109 年國立臺灣大學機械系碩士班流力組《熱力學（A）》考古題與詳解

Question 1

Problem 1 (25%) Consider a long solid tube with thermal conductivity of 5 W/m-K, insulated at the outer surface and cooled at the inner surface. The outer radius and inner radius are 20 mm and 25 mm, respectively, and there is uniform heat generation of $5 \times 10^6$ W/m³ within the solid. The coolant is at a temperature of 80°C. Determine the convection heat transfer coefficient of the coolant required to maintain the temperature of the outer surface below 350°C.

(Governing equation of heat conduction for cylinders at steady state condition:
$\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{dT}{dr} \right) + \frac{q}{k} = 0$ )

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 圓柱座標下有均勻內部熱生成的穩態熱傳導。 - 外表面絕熱，因此所有熱量皆由內表面冷卻帶走。 - 內表面以對流方式與溫度 $T\infty=80^\circ\mathrm{C}$ 的冷卻液交換熱量。 - 外表面溫度為最高溫，設計條件為 $To=350^\circ\mathrm{C}$。 題目文字將外半徑與內半徑寫成 $20$ mm、$25$ mm，與幾何意義矛盾。依圖示及圓管幾何，採用： $$ ri=20\ \mathrm{mm}=0.020\ \mathrm{m},\qquad ro=25\ \mathrm{mm}=0.025\ \mathrm{m} $$ 已知 $$ k=5\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad \dot q=5	imes10^6\ \mathrm{W/m^3} $$ --- 解題方法 1. 圓柱內部熱生成的溫度分布 穩態圓柱熱傳導方程式為 $$ \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dT}{dr}ight)+\frac{\dot q}{k}=0 $$ 積分得 $$ r\frac{dT}{dr} =-\frac{\dot q}{2k}r^2+C1 $$ 因此 $$ \frac{dT}{dr} =-\frac{\dot q}{2k}r+\frac{C1}{r} $$ 外表面絕熱： $$ \left.\frac{dT}{dr}ight|{r=ro}=0 $$ 所以 $$ C1=\frac{\dot q ro^2}{2k} $$ 故 $$ \frac{dT}{dr} =\frac{\dot q}{2k}\left(\frac{ro^2}{r}-right) $$ 由內表面積分至外表面，得到外、內表面溫差： $$ To-Ti = \frac{\dot q}{2k} \left[ ro^2\ln\left(\frac{ro}{ri}ight) -\frac{ro^2-ri^2}{2} ight] $$ 代入數值：

Question 2

Problem 2 (25%) A thermocouple shielded by aluminum foil of emissivity 0.15 is used to measure the temperature of hot gases flowing in a duct whose walls are maintained at 380 K. The thermometer shows a temperature reading of 530 K. Assuming the emissivity of the thermocouple junction to be 0.7 and convection heat transfer coefficient to be 120W/m²-K, determine the actual temperature of the gas. (Stefan-Boltzmann constant $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ W/m²K⁴)

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Accepted Answer

核心觀念 熱電偶測得的 $530\ 	ext{K}$ 是接點溫度 $Tt$，不一定等於熱氣體實際溫度 $Tf$。由於管壁溫度較低，熱電偶會經由輻射向外散熱，因此若要維持接點為 $530\ 	ext{K}$，氣體溫度必須高於此讀值。 鋁箔遮蔽罩會降低熱電偶與管壁間的輻射熱傳。對於一個輻射遮蔽罩，等效輻射熱通量為 $$ q{\mathrm{rad}} = \frac{\sigma\left(Tt^4-Tw^4ight)} {\displaystyle \frac{1}{\varepsilont} +\frac{2}{\varepsilons}-1} $$ 其中： - $\varepsilont=0.7$：熱電偶接點放射率 - $\varepsilons=0.15$：鋁箔遮蔽罩放射率 - $Tw=380\ 	ext{K}$：管壁溫度 - $Tt=530\ 	ext{K}$：熱電偶讀值 遮蔽罩出現兩次，是因為輻射熱必須依序通過遮蔽罩的兩個表面。 解題方法 對熱電偶接點作穩態能量平衡。氣體對熱電偶的對流熱傳，必須補償熱電偶向管壁的輻射散熱：

