114 年 國立中山大學數位與永續金融研究所乙組《統計學》

這題考驗對資料類型的基本認知。

資料類型主要分為兩大類：類別資料 (Categorical Data) 和數值資料 (Numerical Data)。

• 類別資料：用來描述事物的類別或特性，無法進行數學運算。常見的有：
  • 名目尺度 (Nominal Scale)：例如性別（男/女）、血型（A/B/AB/O）、眼球顏色。
  • 順序尺度 (Ordinal Scale)：例如教育程度（國小/國中/高中/大學）、服飾尺寸（S/M/L/XL）。
• 數值資料：可以用數字來衡量，可以進行數學運算。常見的有：
  • 區間尺度 (Interval Scale)：例如攝氏溫度、華氏溫度。其零點是人為定義的，無法表示「沒有」。
  • 比例尺度 (Ratio Scale)：例如身高、體重、考試分數、收入。其零點是絕對的，表示「沒有」。

這題在探討適合展現兩個數值變數之間關係的統計圖形。

• Bar chart (長條圖)：主要用於比較不同類別的數量或頻率，或展示單一數值變數在不同類別上的分佈。不適合直接顯示兩個數值變數的關係。
• Pie chart (圓餅圖)：用於顯示各部分佔總體的比例，適合展示單一類別變數的組成結構，不適合顯示兩個數值變數的關係。
• Scatterplot (散佈圖)：這是專門用來展示兩個數值變數之間關係的圖形。

這題考驗對敘述統計量抵抗極端值（離群值）能力的理解。

• 極端值 (Extreme values / Outliers)：是指資料集中遠離大多數數據的數值。它們可能由於測量錯誤、抽樣偏差或真實的極端情況而產生。

我們來分析各個選項：

• (A) Mean (平均數)：平均數的計算是將所有數值加總後再除以數值的個數。因此，一個極大的或極小的數值會對平均數產生顯著的影響，使其偏離大多數數據的中心。例如，若有一組數據 {1, 2, 3, 4, 100}，平均數為 (1+2+3+4+100)/5 = 110/5 = 22。而若沒有 100，平均數為 (1+2+3+4)/4 = 10/4 = 2.5。可見 100 這個極端值嚴重拉高了平均數，因此平均數不具抵抗力。
• (B) Median (中位數)：中位數是指將數據按大小順序排列後，位於最中間的數值。如果數據個數為奇數，中位數就是最中間那個數；如果數據個數為偶數，中位數是中間兩個數的平均。中位數的計算不涉及所有數值的加總，僅取決於中間位置的數值，因此極端值對中位數的影響非常小。例如，在 {1, 2, 3, 4, 100} 中，排序後為 {1, 2, 3, 4, 100}，中位數是 3。

這題在詢問箱型圖 (Boxplot) 中，四分位距 (Interquartile Range, IQR) 的定義。

箱型圖是一種用來顯示數據分佈的統計圖形，它主要呈現數據的五個統計量：最小值 (Minimum)、第一四分位數 (Q1, First Quartile)、中位數 (Median, Q2, Second Quartile)、第三四分位數 (Q3, Third Quartile) 和最大值 (Maximum)。

• 最小值 (Minimum)：數據集中最小的數值。
• 第一四分位數 (Q1)：將排序後數據的下半部（不含中位數，若數據個數為奇數）的中位數。約有 25% 的數據小於或等於 Q1。
• 中位數 (Median, Q2)：將數據排序後位於最中間的數值。約有 50% 的數據小於或等於中位數。
• 第三四分位數 (Q3)：將排序後數據的下半部（不含中位數，若數據個數為奇數）的中位數。約有 75% 的數據小於或等於 Q3。
• 最大值 (Maximum)：數據集中最大的數值。

這題在考驗對常態分配（又稱標準常態分配或高斯分配）基本特性的了解。

常態分配的機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 形狀為一個鐘形曲線，其數學式為：
$f(x|\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
其中 $\mu$ 是平均數，$\sigma^2$ 是變異數 ($\sigma > 0$)。

