108 年 國立中央大學統計研究所碩士班一般生《基礎數學》

核心觀念

1. 特徵多項式與特徵值（Eigenvalues）：
   對於 $n \times n$ 矩陣 $A$，純量 $\lambda$ 為其特徵值，若且唯若滿足特徵方程式：

   $$\det(A - \lambda I) = 0$$

   或等價地寫為 $\det(\lambda I - A) = 0$。

2. 特徵向量（Eigenvectors）：
   對應於特徵值 $\lambda$ 的非零向量 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，滿足：

   $$(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$

   亦即 $\mathbf{v}$ 屬於齊次線性方程組 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的零空間（Null Space，又稱特徵空間 Eigenspace）。

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解題方法與完整推導

第一步：求矩陣 $A$ 的特徵多項式與特徵值

計算行列式 $\det(A - \lambda I) = 0$：

$$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 2 & 0 \\ 2 & 1 - \lambda & 1 \\ -7 & 2 & -3 - \lambda \end{vmatrix} = 0$$

利用第一列展開降階：

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 2 & -3 - \lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -3 - \lambda \end{vmatrix} + 0$$

分別計算各 $2 \times 2$ 子行列式：

• 第一個子行列式： $$(1 - \lambda)(-3 - \lambda) - (1)(2) = \lambda^2 + 2\lambda - 3 - 2 = \lambda^2 + 2\lambda - 5$$
• 第二個子行列式： $$2(-3 - \lambda) - (1)(-7) = -6 - 2\lambda + 7 = 1 - 2\lambda$$

代入展開式：

$$\begin{aligned} \det(A - \lambda I) &= (2 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda - 5) - 2(1 - 2\lambda) \\ &= (2\lambda^2 + 4\lambda - 10 - \lambda^3 - 2\lambda^2 + 5\lambda) - (2 - 4\lambda) \\ &= (-\lambda^3 + 9\lambda - 10) - (2 - 4\lambda) \\ &= -\lambda^3 + 13\lambda - 12 \end{aligned}$$

令特徵多項式為零：

$$\lambda^3 - 13\lambda + 12 = 0$$

觀察係數和為 $1 - 13 + 12 = 0$，得知 $\lambda = 1$ 為一根。利用綜合除法因式分解：

$$(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda - 12) = 0$$ $$(\lambda - 1)(\lambda - 3)(\lambda + 4) = 0$$

解得特徵值為：

$$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3, \quad \lambda_3 = -4$$

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第二步：求解各特徵值對應的特徵向量

設特徵向量為 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \neq \mathbf{0}$，解聯立方程組 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$。

1. 當 $\lambda_1 = 1$ 時：

$$(A - 1I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -7 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

進行高斯消去法：
由第一式得 $x + 2y = 0 \implies x = -2y$。
代入第二式得 $2(-2y) + z = 0 \implies z = 4y$。
驗證第三式：$-7(-2y) + 2y - 4(4y) = 14y + 2y - 16y = 0$（符合）。

本題涉及 Gamma 函數的性質。定義的 $H(\alpha)$ 即為 Gamma 函數 $\Gamma(\alpha)$。

核心觀念： Gamma 函數的遞迴關係式。

A. 證明 $H(\alpha+1) = \alpha H(\alpha)$

我們要證明 $\Gamma(\alpha+1) = \alpha \Gamma(\alpha)$。
根據 Gamma 函數的定義：
$H(\alpha+1) = \int_0^\infty x^{(\alpha+1)-1} e^{-x} dx = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} dx$

我們使用分部積分法來計算這個積分。令 $u = x^\alpha$ 且 $dv = e^{-x} dx$。
則 $du = \alpha x^{\alpha-1} dx$ 且 $v = -e^{-x}$。

$$H(\alpha+1) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} dx = [-x^\alpha e^{-x}]_0^\infty - \int_0^\infty (-e^{-x})(\alpha x^{\alpha-1}) dx$$

首先計算邊界項 $[-x^\alpha e^{-x}]_0^\infty$：
當 $x \to \infty$ 時，$x^\alpha e^{-x} \to 0$ (因為指數函數 $e^{-x}$ 的衰減速度遠快於多項式 $x^\alpha$ 的增長速度，對於任何 $\alpha > 0$)。
當 $x \to 0^+$ 時，$x^\alpha e^{-x} \to 0 \cdot 1 = 0$ (因為 $\alpha > 0$)。
所以，邊界項的值為 $0 - 0 = 0$。

