113 年 國立高雄大學財務金融學系碩士班：財務金融組《經濟學》

本題主要考驗學生對於預期外通貨膨脹 (unanticipated inflation) 下，不同合約類型（指數型與非指數型）對債權人 (creditors) 與債務人 (debtors) 的影響。

核心觀念：
通貨膨脹是指物價普遍上漲，導致貨幣的購買力下降。

• 預期內通貨膨脹 (Anticipated Inflation)：在合約簽訂時，雙方都預期到未來的通貨膨脹率，並在利率或名目金額上有所調整。
• 預期外通貨膨脹 (Unanticipated Inflation)：實際發生的通貨膨脹率高於或低於預期。

分析：

1. 債權人 (Creditors)：借出資金，期望收回本金及利息。

   • 非指數型合約 (Unindexed Contract)：合約約定的名目金額固定。若發生預期外通貨膨脹（實際通膨率 > 預期通膨率），債權人收到的名目金額購買力下降，實質價值低於預期，因此受損。
   • 指數型合約 (Indexed Contract)：合約金額隨通貨膨脹率調整。若發生預期外通貨膨脹，合約金額會隨之上漲，債權人收到的名目金額增加，購買力大致維持預期水準，因此不受損或甚至可能因通膨高於預期而獲益（若合約設計是如此）。

2. 債務人 (Debtors)：借入資金，期望償還本金及利息。

   • 非指數型合約 (Unindexed Contract)：合約約定的名目金額固定。若發生預期外通貨膨脹，債務人償還的固定名目金額購買力下降，實質負擔減輕，因此獲益。
   • 指數型合約 (Indexed Contract)：合約金額隨通貨膨脹率調整。

本題考驗學生對長期總體經濟學中，國民所得決定因素的理解。

核心觀念：
在長期總體經濟模型中，經濟體的潛在產出（或稱潛在國民所得）是由生產要素的供給量和生產技術所決定。生產要素主要包括勞動 (Labor, L) 和資本 (Capital, K)，生產技術則由生產函數 (Production Function) 來表示。

長期總體經濟學模型，如新古典成長模型 (Neoclassical Growth Model) 或標準的總體經濟模型，通常假設經濟體會趨向其潛在產出水準。這個潛在產出水準不受到短期因素（如總需求變動、貨幣政策、財政政策的短期效果）的影響，而是由經濟體的生產能力來決定。

生產函數 $Y = F(K, L, A)$，其中 $Y$ 是產出，$K$ 是資本，$L$ 是勞動，$A$ 是技術水準。在長期，這些要素的可獲得性（供給）和生產函數（技術）共同決定了經濟體的潛在產出水準。

檢視選項：
(a) 生產要素 (factors of production) 和生產函數 (production function)：這完全符合上述的核心觀念。資本、勞動是生產要素，而生產函數描述了如何將這些要素轉化為產出。

本題考驗學生對完全競爭市場下，廠商雇用勞動力的利潤極大化條件的理解。

核心觀念：
一個追求利潤極大化的廠商，在決定雇用多少勞動力時，會比較雇用額外一單位勞動力的邊際成本與邊際收益。

• 邊際成本 (Marginal Cost)：雇用額外一單位勞動力的成本，即勞動的市場工資率 (wage, $W$)。
• 邊際收益 (Marginal Benefit)：雇用額外一單位勞動力所帶來的額外收入。這等於該勞動力所生產的邊際產量 (Marginal Product of Labor, $MP_L$) 乘以該產品的市場價格 (Price, $P$)。這個值稱為勞動的邊際產值 (Value of Marginal Product of Labor, $VMP_L$)。

廠商的利潤極大化原則是：當邊際收益等於邊際成本時，雇用量就達到最適。因此，$VMP_L = W$。
將 $VMP_L$ 的定義代入，即 $P \times MP_L = W$。

本題考驗學生對貨幣乘數 (money multiplier) 以及貨幣供給 (money supply) 如何受貨幣基礎 (monetary base) 變動影響的理解。

核心觀念：
貨幣供給 ($M$) 的變動與貨幣基礎 ($B$) 的變動之間，存在一個貨幣乘數 ($m$) 的關係：$M = m \times B$。
貨幣乘數的大小取決於銀行體系的準備金率 (reserve ratio, $rr$) 和公眾持有通貨的比例 (currency-to-deposit ratio, $cr$)。
在一個簡化的模型中，貨幣乘數 $m = \frac{1+cr}{rr+cr}$。

