113 年 國立高雄大學財務金融學系碩士班：財務金融組《財務管理》

本題考查企業組織型態的基本概念。企業組織型態主要有獨資（sole proprietorship）、合夥（partnership）、公司（corporation）等。其中，獨資企業是指由單一自然人創立、擁有、經營並承擔所有風險與收益的企業形式。

本題考查計算累進稅率下的平均稅率（Average Tax Rate, ATR）。平均稅率的計算公式為：平均稅率 = 總稅額 / 應稅所得。

題目給定應稅所得為 $129,000，稅率結構如下：

1. 0 - $50,000：稅率 6%
2. $50,001 -$75,000：稅率 15%
3. $75,001 -$100,000：稅率 25%
4. $100,001 -$335,000：稅率 35%

我們需要分段計算總稅額：

1. 第一級距 ($0 -$50,000)：應稅所得為 $50,000。稅額 =$50,000 \times 6% = $3,000。
2. 第二級距 ($50,001 -$75,000)：此級距的所得範圍為 $75,000 -$50,000 = $25,000。

本題考查淨營運資本（Net Working Capital, NWC）的變動。淨營運資本的定義為流動資產減去流動負債。變動量則為期末淨營運資本減去期初淨營運資本。

計算步驟如下：

1. 計算期初淨營運資本 (NWC_beginning)：
   期初流動資產 = $320 期初流動負債 =$232
   $NWC_{beginning} = Current Assets_{beginning} - Current Liabilities_{beginning} =$$$320 -$$$232 =$$88

本題考查計算公司的淨利（Net Income），需要根據提供的收入和費用項目，按照損益表的結構逐步計算。稅率為 40%。

計算步驟如下：

1. 計算營業毛利 (Gross Profit)：
   營業毛利 = 銷貨收入 (Sales) - 銷貨成本 (Cost of Goods Sold)
   營業毛利 = $46,500 -$16,834 = $29,666$

2. 計算營業費用 (Operating Expenses)：
   營業費用 = 銷售及管理費用 (Selling and Administrative Expense) + 折舊 (Depreciation)
   營業費用 = $11,900 +$6,560 = $18,460$

本題考查資產負債表中資產總額的計算。資產總額是公司所有資產的總和。根據題目提供的資訊，流動資產包括現金、應收帳款和存貨；非流動資產（固定資產）是淨固定資產。

計算步驟如下：

1. 識別並加總所有資產項目：
   • 現金 (Cash) = $254
   • 應收帳款 (Accounts Receivable) = $598
   • 存貨 (Inventory) =

本題考查不同利率表達方式的定義。題目描述的是一個實際複利頻率（每季複利）與名目表達方式（視為年複利）之間的轉換，這正是有效年利率（Effective Annual Rate, EAR）的概念。

選項解釋：
A) Stated interest rate（名目利率）：通常指未考慮複利頻率的年利率，也稱為年利率（Nominal Annual Rate）。
B) Compound interest rate（複利）：指利息會滾入本金，產生下一期利息的計算方式。

本題考查回收期（Payback Period）的計算。回收期是指投資回收初始投資所需的時間。我們需要找出累積現金流入何時等於或超過初始投資。

計算步驟如下：

1. 確定初始投資：初始投資為第 0 年的現金流，即 $30,000。

2. 計算累積現金流入：

   • 第 1 年底：累積現金流入 = $8,500。 剩餘未回收金額 =$30,000 - $8,500 =$21,500$

   • 第 2 年底：累積現金流入 = $8,500 +$9,000 = $17,500。 剩餘未回收金額 =$30,000 - $17,500 =$12,500

本題考查獲利指數（Profitability Index, PI）的計算。獲利指數的公式為：
$PI = \frac{\text{Present Value of Future Cash Flows}}{\text{Initial Investment}}$
或者
$PI = 1 + \frac{NPV}{\text{Initial Investment}}$

其中，NPV（Net Present Value）淨現值 = 未來現金流的現值 - 初始投資。

計算步驟如下：

1. 計算未來現金流的現值 (Present Value of Future Cash Flows, PV)：
   此專案每年產生 $13,000 的現金流，為期 5 年，且要求報酬率為 6年金現值公式為：$PV = C \times \left[ \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} \right]$其中：C = 年現金流 =$13,000
   r = 要求報酬率 = 6% = 0.06
   n = 年數 = 5

核心觀念

本題考的是股票分割（stock split）如何調整每股價格，使投資人更容易買進整股交易單位。題目將一個整股交易單位（round lot）定義為 100 股。

股票分割是將每一股拆成較多股。例如，**「1 股分割成 10 股」**會使流通在外股數變為原來的 10 倍。在公司總價值不變、忽略市場反應的理論條件下，每股價格降為原來的十分之一，股東持股比例與持股總價值均不變。