本題要求計算兩個定積分，一個是瑕積分，另一個是標準的定積分。

核心觀念： 瑕積分的計算、分部積分法。

A. 計算 $\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx$

這是一個瑕積分，因為積分上限是無窮大。我們需要將其寫成極限的形式。
$\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx = \int_1^\infty x^{-3} dx$

$$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$

現在計算定積分的極限：

$$\int_1^\infty x^{-3} dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-3} dx$$ $$= \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_1^b$$ $$= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{2b^2} - \left(-\frac{1}{2(1)^2}\right) \right)$$ $$= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2} \right)$$

當 $b \to \infty$ 時，$\frac{1}{2b^2} \to 0$。
所以，極限值為 $0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。

B. 計算 $\int_1^e (x^2 \ln x) dx$

這是一個標準的定積分，我們可以使用分部積分法來計算。
分部積分公式：$\int u dv = uv - \int v du$。
令 $u = \ln x$ 且 $dv = x^2 dx$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$。

本題要求計算三個級數的和。

核心觀念： 幾何級數、調和級數變形、等差級數。

A. 計算 $\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n}$

此級數可以寫成 $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{2}\right)^n$。
這是一個幾何級數，首項 $a = (\frac{3}{2})^0 = 1$，公比 $r = \frac{3}{2}$。
幾何級數 $\sum_{n=0}^\infty r^n$ 僅在 $|r| < 1$ 時收斂，其和為 $\frac{a}{1-r}$。
在此級數中，公比 $r = \frac{3}{2} > 1$。
因此，此幾何級數發散 (diverges)。

B. 計算 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

此級數的通項為 $a_n = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$。
我們嘗試使用部分分式分解 (partial fraction decomposition) 來化簡通項。
設 $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$。
乘以 $(3n-2)(3n+1)$ 得 $1 = A(3n+1) + B(3n-2)$。

令 $3n-2 = 0 \implies n = 2/3$: $1 = A(3(2/3)+1) + B(0) = A(2+1) = 3A \implies A = \frac{1}{3}$。
令 $3n+1 = 0 \implies n = -1/3$: $1 = A(0) + B(3(-1/3)-2) = B(-1-2) = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$。

所以，$a_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$。
這是一個錯項級數 (telescoping series)。
我們來計算部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$。

本題要求計算一個分段函數在原點 $(0,0)$ 的偏微分。這需要用到偏微分的定義，特別是當函數在該點的定義與其他點不同時。

核心觀念： 偏微分的定義，特別是在分段函數的定義點。

求 $\frac{\partial F}{\partial x}$

我們需要分別計算在 $(x,y) \neq (0,0)$ 時以及在 $(x,y) = (0,0)$ 時的偏微分。

1. 當 $(x,y) \neq (0,0)$ 時：
此時 $F(x,y) = \frac{2x^2y}{x^2+y^2}$。
我們將 $y$ 視為常數，對 $x$ 求微分。使用商法則：

$$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2x^2y}{x^2+y^2} \right)$$

令 $u = 2x^2y$，$v = x^2+y^2$。
則 $\frac{\partial u}{\partial x} = 4xy$，$\frac{\partial v}{\partial x} = 2x$。

$$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\frac{\partial u}{\partial x} v - u \frac{\partial v}{\partial x}}{v^2} = \frac{(4xy)(x^2+y^2) - (2x^2y)(2x)}{(x^2+y^2)^2}$$ $$= \frac{4x^3y + 4xy^3 - 4x^3y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{4xy^3}{(x^2+y^2)^2}$$

所以，當 $(x,y) \neq (0,0)$ 時，$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{4xy^3}{(x^2+y^2)^2}$。

2. 當 $(x,y) = (0,0)$ 時：
我們必須使用偏微分的定義：

$$\frac{\partial F}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{F(0+h, 0) - F(0,0)}{h}$$

根據函數定義：
$F(0+h, 0) = F(h, 0)$。由於 $(h,0) \neq (0,0)$ (因為 $h \to 0$ 但 $h \neq 0$)，我們使用第一種情況的公式：
$F(h,0) = \frac{2h^2(0)}{h^2+0^2} = \frac{0}{h^2} = 0$。
$F(0,0) = 0$ (根據定義)。

所以，

$$\frac{\partial F}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

因此，$\frac{\partial F}{\partial x}(0,0) = 0$。

綜合 $\frac{\partial F}{\partial x}$：

$$\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = \begin{cases} \frac{4xy^3}{(x^2+y^2)^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$

求 $\frac{\partial F}{\partial y}$

我們需要分別計算在 $(x,y) \neq (0,0)$ 時以及在 $(x,y) = (0,0)$ 時的偏微分。