題目中提到「準備金率小於一 (reserve-deposit ratio is less than one)」，這表示銀行並非將所有存款都作為準備金，而是會將一部分存款貸放出去，從而創造新的存款貨幣。這也暗示了銀行體系存在貨幣創造的功能。

貨幣基礎 ($B$) 包括公眾持有的通貨 ($C$) 和銀行體系持有的準備金 ($R$)，即 $B = C + R$。
貨幣供給 ($M$) 通常指通貨淨額 ($C$) 加上活期存款 ($D$)，即 $M = C + D$。

當貨幣基礎 ($B$) 增加時，由於銀行體系會將部分準備金貸放出去，這些貸放出去的資金又會存入銀行，形成新的存款，進而產生連鎖的存款創造過程，使得貨幣供給的增加額會大於貨幣基礎的增加額。這就是貨幣乘數大於 1 的作用。

核心觀念

本題考查 IS-LM 模型中的財政政策效果，以及「垂直 LM 曲線」所代表的完全擠出效果。

• IS 曲線表示商品市場均衡。
• LM 曲線表示貨幣市場均衡。
• 政府支出增加會使 IS 曲線向右移。
• 當 LM 曲線垂直時，均衡所得由貨幣市場決定，利率變動不會改變均衡所得。

因此，政府支出增加雖然會提高利率，卻不會使均衡所得增加。

解題方法

設商品市場均衡條件為：

$$Y=C(Y-T)+I(r)+G$$

政府支出增加 $\Delta G=G$ 時，IS 曲線向右移動。

若 LM 曲線垂直，代表貨幣市場均衡條件固定均衡所得：

$$\frac{M}{P}=L(Y)$$

在貨幣供給 $M$、物價水準 $P$ 不變下，貨幣市場要求的所得水準固定為原本的 $Y^*$。因此：

$$\Delta Y=0$$

政府支出增加所造成的需求上升，會被利率上升完全抵銷：

1. $G$ 增加，使 IS 曲線右移。
2. 在垂直 LM 曲線上，所得無法上升。
3. 為了恢復商品市場均衡，利率必須上升。
4. 利率上升使民間投資下降，下降幅度恰好抵銷政府支出的增加。

因此，這是「完全擠出」：

$$\Delta I=-\Delta G$$

故均衡所得變動為：

$$\Delta Y=0$$

選項分析

本題考驗學生對「流動性陷阱 (liquidity trap)」概念的理解。

核心觀念：
流動性陷阱是凱因斯經濟學中的一個重要概念，指的是在極低的利率水準下，公眾寧願持有現金 (liquidity preference)，也不願將資金投入債券或其他有息資產，因為預期未來利率僅可能上升（債券價格僅可能下跌），或對未來經濟前景極度悲觀。

在流動性陷阱中，即使中央銀行增加貨幣供給，也無法進一步降低利率，因為利率已經接近或等於零。此時，增加的貨幣供給會被公眾或銀行持有，而不會流入實體經濟或債券市場，因此貨幣政策（特別是擴張性貨幣政策）變得無效。

檢視選項：
(a) 銀行擁有過多現金並對新客戶關閉大門：這描述的是銀行危機或信貸緊縮，與流動性陷阱的利率和貨幣政策無效性概念不同。

本題考驗學生對托賓 q 理論 (Tobin's q Theory) 的理解，以及其對企業投資決策的啟示。

核心觀念：
托賓 q 理論是由經濟學家詹姆斯·托賓 (James Tobin) 提出的，它將企業的投資決策與其市場價值聯繫起來。q 值被定義為企業市場總價值的市場價值與其資本存量的重置成本之比。
$q = \frac{\text{市場總價值 (Market Value of the Firm)}}{\text{資本存量的重置成本 (Replacement Cost of Capital Stock)}}$

• 市場總價值 (Market Value of the Firm)：通常指企業的市值，即其股票的市場價格乘以發行在外的股份數量。在題目中，它被簡化為「已安裝資本的市場價值」。
• 資本存量的重置成本 (Replacement Cost of Capital Stock)：指購買現有資本存量所需支付的成本。