若每 1 股分割成 $n$ 股，則：

解題方法

公司希望主要客群能以 $1,800～$2,000 買進 100 股，因此應先將目標購買金額換算成目標股價。

目前每股價格為 $200，購買 100 股需要：

即 $20,000，遠高於客群的負擔範圍。

若 100 股的總成本要介於 $1,800～$2,000，每股價格便須介於：

也就是每股 $18～$20。採取每 1 股分割成 10 股的股票分割後，理論股價為：

此時購買 100 股的成本為：

即 $2,000，符合題目要求。因此，公司應考慮股票分割。

選項分析

• A）反向股票分割（reverse stock split）：錯誤。
  反向股票分割是將多股合併成一股，股數減少、理論每股價格提高。

本題考查反向股票分割（Reverse Stock Split）對股價的影響。反向股票分割是將多股合併為一股，目的是提高每股股價。

題目給定：

• 現有股數 = 36,000 股
• 現有股價 = $4.50
• 分割比例 = 1-for-6 反向股票分割（即每 6 股合併為 1 股）

計算步驟如下：

1. 確定分割比例對股價的影響：
   在反向股票分割中，每 N 股合併為 1 股，則新的股價會約等於舊股價乘以 N。
   在此題中，N = 6。
   新的股價 = 舊股價 $\times

核心觀念

• 算術平均報酬率 (Arithmetic Average Return)：將每期報酬率相加後除以期數，公式
  $\bar{r}_{\text{arith}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} r_i$
• 幾何平均報酬率 (Geometric Average Return)：先將每期報酬率轉成成長因子 $1+r_i$，求乘積後開 $n$ 次方，最後減去 1，公式
  $\bar{r}_{\text{geom}}=\left(\prod_{i=1}^{n}(1+r_i)\right)^{\frac{1}{n}}-1$
• 幾何平均反映長期複利成長率，負報酬率時需使用成長因子 $1+r_i$（必須大於 0），否則無法取對數或開根。

解題方法

1. 列出年報酬率：$12\%,\;9\%,\;-7\%,\;14\%$。
2. 算術平均

3. 幾何平均
   • 先算成長因子：$1.12,\;1.09,\;0.93,\;1.14$。
   • 求乘積：

• 開四次方再減 1：

（計算時可取自然對數：$\ln(1.29429216)=0.2576$，除以 4 得 $0.0644$，指數化得到 $e^{0.0644}=1.0666$。）

核心觀念
債券的市場價格與到期殖利率（Yield to Maturity, YTM）相對於票面利率（Coupon Rate）的大小關係決定是否為溢價（premium）、平價（par）或折價（discount）債券。

• 票面利率 = 每期付息金額 / 債券面額。
• 到期殖利率 = 投資人要求的報酬率，使未來所有現金流（票息 + 本金）之現值等於債券現行市場價格。
• 若 YTM < 票面利率，投資人以較低的報酬要求購買較高票息的債券，價格必高於面額 → 溢價。
• 若 YTM = 票面利率，債券價格等於面額 → 平價。
• 若 YTM > 票面利率，投資人要求較高報酬，價格低於面額 → 折價。

解題方法
直接套用上述關係判斷：題目問「在其他條件不變下，當 YTM 與票面利率的相對大小為_____時，債券會在_____賣出」。
只需辨識「YTM 小於/等於/大於 票面利率」時的價格類型。

選項分析

本題考查名目報酬率（Nominal Rate of Return）、實質報酬率（Real Rate of Return）和通貨膨脹率（Inflation Rate）之間的關係。它們之間的關係通常用費雪方程式（Fisher Equation）來近似或精確表示。

精確的費雪方程式為：
$(1 + \text{Nominal Rate}) = (1 + \text{Real Rate}) \times (1 + \text{Inflation Rate})$

題目給定：

• 實質報酬率 (Real Rate) = 3.01% = 0.0301
• 通貨膨脹率 (Inflation Rate) = 2.50% = 0.0250

要求計算名目報酬率 (Nominal Rate)。

核心觀念

• 淨現值（NPV）：$NPV = \displaystyle \sum_{t=1}^{T}\frac{CF_t}{(1+r)^t}-C_0$。
  • $CF_t$ 為第 $t$ 年的現金流入（正）或流出（負）。
  • $r$ 為必要報酬率（折現率）。
  • $C_0$ 為投資初始成本。
• 年金現值因子（PVIFA）：對於等額現金流 $A$，$PV = A\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$。
• 單筆現金流的折現：$PV = \frac{CF}{(1+r)^t}$。

解題方法

1. 先計算前 12 年每年 $50,000$ 的等額年金現值。
   $PV_{\text{年金}} = 50{,}000 \times \frac{1-(1+0.08)^{-12}}{0.08}$
2. 再折現第 13 年 $80,000$ 的單筆現金流。
   $PV_{13} = \frac{80{,}000}{(1+0.08)^{13}}$
3. 合計全部折現現金流，減去初始投資 $400,000$，即得 NPV。

計算步驟（保留至小數點後兩位）：

• $(1+0.08)^{-12}=0.3975$

• 年金因子：$\displaystyle \frac{1-0.3975}{0.08}=7.5313$

• $PV_{\text{年金}} = 50{,}000 \times 7.5313 = 376{,}562.50$

• $(1+0.08)^{13}=2.7173$， thus $(1+0.08)^{-13}=0.3679$

• $PV_{13}=80{,}000 \times 0.3679 = 29{,}432.00$

本題考查絕對購買力平價（Absolute Purchasing Power Parity, PPP）的應用。絕對購買力平價理論指出，在沒有交易成本和關稅的情況下，相同商品在不同國家之間的價格，在轉換成同一貨幣後應該是相等的。

