111 年 國立中正大學地球與環境科學系應用地球物理研究所《工程數學》

核心觀念

本題是一階線性微分方程，也可視為可分離變數方程：

$$y'=-2xy \quad\Longleftrightarrow\quad y'+2xy=0。$$

可使用積分因子法。對標準形式 $y'+P(x)y=Q(x)$，積分因子為

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}。$$

本題 $P(x)=2x$，因此

$$\mu(x)=e^{\int 2x\,dx}=e^{x^2}。$$

解題方法

原方程為

$$y'+2xy=0。$$

兩邊乘以積分因子 $e^{x^2}$：

$$e^{x^2}y'+2xe^{x^2}y=0。$$

左側可合併為乘積微分：

$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}y\right)=0。$$

因此積分得

$$e^{x^2}y=C，$$

其中 $C$ 為常數。解出 $y$：

$$y=Ce^{-x^2}。$$

代入初始條件 $y(0)=2$：

$$2=Ce^0=C，$$

核心觀念

本題是二階常係數齊次線性微分方程：

$$y''+y'-2y=0.$$

對此類方程，設解為 $y=e^{rx}$，即可得到特徵方程。若特徵方程有兩個相異根 $r_1,r_2$，通解為

$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.$$

再利用初始條件 $y(0)$ 與 $y'(0)$ 求出常數 $C_1,C_2$。

解題方法

設

$$y=e^{rx}.$$

則

$$y'=re^{rx},\qquad y''=r^2e^{rx}.$$

代入原方程：

$$r^2e^{rx}+re^{rx}-2e^{rx}=0.$$

因為 $e^{rx}\neq 0$，可得特徵方程

$$r^2+r-2=0.$$

因式分解：

$$r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0,$$

因此兩個相異特徵根為

$$r_1=1,\qquad r_2=-2.$$

所以微分方程的通解為

$$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}.$$

對通解微分：

核心觀念

本題考查一階微分方程中的：

1. 恰當微分方程判定：

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$

若

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},$

則可直接求位勢函數。

2. 尋找只與 $y$ 有關的積分因子。若

$\frac{N_x-M_y}{M}$

僅為 $y$ 的函數，則可取

$\mu(y)=\exp\left(\int \frac{N_x-M_y}{M}\,dy\right).$

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解題方法

令

$M(x,y)=e^{x+y}+ye^y,\qquad N(x,y)=xe^y-1.$

先判定原方程是否恰當：

$M_y=e^{x+y}+(y+1)e^y,$

$N_x=e^y.$

因此

$$N_x-M_y =e^y-\left[e^{x+y}+(y+1)e^y\right] =-e^{x+y}-ye^y =-M.$$

所以

$\frac{N_x-M_y}{M}=-1,$

這是常數，符合尋找 $\mu(y)$ 的條件。積分因子為

$\mu(y)=e^{\int -1\,dy}=e^{-y}.$

將原方程乘上 $e^{-y}$：

$$e^{-y}(e^{x+y}+ye^y)\,dx +e^{-y}(xe^y-1)\,dy=0,$$

整理得

$(e^x+y)\,dx+(x-e^{-y})\,dy=0.$

此時令

$$\widetilde M=e^x+y,\qquad \widetilde N=x-e^{-y}.$$

檢查恰當性：

$$\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=1.$$

故此方程為恰當微分方程。設位勢函數為 $F(x,y)$，使得

核心觀念

本題是二階常係數線性非齊次微分方程：

$$y''+\frac94y=-10e^{-3x/2}.$$

解法分為：

1. 先求齊次方程的通解。
2. 再以待定係數法求特解。
3. 代入初始條件 $y(0)=2$、$y'(0)=0$ 求常數。

齊次方程的特徵根若為純虛根，通解會以正弦、餘弦表示。

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解題方法

一、求齊次解

先考慮對應的齊次方程：

$$y''+\frac94y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2+\frac94=0,$$

因此

$$r=\pm \frac32 i.$$

所以齊次解為

$$y_h=C_1\cos\frac{3x}{2}+C_2\sin\frac{3x}{2}.$$

二、求特解

右側非齊次項為 $-10e^{-3x/2}$，設特解為

$$y_p=Ae^{-3x/2}.$$

微分得

$$y_p'=-\frac32Ae^{-3x/2},$$ $$y_p''=\frac94Ae^{-3x/2}.$$

代回原方程：

$$\frac94Ae^{-3x/2}+\frac94Ae^{-3x/2} =-10e^{-3x/2}.$$

整理為

$$\frac92Ae^{-3x/2}=-10e^{-3x/2}.$$

消去 $e^{-3x/2}$，得到

$$\frac92A=-10, \qquad A=-\frac{20}{9}.$$

故特解為

$$y_p=-\frac{20}{9}e^{-3x/2}.$$

由於 $e^{-3x/2}$ 並非齊次解中的正弦或餘弦項，不需要額外乘上 $x$。

三、寫出一般解

$$y=C_1\cos\frac{3x}{2} +C_2\sin\frac{3x}{2} -\frac{20}{9}e^{-3x/2}.$$

四、代入初始條件

核心觀念

特徵值 $\lambda$ 與特徵向量 $\mathbf v\neq \mathbf 0$ 的定義為

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v.$$

求特徵值時，使用特徵方程式

$$\det(A-\lambda I)=0.$$

本題的矩陣為上三角矩陣，因此特徵值也可直接由主對角線元素得到，即 $4$ 與 $3$。

解題方法

設

$$A= \begin{bmatrix} 4 & -2\\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