托賓 q 理論的投資決策規則是：

• 如果 $q > 1$，表示企業的市場價值高於其資本的重置成本。這意味著市場認為該企業的資產（包括現有資本和未來收益）價值很高，投資於該企業比直接購買其資本資產更有利可圖。此時，企業有動機增加資本投資，以擴大生產並利用市場對其資產的高估。
• 如果 $q < 1$，表示企業的市場價值低於其資本的重置成本。這意味著市場不看好該企業的未來前景，投資於該企業不如直接購買其資本資產。

本題考驗學生對完全競爭廠商短期利潤極大化條件的應用。

核心觀念：
在完全競爭市場中，廠商是價格接受者 (price taker)，其面臨的市場價格 $P$ 是固定的。
廠商追求利潤極大化的條件是：邊際成本 (Marginal Cost, $MC$) 等於市場價格 ($P$)，並且價格必須高於平均變動成本 (Average Variable Cost, $AVC$)。
即 $P = MC$。
如果 $P < AVC$，廠商應該停產 (shut down)。

題目給定：

• 短期總成本 (Short-Run Total Cost, STC) = $100 + 20q + q^2$
• 短期邊際成本 (Short-Run Marginal Cost, SMC) = $20 + 2q$
• 市場價格 (Market Price, $P$) = $40$

核心觀念

1. 需求所得彈性（Income Elasticity of Demand, $E_I$）定義：
   衡量消費者所得變動百分之一時，對某財貨需求量變動的百分比：
   $E_I = \frac{\% \Delta Q_x}{\% \Delta I} = \frac{\mathrm{d}Q_x}{\mathrm{d}I} \cdot \frac{I}{Q_x}$

2. 依所得彈性劃分的財貨性質：

   • 劣等財（Inferior Good）：$E_I < 0$（所得增加，需求量減少）。
   • 正常財（Normal Good）：$E_I > 0$（所得增加，需求量增加）。
     • 必需品（Necessity）：$0 < E_I \le 1$（需求量增幅小於或等於所得增幅）。
     • 優等財／奢侈品（Superior Good / Luxury Good）：$E_I > 1$（需求量增幅大於所得增幅）。
   • 中性財（Neutral Good）：$E_I = 0$（需求量不隨所得變動）。

3. 財貨性質與所得水準的關係：
   同一財貨對同一位消費者而言，在不同所得水準區間可能呈現不同的財貨性質。

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解題方法

1. 分析低所得水準（月所得 $1,000 時）：

   • 題目給定所得彈性 $E_I = -0.10$。
   • 因為 $E_I = -0.10 < 0$，表示在該所得水準下，所得增加會使 $x$ 財的需求量減少。
   • 結論：在低所得水準下，$x$ 財為劣等財（Inferior good）。

2. 分析高所得水準（月所得 $2,000 時）：

   • 題目給定所得彈性 $E_I = 0.10$。
   • 因為 $E_I = 0.10 > 0$，表示在該所得水準下，所得增加會使 $x$ 財的需求量增加。
   • 結論：在高所得水準下，$x$ 財為正常財（Normal good）（更精確而言，因 $0 < 0.10 < 1$，屬於必需品）。

本題考驗學生如何從效用函數 (utility function) 推導出單一商品的單獨需求曲線 (demand curve)。

核心觀念：
消費者追求利潤極大化，意味著在給定所得 $I$ 和商品價格 $P_x, P_y$ 的情況下，最大化其效用函數 $U(x, y)$。
最大化問題的條件是：預算約束線 (budget constraint) 的斜率等於無異曲線 (indifference curve) 的斜率，即邊際替代率 (Marginal Rate of Substitution, MRS) 等於價格比。
$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{P_x}{P_y}$
預算約束線為：$P_x x + P_y y = I$

題目給定：

• 效用函數：$U(x, y) = xy + y$
• 商品 x 的價格：$P_x$
• 商品 y 的價格：$P_y$ (未明確給出，但通常假設為 1，或者與 x 的價格相關聯。題目最後選項中出現 $P_x$，但沒有 $P_y$，這暗示 $P_y$ 可能為 1 或其他常數，或者消費者只購買 x 和 y，但 x 的需求只取決於 $P_x$ 和 $I$。)
• 所得：$I$
• 前提條件：$I > P_x$ (這確保了消費者至少能購買一件 x，所以 $x^d=0$ 這種情況可能發生在 $I \le P_x$)