$P_{US} = E \times P_{France}$
其中：

• $P_{US}$ 是商品在美國的價格。
• $P_{France}$ 是商品在法國的價格（以歐元計價）。
• $E$ 是匯率，表示 1 歐元可以兌換多少美元 ($E = \text{USD/EUR}$)。

核心觀念

本題考查庫藏股買回對每股盈餘（EPS）的影響。每股盈餘定義為：

公司以多餘現金按市價買回股票後，流通股數減少。若假設這筆現金原本沒有帶來利息收入，買回股票不影響淨利，因此新的 EPS 以買回後的股數重新計算。

解題方法

公司市值等於帳面價值，因此每股市價可由股權價值除以流通股數求得：

以 $1,000 多餘現金買回的股數為：

買回後的流通股數為：

淨利維持 $10,000，因此新的每股盈餘為：

本題考查市場效率（Market Efficiency）的定義，特別是與內線交易（insider trading）的關係。市場效率假說（Efficient Market Hypothesis, EMH）有三個層次：弱式、半強式和強式效率。

• 弱式效率 (Weak-form efficiency)：股價已反映所有過去的市場資訊（如歷史股價和交易量）。技術分析（分析歷史股價圖表）無法產生超額報酬。

本題考查加權平均資本成本（Weighted Average Cost of Capital, WACC）的組成要素。WACC 是公司所有資本來源的加權平均成本，用於資本預算決策。資本的組成部分通常包括股權（普通股、保留盈餘、特別股）和債務（長期債務）。

WACC 的計算公式為：
$WACC = w_d \times R_d \times (1 - T) + w_{ps} \times R_{ps} + w_{cs} \times R_{cs}$
其中：

• $w_d, w_{ps}, w_{cs}$ 分別是長期債務、特別股、普通股在總資本結構中的權重。
• $R_d, R_{ps}, R_{cs}$ 分別是長期債務、特別股、普通股的成本。
• $T$ 是公司所得稅率。

核心觀念

本題考「進口商以遠期契約避險」。

台灣進口商未來必須支付美元，因此面臨美元升值、美元兌新台幣匯率上升所造成的付款成本增加風險。進口商應在遠期市場買入美元，鎖定未來的美元購買價格。

遠期避險後的節省金額為：

當到期日即期匯率高於遠期匯率時，表示美元實際變貴，遠期買美元具有節省效果。

解題方法

題目以 60 日遠期匯率與 60 日後即期匯率進行比較，因此按 60 日結算基準計算。

美元應付款為：

遠期避險所需的新台幣金額：

若不進行避險，60 日後按照當時即期匯率購買美元，所需新台幣為：

因此，採用遠期避險所節省的新台幣金額為：

亦可直接計算：

所以，台灣公司因遠期避險而節省新台幣 439 元。

選項分析

本題考查可轉換公司債（Convertible Bond）的轉換價格（Conversion Price, Pc）的計算。轉換價格是指一張可轉換公司債可以轉換成多少股普通股。

計算公式為：
$\text{Conversion Price} (P_c) = \frac{\text{Par Value of Bond}}{\text{Number of Shares per Bond}}$

本題要求根據投資者的預期（預期利率下降，追求資本利得）和理性投資者的原則，判斷理想債券的投資特徵。

核心觀念：

1. 利率下降與債券價格上漲：債券價格與市場利率呈反向關係。當預期市場利率下降時，目前市場上的固定利率債券（尤其是票面利率較高的）將變得更有吸引力，其價格會隨之上漲，從而產生資本利得。
2. 債券價格波動性與到期日：債券的價格對利率變動的敏感度（或稱久期，Duration）與其到期日及票面利率有關。一般而言，到期日越長，債券價格對利率變動越敏感，潛在的資本利得或損失越大。票面利率越低，久期越長，對利率變動越敏感。
3. 信用風險：儘管此處所有債券的評級均為 Aaa（最高信用等級），但理性投資者仍會關注信用風險，儘量選擇信用風險最低的債券。

分析投資者的目標：

• 預期利率下降：這意味著尋找對利率變動最敏感的債券，以最大化資本利得。
• 追求資本利得：需要債券價格能夠大幅上漲。
• 理性投資者：會考慮風險和報酬，並尋求最高的預期報酬。

根據上述目標，理想債券應具備以下特徵：

1. 長到期日 (Long Maturity Date)：

   • 原因：債券的久期（Duration）與到期日正相關。到期日越長的債券，其價格對利率變動越敏感。當預期利率下降時，長到期日的債券價格上漲幅度會比短到期日的債券更大，從而帶來更大的資本利得。
   • 在列表中尋找：TB0123 (2050年), TB0264 (2045年), TB0455 (2040年) 是到期日較長的債券。

2. 低票面利率 (Low Coupon Rate)：

   • 原因：債券的久期也與票面利率負相關。對於相同到期日的債券，票面利率越低的債券，其久期越長，對利率變動越敏感。這意味著當利率下降時，低票面利率債券的價格上漲幅度會更大。
   • 在列表中尋找：TB0123 (1.25%), TB0337 (2.63%), TB0454 (2.25%), TB0264 (3.00%) 是票面利率較低的債券。

