111 年 國立中正大學地球與環境科學系應用地球物理研究所《普通物理學》

本題考查簡諧運動(Simple Harmonic Motion, SHM)的基本概念,包含位置函數、速度、加速度的定義以及週期與初始條件的應用。

給定的簡諧運動位置函數為 $x(t) = 5\cos (2t +\frac{\pi}{6})$ 公分。
此函數的形式為 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$, 其中振幅 $A=5$ 公分,角頻率 $\omega = 2$ rad/s,以及初始相位 $\phi = \frac{\pi}{6}$。

(1) 物體運動中的最大速度
速度是位置對時間的微分: $v(t) = \frac{dx}{dt}$。
$v(t) = \frac{d}{dt} [5\cos (2t +\frac{\pi}{6})] = 5 \times (-\sin(2t +\frac{\pi}{6})) \times 2 = -10\sin (2t +\frac{\pi}{6})$ 公分/秒。
速度的最大值發生在 $\sin (2t +\frac{\pi}{6}) = \pm 1$ 時,此時速度的大小為 $|v_{max}| = |-10 \times (\pm 1)| = 10$ 公分/秒。
最大速度的大小為 $A\omega = 5 \times 2 = 10$ 公分/秒。
【答案】10 公分/秒

(2) 出發點的位置,速度與加速度
出發點是指時間 $t=0$ 時的情況。
位置: $x(0) = 5\cos (2 \times 0 +\frac{\pi}{6}) = 5\cos(\frac{\pi}{6}) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ 公分。
速度: $v(0) = -10\sin (2 \times 0 +\frac{\pi}{6}) = -10\sin(\frac{\pi}{6}) = -10 \times \frac{1}{2} = -5$ 公分/秒。
加速度是速度對時間的微分: $a(t) = \frac{dv}{dt}$。

本題考查牛頓萬有引力定律在圓周運動中的應用,特別是人造衛星的運動。

設人造衛星的質量為 $m$。人造衛星繞地心做半徑為 $R$ 的圓周運動,其所受的向心力由地球對衛星的萬有引力提供。

(1) 人造衛星的切線速率
萬有引力提供向心力: $F_g = F_c$
$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$
其中 $v$ 為人造衛星的切線速率。
解出 $v$:
$v^2 = \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
【答案】$\sqrt{\frac{GM}{R}}$

(2) 人造衛星的角速率
角速率 $\omega$ 與切線速率 $v$ 的關係為 $v = \omega R$。
所以, $\omega = \frac{v}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$。
【答案】$\sqrt{\frac{GM}{R^3}}$

(3) 人造衛星之旋轉週期
旋轉週期 $T$ 是衛星繞行一圈所需的時間。
$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = 2\pi R \sqrt{\frac{R}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$。

本題考查功與能的轉換,特別是動能轉換為熱能的過程。

首先,我們需要計算金龜車的質量。
重量 $W = mg$,其中 $g = 10 \, \text{m/s}^2$。
$6000 \, \text{N} = m \times 10 \, \text{m/s}^2$
$m = \frac{6000 \, \text{N}}{10 \, \text{m/s}^2} = 600 \, \text{kg}$。

金龜車的初始速度為 $v_i = 12 \, \text{m/s}$。
滑行 4 秒後停止,即末速度 $v_f = 0 \, \text{m/s}$。

根據功-能定理,外力對物體所做的總功等於物體動能的變化量。
$W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$
$K_f = \frac{1}{2}mv_f^2 = \frac{1}{2}(600 \, \text{kg})(0 \, \text{m/s})^2 = 0 \, \text{J}$。
$K_i = \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}(600 \, \text{kg})(12 \, \text{m/s})^2 = 300 \times 144 \, \text{J} = 43200 \, \text{J}$。

在煞車過程中,有兩個主要的力對金龜車做功:

1. 煞車系統施加的摩擦力 (或稱阻力),它做負功,將動能轉化為熱能。
2. 重力和地面支撐力,由於是水平運動,這兩個力不做功。

核心觀念

本題考查：

• 理想氣體狀態方程式
  $PV=nRT$
• 單原子理想氣體的內能
  $U=\frac{3}{2}nRT$
• 兩容器以細管接通，且無能量損失，因此系統總內能守恆。
• 平衡時兩種氣體達到相同的平衡溫度。