首先，計算邊際效用：
$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y$
$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x + 1$

然後，設定 $MRS_{xy} = \frac{P_x}{P_y}$：
$\frac{y}{x+1} = \frac{P_x}{P_y}$

假設 $P_y = 1$ (這是常見的簡化，如果題目沒有給出 $P_y$，且選項中只有 $P_x$ 和 $I$)。
那麼，$\frac{y}{x+1} = \frac{P_x}{1}$
$y = P_x (x+1)$

本題考驗學生對成本極小化條件的理解，以及在特定情況下，極小化點的性質（內部解或邊界解）。

核心觀念：
廠商在給定產量水準 $Q$ 下，選擇投入兩種生產要素（例如勞動 L 和資本 K）的組合，以使總成本 (Total Cost, TC) 極小化。
成本極小化條件是：

1. 預算約束線的斜率等於無異曲線（等產量曲線）的斜率，即邊際技術替代率 (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS) 等於要素價格比。
   $MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K}$
2. 產量約束：$Q = f(L, K)$。

其中，$MP_L$ 是勞動的邊際產量，$MP_K$ 是資本的邊際產量，$P_L$ 是勞動的價格（工資），$P_K$ 是資本的價格（租金）。

題目給定：

• 兩種生產要素。
• 邊際產量之比 (ratio of the marginal products) $\frac{MP_L}{MP_K}$。
• 要素價格之比 (ratio of the prices of the inputs) $\frac{P_L}{P_K}$。
• 條件：$\frac{MP_L}{MP_K} > \frac{P_L}{P_K}$ （題目說「always exceeds」，意味著這個關係恆成立）。

我們知道，成本極小化要求 $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K}$。
但題目給定的條件是 $\frac{MP_L}{MP_K} > \frac{P_L}{P_K}$。

分析：
這個條件 $\frac{MP_L}{MP_K} > \frac{P_L}{P_K}$ 意味著，相對於價格，勞動的邊際產量過高，或者資本的邊際產量相對於價格過低。
換句話說，從每單位支出的邊際產出來看，勞動提供的邊際產出與其價格的比值，大於資本提供的邊際產出與其價格的比值。
標準的成本極小化條件是 $\frac{MP_L}{P_L} = \frac{MP_K}{P_K}$ (每一塊錢花在勞動上的邊際產出，等於每一塊錢花在資本上的邊際產出)。
而題目給定的條件 $\frac{MP_L}{MP_K} > \frac{P_L}{P_K}$ 可以改寫為：
$\frac{MP_L}{P_L} > \frac{MP_K}{P_K}$ （假設 $P_L, P_K > 0$）

本題考驗學生對古諾雙寡占模型 (Cournot duopoly model) 中，廠商反應函數 (reaction function) 的推導。

核心觀念：
古諾模型假設寡占市場中有兩家廠商（雙寡占），它們同時決定各自的產量，並假設對方的產量固定不變。每家廠商的利潤極大化決策都取決於對手的產量。

模型設定：

• 市場需求曲線：$P = 200 - Q_A - Q_B$
• 兩家廠商 A 和 B，它們的邊際成本 (Marginal Cost, $MC$) 相同且恆定：$MC_A = MC_B = 40$。
• 目標：求 Firm B 的利潤極大化產量 $Q_B$，在 Firm A 的產量 $Q_A$ 為任意給定值時。

利潤函數：
廠商 B 的總收益 (Total Revenue, $TR_B$) 等於其價格乘以其產量。價格 $P$ 取決於兩家廠商的總產量 $Q_A + Q_B$。
$TR_B = P \times Q_B = (200 - Q_A - Q_B) \times Q_B$
$TR_B = 200 Q_B - Q_A Q_B - Q_B^2$

廠商 B 的總成本 (Total Cost, $TC_B$) 等於其邊際成本乘以產量（因為邊際成本恆定，所以總成本是線性的，且固定成本為零或不影響決策）：
$TC_B = MC_B \times Q_B = 40 Q_B$

本題考驗學生對公共財 (public good) 定義的理解，特別是公共財的兩個基本特徵：非敵對性 (non-rivalrous) 和非排他性 (non-excludable)。