3. 最高信用評級 (Highest Credit Rating)：

   • 原因：雖然所有債券均為 Aaa 評級，但這是最高信用等級，代表最低的信用風險。理性投資者在追求資本利得的同時，也會確保投資的安全性，避免信用風險。Aaa 評級意味著發行者違約的可能性極低。

4. 購買價格低於面額 (Trading at a Discount, 且 YTM > Coupon Rate)：

   • 原因：如果債券的殖利率 (YTM) 高於票面利率 (Coupon Rate)，則該債券會以折價 (discount) 交易，即價格低於面額。當市場利率下降時，YTM 也會下降。

本題要求根據前一小題的分析（理性投資者、預期利率下降、追求大資本利得）以及預算限制（只能購買一個單位 T-bond），從列表中選擇一個最適合的債券，並說明理由。

核心原則回顧：

• 預期利率下降 $\implies$ 尋找對利率變動最敏感的債券（久期最長）。
• 追求大資本利得 $\implies$ 債券價格應有較大上漲空間。
• 理性投資者 $\implies$ 考慮風險（信用風險最低，即 Aaa 評級）和報酬（最大化資本利得）。
• 預算限制：只能購買一個單位（通常指一個面額單位，例如 $1,000，但這裡的 BID/ASK 是報價，通常是每$100 面值對應的價格）。這裡的 BID/ASK 欄位代表的是報價，例如 51.96 代表每 $100 面值賣價是$51.96。如果預算允許購買一個單位（例如，購買面額為 $1,000 的債券），那麼其購買價格將是 51.96 * 10 =$519.6$。所有債券的 ASK 價格（購買價格）都低於$111.1$，這意味著購買一個標準單位（如$1,000 面值）的債券是在預算範圍內的。

分析各債券的特徵與潛力：

1. 久期 (Duration) 與利率敏感度：
   久期越長，債券價格對利率變動越敏感。影響久期的主要因素是到期日和票面利率。

   • 到期日：越長越好。
     • TB0123: 2050 (最長)
     • TB0264: 2045
     • TB0455: 2040
     • TB0326: 2038
     • TB0217: 2037
     • TB0337: 2025
     • TB0454: 2024 (最短)
   • 票面利率：越低越好。
     • TB0123: 1.25% (最低)
     • TB0454: 2.25%
     • TB0337: 2.63%
     • TB0264: 3.00%
     • TB0455: 4.25%
     • TB0326: 4.38%
     • TB0217: 5.00% (最高)

2. 折價程度 (Discount Level)：
   折價越高的債券（即價格越低，YTM 遠高於 Coupon Rate），其價格上漲的空間可能越大。

   • TB0123: ASK 52.31 (最低價，最高折價)
   • TB0264: ASK 81.04
   • TB0337: ASK 97.91
   • TB0454: ASK 98.07
   • TB0455: ASK 100.9
   • TB0326: ASK 104.1
   • TB0217: ASK 111.1 (最高價，溢價)

3. 殖利率 (YTM)：
   雖然 YTM 是當前市場的報酬率，但我們更關注的是預期利率下降後，價格的上漲幅度。高 YTM 的債券（如 TB0454 的 4.96%）意味著當前市場利率較高。

綜合評估：

核心觀念

1. 貨幣時間價值（Time Value of Money, TVM）與普通年金現值（Present Value of Ordinary Annuity, PVA）：
   房屋貸款的等額本息攤還屬於「期末普通年金」性質，即借款人每月期末支付固定金額（$PMT$），所有還款金額折現至期初的總和必須等於初始貸款總額（$PV$）。

2. 普通年金現值公式：
   $PV = PMT \times \left[ \frac{1 - (1 + r_m)^{-n}}{r_m} \right]$

   反推求每月還款金額（$PMT$）之公式為：
   $PMT = \frac{PV \times r_m}{1 - (1 + r_m)^{-n}} = \frac{PV}{PVIFA_{r_m, n}}$

   其中：

   • $PV$（Present Value）：貸款本金總額。
   • $PMT$（Payment）：每期期末還款金額（月付金）。
   • $r_m$（Monthly Interest Rate）：期利率（月利率），以年名目利率除以 12 計算。
   • $n$（Total Number of Periods）：總期數（貸款年數 $\times 12$ 個月）。
   • $PVIFA_{r_m, n}$：年金現值因子（Present Value Interest Factor of Annuity）。

解題方法

步驟一：計算貸款本金總額（$PV$）

房屋總價為 $10,000,000（10 million dollars），貸款成數為 80%：
$PV = \$10,000,000 \times 80\% = \$8,000,000$

步驟二：計算月利率（$r_m$）與各期貸款總期數（$n$）

• 月利率：年名目利率為 3%，換算為月利率為：
  $r_m = \frac{3\%}{12} = 0.25\% = 0.0025$
• 20 年期總期數（$n_1$）：
  $n_1 = 20 \times 12 = 240 \text{ 期（月）}$
• 30 年期總期數（$n_2$）：
  $n_2 = 30 \times 12 = 360 \text{ 期（月）}$

