113 年 國立中央大學統計研究所碩士班一般生《基礎數學》

核心觀念

本題考查兩種定積分技巧：

1. 平移變數與標準常態積分

$e^{-(x-1)^2/2}$

可令 $u=x-1$，轉化為標準常態密度相關的積分。

2. 多項式展開後逐項積分

$x^3(1-x)^2$

展開後直接使用冪次積分公式。

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解題方法

（a）計算

$I=\int_{0}^{\infty}x^2e^{-(x-1)^2/2}\,dx$

令

$u=x-1,\qquad x=u+1,\qquad dx=du.$

當 $x=0$ 時，$u=-1$；當 $x\to\infty$ 時，$u\to\infty$。因此

$I=\int_{-1}^{\infty}(u+1)^2e^{-u^2/2}\,du.$

展開平方：

$I=\int_{-1}^{\infty}(u^2+2u+1)e^{-u^2/2}\,du.$

分成三部分：

$$I=\int_{-1}^{\infty}u^2e^{-u^2/2}\,du +2\int_{-1}^{\infty}ue^{-u^2/2}\,du +\int_{-1}^{\infty}e^{-u^2/2}\,du.$$

設

$A=\int_{-1}^{\infty}e^{-u^2/2}\,du.$

由

$\frac{d}{du}\left(e^{-u^2/2}\right)=-ue^{-u^2/2},$

可得

$$\int_{-1}^{\infty}ue^{-u^2/2}\,du = \left[-e^{-u^2/2}\right]_{-1}^{\infty} =e^{-1/2}.$$

再處理二次項。利用分部積分：

$$\int u^2e^{-u^2/2}\,du = \int (-u)\,d\left(e^{-u^2/2}\right).$$

因此

$$\int_{-1}^{\infty}u^2e^{-u^2/2}\,du = \left[-ue^{-u^2/2}\right]_{-1}^{\infty} +\int_{-1}^{\infty}e^{-u^2/2}\,du.$$

邊界項為

$$\left[-ue^{-u^2/2}\right]_{-1}^{\infty} =-e^{-1/2},$$

故

$$\int_{-1}^{\infty}u^2e^{-u^2/2}\,du =A-e^{-1/2}.$$

代回原式：

$$\begin{aligned} I &=(A-e^{-1/2})+2e^{-1/2}+A\\ &=2A+e^{-1/2}. \end{aligned}$$

若以標準常態分布函數 $\Phi$ 表示，則

$A=\sqrt{2\pi}\,\Phi(1),$

所以

$$\boxed{ I=2\sqrt{2\pi}\,\Phi(1)+e^{-1/2} }.$$

亦可寫成誤差函數形式：

本題考查無窮級數的收斂性判斷。

(a) 級數為 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$。
觀察級數的項 $a_n = \frac{1}{n^2+1}$。
當 $n$ 很大時，$a_n \approx \frac{1}{n^2}$。
我們知道級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是一個 $p$-級數，其中 $p=2 > 1$，所以它收斂。
我們可以使用比較審斂法 (Comparison Test) 或極限比較審斂法 (Limit Comparison Test) 來判斷級數的收斂性。

方法一：比較審斂法 (Comparison Test)
對於所有的 $n \ge 1$，我們有 $n^2+1 > n^2$。
因此，$\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2}$。
由於級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收斂 (p-級數，p=2>1)，根據比較審斂法，級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ 也收斂。

方法二：極限比較審斂法 (Limit Comparison Test)
令 $a_n = \frac{1}{n^2+1}$，並令 $b_n = \frac{1}{n^2}$。
我們計算極限 $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$：
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2+1}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{1+0} = 1$
由於 $L=1$ 是一個有限且正數 ($0 < L < \infty$)，並且級數 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收斂 (p-級數，p=2>1)，根據極限比較審斂法，級數 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ 也收斂。

理由：級數的通項 $\frac{1}{n^2+1}$ 與收斂級數 $\frac{1}{n^2}$ 漸近等價，且級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 為收斂的 p-級數。

(b) 級數為 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 5^n}$。
觀察級數的項 $a_n = \frac{1}{n \cdot 5^n}$。
此級數的項是正數。我們可以考慮使用比例審斂法 (Ratio Test) 或根值審斂法 (Root Test)。

方法一：比例審斂法 (Ratio Test)
令 $a_n = \frac{1}{n \cdot 5^n}$。則 $a_{n+1} = \frac{1}{(n+1) \cdot 5^{n+1}}$。
計算極限 $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$：