公共財的定義：

1. 非敵對性 (Non-rivalrous)：一個人對該財貨的消費不會減少其他人對該財貨的消費。也就是說，該財貨可以被多人同時消費，且不會產生排擠效應。
2. 非排他性 (Non-excludable)：不可能阻止不支付費用的個人消費該財貨。

題目情境：機場的無線網路服務。

分析選項：
(a) 必須免費，且還必須包含免費使用筆記型電腦：
「免費」是實現非排他性的常見方式，但不是公共財的定義本身。公共財的定義是「不可能阻止」，而不是「不收費」。此外，免費使用筆記型電腦與無線網路服務的公共財屬性無關，這是一個額外的服務。

(b) 必須免費，並且即使額外使用者會造成網路擁擠或變慢，仍被視為公共財：
「免費」再次涉及到非排他性，但不是核心定義。
「即使額外使用者會造成網路擁擠或變慢」這句話，描述的是敵對性 (rivalrous)。如果額外使用者會導致網路擁擠或變慢，這意味著一個人的消費確實減少了其他人的可用資源或服務品質，因此該財貨是敵對的 (rivalrous)，而不是非敵對的。
嚴格來說，如果網路擁擠，它就不完全符合公共財的「非敵對性」標準。公共財應是「非敵對的」。
所以，這個選項的後段描述與公共財的定義相悖。

本題考驗學生對價格歧視 (price discrimination) 中，第一級價格歧視 (first-degree price discrimination) 下，邊際收益曲線 (marginal revenue curve) 與需求曲線 (demand curve) 關係的理解。

核心觀念：
價格歧視是指賣方對同一商品或服務，向不同的買者收取不同的價格。

• 第一級價格歧視 (Perfect Price Discrimination)：賣方對每一位消費者收取其願意支付的最高價格（保留價格, reservation price）。賣方盡可能榨取了所有的消費者剩餘 (consumer surplus)。
• 需求曲線 (Demand Curve)：表示在不同價格下，消費者願意且能夠購買的商品數量。它向下傾斜，反映了價格越高，需求量越低的規律。
• 邊際收益曲線 (Marginal Revenue Curve)：表示每多銷售一單位商品所增加的總收益。

對於一個壟斷者（或有定價權的廠商）來說，當其面臨一條向下傾斜的需求曲線時，其邊際收益曲線通常位於需求曲線的下方，並且斜率是需求曲線斜率的兩倍（假設需求曲線是線性的）。這是因為要多賣一單位商品，必須降低所有已售出單位的價格，所以邊際收益小於價格。

核心觀念

本題考查課徵從量稅後的市場均衡，以及消費者剩餘與生產者剩餘的計算。

課徵每單位稅額 $t=4$ 後，消費者支付價格 $P_c$ 與生產者實收價格 $P_p$ 的關係為：

$$P_c=P_p+4$$

消費者剩餘為需求曲線與消費者支付價格之間的三角形面積：

$$CS=\frac{1}{2}\times（需求價格截距-P_c）\times Q$$

生產者剩餘為生產者實收價格與供給曲線之間的三角形面積：

$$PS=\frac{1}{2}\times（P_p-供給價格截距）\times Q$$

題目所問的「total surplus」明確定義為消費者剩餘加生產者剩餘，即 $CS+PS$，不包含政府稅收。

解題方法

市場供給為：

$$Q_s=-2+P_p$$

因此，反供給函數為：

$$P_p=Q+2$$

市場需求為：

$$Q_d=30-P_c$$

因此，反需求函數為：

$$P_c=30-Q$$

課徵每單位 $4$ 元稅後：

$$P_c=P_p+4$$

代入兩條反函數：

$$30-Q=(Q+2)+4$$ $$30-Q=Q+6$$ $$2Q=24$$ $$Q=12$$

因此，均衡數量為 $12$。消費者支付價格為：

$$P_c=30-12=18$$

生產者實收價格為：

$$P_p=18-4=14$$

供給曲線的價格截距為 $2$，因為當 $Q=0$ 時：

$$P_p=Q+2=2$$

消費者剩餘：

核心觀念

本題考查新古典生產函數（Cobb-Douglas 生產函數）中資本邊際產量（Marginal Product of Capital, $MP_K$）的推導與計算。