步驟三：計算 20 年期每月還款金額（$PMT_{20}$）

將 $PV = 8,000,000$、$r_m = 0.0025$、$n = 240$ 帶入年金公式：
$PMT_{20} = \frac{8,000,000 \times 0.0025}{1 - (1 + 0.0025)^{-240}} = \frac{20,000}{1 - (1.0025)^{-240}}$

本題考查在兩種不同貸款年期下，總本金支付額與總利息支付額的計算。

基本資訊（同上小題）：

• 貸款總額 (P) = $8,000,000
• 年利率 = 3%
• 月利率 (r) = 0.0025
• 20 年期總月數 ($n_1$) = 240
• 30 年期總月數 ($n_2$) = 360
• 20 年期月付金 ($M_1$) $\approx$$44,408.13
• 30 年期月付金 ($M_2$) $\approx$$33,758.78

計算步驟：

情況一：20 年期 (n = 240)

1. 計算總本金支付額：
   在貸款結束時，支付的總本金應等於貸款總額。
   總本金支付額 (Total Principal Paid) = $P =$$8,000,000

2. 計算總利息支付額：
   總利息支付額 = (月付金 $\times$ 總月數) - 總本金支付額
   總利息支付額 = ($M_1 \times n_1$) - P
   總利息支付額 = ($$44,408.13 \times 240$) - $8,000,000
   總利息支付額 = $$10,657,951.20 -$$8,000,000
   總利息支付額 $\approx

本題要求根據個人財務狀況和偏好，在 20 年期和 30 年期房貸之間做出選擇，並說明理由。這是一個主觀決策問題，沒有絕對正確的答案，關鍵在於論證的合理性。

兩種選擇的優缺點分析：

選擇 20 年期房貸：

• 優點：
  1. 較低的總利息支付：如前一小題計算所示，20 年期總共支付的利息約為 $2,657,951.20，遠低於 30 年期的約$4,153,160.80。這意味著長期來看，總成本較低。
  2. 較早還清債務：10 年後即可還清房貸，可以提早獲得房屋的完全所有權，減少財務壓力，增加財務自由度。
  3. 較短的還款壓力期：雖然月付金較高，但還款壓力期較短，在退休前或較年輕時能還清負債。
• 缺點：
  1. 較高的月付金：月付金約為 $44,408.13，相對較高，對現階段的現金流壓力較大。

選擇 30 年期房貸：

• 優點：
  1. 較低的月付金：月付金約為 $33,758.78，對現階段的現金流壓力較小，每月可支配的金額較多。
  2. 較大的財務彈性：每月較低的還款額，可以將更多的資金用於其他投資、儲蓄或應對突發狀況。
• 缺點：
  1. 較高的總利息支付：總共支付的利息遠高於 20 年期，最終購房總成本更高。
  2. 還款時間長：貸款期限長，可能需要還款到退休後，財務負擔長期存在。

個人偏好與理由（範例）：

本題考查債券到期時，不同類型債券（溢價債券、折價債券、平價債券）的資本利得（Capital Gain Yield）的狀況，以及其與到期收益率（Yield to Maturity, YTM）和當期收益率（Current Yield）的關係。

核心概念：

1. 債券報酬組成：債券的總報酬（即到期收益率 YTM）由兩部分組成：當期收益率（Current Yield）和資本利得收益率（Capital Gain Yield）。
   $YTM = \text{Current Yield} + \text{Capital Gain Yield}$
   其中：

   • 當期收益率 (Current Yield) = 年票息支付額 / 當前債券價格 (Current Market Price)
   • 資本利得收益率 (Capital Gain Yield) = (到期時價格 - 當前價格) / 當前價格，在接近到期時，可以理解為 (面額 - 當前價格) / 當前價格。

2. 債券價格與到期日關係：

   • 溢價債券 (Premium Bond)：票面利率 (Coupon Rate) > 殖利率 (YTM)。債券價格 > 面額 (Par Value)。
   • 折價債券 (Discount Bond)：票面利率 (Coupon Rate) < 殖利率 (YTM)。債券價格 < 面額 (Par Value)。
   • 平價債券 (Par Bond)：票面利率 (Coupon Rate) = 殖利率 (YTM)。債券價格 = 面額 (Par Value)。

3. 債券價格趨近面額：當債券接近到期日時，其市場價格會趨近於面額（通常是

本題要求繪製六種期權交易策略的收益圖（Contingency Graphs，也稱為 Payoff Diagrams）。收益圖顯示了在到期日，標的資產價格變動時，該策略的總損益情況。

為了繪製圖形，我們需要定義幾個基本元素：

• 標的資產價格 (S)：到期日標的資產的現貨價格。
• 履約價 (X)：期權合約規定的買賣價格。
• 期權費 (Premium, C for Call, P for Put)：購買期權的成本。
• 損益 (Profit/Loss)：到期時的總損益，等於期權的收益減去期權費。
• 收益 (Payoff)：期權到期時的價值，不考慮期權費。

我們會分別繪製每個策略的收益圖。橫軸為標的資產價格 S，縱軸為損益（Profit/Loss）。

1. Covered Call (賣出買權，持有標的股票)

• 組成：持有股票 (Long Stock) + 賣出買權 (Sell Call)