由於兩種氣體皆為單原子理想氣體，其莫耳定容熱容量皆為

$C_V=\frac{3}{2}R$

因此可利用能量守恆求出平衡溫度。

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解題方法

設氣體 A、B 的物質量分別為 $n_A$ 與 $n_B$。

氣體 A 初始狀態為 $(P,V,T)$，由理想氣體方程式：

$$n_A=\frac{PV}{RT}$$

氣體 B 初始狀態為 $(2P,3V,4T)$，因此：

$$n_B=\frac{(2P)(3V)}{R(4T)} =\frac{3PV}{2RT}$$

所以兩種氣體的物質量比為

$$n_A:n_B = \frac{PV}{RT}:\frac{3PV}{2RT} = 1:\frac{3}{2} = 2:3$$

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利用內能守恆

初始總內能為

$$U_i = \frac{3}{2}n_A RT + \frac{3}{2}n_B R(4T)$$

平衡後，兩種氣體均處於溫度 $T_f$，故總內能為

$$U_f = \frac{3}{2}(n_A+n_B)RT_f$$

核心觀念

本題考查：

• 庫侖定律
  $F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}$
• 三個點電荷皆達到力平衡，因此每一電荷所受合力皆為零。
• 由於 $A=4q$ 與 $B=-9q$ 異號，兩者互相吸引，作用力大小為

$$F_{AB}=k\frac{|(4q)(-9q)|}{l^2} =\frac{36kq^2}{l^2}.$$

解題方法：先判斷位置

設 $A$ 在左、$B$ 在右。

$A$ 受到 $B$ 的吸引力，方向向右；因此 $C$ 對 $A$ 必須施加向左的力。

$B$ 受到 $A$ 的吸引力，方向向左；因此 $C$ 對 $B$ 必須施加向右的力。

若 $C$ 位於 $A$ 的左側，則要同時滿足上述方向，$C$ 必須與 $B$ 同號、與 $A$ 異號。因此 $C$ 必須為負電荷，且位置在 $A$ 的外側延伸線上。

若 $C$ 位於 $A、B$ 之間，對 $A$ 與 $B$ 所需的電荷符號相反，無法由同一個點電荷同時滿足。

若 $C$ 位於 $B$ 的右側，雖然方向條件可初步判斷，但力的大小條件會導出矛盾，故沒有解。

因此令 $C$ 位於 $A$ 左側，設

$AC=x,\qquad x>0.$

此時

$BC=l+x.$

由於 $C$ 與 $A$ 異號，令 $n<0$。

(1) 求電荷 $C$ 的位置與電量

對 $A$ 使用力平衡。$A$ 與 $B$ 的作用力大小等於 $A$ 與 $C$ 的作用力大小：

$$k\frac{(4q)(9q)}{l^2} = k\frac{(4q)|nq|}{x^2}.$$

約去共同因子 $4kq^2$，得

$\frac{9}{l^2}=\frac{|n|}{x^2}.$

對 $B$ 使用力平衡：

核心觀念

本題利用以下三個觀念：

1. 兩粒子只受彼此的庫倫力，屬於內力，因此系統總動量守恆。
2. 靜電力為保守力，故機械能守恆。
3. 正面迎擊且庫倫力具有排斥性，兩粒子最接近時，兩者的相對速度瞬間為零，因此具有相同速度。

α 粒子質量為 $4m$、電量為 $2e$；質子質量為 $m$、電量為 $e$。

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解題方法

(1) 最接近時 α 粒子的速度

設 α 粒子初速度方向為正方向。初始時：

• α 粒子速度：$v$
• 質子速度：$0$

初始總動量為

$$p_i=(4m)v+m(0)=4mv.$$

在兩粒子最接近的瞬間，兩者的相對速度為零，因此兩粒子具有相同速度，設為 $V$。此時總動量為

$$p_f=(4m)V+mV=5mV.$$

由動量守恆：

$$4mv=5mV$$

因此

$$V=\frac{4}{5}v.$$

所以最接近時 α 粒子的速度大小為

$$\boxed{v_\alpha=\frac{4v}{5}}.$$

此時 α 粒子仍沿原來運動方向前進。

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(2) 最接近時的距離

取無限遠處的電位能為零。初始時兩粒子相距無限遠，因此初始電位能為

$$U_i=0.$$

初始動能為

$$K_i=\frac{1}{2}(4m)v^2=2mv^2.$$

最接近時，兩粒子皆以速度 $V=4v/5$ 運動，因此末動能為

$$K_f=\frac{1}{2}(4m)V^2+\frac{1}{2}(m)V^2 =\frac{1}{2}(5m)V^2.$$

代入 $V=4v/5$：