1. Cobb-Douglas 生產函數型態：
   $Y = A K^{\alpha} L^{1-\alpha}$
   其中 $Y$ 為總產出，$K$ 為資本存量，$L$ 為勞動投入，$A$ 為總要素生產力（TFP），$\alpha$ 為產出的資本彈性（亦為資本所得份額，Capital Share）。

2. 資本邊際產量（$MP_K$）之定義與關係式：
   對生產函數中的資本 $K$ 偏微分：
   $MP_K = \frac{\partial Y}{\partial K} = \alpha A K^{\alpha-1} L^{1-\alpha} = \alpha \frac{Y}{K}$
   由此式可知，$MP_K$ 直接等於「資本產出彈性（$\alpha$）」乘以「平均資本產出率（$Y/K$）」，亦即除以「資本產出比（$K/Y$）」。

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解題方法

題目給定條件如下：

• 生產函數：$Y = A K^{0.3} L^{0.7}$，因此資本產出彈性 $\alpha = 0.3$。
• 資本產出比（Capital-output ratio）：$\frac{K}{Y} = 3$。
• 產出成長率（Growth rate of output）：$g_Y = 3\% = 0.03$（此小題用不到）。
• 折舊率（Depreciation rate）：$\delta = 4\% = 0.04$（此小題用不到）。

核心觀念

本題考查資本累積方程式與成長型穩態。資本存量的變動為：

$$\dot K=S-\delta K$$

其中：

• $S=sY$：儲蓄等於投資
• $s$：儲蓄率
• $\delta K$：資本折舊
• $\dot K$：資本淨增加量

在成長型穩態中，資本與產出以相同速度成長，因此：

$$g_K=g_Y=3\%$$

題目給定資本產出比：

$$\frac{K}{Y}=3$$

解題方法

因為資本存量以 $3\%$ 成長，所以每期所需的資本淨投資為：

$$\dot K=g_KK=0.03K$$

此外，為了補償折舊，還需要進行：

$$\delta K=0.04K$$

因此，總投資必須同時支應資本擴張與折舊：

$$I=\dot K+\delta K$$

代入數值：

$$I=(0.03+0.04)K=0.07K$$

由於封閉經濟中儲蓄等於投資，且 $S=sY$，因此：

核心觀念

本題考查 Solow 成長模型中的「黃金法則資本存量」（Golden Rule level of capital）。

在穩定成長狀態下，黃金法則要求每位有效勞動者的消費最大，因此資本的邊際產出扣除折舊，必須等於經濟的穩定成長率：

$$MPK-\delta=g$$

其中：

• $MPK$：資本邊際產出；
• $\delta$：折舊率；
• $g$：產出的成長率；本題為 $3\%$。

因此，黃金法則條件可寫為：

$$MPK=g+\delta$$

解題方法

題目給定：

$$g=3\%, \qquad \delta=4\%$$

代入黃金法則條件：

$$MPK=3\%+4\%=7\%$$

因此，當經濟達到黃金法則資本水準時，資本的邊際產出為 $7\%$。

補充而言，生產函數為：

$$Y=AK^{0.3}L^{0.7}$$

其資本邊際產出為：

本題考驗學生對黃金法則儲蓄率 (Golden Rule saving rate) 的理解，以及如何計算達到黃金法則穩態所需的儲蓄率。

核心觀念：
黃金法則穩態是指，在所有可能的穩態中，使得人均消費 (per capita consumption) 極大化的穩態。
黃金法則穩態的條件是：

1. $MPK = \delta + n + g$
2. $s^* = (\delta + n + g) \frac{k^*}{y^*}$
3. $k^*/y^* = \frac{\alpha}{\delta + n + g}$ (這是由 $MPK = \delta + n + g$ 和 $MPK = \frac{\alpha}{k/y}$ 推導出來的)

題目給定：

• 生產函數：$Y = AK^{0.3} L^{0.7}$，所以 $\alpha = 0.3$。
• 折舊率 $\delta = 0.04$。
• 產出成長率 $\Delta Y / Y = 3\%$。
• 如果經濟體處於穩態，則 $\Delta Y / Y = n+g = 0.03$。