Question 3

Problem 3 (16%) Answer the following questions.
a. (4%) Write down two reasons to explain why it is impractical to build a household heat pump based on reversed Carnot cycle.
b. (4%) Can we derive the first law of thermodynamics from any conservation law(s)? If so, derive it. If not, explain how we get it and why we take it as a theorem.
c. (4%) Can we derive the second law of thermodynamics from any conservation law(s)? If so, derive it. If not, explain how we get it and why we take it as a theorem.
d. (4%) Is it possible for any device to receive heat from a single reservoir and produce a net amount of work? If so, describe a system that makes this happen. If not, explain why.

Accepted Answer

（a）反卡諾熱泵不適合作為家用機 核心觀念：反卡諾循環由兩段等溫過程與兩段等熵過程構成。它的性能是理想上限，但要實際運轉，必須考慮換熱速率與膨脹設備。 解題方法與理由： 1. 等溫換熱要求熱源與冷媒溫差趨近於零。 可逆等溫吸熱、放熱必須在極小溫差下進行。有限溫差才能提供實際熱傳速率，因此要達成接近等溫的換熱，換熱器需要很大的面積，且熱交換時間長，不適合一般家用設備。 2. 等熵膨脹需要膨脹機，且膨脹過程涉及液汽混合物。 反卡諾循環的膨脹過程須近似等熵，通常需要膨脹渦輪等設備；小型家用機組採用此設備的成本與複雜度高，且濕蒸氣可能造成機械損傷。實際熱泵通常用節流閥取代膨脹機，雖然損失部分可回收功，卻更簡單可靠。 解題技巧：看到「卡諾循環實際不可行」，可從兩處判斷：可逆換熱要求零溫差，等熵膨脹則需要實際設備。 --- （b）第一定律能否由守恆定律導出？ 核心觀念：第一定律是熱力學中的能量平衡式。在現代觀點下，它就是能量守恆在熱與功交換情境中的表達。 解題方法：對封閉系統，令 $Q$ 為系統吸收的熱量，$W$ 為系統對外作功，則能量守恆給出： $$ \Delta E=Q-W $$ 系統總能量可拆成內能、動能與位能： $$ E=U+KE+PE $$ 因此： $$ \Delta U+\Delta KE+\Delta PE=Q-W $$ 若系統的動能與位能變化可忽略，便得到常用形式： $$ \Delta U=Q-W $$ 對循環過程，系統回到初態，故 $\Delta E=0$，因此： $$ \oint \delta Q=\oint \delta W $$ 歷史上，熱與功的等價關係是由實驗建立的；所以第一定律不是由熱力學內其他定律推演而得，而是以大量實驗為根據的經驗定律。現代物理將其理解為能量守恆。 解題技巧：使用 $\Delta U=Q-W$ 前，先確認符號慣例：此處 $W0$ 表示系統對外作功；若採「外界對系統作功為正」的慣例，功項符號會相反。 --- （c）第二定律能否由守恆定律導出？ 核心觀念：第二定律描述自然過程的方向與限制，例如熱量自發傳遞的方向，以及熱不能全部轉為循環淨功。能量守恆只管總量，不能決定過程方向。 解題方法：第二定律不能由能量守恆等守恆定律導出。它是根據實驗整理出的經驗定律，常見表述包括：

Question 4

Problem 4 (8%) Air is isentropically compressed in a set of piston and cylinder form 100 kPa, 300 K to 1 MPa. Describe how you would determine the final temperature of the air within 1 K using the list of specific heats in the following table 1 (T = temperature; Cp = constant-pressure specific heat; cv = constant-volume specific heat; k = Cp/cv). DO NOT solve for the final temperature; just write down your algorithm for finding it.

