108 年 國立中央大學統計研究所碩士班一般生《數理統計》

本題主要考察常態分布下的信賴區間估計、假設檢定以及貝式推論。

核心觀念：

1. 常態分布母體下，樣本平均數的信賴區間建構。
2. 信賴區間法進行雙邊假設檢定。
3. 信賴區間寬度與樣本數的關係。
4. 常態分布母體下，結合常態先驗與常態樣本資料進行貝式推論，求得後驗分布。

詳解：
已知樣本數 $n=16$, 樣本平均數 $\bar{x}=118.8$, 樣本標準差 $s=9.6$。

a. 建立$\mu$的95%信賴區間，並進行假設檢定。
由於母體標準差 $\sigma$ 未知，我們使用 $t$ 分配來建構信賴區間。
自由度 $df = n-1 = 16-1 = 15$。
查 $t$ 分配表，95%信賴區間對應的 $t$ 值為 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 15} = 2.131$。
95%信賴區間為：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \frac{s}{\sqrt{n}}$
$= 118.8 \pm 2.131 \frac{9.6}{\sqrt{16}}$
$= 118.8 \pm 2.131 \frac{9.6}{4}$
$= 118.8 \pm 2.131 \times 2.4$
$= 118.8 \pm 5.1144$
信賴區間為 $(113.6856, 123.9144)$。

進行假設檢定：$H_0: \mu=120$ vs $H_1: \mu \neq 120$。
檢定統計量為 $T = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$，其中 $\mu_0=120$。
$T = \frac{118.8-120}{9.6/\sqrt{16}} = \frac{-1.2}{9.6/4} = \frac{-1.2}{2.4} = -0.5$。
拒絕域為 $|T| > t_{0.025, 15} = 2.131$。
由於 $|-0.5| = 0.5 \le 2.131$，我們不拒絕虛無假設 $H_0$。
或者，直接看信賴區間。由於 $120$ 在信賴區間 $(113.6856, 123.9144)$ 內，我們不拒絕 $H_0$。

【答案】95%信賴區間為 $(113.6856, 123.9144)$。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，不拒絕 $H_0: \mu=120$。

b. 假設$\sigma=10$。求至少要抽樣多少員工加以測試,才能使得$\mu$的95%信賴區間之期望長度為5。
此處母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 $z$ 分配來建構信賴區間。
95%信賴區間為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
信賴區間的寬度為 $2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
對於95%信賴區間，$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
我們希望區間長度為5，即：
$2 \times 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{n}} = 5$
$3.92 \times \frac{10}{\sqrt{n}} = 5$
$\frac{39.2}{\sqrt{n}} = 5$
$\sqrt{n} = \frac{39.2}{5} = 7.84$
$n = (7.84)^2 = 61.4656$。

核心觀念

本題考查：

• 條件機率密度函數的標準化：
  $\int_{-\infty}^{\infty} f(m\mid t)\,dm=1$
• 條件期望與條件變異數：
  $E(M\mid T=t)=\int m f(m\mid t)\,dm$
  $\operatorname{Var}(M\mid T=t)=E(M^2\mid T=t)-[E(M\mid T=t)]^2$
• 全期望定理：
  $E(M)=E[E(M\mid T)]$
• 全變異數定理：
  $\operatorname{Var}(M)=E[\operatorname{Var}(M\mid T)]+\operatorname{Var}[E(M\mid T)]$

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a. 求 $c$

條件 pdf 必須對每一個固定的 $t>0$ 滿足：

$$\int_0^{10} f(m\mid t)\,dm=1$$

代入 $f(m\mid t)=cmt$：

$$\int_0^{10} cmt\,dm =ct\int_0^{10}m\,dm =ct\left[\frac{m^2}{2}\right]_0^{10} =50ct$$

因此：

$$50ct=1$$

得到：

$$\boxed{c=\frac{1}{50t}}$$

所以條件 pdf 實際上為：

$$f(m\mid t)=\frac{m}{50},\qquad 0<m<10$$

聯合 pdf 為：

$$f_{T,M}(t,m) =g(t)f(m\mid t) =\frac{1}{10}e^{-t/10}\cdot\frac{m}{50} =\frac{m}{500}e^{-t/10},$$

其中 $t>0$、$0<m<10$。

嚴格而言，若題目中的 $c$ 被要求為與 $t$ 無關的固定常數，則不存在這樣的常數；依條件 pdf 的標準化，應將 $c$ 視為依賴 $t$ 的比例常數。

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b. 求 $T=t$ 年員工薪資的條件期望值與變異數

由上可知：

$$f(m\mid t)=\frac{m}{50},\qquad 0<m<10$$

條件期望值

$$E(M\mid T=t) =\int_0^{10}m f(m\mid t)\,dm$$ $$=\int_0^{10}m\cdot\frac{m}{50}\,dm =\frac{1}{50}\int_0^{10}m^2\,dm$$ $$=\frac{1}{50}\left[\frac{m^3}{3}\right]_0^{10} =\frac{1000}{150} =\frac{20}{3}$$