核心觀念

本題考查「二次型在二次曲線約束下的極值」，可使用拉格朗日乘數法或廣義特徵值法。

利用約束 $z=x+y$ 消去 $z$ 後，原目標式與限制式皆可化為 $x,y$ 的二次型，再求其最大、最小值。

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解題方法

由 $z=x+y$，目標式為

$$x^2+y^2+z^2 =x^2+y^2+(x+y)^2 =2x^2+2xy+2y^2.$$

限制式為

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}+\frac{(x+y)^2}{25}=1.$$

整理得

$$\frac{29}{100}x^2+\frac{8}{100}xy+\frac{24}{100}y^2=1,$$

亦即

$$29x^2+8xy+24y^2=100.$$

令

$$f=2x^2+2xy+2y^2, \qquad g=29x^2+8xy+24y^2.$$

由於 $g=100$，可將 $f$ 的極值視為比值

$$\frac{f}{g} = \frac{2x^2+2xy+2y^2} {29x^2+8xy+24y^2}$$

的極值，再乘以 $100$。

設

$$\lambda= \frac{2x^2+2xy+2y^2} {29x^2+8xy+24y^2}.$$

二次型矩陣分別為

$$A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 29&4\\ 4&24 \end{pmatrix}.$$

因此 $\lambda$ 必須滿足廣義特徵值方程

$$\det(A-\lambda B)=0.$$

計算得

$$\begin{vmatrix} 2-29\lambda & 1-4\lambda\\ 1-4\lambda & 2-24\lambda \end{vmatrix} =0,$$

所以

$$(2-29\lambda)(2-24\lambda)-(1-4\lambda)^2=0.$$

展開：

$$4-106\lambda+696\lambda^2 -\left(1-8\lambda+16\lambda^2\right)=0,$$

核心觀念

本題考查矩陣的對角化與矩陣高次方：

若矩陣 $A$ 可對角化，且

$$A=PDP^{-1},$$

其中 $D$ 為對角矩陣，則

$$A^{10}=PD^{10}P^{-1}.$$

因此，關鍵在於求出 $A$ 的特徵值與特徵向量。

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解題方法

題目中的提示應理解為將 $A$ 對角化成 $A=PDP^{-1}$。

1. 求特徵值

$$A-\lambda I= \begin{pmatrix} 4-\lambda & 6 & 0\\ -3 & -5-\lambda & 0\\ -3 & -6 & 1-\lambda \end{pmatrix}.$$

由於第三欄前兩項為 $0$，行列式可直接計算為

$$\det(A-\lambda I) =(1-\lambda) \begin{vmatrix} 4-\lambda & 6\\ -3 & -5-\lambda \end{vmatrix}.$$

因此

$$\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)\bigl((4-\lambda)(-5-\lambda)+18\bigr).$$

整理括號內：

$$(4-\lambda)(-5-\lambda)+18 =\lambda^2+\lambda-2 =(\lambda-1)(\lambda+2).$$

所以

$$\det(A-\lambda I) =-(\lambda-1)^2(\lambda+2).$$

特徵值為

$$\lambda=1 \quad\text{（代數重數 2）},\qquad \lambda=-2.$$

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2. 求特徵向量

對應 $\lambda=1$

解

$$(A-I)\mathbf{x}=0,$$

其中

$$A-I= \begin{pmatrix} 3&6&0\\ -3&-6&0\\ -3&-6&0 \end{pmatrix}.$$

方程為

$$3x+6y=0,$$

即

$$x=-2y.$$

取兩組線性獨立解，可得

$$\mathbf{v}_1= \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}.$$

對應 $\lambda=-2$

解

$$(A+2I)\mathbf{x}=0,$$

其中

$$A+2I= \begin{pmatrix} 6&6&0\\ -3&-3&0\\ -3&-6&3 \end{pmatrix}.$$

由前兩列得

$$x=-y.$$

代入第三列：

$$-3x-6y+3z=0.$$

由 $x=-y$ 得

$$3y-6y+3z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=y.$$

取 $y=1$，得到

本題分為兩小題，(a)小題要求驗證分塊矩陣的逆矩陣公式，(b)小題要求計算一個具體 4x4 矩陣的逆。

(a) 驗證分塊矩陣的逆矩陣公式。
對於分塊矩陣 $A = \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}$，若 $P$ 可逆，則其逆矩陣為 $A^{-1} = \begin{pmatrix} P^{-1} & 0 \\ -S^{-1}RP^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}$（假設 $S$ 也可逆，且 $S-RP^{-1}Q$ 可逆）。
或者，若 $S$ 可逆，則 $A^{-1} = \begin{pmatrix} P-QS^{-1}R & -QS^{-1} \\ -S^{-1}R & S^{-1} \end{pmatrix}$（假設 $P-QS^{-1}R$ 可逆）。