以下是常態分配的關鍵特性：

1. 對稱性 (Symmetry)：常態分配的曲線對於其平均數 $\mu$ 是完全對稱的。
2. 集中趨勢 (Central Tendency)：在對稱分佈中，平均數、中位數和眾數都相等，並且都位於分佈的中心點，即 $\mu$。
3. 峰度 (Peakedness)：曲線在平均數處達到最高點。
4. 尾部 (Tails)：曲線向兩側無限延伸，但越來越接近 X 軸，永遠不會觸碰到 X 軸。這表示機率值永遠大於零，但趨近於零。
5. 總機率 (Total Probability)：曲線下的總面積為 1。
6. 變異數與標準差 (Variance and Standard Deviation)：變異數 $\sigma^2$ 和標準差 $\sigma$ 是決定曲線寬度的參數。$\sigma^2 > 0$ 且 $\sigma > 0$。

這題在詢問哪個定理說明了當樣本數增加時，樣本平均數的分佈會趨近於常態分佈。

• (A) Bayes' theorem (貝氏定理)：貝氏定理用於計算在已知某些條件下某事件發生的條件機率，特別是更新先驗機率為後驗機率。它與樣本平均數的分佈趨近常態無關。
• (B) Central limit theorem (中央極限定理)：中央極限定理是統計學中最核心的定理之一。它指出，不論原始母體的分佈為何，只要樣本數 $n$ 足夠大（通常認為 $n \ge 30$ 是一個足夠的經驗法則），從母體中抽取之樣本的平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈將近似於常態分佈，且其平均值等於母體平均數 $\mu$，標準差（即標準誤）等於 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（其中 $\sigma$ 是母體標準差）。

這題考驗對柴比雪夫定理 (Chebyshev's Theorem) 的理解，特別是其關於數據落在平均數 $\mu$ 附近標準差範圍內的比例。

柴比雪夫定理的內容是：對於任何一個具有有限變異數的分佈，對於任意常數 $k > 1$，至少有 $1 - \frac{1}{k^2}$ 的數據落在距離平均數 $\mu$ $\pm k$ 個標準差的範圍內。
即：
$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$
或等價地：
$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$

題目問的是落在「兩個標準差」範圍內，這表示 $k=2$。
將 $k=2$ 代入公式：
$P(|X - \mu| < 2\sigma) \ge 1 - \frac{1}{2^2}$
$P(|X - \mu| < 2\sigma) \ge 1 - \frac{1}{4}$

這題考驗對集中趨勢度量 (Measures of Central Tendency) 的定義。

集中趨勢度量是用來描述一組數據的「中心」位置或「典型」數值的統計量。

我們來分析各個選項：

• (A) Variance (變異數)：變異數衡量數據離散程度，即數據點與平均數的平均平方差。它是一個離散度量。
• (B) Standard deviation (標準差)：標準差是變異數的平方根，同樣衡量數據的離散程度。它也是一個離散度量。
• (C) Median (中位數)：中位數是將數據排序後位於中間的數值。它代表了數據集的中心位置，因此是一個重要的集中趨勢度量。

這題詢問箱型圖 (Boxplot) 最主要的用途之一。

箱型圖是一種能有效展示數據分佈特徵的統計圖形，它主要包含以下幾個部分：

1. 最小值 (Minimum) 和 最大值 (Maximum)：通常是去除極端值後的最小和最大值。
2. 第一四分位數 (Q1)：數據集中 25% 的數據低於此值。
3. 中位數 (Median, Q2)：數據集中 50% 的數據低於此值。
4. 第三四分位數 (Q3)：數據集中 75% 的數據低於此值。
5. 箱體 (Box)：由 Q1 和 Q3 界定，代表數據的 IQR (中間 50% 的數據範圍)。
6. 鬚線 (Whiskers)：從箱體延伸出來，通常延伸到 Q1-1.5*IQR 和 Q3+1.5*IQR 的範圍內，但最遠不超過實際的最小值和最大值。
7. 離群值 (Outliers)：落在鬚線範圍之外的數據點，通常以單獨的點（如圓點或星號）標示出來。

這題考驗對統計假設檢定中 p-value (p 值) 用途的理解。

假設檢定 (Hypothesis Testing) 的目的是根據樣本數據來判斷關於母體參數的某個主張（虛無假說，$H_0$）是否成立。p 值是假設檢定中的一個關鍵概念，用來衡量觀察到的樣本結果（或更極端結果）在虛無假說為真的情況下發生的機率。

p 值的定義：
在虛無假說 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到現有樣本數據或比現有樣本數據更極端（支持對立假說 $H_1$）的數據的機率。

p 值的用途：

• 評估虛無假說的證據強度：p 值越小，表示在 $H_0$ 為真的情況下，觀察到目前的樣本結果或更極端的結果的可能性越低。這意味著現有樣本證據與 $H_0$ 的矛盾越大，我們就有更強的理由拒絕 $H_0$。
• 做出決策：通常會設定一個顯著水準 $\alpha$ (significance level)，例如 0.05。
  • 若 $p \le \alpha$，則我們拒絕虛無假說 $H_0$，接受對立假說 $H_1$。
  • 若 $p > \alpha$，則我們無法拒絕虛無假說 $H_0$。

