置。在平面內可用極座標 (r,θ)(r,\theta) 表示，因此有

2 個自由度\boxed{2\text{ 個自由度}}

其中：

  • rr：兩粒子離質心的距離。
  • θ\theta：連線相對固定 xx 軸的方向角。

（b）兩質量系統的總動能

因質心固定，

v2=−v1\mathbf v_2=-\mathbf v_1

所以總動能為

T=12mv12+12mv22=mv12T=\frac12m v_1^2+\frac12m v_2^2 =mv_1^2

在極座標中，

v12=r˙2+r2θ˙2v_1^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2

故

T=m(r˙2+r2θ˙2)\boxed{ T=m\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right) }

代入題目給定的瞬時速度：

v1=0.1i+2.5j\mathbf v_1=0.1\mathbf i+2.5\mathbf j

其大小平方為

v12=0.12+2.52=6.26 m2/s2v_1^2=0.1^2+2.5^2=6.26\ \mathrm{m^2/s^2}

因此瞬時總動能為

T=0.1(6.26)T=0.1(6.26) T=0.626 J\boxed{T=0.626\ \mathrm J}

（c）彈簧作功

題目給定彈簧力大小為

F=2KrF=2Kr

方向為回復方向，因此彈簧位能可由

F=−dUdrF=-\frac{dU}{dr}

得到

dUdr=2Kr\frac{dU}{dr}=2Kr

積分並令 r=0r=0 時 U=0U=0：

U(r)=Kr2U(r)=Kr^2

因此從 rir_i 移動至 rfr_f 時，彈簧所作的功為

Ws=−ΔUW_s=-\Delta U Ws=−K(rf2−ri2)\boxed{ W_s=-K(r_f^2-r_i^2) }

若由原點 ri=0r_i=0 移動至距離 rr，則

Ws=−Kr2\boxed{W_s=-Kr^2}

代入 K=10 N/mK=10\ \mathrm{N/m}、r=0.5 mr=0.5\ \mathrm m：

Ws=−10(0.5)2W_s=-10(0.5)^2 Ws=−2.5 J\boxed{W_s=-2.5\ \mathrm J}

負號表示彈簧力與位移方向相反。

（d）以 θ\theta 表示的運動方程

系統的拉格朗日量為

L=T−UL=T-U

其中

T=m(r˙2+r2θ˙2),U=Kr2T=m\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right), \qquad U=Kr^2

因此

L=m(r˙2+r2θ˙2)−Kr2L=m\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right)-Kr^2

徑向方程

由拉格朗日方程

ddt(∂L∂r˙)−∂L∂r=0\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot r}\right) -\frac{\partial L}{\partial r}=0

可得

2mr¨−2mrθ˙2+2Kr=02m\ddot r-2mr\dot\theta^2+2Kr=0

整理為

m(r¨−rθ˙2)+Kr=0\boxed{ m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)+Kr=0 }

角向方程

對 θ\theta 使用拉格朗日方程：

ddt(∂L∂θ˙)−∂L∂θ=0\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta}\right) -\frac{\partial L}{\partial\theta}=0

由於位能與 θ\theta 無關，

∂L∂θ=0\frac{\partial L}{\partial\theta}=0

且

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第 3 題

A slender rod AB of a mass 0.5 kg and length 100 mm is connected to the piston. The piston and piston pin have a combined mass of 1.5 kg. The bar OA is running at a constant speed (w) of 1500 revolutions per minute in the counterclockwise direction. The bar OA has a length of 30 mm. Neglect the weights and force exerted by the gas in the cylinder. For the angle θ=90∘\theta=90^\circ, determine
(a) (5%) Velocity of piston pin B, angular velocity of the slender rod AB.
(b) (5%) Angular acceleration of the slender rod AB.
(c) (15%) Force on the piston pin B.

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核心觀念

本題考查平面連桿機構的：

  • 相對速度分析
  • 相對加速度分析
  • 剛體平面運動方程式
  • 牛頓第二定律與剛體轉動方程式

取 xx 軸向右、yy 軸向上，曲柄 OAOA 長度

r=30 mm=0.03 mr=30\ \text{mm}=0.03\ \text{m}

連桿 ABAB 長度

L=100 mm=0.1 mL=100\ \text{mm}=0.1\ \text{m}

曲柄角速度為

ω=1500(2π60)=50π=157.08 rad/s\omega=1500\left(\frac{2\pi}{60}\right) =50\pi =157.08\ \text{rad/s}

在 θ=90∘\theta=90^\circ 時，AA 位於 OO 的正上方，故

xAB=L2−r2=0.12−0.032=0.09539 mx_{AB}=\sqrt{L^2-r^2} =\sqrt{0.1^2-0.03^2} =0.09539\ \text{m}

(a) 活塞銷 BB 的速度與連桿 ABAB 的角速度

點 AA 的速度為

vA=ωOA×rA/O\mathbf v_A=\boldsymbol{\omega}_{OA}\times \mathbf r_{A/O}

由於 OAOA 逆時針旋轉，且此時 OAOA 垂直向上，因此

vA=−rω i\mathbf v_A=-r\omega\,\mathbf i

數值為

vA=0.03(157.08)=4.712 m/sv_A=0.03(157.08)=4.712\ \text{m/s}

方向向左。

對連桿 ABAB 使用相對速度式：

vB=vA+ωAB×rB/A\mathbf v_B=\mathbf v_A+\boldsymbol{\omega}_{AB}\times\mathbf r_{B/A}

其中

rB/A=xABi−rj\mathbf r_{B/A}=x_{AB}\mathbf i-r\mathbf j

因此

ωAB×rB/A=ωAB(ri+xABj)\boldsymbol{\omega}_{AB}\times\mathbf r_{B/A} =\omega_{AB}(r\mathbf i+x_{AB}\mathbf j)

因為活塞銷 BB 僅能水平運動，故 vBy=0v_{By}=0：

0=ωABxAB0=\omega_{AB}x_{AB}

所以

ωAB=0\boxed{\omega_{AB}=0}

此時

vB=vAx=−rωv_B=v_{Ax}=-r\omega

故

vB=4.712 m/s，方向向左\boxed{v_B=4.712\ \text{m/s，方向向左}}

(b) 連桿 ABAB 的角加速度

曲柄 OAOA 等角速度旋轉，因此點 AA 只有向心加速度：

aA=−rω2j\mathbf a_A=-r\omega^2\mathbf j

數值為

aA=0.03(157.08)2=740.22 m/s2a_A=0.03(157.08)^2 =740.22\ \text{m/s}^2

方向向下。

由於 ωAB=0\omega_{AB}=0，連桿的相對加速度式為

aB=aA+αAB×rB/A\mathbf a_B = \mathbf a_A+ \boldsymbol{\alpha}_{AB}\times\mathbf r_{B/A}

即

aB=−rω2j+αAB(ri+xABj)\mathbf a_B = -r\omega^2\mathbf j + \alpha_{AB}(r\mathbf i+x_{AB}\mathbf j)

活塞銷 BB 垂直加速度為零，因此

0=−rω2+αABxAB0=-r\omega^2+\alpha_{AB}x_{AB}

得到

αAB=rω2xAB\alpha_{AB} =\frac{r\omega^2}{x_{AB}}

代入數值：

αAB=0.03(157.08)20.09539=7.76×103 rad/s2\alpha_{AB} = \frac{0.03(157.08)^2}{0.09539} = 7.76\times 10^3\ \text{rad/s}^2

故

αAB=7.76×103 rad/s2\boxed{\alpha_{AB}=7.76\times10^3\ \text{rad/s}^2}

方向為逆時針。

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