T (K)	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	750	800	900	1000
Cp (kJ/kg-K)	1.003	1.005	1.008	1.013	1.020	1.029	1.040	1.051	1.063	1.075	1.087	1.099	1.121	1.142
Cv (kJ/kg-K)	0.716	0.718	0.721	0.726	0.733	0.742	0.753	0.764	0.776	0.788	0.800	0.812	0.834	0.855
k	1.401	1.400	1.398	1.395	1.391	1.387	1.381	1.376	1.370	1.364	1.359	1.354	1.344	1.336

Table 1. Ideal-gas specific heats of air.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「理想氣體、定比熱不適用時的等熵壓縮」分析。由於空氣的 $cp$、$cv$、$k$ 會隨溫度變化，不能直接套用 $$ \frac{T2}{T1} = \left(\frac{P2}{P1}ight)^{(k-1)/k} $$ 並將 $k$ 視為常數。 理想氣體的熵變關係為 $$ ds=cv(T)\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P}. $$ 等熵過程滿足 $ds=0$，因此 $$ cv(T)\frac{dT}{T}=R\frac{dP}{P}. $$ 由初態積分至末態： $$ \int{T1}^{T2}\frac{cv(T)}{T}\,dT = R\ln\left(\frac{P2}{P1}ight). $$ 其中 $$ T1=300\ 	ext{K},\qquad \frac{P2}{P1}=\frac{1000}{100}=10. $$ 空氣氣體常數可由表中任一列計算： $$ R=cp-cv \approx 1.005-0.718 =0.287\ 	ext{kJ/(kg·K)}. $$ --- 解題方法 1. 建立目標方程式 令候選末溫為 $T$，定義 $$ F(T) = \int{300}^{T}\frac{cv(	heta)}{	heta}\,d	heta - R\ln(10). $$ 真正的末溫 $T2$ 滿足 $$ F(T2)=0. $$ 因此，本題的工作是利用表格資料計算積分，並以數值法尋找使 $F(T)=0$ 的溫度。 --- 2. 對 $cv$ 作線性內插 若候選溫度落在表中兩點 $Ti$ 與 $T{i+1}$ 之間，令 $$ cv(Ti)=c{v,i},\qquad cv(T{i+1})=c{v,i+1}. $$ 在此區間內採線性內插： $$ cv(T) = c{v,i} + \frac{c{v,i+1}-c{v,i}}{T{i+1}-Ti}(T-Ti). $$ 寫成 $$ cv(T)=ai+biT, $$ 其中 $$ bi= \frac{c{v,i+1}-c{v,i}}{T{i+1}-Ti}, \qquad ai=c{v,i}-biTi. $$ --- 3. 計算各溫度區間的熵積分 在一個表格區間 $Ti$ 到 $T{i+1}$ 內： $$ \int{Ti}^{T{i+1}}\frac{cv(T)}{T}\,dT = \int{Ti}^{T{i+1}} \left(\frac{ai}{T}+biight)dT. $$ 因此可直接計算為 $$ Ii = ai\ln\left(\frac{T{i+1}}{Ti}ight) + bi(T{i+1}-Ti). $$ 對於候選末溫 $T$，將 $300$ K 到 $T$ 之間所有區間的積分相加：