特徵方程式為

$$\det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} 4-\lambda & -2\\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix}.$$

因為矩陣為三角矩陣，其行列式為對角線元素乘積：

$$\det(A-\lambda I) =(4-\lambda)(3-\lambda).$$

令行列式等於零：

$$(4-\lambda)(3-\lambda)=0,$$

因此特徵值為

$$\lambda_1=4,\qquad \lambda_2=3.$$

當 $\lambda=4$ 時的特徵向量

解

$$(A-4I)\mathbf v=\mathbf 0.$$

其中

$$A-4I= \begin{bmatrix} 0 & -2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}.$$

設 $\mathbf v=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$，則

$$\begin{bmatrix} 0 & -2\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.$$

由方程式得

$$-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.$$

$x$ 可取任意非零值，因此

$$\mathbf v = \begin{bmatrix}x\\0\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}.$$

故 $\lambda=4$ 的特徵向量為

$$\mathbf v_1=t \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad t\neq 0.$$

當 $\lambda=3$ 時的特徵向量

解

核心觀念

本題考查二階常係數齊次線性微分方程組

$$\mathbf y'(t)=A\mathbf y(t),\qquad A= \begin{bmatrix} -3&1\\ 1&-3 \end{bmatrix}.$$

對此類系統，可利用矩陣的特徵值與特徵向量求解。若 $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$，則

$$\mathbf y(t)=e^{\lambda t}\mathbf v$$

為一組解；當矩陣具有兩個線性獨立的特徵向量時，通解為各組解的線性組合。

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解題方法一：特徵值與特徵向量

令

$$\mathbf y(t)=e^{\lambda t}\mathbf v,$$

代入原方程得

$$\lambda e^{\lambda t}\mathbf v =Ae^{\lambda t}\mathbf v.$$

由於 $e^{\lambda t}\neq 0$，所以必須滿足

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v.$$

特徵方程為

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} -3-\lambda&1\\ 1&-3-\lambda \end{vmatrix} =0.$$

因此

$$(-3-\lambda)^2-1=0,$$ $$(\lambda+3)^2-1=0,$$ $$(\lambda+2)(\lambda+4)=0.$$

故兩個特徵值為

$$\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=-4.$$

當 $\lambda_1=-2$ 時，

$$(A+2I)\mathbf v_1= \begin{bmatrix} -1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} \mathbf v_1=0,$$

可取特徵向量

$$\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}.$$

當 $\lambda_2=-4$ 時，

$$(A+4I)\mathbf v_2= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix} \mathbf v_2=0,$$

可取特徵向量

$$\mathbf v_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}.$$

所以兩組基本解為

$$\mathbf y^{(1)}(t) =e^{-2t} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf y^{(2)}(t) =e^{-4t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}.$$

由線性齊次系統的疊加原理，通解為

$$\mathbf y(t) =C_1e^{-2t} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} + C_2e^{-4t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix},$$

其中 $C_1,C_2$ 為任意常數。因此

$$\boxed{ \begin{aligned} y_1(t)&=C_1e^{-2t}+C_2e^{-4t},\\ y_2(t)&=C_1e^{-2t}-C_2e^{-4t}. \end{aligned}}$$

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解題方法二：和與差變數

核心觀念

本題為 $n=1$ 階之勒讓德微分方程（Legendre's Differential Equation）。可觀察得出第一個多項式特解 $y_1(x) = x$，再利用**降階法（Reduction of Order）**求得第二個線性獨立解 $y_2(x)$，最終組合出通解。

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詳細推導

步驟一：觀察求得第一個特解 $y_1(x)$

觀察原微分方程：
$(1 - x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0$

設 $y_1(x) = x$，則 $y_1' = 1$、$y_1'' = 0$，代入原方程：
$(1 - x^2)(0) - 2x(1) + 2(x) = -2x + 2x = 0$
驗證成立，故 $y_1(x) = x$ 為原方程之一特解。

步驟二：利用降階法求第二個獨立解 $y_2(x)$

將原微分方程改寫為標準型態：
$y'' - \frac{2x}{1 - x^2}y' + \frac{2}{1 - x^2}y = 0$

此時 $P(x) = -\frac{2x}{1 - x^2}$。依降階法公式：
$y_2(x) = y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{[y_1(x)]^2} dx$