• 股票損益：$S - X_{stock}$ (假設買入股票的成本為 $X_{stock}$)

• 賣出買權損益：$+C$ (收到期權費)

• 總損益：$(S - X_{stock}) + C$

  • 如果 $S \ge X$，股票獲利，但買權獲利被鎖定在 $X-X_{stock}$。
  • 如果 $S < X$，股票虧損，賣出買權獲利 $C$。

• 圖形特徵：

  • 當 $S < X_{stock}$ 時，損益隨 S 線性上升。
  • 當 $X_{stock} \le S < X$ 時，損益隨 S 線性上升，斜率較緩。
  • 當 $S \ge X$ 時，損益達到最大值 $(X - X_{stock}) + C$，然後隨 S 增加而持平。
  • 損益圖形在 $S=X_{stock}$ 處為水平線（如果 $X_{stock}=0$ 則為從原點出發的上升線）。

  簡化假設：通常繪製期權組合時，我們關注的是期權部分的損益，或者假設股票購買價為 0 或與履約價 X 相同。為了簡化，我們假設持有股票的成本為 $S_0$。

  • 股票損益 = $S - S_0$
  • 賣出 Call 損益 = $C - \max(0, S-X)$ (收到期權費 C，但如果 S > X，則需支付 S-X)
  • 總損益 = $(S - S_0) + C - \max(0, S-X)$
  • 若 $S \le X$: 損益 = $S - S_0 + C$ (線性上升)
  • 若 $S > X$: 損益 = $S - S_0 + C - (S-X) = X - S_0 + C$ (水平線，達到最大值)
  • 圖形：從某個點開始（$S=0$ 時的損益為 $-S_0+C$），隨 S 線性上升，直到 $S=X$ 處，斜率變為 0，形成一個頂部平坦的圖形。

2. Protective Put (買入賣權，保護現有股票部位)

• 組成：持有股票 (Long Stock) + 買入賣權 (Buy Put)

• 股票損益：$S - S_0$

• 買入賣權損益：$-\max(0, X-S) - P$ (支付期權費 P，且若 S < X，則獲利 X-S)

• 總損益：$(S - S_0) - \max(0, X-S) - P$

  • 若 $S \le X$: 損益 = $S - S_0 - (X-S) - P = 2S - S_0 - X - P$ (斜率為 2，線性上升)
  • 若 $S > X$: 損益 = $S - S_0 - 0 - P = S - S_0 - P$ (斜率為 1，線性上升)
  • 更正：買入賣權的損益是 $-\max(0, X-S)$。
  • 總損益 = $(S - S_0) - \max(0, X-S) - P$
  • 若 $S \le X$: 損益 = $S - S_0 - (X-S) - P = 2S - S_0 - X - P$
  • 若 $S > X$: 損益 = $S - S_0 - 0 - P = S - S_0 - P$
  • 圖形：從某個點開始（$S=0$ 時的損益為 $-S_0 - X - P$），隨 S 線性上升，但斜率在 $S=X$ 處發生變化（從 2 變為 1），形成一個底部被保護的向上傾斜的圖形。

  另一種更常見的繪製方式是只看期權組合的損益，或假設股票購買價為 0。
  如果我們只看組合的損益，且股票購買價為 $S_0$：

  • Long Stock: $S - S_0$
  • Buy Put: $-\max(0, X-S) - P$
  • Total Profit = $S - S_0 - \max(0, X-S) - P$
  • 若 $S \le X$: Profit = $S - S_0 - (X-S) - P = 2S - S_0 - X - P$
  • 若 $S > X$: Profit = $S - S_0 - 0 - P = S - S_0 - P$

  圖形：從 $S=0$ 開始，有一個斜率為 2 的上升直線，在 $S=X$ 處斜率變為 1，並繼續上升。其最低點（最大虧損）發生在 $S=X$ 附近。

3. Long Straddle (同時買入同履約價的買權和賣權)

• 組成：買入買權 (Buy Call) + 買入賣權 (Buy Put)，兩者有相同履約價 X 和到期日。
• 買入買權損益：$-\max(0, S-X) - C$
• 買入賣權損益：$-\max(0, X-S) - P$
• 總損益：$-\max(0, S-X) - \max(0, X-S) - (C+P)$
  • 若 $S \le X$: 損益 = $-(X-S) - (C+P) = S - X - (C+P)$ (斜率為 1)
  • 若 $S > X$: 損益 = $-(S-X) - 0 - (C+P) = X - S - (C+P)$ (斜率為 -1)
• 圖形特徵：
  • 在 $S < X$ 時，損益隨 S 線性上升。
  • 在 $S > X$ 時，損益隨 S 線性下降。
  • 最大虧損發生在 $S=X$ 處，損益為 $- (C+P)$。
  • 圖形呈 V 字形（或倒 V 字形，取決於縱軸是損益還是收益），底部為最大虧損點。

4. Long Strangle (買入不同履約價的買權和賣權)

• 組成：買入買權 (Buy Call) 且其履約價 $X_C$ 較高 + 買入賣權 (Buy Put) 且其履約價 $X_P$ 較低。$X_P < X_C$。
• 買入買權損益：$-\max(0, S-X_C) - C$
• 買入賣權損益：$-\max(0, X_P-S) - P$
• 總損益：$-\max(0, S-X_C) - \max(0, X_P-S) - (C+P)$
  • 若 $S \le X_P$: 損益 = $-(X_P-S) - (C+P) = S - X_P - (C+P)$ (斜率為 1)