Question 5

Problem 5 (26%) Consider a heat pump running a vapor-compression cycle of R-134a. The machine runs between 100 kPa and 900 kPa and delivers 2 kW of heating power. The cycle is similar to an ideal vapor-compression cycle except that the efficiency of the compressor is 80% because the compression process is adiabatic and irreversible.
a. (4%) Draw a block diagram of a vapor-compression cycle to illustrate the steady-flow devices of the cycle. Specify the name of each device, the direction in which R-134a flows and from which device(s) heat and work enter and exit the cycle.
b. (4%) Draw a T-s diagram with (i) the processes for our heat pump in solid lines and (ii) those of an ideal vapor-compression cycle also running between 100 kPa and 1 MPa in dashed lines. For each process, mark its direction and specify the property (or properties) that remain constant.
c. (10%) Determine the temperature and pressure at the beginning of each process. If the initial state of any process is a two-phase mixture, determine the quality of the mixture.
d. (3%) Determine the mass flow rate of R-134a. How fast does the heat pump absorb heat? How much power does it consume?
e. (5%) What is the lowest efficiency of the compressor if we want the COP to be no less than 3?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查蒸氣壓縮式熱泵的四個基本元件、穩態流動能量方程、節流閥等焓過程，以及壓縮機等熵效率。 熱泵循環包含： 1. 壓縮機：絕熱壓縮，實際過程不可逆。 2. 冷凝器：高壓冷媒放熱，液化。 3. 節流閥：降壓節流，焓保持不變。 4. 蒸發器：低壓冷媒吸熱，汽化。 壓縮機等熵效率定義為 $$ \etac= \frac{h{2s}-h1}{h2-h1} $$ 其中： - $1	o 2s$：理想等熵壓縮； - $1	o 2$：實際不可逆壓縮； - $h2h{2s}$。 熱泵性能係數為 $$ COPH=\frac{\dot QH}{\dot Wc} =\frac{h2-h3}{h2-h1} $$ --- a. 蒸氣壓縮式熱泵流程圖 循環方向為 $$ 1ightarrow2ightarrow3ightarrow4ightarrow1 $$ 各元件功能如下： - 壓縮機：$1	o2$，冷媒接受軸功 $\dot Wc$，壓力與溫度上升。 - 冷凝器：$2	o3$，冷媒向外界放出熱量 $\dot QH$。 - 節流閥：$3	o4$，壓力降低，無軸功、無顯著熱傳，且 $h3=h4$。 - 蒸發器：$4	o1$，冷媒從低溫環境吸收熱量 $\dot QL$。 由於是熱泵，主要輸出是冷凝器放出的高溫熱量 $\dot QH$。 --- b. $T-s$ 圖與各過程 實際熱泵的高低壓分別為 $900\ 	ext{kPa}$ 與 $100\ 	ext{kPa}$；題目要求以 $1\ 	ext{MPa}$ 繪製理想循環的虛線作比較。 過程 $1	o2$：實際壓縮 - 絕熱：$q{12}=0$。 - 不可逆壓縮。 - 壓力由 $100\ 	ext{kPa}$ 升至 $900\ 	ext{kPa}$。 - 熵增加： $$ s2s1 $$ 過程 $1	o2s$：理想壓縮 - 絕熱且可逆。 - 等熵： $$ s{2s}=s1 $$ - 理想比較循環的終壓為 $1\ 	ext{MPa}$。 過程 $2	o3$：冷凝器放熱 - 高壓近似定壓： $$ P2=P3=900\ 	ext{kPa} $$ - 冷媒由過熱蒸氣冷卻、冷凝成飽和液體。 - 放出熱量： $$ qH=h2-h3 $$ 過程 $3	o4$：節流 - 無軸功、絕熱、動能與位能變化忽略。 - 等焓： $$ h4=h3 $$ - 壓力由 $900\ 	ext{kPa}$ 降至 $100\ 	ext{kPa}$。 - 冷媒成為低壓兩相混合物。 過程 $4	o1$：蒸發器吸熱 - 低壓近似定壓： $$ P4=P1=100\ 	ext{kPa} $$ - 冷媒由兩相混合物完全汽化為飽和蒸氣。 - 吸收熱量： $$ qL=h1-h4 $$ --- c. 各過程起始狀態 以下依據 R-13…

Question 6

Problem 4 (8%) Air is isentropically compressed in a set of piston and cylinder form 100 kPa, 300 K to 1 MPa. Describe how you would determine the final temperature of the air within 1 K using the list of specific heats in the following table 1 (T = temperature; Cp = constant-pressure specific heat; cv = constant-volume specific heat; k = Cp/cv). DO NOT solve for the final temperature; just write down your algorithm for finding it.