我們在上一個問題 (c) 中已經計算出，在黃金法則穩態下：
$MPK = \delta + n + g = 0.04 + 0.03 = 0.07$。

現在，我們需要計算達到黃金法則穩態所需的儲蓄率 $s^*$。
根據黃金法則穩態的條件 2：
$s^* = (\delta + n + g) \frac{k^*}{y^*}$

我們知道：
$\delta + n + g = 0.07$
並且，根據條件 3，黃金法則下的資本產出比為：
$\frac{k^*}{y^*} = \frac{\alpha}{\delta + n + g} = \frac{0.3}{0.07}$

將這些值代入 $s^*$ 的公式：
$s^* = (0.07) \times \left(\frac{0.3}{0.07}\right)$
$s^* = 0.3$

所以，要達到黃金法則穩態，儲蓄率必須是 $0.3$ 或 $30\%$。

核心觀念

本題考查獨占廠商的利潤極大化與價格加成。關鍵公式為：

$$MR=MC$$

以及需求價格彈性與加成率的關係：

$$\frac{P-MC}{P}=\frac{1}{|\varepsilon|}$$

題目需求函數中的 $P®²$ 依題意應為 $P^{-2}$，因此：

$$Q=1{,}000{,}000P^{-2} =\frac{1{,}000{,}000}{P^2}$$

總成本為：

$$C=100{,}000+25Q$$

其中固定成本為 $100{,}000$，邊際成本為：

$$MC=\frac{dC}{dQ}=25$$

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解題方法一：由總收益與邊際收益求解

由需求函數反解價格：

$$Q=\frac{1{,}000{,}000}{P^2}$$ $$P=\frac{1{,}000}{\sqrt Q}$$

總收益為：

$$TR=P\cdot Q =\frac{1{,}000}{\sqrt Q}\cdot Q =1{,}000\sqrt Q$$

因此邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ} =\frac{500}{\sqrt Q}$$

由利潤極大化條件 $MR=MC$：

$$\frac{500}{\sqrt Q}=25$$ $$\sqrt Q=20$$ $$Q=400$$

代回需求函數求最適價格：

$$P=\frac{1{,}000}{\sqrt{400}} =\frac{1{,}000}{20} =50$$

廠商的單位變動成本，也就是邊際成本，為 $25$，故每單位加成金額為：

$$P-MC=50-25=25$$

價格相對於邊際成本的百分比加成為：

核心觀念

本題考查完全競爭廠商在短期下的最適要素雇用決策（Short-run Factor Demand of a Competitive Firm）。

1. 完全競爭市場特徵：
   • 產品市場為完全競爭：產品價格 $P$ 為外生常數，邊際收益等於價格（$MR = P$）。
   • 要素市場為完全競爭：要素價格 $w$ 為外生常數，邊際要素成本等於要素價格（$MFC_x = w$）。
2. 短期利潤極大化之一階條件（FOC）：
   廠商雇用變動要素直至「邊際產值（$VMP_x$）」等於「要素價格（$w$）」： $$VMP_x = P \cdot MP_x = w$$ （註：在完全競爭市場中，$MRP_x = VMP_x$）
3. 利潤極大化之二階條件（SOC）：
   利潤函數對要素使用量之二階導數必須小於零，即邊際產值斜率為負： $$\frac{d^2\pi}{dx^2} = \frac{d(VMP_x)}{dx} < 0$$
4. 短期營運／停業條件（Shut-down Condition）：
   廠商在短期必須滿足總收益大於或等於總變動成本（$TR \ge TVC$ 或 $P \ge AVC$），即要素使用量須落在「生產第二階段」（$0 < MP_x \le AP_x$），否則應選擇停業（$x = 0$）。

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解題方法

步驟一：建立利潤函數

設固定要素成本為 $TFC$，變動要素價格為 $w =$$10，產品價格為 $P =$$2，短期生產函數為 $q = 305x - 2x^2$。
短期利潤函數 $\pi(x)$ 為：

$$\pi(x) = TR - TC = P \cdot q(x) - w \cdot x - TFC$$

代入題目已知數據：

$$\pi(x) = 2(305x - 2x^2) - 10x - TFC = 600x - 4x^2 - TFC$$

步驟二：求解一階條件（FOC）

求變動要素的邊際產量（Marginal Product, $MP_x$）：

$$MP_x = \frac{dq}{dx} = 305 - 4x$$

變動要素的邊際產值（Value of Marginal Product, $VMP_x$）為：