本題考查期權交易策略與市場預期之間的關係。題目要求選擇能夠從標的資產價格大幅波動（無論上漲或下跌）中獲利的策略。

分析策略的損益圖形：

• Long Straddle：買入同履約價的買權和賣權。

  • 如果標的資產價格大幅上漲 (S >> X)，買權獲利無限，賣權失效。總損益為正。
  • 如果標的資產價格大幅下跌 (S << X)，賣權獲利無限，買權失效。總損益為正。
  • 只有在 S 接近 X 時，才會產生最大虧損。
  • 此策略適合預期價格大幅波動。

• Long Strangle：買入不同履約價的買權和賣權（買權履約價高於賣權履約價）。

  • 如果標的資產價格大幅上漲 (S >> $X_C$)，買權獲利，賣權失效。總損益為正。
  • 如果標的資產價格大幅下跌 (S << $X_P$)，賣權獲利，買權失效。總損益為正。
  • 只有在 $X_P < S < X_C$ 時，才會產生最大虧損。
  • 此策略同樣適合預期價格大幅波動，且其最大虧損較 Long Straddle 小（因為履約價不同，期權費通常也較低）。

• Covered Call：賣出買權，持有股票。

  • 股票部分在 S 上漲時獲利，在 S 下跌時虧損。
  • 賣出買權部分在 S 上漲時，利潤被鎖定在 X，在 S 下跌時，獲利為期權費。
  • 此策略的利潤是有限的（股票上漲部分被鎖定），虧損是無限的（股票下跌）。

本題要求選擇能夠從標的資產價格波動極小或沒有波動中獲利的策略。這類策略通常是「賣出」期權的組合，因為賣出期權的獲利來自於期權到期時價值歸零（或接近零），或者價格波動不大，使得期權費收入大於期權的虧損。

分析策略的損益圖形：

• Short Straddle：賣出同履約價的買權和賣權。

  • 此策略在標的資產價格等於履約價 X 時獲利最大（等於收到的期權費總和 C+P）。
  • 如果價格波動不大，在 X 附近，兩者期權的價值都會減少，賣方獲利。
  • 如果價格波動劇烈，則虧損無限。
  • 此策略適合預期價格波動極小。

• Short Strangle：賣出不同履約價的買權和賣權（賣權履約價 $X_P$ 低於買權履約價 $X_C$）。

  • 此策略在 $X_P < S < X_C$ 時獲利最大（等於收到的期權費總和 C+P）。
  • 如果價格波動不大，落在 $X_P$ 和 $X_C$ 之間，賣方就能獲得最大利潤。
  • 如果價格波動劇烈，超出此區間，則虧損無限。
  • 此策略同樣適合預期價格波動極小，且其最大虧損的區間比 Short Straddle 更寬。

• Covered Call：賣出買權，持有股票。

  • 這個策略的利潤是有限的（股票上漲部分被鎖定），但虧損是無限的。
  • 如果股票價格沒有大幅上漲，賣出買權的期權費可以增加總體收益。

本題考查期權交易策略的風險程度，特別是潛在虧損的大小。風險程度通常與策略的潛在虧損上限有關。

分析各策略的潛在虧損：

1. Covered Call (賣出買權，持有股票)

   • 損益：$(S - S_0) + C - \max(0, S-X)$
   • 最大利潤：有限，在 $S \ge X$ 時達到 $(X - S_0 + C)$。
   • 最大虧損：無限。由於持有股票，如果標的資產價格 S 跌至 0，則虧損為 $-S_0 + C$。

2. Protective Put (買入賣權，保護現有股票部位)

   • 損益：$(S - S_0) - \max(0, X-S) - P$
   • 最大利潤：無限。如果 S 大幅上漲，股票部分獲利無限。
   • 最大虧損：有限。最大虧損發生在 S 跌至 0 時，虧損為 $-S_0 - X - P$。這是因為買入賣權限制了下跌的風險。

3. Long Straddle (買入買權和賣權，同履約價)

   • 損益：$-\max(0, S-X) - \max(0, X-S) - (C+P)$
   • 最大利潤：無限。如果 S 大幅上漲或下跌，一個期權會獲利無限。
   • 最大虧損：有限，等於支付的期權費總和 $(C+P)$。這是因為最大虧損發生在 S 接近 X 時，此時兩個期權都接近失效，只損失了期權費。

4. Long Strangle (買入買權和賣權，不同履約價)

   • 損益：$-\max(0, S-X_C) - \max(0, X_P-S) - (C+P)$
   • 最大利潤：無限。如果 S 大幅上漲或下跌，一個期權會獲利無限。
   • 最大虧損：有限，等於支付的期權費總和 $(C+P)$。由於履約價不同，這個區間比 Straddle 更寬，最大虧損的發生範圍更廣，但最大虧損額同樣是期權費總和（如果 $C+P$ 相同）。