T (K)	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	750	800	900	1000
Cp (kJ/kg-K)	1.003	1.005	1.008	1.013	1.020	1.029	1.040	1.051	1.063	1.075	1.087	1.099	1.121	1.142
Cv (kJ/kg-K)	0.716	0.718	0.721	0.726	0.733	0.742	0.753	0.764	0.776	0.788	0.800	0.812	0.834	0.855
k	1.401	1.400	1.398	1.395	1.391	1.387	1.381	1.376	1.370	1.364	1.359	1.354	1.344	1.336

Table 1. Ideal-gas specific heats of air.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「理想氣體、定比熱不適用時的等熵壓縮」分析。由於空氣的 $cp$、$cv$、$k$ 會隨溫度變化，不能直接套用 $$ \frac{T2}{T1} = \left(\frac{P2}{P1}ight)^{(k-1)/k} $$ 並將 $k$ 視為常數。 理想氣體的熵變關係為 $$ ds=cv(T)\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P}. $$ 等熵過程滿足 $ds=0$，因此 $$ cv(T)\frac{dT}{T}=R\frac{dP}{P}. $$ 由初態積分至末態： $$ \int{T1}^{T2}\frac{cv(T)}{T}\,dT = R\ln\left(\frac{P2}{P1}ight). $$ 其中 $$ T1=300\ 	ext{K},\qquad \frac{P2}{P1}=\frac{1000}{100}=10. $$ 空氣氣體常數可由表中任一列計算： $$ R=cp-cv \approx 1.005-0.718 =0.287\ 	ext{kJ/(kg·K)}. $$ --- 解題方法 1. 建立目標方程式 令候選末溫為 $T$，定義 $$ F(T) = \int{300}^{T}\frac{cv(	heta)}{	heta}\,d	heta - R\ln(10). $$ 真正的末溫 $T2$ 滿足 $$ F(T2)=0. $$ 因此，本題的工作是利用表格資料計算積分，並以數值法尋找使 $F(T)=0$ 的溫度。 --- 2. 對 $cv$ 作線性內插 若候選溫度落在表中兩點 $Ti$ 與 $T{i+1}$ 之間，令 $$ cv(Ti)=c{v,i},\qquad cv(T{i+1})=c{v,i+1}. $$ 在此區間內採線性內插： $$ cv(T) = c{v,i} + \frac{c{v,i+1}-c{v,i}}{T{i+1}-Ti}(T-Ti). $$ 寫成 $$ cv(T)=ai+biT, $$ 其中 $$ bi= \frac{c{v,i+1}-c{v,i}}{T{i+1}-Ti}, \qquad ai=c{v,i}-biTi. $$ --- 3. 計算各溫度區間的熵積分 在一個表格區間 $Ti$ 到 $T{i+1}$ 內： $$ \int{Ti}^{T{i+1}}\frac{cv(T)}{T}\,dT = \int{Ti}^{T{i+1}} \left(\frac{ai}{T}+biight)dT. $$ 因此可直接計算為 $$ Ii = ai\ln\left(\frac{T{i+1}}{Ti}ight) + bi(T{i+1}-Ti). $$ 對於候選末溫 $T$，將 $300$ K 到 $T$ 之間所有區間的積分相加：

Question 7

Problem 5 (26%) Consider a heat pump running a vapor-compression cycle of R-134a. The machine runs between 100 kPa and 900 kPa and delivers 2 kW of heating power. The cycle is similar to an ideal vapor-compression cycle except that the efficiency of the compressor is 80% because the compression process is adiabatic and irreversible.
a. (4%) Draw a block diagram of a vapor-compression cycle to illustrate the steady-flow devices of the cycle. Specify the name of each device, the direction in which R-134a flows and from which device(s) heat and work enter and exit the cycle.
b. (4%) Draw a T-s diagram with (i) the processes for our heat pump in solid lines and (ii) those of an ideal vapor-compression cycle also running between 100 kPa and 1 MPa in dashed lines. For each process, mark its direction and specify the property (or properties) that remain constant.
c. (10%) Determine the temperature and pressure at the beginning of each process. If the initial state of any process is a two-phase mixture, determine the quality of the mixture.
d. (3%) Determine the mass flow rate of R-134a. How fast does the heat pump absorb heat? How much power does it consume?
e. (5%) What is the lowest efficiency of the compressor if we want the COP to be no less than 3?