現在我們來分析選項：
(A) To calculate the sample mean：樣本平均數是從樣本數據直接計算出來的，與 p 值無關。

這題考驗對連續機率分佈與離散機率分佈的區分。

• 離散機率分佈 (Discrete Probability Distribution)：適用於離散型隨機變數，這些變數只能取有限個或可數無限個數值。其機率通常以機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 表示。
  • Bernoulli distribution (伯努利分佈)：描述一次獨立的、只有兩種結果（成功/失敗）的試驗。例如，拋硬幣。
  • Binomial distribution (二項分佈)：描述 $n$ 次獨立的伯努利試驗中，成功次數的機率。
  • Poisson distribution (卜瓦松分佈)：描述在固定時間或空間間隔內，某事件獨立發生的次數。
  • Hypergeometric distribution (超幾何分佈)：描述從有限母體中，不放回地抽樣，抽到某類別物件的次數。

這題考驗對機率分佈應用情境的了解。題目詢問哪個分佈適合用來模擬「在固定時間間隔內發生的事件數量」。

• (A) Normal distribution (常態分佈)：常態分佈通常用於描述連續型隨機變數，例如身高、測量誤差等，而不是計數事件的發生次數。
• (B) Binomial distribution (二項分佈)：二項分佈用於描述固定次數 ($n$) 的獨立伯努利試驗中，成功的次數。它不直接適用於「固定時間間隔內發生的事件數量」，除非我們將時間間隔分成許多小段，並假設每小段內事件不是發生就是不發生，且總發生次數是固定的，這與問題情境不符。

這題考驗對假設檢定決策規則的理解。

在假設檢定中，我們設定虛無假說 ($H_0$) 和對立假說 ($H_1$)。然後計算一個檢定統計量 (test statistic)，並根據這個統計量來決定是否拒絕 $H_0$。

決策通常有兩種方式：

1. 使用 p 值 (p-value)：

   • 計算 p 值。
   • 若 $p \le \alpha$ (顯著水準)，則拒絕 $H_0$。
   • 若 $p > \alpha$，則不拒絕 $H_0$。

2. 使用臨界區域 (Critical Region)：

   • 根據顯著水準 $\alpha$ 和檢定的類型（單尾或雙尾），確定拒絕 $H_0$ 的「臨界值」或「臨界區域」。
   • 臨界區域是指檢定統計量取值範圍，若檢定統計量落在該區域，則我們拒絕 $H_0$。
   • 如果檢定統計量落在臨界區域內，表示觀察到的結果非常不可能在 $H_0$ 為真的情況下發生，因此我們有足夠的證據拒絕 $H_0$。
   • 如果檢定統計量不落在臨界區域內，則我們無法拒絕 $H_0$。

這題考驗對眾數 (Mode) 的定義。

眾數是統計學中用來描述數據集中出現頻率最高的數值。

我們來檢視選項：
(A) The middle value in a sorted data set：這是中位數 (Median) 的定義。
(B) The most frequently occurring value：這是眾數 (Mode) 的定義。

這題考驗對均勻分佈 (Uniform Distribution) 主要特徵的理解。

均勻分佈有兩種主要形式：離散型和連續型。

• 離散均勻分佈 (Discrete Uniform Distribution)：指的是在一個有限的樣本空間中，每一個結果出現的機率都相等。例如，公平骰子擲出的點數 1 到 6，每個點數出現的機率都是 1/6。
• 連續均勻分佈 (Continuous Uniform Distribution)：指的是在一個給定的區間 $[a, b]$ 內，隨機變數取任何值的機率密度都是常數。也就是說，在這個區間內，任何子區間的機率只取決於該子區間的長度，與其位置無關。

現在我們來分析選項：
(A) All outcomes are equally likely：這是均勻分佈最核心的特徵，無論是離散型還是連續型。在離散型中，每個離散值出現機率相同；在連續型中，在給定區間內，任何等長度的子區間出現的機率都相同，這意味著在該區間內的任何單點值出現的「機率密度」是相同的（儘管單點機率為零）。