5. Short Straddle (賣出買權和賣權，同履約價)

   • 損益：$\max(0, S-X) + \max(0, X-S) - (C+P)$
   • 最大利潤：有限，等於收取的期權費總和 $(C+P)$。這是因為最大利潤發生在 S 等於 X 時。
   • 最大虧損：無限。

本題考查年金（Annuity）的選擇，特別是年金 due (Annuity Due) 和普通年金 (Ordinary Annuity) 的比較。題目假設兩種年金支付的金額相同，且都是定期定額支付。

理解兩種年金的區別：

• 普通年金 (Ordinary Annuity)：現金流發生在每個期間的 期末。
• 年金 due (Annuity Due)：現金流發生在每個期間的 期初。

比較兩種年金的現值 (PV) 和終值 (FV)：

假設：

• 每期支付額 = C
• 年金期數 = n
• 利率（折現率）= r

1. 普通年金 (Ordinary Annuity)：

   • 終值 (FV ordinary)：
     $FV_{ordinary} = C \times \left[ \frac{(1+r)^n - 1}{r} \right]$
     這表示從第 1 期期末到第 n 期期末，總共 n 期現金流的終值。
   • 現值 (PV ordinary)：
     $PV_{ordinary} = C \times \left[ \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} \right]$
     這表示從第 0 期（即第一期期初）到第 n-1 期期末，總共 n 期現金流的現值。

2. 年金 due (Annuity Due)：

   • 終值 (FV due)：
     $FV_{due} = C \times \left[ \frac{(1+r)^n - 1}{r} \right] \times (1+r)$
     年金 due 的終值是普通年金終值乘以 $(1+r)$。因為每筆現金流都比普通年金多一個期間的複利時間。
   • 現值 (PV due)：
     $PV_{due} = C \times \left[ \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} \right] \times (1+r)$
     年金 due 的現值是普通年金現值乘以 $(1+r)$。因為每筆現金流都比普通年金提早一個期間收到。

比較結論：
在其他條件（支付額 C、期數 n、利率 r）相同的情況下：

• $FV_{due} > FV_{ordinary}$
• $PV_{due} > PV_{ordinary}$

本題要求定義年金 due (Annuity Due) 和普通年金 (Ordinary Annuity)。

1. 普通年金 (Ordinary Annuity)

• 定義：普通年金是指一系列固定金額的現金流，這些現金流在每個固定期間的 期末 發生。
• 特徵：第一筆現金流發生在第一個期間結束時（例如，如果期間是年，則在第一年結束時發生）。
• 例子：大多數的貸款還款（如房貸）、債券的票息支付（除非特別說明）、退休金的定期領取（如果從退休後的第一年年末開始領取）。

本題要求說明年金 due (Annuity Due) 和普通年金 (Ordinary Annuity) 在現值 (PV) 和終值 (FV) 上的關係。

假設：

• 每期現金流支付額 = C
• 年金期數 = n
• 利率（折現率）= r

1. 終值 (Future Value, FV) 的關係

• 普通年金 (Ordinary Annuity)：現金流發生在每期期末。
  $FV_{ordinary} = C \times \left[ \frac{(1+r)^n - 1}{r} \right]$
  這個公式計算的是在第 n 期期末時，從第 1 期期末到第 n 期期末共 n 筆現金流的總價值。

• 年金 due (Annuity Due)：現金流發生在每期期初。
  $FV_{due} = C \times \left[ \frac{(1+r)^n - 1}{r} \right] \times (1+r)$
  這個公式可以理解為：將普通年金的每一筆現金流都提前一個期間收到。因此，年金 due 的終值是普通年金終值的 $(1+r)$ 倍。
  $FV_{due} = FV_{ordinary} \times (1+r)$
  關係：年金 due 的終值等於普通年金終值乘以 $(1+r)$。換句話說，年金 due 的終值比普通年金高，因為每筆現金流都比普通年金多了一個計息期間。

2. 現值 (Present Value, PV) 的關係

• 普通年金 (Ordinary Annuity)：現金流發生在每期期末。
  $PV_{ordinary} = C \times \left[ \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} \right]$

本題要求在兩種年金支付方式（年金 due 和普通年金）之間做出選擇，並說明理由。題目假設這兩種年金支付的「相同支付額」是相同的，並且受益人（你）是最終的接收者。

核心考量點：
當獲得的現金流支付額相同時，選擇哪種年金取決於受益人對時間價值的偏好以及其財務目標。

分析：

• 年金 due (Annuity Due)：現金流在每期期初支付。
• 普通年金 (Ordinary Annuity)：現金流在每期期末支付。

根據前一小題的分析，在相同支付額、期數和利率下：

• 年金 due 的現值 (PV) 比普通年金高。
• 年金 due 的終值 (FV) 也比普通年金高。

選擇建議與理由：

如果我是受益人，並且保險公司提供相同的定期支付額，我會選擇 年金 due。

理由如下：

1. 更高的現值 (Present Value)：
   年金 due 的現值更高。這意味著在當前的時間點，年金 due 的總價值更高。對於購買年金的受益人來說，這意味著他們在當下獲得的經濟價值更大。如果受益人有其他投資機會，更高的現值意味著他們可以立即將這筆資金用於投資，從而可能獲得比普通年金更高的總回報。