Accepted Answer

核心觀念

這題考熱泵蒸氣壓縮循環的狀態判定與能量分析。循環依序經過蒸發器、壓縮機、冷凝器與節流閥：

蒸發器吸熱，使低壓冷媒汽化。
壓縮機輸入功，使冷媒升壓、升溫。
冷凝器放熱，使高壓冷媒凝結。
節流閥等焓降壓，形成低壓兩相混合物。

壓縮機等熵效率定義為

\eta_c=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}

其中 $h_{2s}$ 是相同出口壓力下的等熵壓縮出口焓， $h_2$ 是實際出口焓。熱泵供熱性能係數為

\mathrm{COP}_{HP}=\frac{\dot Q_H}{\dot W_{in}} =\frac{h_2-h_3}{h_2-h_1}

a. 循環設備與能量方向

冷媒流向及熱、功方向如下：

                         熱量 Q̇H 排出
                              ↑
                    ┌────────────────┐
              2 ───→│     冷凝器     │───→ 3
              ↑     └────────────────┘      │
              │                              ↓
       功 Ẇin →│                         節流閥
          ┌──────────┐                       │
          │  壓縮機  │                       ↓
          └──────────┘                 4 ───→ 蒸發器
              ↑                              │
              1                    熱量 Q̇L  ↑
              └──────────────────────────────┘

壓縮機有功輸入；冷媒在蒸發器吸收熱量 $\dot Q_L$ ，在冷凝器排出熱量 $\dot Q_H$ 。節流閥與蒸發器、冷凝器皆無軸功輸入或輸出。

b. $T-s$ 循環圖與各過程性質

實線為題目給定的實際循環，冷凝壓力為 $900\ \mathrm{kPa}$ ；虛線為題目指定比較的理想循環，冷凝壓力為 $1\ \mathrm{MPa}$ 。圖為示意，非比例圖。

                 T
                 ↑
                 │                         2 ●  實際
                 │                          ╲
                 │                  2s ● - - ╲
                 │                      - - - ╲
                 │              .───────────────.
                 │           .´                   `.
                 │         .´                       `.
                 │  3 ●───´                           `───● 1
                 │   ╲                                      ↑
                 │    ╲                                     │
                 │     ● 4 ─────────────────────────────────┘
                 └────────────────────────────────────────────→ s

       虛線理想循環：1 → 2s（等熵壓縮）→ 3′（1 MPa 飽和液體）
       → 4′（等焓節流）→ 1

$1\to2$ ：實際絕熱、不可逆壓縮； $P$ 上升， $s$ 增加， $h$ 上升。
$1\to2s$ ：理想等熵壓縮； $s_{2s}=s_1$ 。
$2\to3$ ：冷凝器放熱，定壓 $900\ \mathrm{kPa}$ 。
$2s\to3′$ ：理想循環冷凝，定壓 $1\ \mathrm{MPa}$ 。
$3\to4$ 、 $3′\to4′$ ：節流， $h$ 不變。
$4\to1$ 、 $4′\to1$ ：蒸發器吸熱，定壓 $100\ \mathrm{kPa}$ 。

c. 各過程起始狀態與節流後乾度

狀態編號依冷媒流向排列。狀態 1 為 $100\ \mathrm{kPa}$ 飽和蒸氣，故

P_1=100\ \mathrm{kPa},\quad T_1=-26.37^\circ\mathrm C,\quad h_1=234.44\ \mathrm{kJ/kg},\quad s_1=0.95183\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

壓縮機出口壓力為 $900\ \mathrm{kPa}$ 。先找同壓力下的等熵出口 $2s$ ，令 $s_{2s}=s_1$ 。

Question 8

Problem 1 (25%) Consider a long solid tube with thermal conductivity of 5 W/m-K, insulated at the outer surface and cooled at the inner surface. The outer radius and inner radius are 20 mm and 25 mm, respectively, and there is uniform heat generation of $5 \times 10^6$ W/m³ within the solid. The coolant is at a temperature of 80°C. Determine the convection heat transfer coefficient of the coolant required to maintain the temperature of the outer surface below 350°C.