計算積分因子項：

題目未給定初始條件，因此無法唯一決定齊次解常數；以下依脈衝響應題的標準慣例，採零初始條件且取因果解。

核心觀念

本題考查狄拉克脈衝 $\delta(t-1)$ 對二階線性微分方程的作用，核心工具包括：

• 拉普拉斯轉換與位移定理
• 特徵方程求齊次解
• 單位階躍函數 $H(t-1)$
• 脈衝造成的導數跳躍條件

方程式

$$y''+3y'+2y=\delta(t-1)$$

的齊次特徵方程為

$$r^2+3r+2=0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)(r+2)=0,$$

故特徵根為 $r=-1,-2$。

解題方法一：拉普拉斯轉換

在零初始條件

$$y(0)=0,\qquad y'(0)=0$$

下，對方程式取拉普拉斯轉換。令

$$\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s),$$

則

$$\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s),\qquad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s),$$

且

$$\mathcal{L}\{\delta(t-1)\}=e^{-s}.$$

因此

$$(s^2+3s+2)Y(s)=e^{-s}.$$

因為

$$s^2+3s+2=(s+1)(s+2),$$

所以

$$Y(s)=\frac{e^{-s}}{(s+1)(s+2)}.$$

先作部分分式分解：

$$\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.$$

因此

$$Y(s) = e^{-s} \left( \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2} \right).$$

由拉普拉斯位移定理

$$\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = H(t-a)f(t-a),$$

以及

$$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2} \right\} = e^{-t}-e^{-2t},$$

可得

$$y(t) = H(t-1) \left[ e^{-(t-1)}-e^{-2(t-1)} \right].$$

因此分段表示為

$$y(t)= \begin{cases} 0, & t<1,\\[4pt] e^{-(t-1)}-e^{-2(t-1)}, & t\geq 1. \end{cases}$$

脈衝跳躍條件驗證

在 $t=1$ 附近積分：

核心觀念

列最簡梯形形式（reduced row echelon form，RREF）須符合：每個非零列的首個非零元素為 $1$；每個首 $1$ 所在欄的其他元素皆為 $0$；首 $1$ 由上而下向右移；全零列若存在則置於最下方。

解題方法

對矩陣施行初等列運算，逐欄建立主元，並將每個主元欄化成只有一個 $1$、其餘為 $0$。先交換前兩列，再消去第一欄：

$$\begin{bmatrix} 3&0&1&1\\ 1&3&-9&10\\ 4&-4&6&1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 3&0&1&1\\ 4&-4&6&1 \end{bmatrix} \xrightarrow[\;R_3\leftarrow R_3-4R_1\;]{R_2\leftarrow R_2-3R_1} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&-9&28&-29\\ 0&-16&42&-39 \end{bmatrix}.$$

第二欄以第二列作為主元列。先將第二列除以 $-9$，再消去第三列的第二欄：

$$\begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&-9&28&-29\\ 0&-16&42&-39 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2\leftarrow-\frac{1}{9}R_2} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&1&-\frac{28}{9}&\frac{29}{9}\\ 0&-16&42&-39 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3+16R_2} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&1&-\frac{28}{9}&\frac{29}{9}\\ 0&0&-\frac{70}{9}&\frac{113}{9} \end{bmatrix}.$$

將第三列主元化為 $1$：

核心觀念

本題考查週期為 $2L = 2\pi$（即半週期 $L = \pi$）之週期函數的傅立葉級數（Fourier Series）展開及其傅立葉係數（Fourier Coefficients）計算，特別涉及奇函數（Odd Function）的對稱性性質。

1. 傅立葉級數標準形式：
   週期為 $2\pi$ 的函數 $f(x)$，其傅立葉級數表示為：

   $$f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$

   其中尤拉公式（Euler formulas）給出的傅立葉係數定義為：

   $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

   (註：若部分教材定義常數項為 $\frac{a_0}{2}$，則其 $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$。)

2. 奇偶對稱性（Parity Property）：

   • 若 $f(x)$ 為奇函數（即 $f(-x) = -f(x)$），則：
     • $f(x)\cos(nx)$ 為奇函數，在對稱區間 $[-\pi, \pi]$ 的積分為零，故 $a_0 = 0$ 且 $a_n = 0$。
     • $f(x)\sin(nx)$ 為偶函數，其傅立葉正弦係數可簡化為半區間積分： $$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$

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解題方法

步驟一：判斷函數奇偶性

給定週期為 $2\pi$ 的函數：

$$f(x) = \begin{cases} -k, & -\pi < x < 0 \\ k, & 0 < x < \pi \end{cases}$$

對於任意 $x \in (0, \pi)$，$-x \in (-\pi, 0)$，可得：

$$f(-x) = -k = -f(x)$$

因此，$f(x)$ 是一個奇函數（Odd Function）。

步驟二：求餘弦係數 $a_0$ 與 $a_n$

因為 $f(x)$ 為奇函數：

1. 直流分量： $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = 0$$
2. 餘弦係數： $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$