因此：

$$\boxed{E(M\mid T=t)=\frac{20}{3}}$$

條件二階動差

$$E(M^2\mid T=t) =\int_0^{10}m^2 f(m\mid t)\,dm$$ $$=\frac{1}{50}\int_0^{10}m^3\,dm =\frac{1}{50}\left[\frac{m^4}{4}\right]_0^{10} =\frac{10000}{200} =50$$

條件變異數

本題主要考察比例的假設檢定、二項分布與超幾何分布的應用，以及貝式推論中，均勻分布先驗與二項資料結合的後驗分布計算。

核心觀念：

1. 比例的假設檢定，特別是關於群體比例的檢定。
2. 二項分佈的應用，以及在特定條件下的超幾何分佈。
3. 貝氏統計中的後驗分布計算。

詳解：
總員工數未知，但已知被裁員人數為64人。
已知55歲以上員工佔比 25%。
在被裁的64人中，有24人是55歲以上的員工。

a. 在顯著水準$\alpha=0.05$之下,建立統計檢定以檢視該公司是否對55歲以上的員工有過度裁員情形。
這裡的「過度裁員」可以理解為，在被裁的員工中，55歲以上員工的比例顯著高於他們在總員工中的比例。
設 $p$ 為總員工中55歲以上員工的比例，已知 $p=0.25$。
設 $p_{cut}$ 為被裁員工中55歲以上員工的比例。
我們想檢定的是，在被裁的員工中，55歲以上員工的比例是否顯著高於其在總員工中的比例。
也就是檢定 $H_0: p_{cut} \le 0.25$ vs $H_1: p_{cut} > 0.25$。
這是一個關於比例的單邊檢定。

然而，題目給的資訊是：
總裁員人數 = 64。
裁員中55歲以上者 = 24。
55歲以上員工在總員工中的比例 = 0.25。

我們需要建立一個模型來判斷「過度裁員」。
一種解釋是：如果裁員是隨機的，那麼在被裁的64人中，55歲以上員工的比例應該接近總員工中的比例 0.25。
我們檢定的是，在64個被裁的樣本中，55歲以上員工的比例是否顯著高於 0.25。

令 $X$ 為在64名被裁員工中，55歲以上的員工數量。
如果裁員是隨機的，且55歲以上員工佔總員工的比例為 0.25，那麼 $X$ 應該服從二項分佈 $B(n=64, p=0.25)$。
我們觀察到的值是 $X_{obs} = 24$。
虛無假設 $H_0$: 裁員是隨機的，即 $p_{cut} = 0.25$。
對立假設 $H_1$: 55歲以上的員工被過度裁員，即 $p_{cut} > 0.25$。

我們計算在 $H_0$ 下，觀察到 $X \ge 24$ 的機率（p-value）。
在 $n=64$ 和 $p=0.25$ 下，二項分佈的期望值為 $E[X] = np = 64 \times 0.25 = 16$。
標準差為 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{64 \times 0.25 \times 0.75} = \sqrt{16 \times 0.75} = \sqrt{12} \approx 3.464$。
由於 $n$ 較大 ($np=16 > 5$ 且 $n(1-p)=48>5$)，我們可以使用常態近似來計算機率。
將 $X$ 標準化：$Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$。
我們觀察到 $X_{obs}=24$。
$Z_{obs} = \frac{24 - 16}{\sqrt{12}} = \frac{8}{\sqrt{12}} = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx \frac{4 \times 1.732}{3} \approx \frac{6.928}{3} \approx 2.309$。
p-value = $P(X \ge 24 | H_0) \approx P(Z \ge 2.309)$。
查標準常態分布表，$P(Z \ge 2.309) \approx 1 - \Phi(2.309) \approx 1 - 0.9895 = 0.0105$。

檢定統計量：$Z = 2.309$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
拒絕域：$Z > z_{0.05} = 1.645$。
由於 $2.309 > 1.645$，我們拒絕虛無假設 $H_0$。
結論：在顯著水準 $\alpha=0.05$ 之下，有足夠的證據顯示該公司對55歲以上的員工有過度裁員的情形。

【另一種解釋】
題目也可以理解為：公司裁員10%的總比例。
設總員工數為 $N$。則被裁員工數為 $0.1N = 64$。所以 $N=640$。
55歲以上員工總數為 $0.25N = 0.25 \times 640 = 160$。
在被裁的64人中，有24人是55歲以上。
那麼，55歲以上員工被裁的比例是 $24/160 = 0.15$。
總員工的裁員比例是 $64/640 = 0.1$。
所以，55歲以上員工的裁員比例 (0.15) 高於總裁員比例 (0.1)。