(Governing equation of heat conduction for cylinders at steady state condition:
$\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{dT}{dr} \right) + \frac{q}{k} = 0$ )

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 圓柱座標下有均勻內部熱生成的穩態熱傳導。 - 外表面絕熱，因此所有熱量皆由內表面冷卻帶走。 - 內表面以對流方式與溫度 $T\infty=80^\circ\mathrm{C}$ 的冷卻液交換熱量。 - 外表面溫度為最高溫，設計條件為 $To=350^\circ\mathrm{C}$。 題目文字將外半徑與內半徑寫成 $20$ mm、$25$ mm，與幾何意義矛盾。依圖示及圓管幾何，採用： $$ ri=20\ \mathrm{mm}=0.020\ \mathrm{m},\qquad ro=25\ \mathrm{mm}=0.025\ \mathrm{m} $$ 已知 $$ k=5\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad \dot q=5	imes10^6\ \mathrm{W/m^3} $$ --- 解題方法 1. 圓柱內部熱生成的溫度分布 穩態圓柱熱傳導方程式為 $$ \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dT}{dr}ight)+\frac{\dot q}{k}=0 $$ 積分得 $$ r\frac{dT}{dr} =-\frac{\dot q}{2k}r^2+C1 $$ 因此 $$ \frac{dT}{dr} =-\frac{\dot q}{2k}r+\frac{C1}{r} $$ 外表面絕熱： $$ \left.\frac{dT}{dr}ight|{r=ro}=0 $$ 所以 $$ C1=\frac{\dot q ro^2}{2k} $$ 故 $$ \frac{dT}{dr} =\frac{\dot q}{2k}\left(\frac{ro^2}{r}-right) $$ 由內表面積分至外表面，得到外、內表面溫差： $$ To-Ti = \frac{\dot q}{2k} \left[ ro^2\ln\left(\frac{ro}{ri}ight) -\frac{ro^2-ri^2}{2} ight] $$ 代入數值：

Question 9

Problem 4 (8%) Air is isentropically compressed in a set of piston and cylinder form 100 kPa, 300 K to 1 MPa. Describe how you would determine the final temperature of the air within 1 K using the list of specific heats in the following table 1 (T = temperature; Cp = constant-pressure specific heat; cv = constant-volume specific heat; k = Cp/cv). DO NOT solve for the final temperature; just write down your algorithm for finding it.

T (K)	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	750	800	900	1000
Cp (kJ/kg-K)	1.003	1.005	1.008	1.013	1.020	1.029	1.040	1.051	1.063	1.075	1.087	1.099	1.121	1.142
Cv (kJ/kg-K)	0.716	0.718	0.721	0.726	0.733	0.742	0.753	0.764	0.776	0.788	0.800	0.812	0.834	0.855
k	1.401	1.400	1.398	1.395	1.391	1.387	1.381	1.376	1.370	1.364	1.359	1.354	1.344	1.336