我們有 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & C \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$。
這是一個上三角分塊矩陣。若 $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 都可逆，則 $A$ 也可逆。
我們假設 $A^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$。
則 $AA^{-1} = I$。
$\begin{pmatrix} A_{11} & C \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}X + CZ & A_{11}Y + CW \\ A_{22}Z & A_{22}W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$
從 $A_{22}W = I$，由於 $A_{22}$ 可逆，得到 $W = A_{22}^{-1}$。
從 $A_{22}Z = 0$，由於 $A_{22}$ 可逆，得到 $Z = 0$。
從 $A_{11}Y + CW = 0$，代入 $W = A_{22}^{-1}$，得到 $A_{11}Y + CA_{22}^{-1} = 0$。
由於 $A_{11}$ 可逆， $Y = -A_{11}^{-1}CA_{22}^{-1}$。
從 $A_{11}X + CZ = I$，代入 $Z = 0$，得到 $A_{11}X = I$。
由於 $A_{11}$ 可逆， $X = A_{11}^{-1}$。
所以，$A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}CA_{22}^{-1} \\ 0 & A_{22}^{-1} \end{pmatrix}$。
這與題目中給出的 $A^{-1}$ 公式一致，驗證完畢。

對於 $B = \begin{pmatrix} B_{11} & 0 \\ C' & B_{22} \end{pmatrix}$。
這是一個下三角分塊矩陣。若 $B_{11}$ 和 $B_{22}$ 都可逆，則 $B$ 也可逆。
我們假設 $B^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$。
則 $BB^{-1} = I$。
$\begin{pmatrix} B_{11} & 0 \\ C' & B_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_{11}X & B_{11}Y \\ C'X + B_{22}Z & C'Y + B_{22}W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$
從 $B_{11}Y = 0$，由於 $B_{11}$ 可逆，得到 $Y = 0$。
從 $B_{11}X = I$，由於 $B_{11}$ 可逆，得到 $X = B_{11}^{-1}$。
從 $C'X + B_{22}Z = 0$，代入 $X = B_{11}^{-1}$，得到 $C'B_{11}^{-1} + B_{22}Z = 0$。
由於 $B_{22}$ 可逆， $Z = -B_{22}^{-1}C'B_{11}^{-1}$。
從 $C'Y + B_{22}W = I$，代入 $Y = 0$，得到 $B_{22}W = I$。
由於 $B_{22}$ 可逆， $W = B_{22}^{-1}$。
所以，$B^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11}^{-1} & 0 \\ -B_{22}^{-1}C'B_{11}^{-1} & B_{22}^{-1} \end{pmatrix}$。
這與題目中給出的 $B^{-1}$ 公式一致，驗證完畢。

(b) 計算逆矩陣。
設 $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 7 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
這是一個分塊矩陣的結構。我們可以將其看作 $M = \begin{pmatrix} M_{11} & 0 \\ M_{21} & M_{22} \end{pmatrix}$。
其中 $M_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$， $M_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$， $M_{21} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$， $0$ 是 $2 \times 2$ 的零矩陣。

核心觀念

1. 特徵值與特徵向量定義：
   設 $A$ 為一個 $n \times n$ 的方陣。若存在一非零向量 $X \neq \mathbf{0}$ 及純量 $\lambda$，滿足方程式：

   $$A X = \lambda X$$

   則稱 $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的特徵值（eigenvalue），而 $X$ 稱為 $A$ 對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量（eigenvector）。
   註：題目原文首句「Suppose that $A$ is the eigenvalue of the square matrix $A$」顯係筆誤，應為「Suppose that $\lambda$ is the eigenvalue of the square matrix $A$」。

2. 數學歸納法（Mathematical Induction）：
   證明命題對所有正整數 $k \in \mathbb{N}$ 皆成立的標準工具。

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解題方法

(a) 驗證 $\lambda^k$ 為 $A^k$ 的特徵值（$k$ 為正整數）

切入點：直接以數學歸納法證明對所有正整數 $k$，方程式 $A^k X = \lambda^k X$ 皆成立。

• 步驟一：基礎步驟（Base Step）
  由題設，$\lambda$ 為方陣 $A$ 的特徵值，則存在非零向量 $X \neq \mathbf{0}$，滿足：

  $$A X = \lambda X$$

  此即 $k = 1$ 的情形，等式 $A^1 X = \lambda^1 X$ 顯然成立。

• 步驟二：歸納假設（Inductive Hypothesis）
  假設當 $k = m$（$m \in \mathbb{N}$）時命題成立，即存在非零向量 $X \neq \mathbf{0}$ 使得：

  $$A^m X = \lambda^m X$$

• 步驟三：歸納推導（Inductive Step）
  考慮 $k = m + 1$ 的情況，等式左側兩邊左乘矩陣 $A$：

  $$A^{m+1} X = A (A^m X)$$

  代入歸納假設 $A^m X = \lambda^m X$：

  $$A^{m+1} X = A (\lambda^m X)$$