這題詢問假設檢定 (Hypothesis Test) 的主要目的。

假設檢定是一種統計方法，用於根據樣本數據來評估關於母體 (population) 的某個主張或聲明 (claim) 是否有足夠的證據支持。

我們來分析各個選項：
(A) Estimate a population parameter：估計母體參數（例如母體平均數 $\mu$ 或比例 $p$）是信賴區間 (Confidence Interval) 的主要目的，而不是假設檢定的主要目的。雖然假設檢定也涉及母體參數，但它的重點在於「檢驗」一個關於該參數的「主張」。
(B) Test the validity of a claim about a population：這是假設檢定的核心目的。我們提出一個關於母體的聲明（虛無假說 $H_0$），然後用樣本數據來檢驗這個聲明是否合理。

這題考驗對貝氏定理 (Bayes' Theorem) 主要用途的理解。

貝氏定理是機率論中的一個基本定理，它描述了在已知某些條件（證據）下，某事件或假設的機率如何更新。其數學公式為：
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
其中：

• $P(A|B)$ 是後驗機率 (Posterior Probability)：在觀察到事件 B 發生後，事件 A 實際發生的機率。
• $P(A)$ 是先驗機率 (Prior Probability)：在觀察到事件 B 之前，事件 A 實際發生的機率。
• $P(B|A)$ 是條件機率：在事件 A 發生時，事件 B 實際發生的機率。
• $P(B)$ 是事件 B 實際發生的機率（邊際機率）。

貝氏定理的核心思想是利用新的證據 (B) 來修正我們對某個假設或事件 (A) 的信念（機率）。

現在我們來分析選項：
(A) To calculate the marginal probability of an event：邊際機率 $P(A)$ 或 $P(B)$ 通常是先驗知識的一部分，或者可以通過對聯合機率求和或積分得到，貝氏定理本身主要不是用來計算邊際機率的，雖然 $P(B)$ 是公式的一部分。
(B) To update conditional probabilities based on new evidence：這與貝氏定理的核心功能非常接近。觀察到新的證據 (B) 後，我們利用貝氏定理來更新對事件 A 的機率，從先驗機率 $P(A)$ 更新到後驗機率 $P(A|B)$。

這題考驗對「互斥事件 (Mutually Exclusive Events)」在機率論中的定義。

在機率論中，兩個或多個事件被稱為互斥事件，如果它們不能同時發生。換句話說，如果其中一個事件發生了，那麼其他事件就必定不會發生。

數學上，如果事件 A 和事件 B 是互斥的，那麼它們的交集 (intersection) 是空集，即 $A \cap B = \emptyset$。因此，它們同時發生的機率為零：
$P(A \cap B) = 0$

現在我們來分析選項：
(A) Events that cannot occur together：這正是互斥事件的定義。如果事件不能同時發生，它們就是互斥的。
(B) Events that occur with equal probabilities：發生機率相等的事件不一定是互斥的。

這題考驗對標準常態分配 (Standard Normal Distribution) 的關鍵參數的記憶。

標準常態分配是一種特殊的常態分配，它具有以下兩個定義性特徵：

1. 平均數 (Mean)：$\mu = 0$。
2. 標準差 (Standard Deviation)：$\sigma = 1$。

由標準差 $\sigma=1$，我們可以推導出其變異數 (Variance)：
$\text{Variance} = \sigma^2 = 1^2 = 1$

因此，標準常態分配的平均數為 0，變異數為 1。

這題考驗對大數法則 (Law of Large Numbers) 主要目的的理解。

大數法則是機率論中的一個基本定理，它說明了當一個隨機實驗獨立重複進行足夠多次時，事件發生的頻率會趨近於其理論機率。

對於樣本平均數而言，大數法則有以下重要含義：

• 收斂性 (Convergence)：當從一個母體中抽取越來越大的樣本時，樣本平均數 $\bar{X}$ 會越來越接近母體平均數 $\mu$。

數學上，弱大數法則 (Weak Law of Large Numbers) 表達為：對於任意 $\epsilon > 0$，
$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n - \mu| < \epsilon) = 1$
這意味著，隨著樣本數 $n$ 的增加，樣本平均數 $\bar{X}_n$ 與母體平均數 $\mu$ 的差值小於任意正數 $\epsilon$ 的機率趨近於 1。

強大數法則 (Strong Law of Large Numbers) 則保證了樣本平均數幾乎必然 (almost surely) 收斂到母體平均數。

現在我們來分析選項：
(A) To describe the sampling distribution of the sample mean：描述樣本平均數的抽樣