Table 1. Ideal-gas specific heats of air.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「理想氣體、定比熱不適用時的等熵壓縮」分析。由於空氣的 $cp$、$cv$、$k$ 會隨溫度變化，不能直接套用 $$ \frac{T2}{T1} = \left(\frac{P2}{P1}ight)^{(k-1)/k} $$ 並將 $k$ 視為常數。 理想氣體的熵變關係為 $$ ds=cv(T)\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P}. $$ 等熵過程滿足 $ds=0$，因此 $$ cv(T)\frac{dT}{T}=R\frac{dP}{P}. $$ 由初態積分至末態： $$ \int{T1}^{T2}\frac{cv(T)}{T}\,dT = R\ln\left(\frac{P2}{P1}ight). $$ 其中 $$ T1=300\ 	ext{K},\qquad \frac{P2}{P1}=\frac{1000}{100}=10. $$ 空氣氣體常數可由表中任一列計算： $$ R=cp-cv \approx 1.005-0.718 =0.287\ 	ext{kJ/(kg·K)}. $$ --- 解題方法 1. 建立目標方程式 令候選末溫為 $T$，定義 $$ F(T) = \int{300}^{T}\frac{cv(	heta)}{	heta}\,d	heta - R\ln(10). $$ 真正的末溫 $T2$ 滿足 $$ F(T2)=0. $$ 因此，本題的工作是利用表格資料計算積分，並以數值法尋找使 $F(T)=0$ 的溫度。 --- 2. 對 $cv$ 作線性內插 若候選溫度落在表中兩點 $Ti$ 與 $T{i+1}$ 之間，令 $$ cv(Ti)=c{v,i},\qquad cv(T{i+1})=c{v,i+1}. $$ 在此區間內採線性內插： $$ cv(T) = c{v,i} + \frac{c{v,i+1}-c{v,i}}{T{i+1}-Ti}(T-Ti). $$ 寫成 $$ cv(T)=ai+biT, $$ 其中 $$ bi= \frac{c{v,i+1}-c{v,i}}{T{i+1}-Ti}, \qquad ai=c{v,i}-biTi. $$ --- 3. 計算各溫度區間的熵積分 在一個表格區間 $Ti$ 到 $T{i+1}$ 內： $$ \int{Ti}^{T{i+1}}\frac{cv(T)}{T}\,dT = \int{Ti}^{T{i+1}} \left(\frac{ai}{T}+biight)dT. $$ 因此可直接計算為 $$ Ii = ai\ln\left(\frac{T{i+1}}{Ti}ight) + bi(T{i+1}-Ti). $$ 對於候選末溫 $T$，將 $300$ K 到 $T$ 之間所有區間的積分相加：

109 年 國立臺灣大學機械系碩士班流力組《熱力學（A）》

第 Problem 1 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 圓柱內部熱生成的溫度分布

第 Problem 2 題25 分

第 Problem 3 題16 分

（a）反卡諾熱泵不適合作為家用機

（b）第一定律能否由守恆定律導出？

（c）第二定律能否由守恆定律導出？

第 Problem 4 題8 分

核心觀念

解題方法

1. 建立目標方程式

2. 對 cvc_vcv​ 作線性內插

3. 計算各溫度區間的熵積分

第 Problem 5 題26 分

核心觀念

a. 蒸氣壓縮式熱泵流程圖

b. T−sT-sT−s 圖與各過程

過程 1→21\to21→2：實際壓縮

過程 1→2s1\to2s1→2s：理想壓縮

過程 2→32\to32→3：冷凝器放熱

過程 3→43\to43→4：節流

過程 4→14\to14→1：蒸發器吸熱

c. 各過程起始狀態

狀態 1：壓縮機入口

狀態 2s2s2s：理想壓縮機出口

狀態 2：實際壓縮機出口

狀態 3：冷凝器出口

第 Problem 4 題8 分

核心觀念

解題方法

1. 建立目標方程式

2. 對 cvc_vcv​ 作線性內插

3. 計算各溫度區間的熵積分

第 Problem 5 題26 分

核心觀念

a. 循環設備與能量方向

b. T−sT-sT−s 循環圖與各過程性質

c. 各過程起始狀態與節流後乾度

第 Problem 1 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 圓柱內部熱生成的溫度分布

第 Problem 4 題8 分

核心觀念

解題方法

1. 建立目標方程式

2. 對 cvc_vcv​ 作線性內插

3. 計算各溫度區間的熵積分

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109 年國立臺灣大學機械系碩士班流力組《熱力學（A）》

2. 對 $c_v$ 作線性內插

b. $T-s$ 圖與各過程

過程 $1\to2$ ：實際壓縮

過程 $1\to2s$ ：理想壓縮

過程 $2\to3$ ：冷凝器放熱

過程 $3\to4$ ：節流

過程 $4\to1$ ：蒸發器吸熱

狀態 $2s$ ：理想壓縮機出口

2. 對 $c_v$ 作線性內插

b. $T-s$ 循環圖與各過程性質

2. 對 $c_v$ 作線性內插