我們檢定的是：在55歲以上的員工群體中，裁員比例是否顯著高於總裁員比例。
設 $p_{55+}$ 為55歲以上員工的裁員比例。
我們檢定 $H_0: p_{55+} = 0.1$ vs $H_1: p_{55+} > 0.1$。
這裡的樣本數是55歲以上員工的總數，即 $N_{55+} = 160$。
觀察到的被裁55歲以上員工數為 $X_{obs} = 24$。
假設 $H_0$ 為真，則 $X$ 服從二項分佈 $B(n=160, p=0.1)$。
$E[X] = np = 160 \times 0.1 = 16$。
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{160 \times 0.1 \times 0.9} = \sqrt{16 \times 0.9} = \sqrt{14.4} \approx 3.795$。

核心觀念

令

$$p=P(X<10)=F(10),\qquad q=P(X\ge 10)=1-p.$$

因為 $F(\theta)=0.95$，且 $F$ 為連續型分布函數，因此

$$\theta\ge 10 \iff F(10)\le 0.95 \iff p\le 0.95,$$ $$\theta<10 \iff F(10)>0.95 \iff p>0.95.$$

所以原假設可改寫為

$$H_0:p\le 0.95 \quad\text{相對於}\quad H_1:p>0.95.$$

等價地，以 $q=P(X\ge 10)$ 表示時，

$$H_0:q\ge 0.05 \quad\text{相對於}\quad H_1:q<0.05.$$

由於在 $H_1$ 下，小於 $10$ 的產品比例較高，因此：

• 若記錄小於 $10$ 的個數，應在個數很大時拒絕 $H_0$。
• 若記錄達到或超過 $10$ 的個數，應在個數很小时拒絕 $H_0$。

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a. 固定抽樣數 $n$，記錄小於 $10$ 的產品個數

解題方法

令

$$Y=\sum_{i=1}^n I(X_i<10),$$

其中 $I(\cdot)$ 為指示函數。因為每個產品小於 $10$ 的機率為 $p$，所以

$$Y\sim \operatorname{Binomial}(n,p).$$

在原假設下 $p\le 0.95$，而拒絕域應為 $Y$ 的右尾。由二項分布的隨機序性質，當 $p$ 越大時，$P_p(Y\ge c)$ 越大，因此檢定的最大型一錯誤機率發生在邊界 $p=0.95$。

精確檢定

選擇最小整數 $c$，使得

$$P_{p=0.95}(Y\ge c) = \sum_{y=c}^{n} \binom{n}{y}(0.95)^y(0.05)^{n-y} \le \alpha.$$

因此拒絕域為

$$R_a=\{Y\ge c\}.$$

也就是觀察到小於 $10$ 的產品數量過多時，拒絕「第 $95$ 百分位數至少為 $10$」的原假設。

若希望達到精確的顯著水準，而上述離散分布無法恰好等於 $\alpha$，可在 $Y=c-1$ 時以適當機率進行隨機拒絕。

常態近似

當 $n$ 夠大時，在邊界 $p=0.95$ 下，

$$Y\approx N\left(0.95n,\;0.95(0.05)n\right).$$

因此可使用統計量

$$Z= \frac{Y-0.95n}{\sqrt{0.95(0.05)n}}.$$

因為拒絕域在右尾，所以近似拒絕域為

$$R_a= \left\{ Z>z_{1-\alpha} \right\}.$$

亦即

$$\boxed{ \frac{Y-0.95n}{\sqrt{0.0475n}}>z_{1-\alpha} }.$$

若採用題目給定的 $z_{0.95}=1.645$，在 $\alpha=0.05$ 時，

$$\boxed{ \frac{Y-0.95n}{\sqrt{0.0475n}}>1.645 }.$$

若使用連續性修正，則可寫成

$$\frac{Y-0.95n-0.5}{\sqrt{0.0475n}}>z_{1-\alpha}.$$

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b. 逐次抽樣直到出現一個小於 $10$ 的產品

隨機變數分布

令

$$W=\text{在第一次出現 }X<10\text{ 之前，所觀察到的 }X\ge 10\text{ 產品個數}.$$

因此 $W$ 的可能值為 $0,1,2,\ldots$。

每次抽樣時：

• 出現 $X\ge 10$ 的機率為 $q$；
• 出現 $X<10$ 的機率為 $p=1-q$。

所以

$$P(W=w)=q^w p,\qquad w=0,1,2,\ldots$$

即 $W$ 服從「第一次成功前失敗次數」的幾何分布。

本題中可將 $X<10$ 視為成功，因此在 $H_1$ 下 $p>0.95$，第一次成功通常很快出現，故 $W$ 應偏小，拒絕域應位於左尾。

累積機率

對任意非負整數 $c$，