這題是關於簡單線性迴歸的參數估計。我們需要計算迴歸線的截距項 $\beta_0$。

給定的數據包括：

• 觀測天數 $n = 25$
• $\Sigma X = 200$
• $\Sigma Y = 300$
• $\Sigma X^2 = 1,660$
• $\Sigma Y^2 = 3,696$
• $\Sigma XY = 2,436$

簡單線性迴歸模型的公式為 $\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X$，其中：

• $\hat{Y}$ 是依變數 Y 的預測值。
• $X$ 是自變數。
• $\beta_1$ 是斜率 (slope)，表示 X 每增加一個單位時，Y 的平均變化量。
• $\beta_0$ 是截距 (intercept)，表示當 X 為 0 時，Y 的預測值。

計算迴歸參數的最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 公式如下：
斜率 $\beta_1$ 的計算公式：
$\beta_1 = \frac{n(\Sigma XY) - (\Sigma X)(\Sigma Y)}{n(\Sigma X^2) - (\Sigma X)^2}$
截距 $\beta_0$ 的計算公式：

這題是關於簡單線性迴歸的參數估計。我們需要計算迴歸線的斜率項 $\beta_1$。

給定的數據包括：

• 觀測天數 $n = 25$
• $\Sigma X = 200$
• $\Sigma Y = 300$
• $\Sigma X^2 = 1,660$
• $\Sigma Y^2 = 3,696$
• $\Sigma XY = 2,436$

簡單線性迴歸模型的公式為 $\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X$，其中：

• $\hat{Y}$ 是依變數 Y 的預測值。
• $X$ 是自變數。
• $\beta_1$ 是斜率 (slope)，表示 X 每增加一個單位時，Y 的平均變化量。
• $\beta_0$ 是截距 (intercept)，表示當 X 為 0 時，Y 的預測值。

這題要求計算離散型隨機變數 X 的期望值 (Expected Value)，即 E(X)。

期望值是機率分佈的加權平均值，權重是每個可能值的機率。對於離散型隨機變數 X，其期望值 E(X) 的計算公式為：
$E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$
其中 $x_i$ 是 X 的可能值，而 $P(X=x_i)$ 是對應的機率。

根據題目給定的機率分佈表：

我們將這些值代入公式：

這題要求計算離散型隨機變數 X 的變異數 (Variance)，即 V(X)。

變異數衡量了隨機變數的離散程度，即其值相對於期望值的平均平方偏差。對於離散型隨機變數 X，其變異數 V(X) 的計算公式有兩種常用形式：

1. $V(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$
2. $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

其中 $E(X)$ 是期望值，我們在上一題中已經計算得出 $E(X) = 58$。
$E(X^2)$ 是 X 平方項的期望值，計算公式為 $E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i)$。

我們將使用第二種形式，因為它通常計算起來更簡便，只需額外計算 $E(X^2)$。
首先，我們需要計算 $x_i^2$ 並乘以對應的機率 $P(X=x_i)$：

這題要求計算預期收入 E(Y)。

我們已知：

• 每位乘客支付 10 NTD。
• Y 代表每輛巴士的收入。
• X 代表每輛巴士的乘客數量。

因此，收入 Y 與乘客數量 X 之間的關係是：
$Y = 10 \times X$
這是一個線性關係。

這題要求計算收入 Y 的變異數 V(Y)。

我們已知：

• 每位乘客支付 10 NTD。
• Y 代表每輛巴士的收入，且 $Y = 10 \times X$，其中 X 是乘客數量。

我們需要計算 V(Y)。根據變異數的性質，對於任何常數 $a$ 和隨機變數 $X$，有 $V(aX) = a^2 V(X)$。
在本題中，$a = 10$。

這題考驗對獨立事件 (Independent Events) 機率性質的理解。

題目給定：

• 事件 A 和事件 B 是獨立事件。
• $P(A) = 0.9$
• $P(B) = 0.3$

要求計算條件機率 $P(A|B)$。

獨立事件的定義是：如果事件 A 的發生與否不影響事件 B 發生的機率，則稱 A 和 B 為獨立事件。數學上，這表示：

1. $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

這題考驗對獨立事件 (Independent Events) 機率性質的理解。

題目給定：

• 事件 A 和事件 B 是獨立事件。
• $P(A) = 0.9$
• $P(B) = 0.3$

要求計算 A 和 B 同時發生的機率，即 $P(A \cap B)$。