114 年 國立臺北大學統計學系碩士班《基礎數學（含微積分、線性代數）》

此題考查的是無窮遠極限的計算，特別是形如 $1^\infty$ 的不定型。我們將利用對數和泰勒展開來求解。

考慮極限 $L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+a}{x} \right)^{5x}$。
這是一個 $1^\infty$ 的不定型，因為當 $x \to \infty$ 時，$\frac{x+a}{x} = 1 + \frac{a}{x} \to 1$，而指數 $5x \to \infty$。
我們可以取對數來處理這個問題：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} \ln \left( \left( \frac{x+a}{x} \right)^{5x} \right)$
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 5x \ln \left( \frac{x+a}{x} \right)$
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 5x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right)$

當 $x \to \infty$ 時，$\frac{a}{x} \to 0$。我們知道當 $\theta \to 0$ 時，$\ln(1+\theta)$ 的泰勒展開為 $\theta - \frac{\theta^2}{2} + \dots$。
因此，當 $x \to \infty$ 時，$\ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx \frac{a}{x}$。
將此代入極限式中：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 5x \left( \frac{a}{x} \right)$
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 5a$
$\ln L = 5a$

因為 $\ln L = 5a$，所以 $L = e^{5a}$。

此題考查的是三角函數的極值問題。由於 $\cos$ 函數的週期性和單調性，以及 $\sin$ 函數的範圍，我們可以找到 $f(x)$ 的最大值和最小值。

我們要求函數 $f(x) = \cos(2\sin(x))$ 在區間 $x \in (0, 2\pi)$ 上的極值。
首先，我們知道 $\sin(x)$ 的值域是 $[-1, 1]$。
因此，$2\sin(x)$ 的值域是 $[-2, 2]$。

現在我們需要考慮函數 $g(u) = \cos(u)$ 在區間 $u \in [-2, 2]$ 上的極值。
在區間 $[0, \pi]$ 上，$\cos(u)$ 是遞減函數。
在區間 $[-\pi, 0]$ 上，$\cos(u)$ 是遞增函數。
而我們考慮的區間是 $[-2, 2]$。
由於 $-2$ 和 $2$ 這兩個值都比 $\pi \approx 3.14159$ 小，所以我們在 $[-2, 2]$ 這個區間內，$\cos(u)$ 的行為如下：

• 在 $[-2, 0]$ 上，$\cos(u)$ 是遞增的。
• 在 $[0, 2]$ 上，$\cos(u)$ 是遞減的。

因此，$\cos(u)$ 在 $u=0$ 時取得最大值，在 $u=-2$ 或 $u=2$ 時取得最小值。
最大值為 $\cos(0) = 1$。
最小值為 $\cos(2)$ 或 $\cos(-2)$，由於 $\cos$ 是偶函數，$\cos(2) = \cos(-2)$。

接下來，我們將這個分析應用回 $f(x) = \cos(2\sin(x))$。
$f(x)$ 的最大值發生在 $2\sin(x) = 0$ 的時候。
$2\sin(x) = 0 \implies \sin(x) = 0$。
在區間 $x \in (0, 2\pi)$ 上，$\sin(x) = 0$ 的解為 $x = \pi$。

核心觀念

被積分函數為

$$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} =\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} =\frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|}, \qquad x\ne 0.$$

關鍵在於 $\sqrt{x^2}=|x|$，不能直接寫成 $x$。因此必須依 $x$ 的正負分段處理：

• 當 $x>0$ 時，$|x|=x$；
• 當 $x<0$ 時，$|x|=-x$。

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解題方法

先計算基本積分

$$I=\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx.$$

令

$$u=\sqrt{x^2+1}.$$

則 $u^2=x^2+1$，微分得

$$2u\,du=2x\,dx, \qquad dx=\frac{u}{x}\,du.$$

且

$$x^2=u^2-1.$$

因此

$$I =\int \frac{u}{x}\cdot \frac{u}{x}\,du =\int \frac{u^2}{x^2}\,du =\int \frac{u^2}{u^2-1}\,du.$$

拆分為

$$\frac{u^2}{u^2-1} =1+\frac{1}{u^2-1}.$$

再作部分分式分解：

$$\frac{1}{u^2-1} =\frac{1}{(u-1)(u+1)} =\frac12\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right).$$

故

$$I =\int\left[ 1+\frac12\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right) \right]du.$$

積分後得到

$$I =u+\frac12\ln|u-1|-\frac12\ln|u+1|+C.$$

由於 $u=\sqrt{x^2+1}>1$，所以 $u+1>0$，並且

$$\frac12\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| =\ln\left(\frac{u-1}{u+1}\right)^{1/2}.$$

利用

$$(u-1)(u+1)=u^2-1=x^2,$$

可得

$$\frac{u-1}{u+1} =\frac{x^2}{(u+1)^2}.$$

因此

$$\frac12\ln\left(\frac{u-1}{u+1}\right) =\ln\left(\frac{|x|}{u+1}\right).$$

代回 $u=\sqrt{x^2+1}$：

$$\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx = \sqrt{x^2+1} +\ln\left(\frac{|x|}{1+\sqrt{x^2+1}}\right)+C.$$

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分段處理原題

原積分為

此題考查的是二重積分的計算，積分區域為圓盤，被積函數包含 $\sqrt{x^2+y^2}$，因此適合使用極座標轉換。

積分區域 $R$ 為圓盤 $x^2+y^2 \le 9$，這是一個以原點為圓心，半徑為 3 的圓盤。
被積函數為 $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$。
當我們將積分區域和被積函數轉換到極座標時，我們有：
$x = r\cos\theta$
$y = r\sin\theta$
$x^2+y^2 = r^2$
$\sqrt{x^2+y^2} = r$ (因為 $r \ge 0$)
$dA = r dr d\theta$

積分區域 $R$ 在極座標下對應於：
$0 \le r \le 3$
$0 \le \theta \le 2\pi$

被積函數 $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 轉換為 $\frac{1}{r}$。
然而，注意到當 $r \to 0$ 時，被積函數 $\frac{1}{r} \to \infty$。這表示原點是一個奇異點。我們需要確認這個瑕積分是否收斂。

二重積分變為：
$I = \int_0^{2\pi} \int_0^3 \frac{1}{r} \cdot r dr d\theta$
$I = \int_0^{2\pi} \int_0^3 1 dr d\theta$

先計算內層積分：
$\int_0^3 1 dr = [r]_0^3 = 3 - 0 = 3$。

此題考查的是函數極值應用，透過分析給定的耗油函數，找出其最小值對應的速度。

題目給定的函數是 $f(x) = (x-90)^2 + 364$，其中 $x$ 代表汽車的速度（公里/小時），$f(x)$ 代表每小時的耗油量（公升/小時）。
然而，題目要求的是「每公里所使用的油耗越少越好」，這表示我們需要考慮的是「每公里油耗」，而不是「每小時油耗」。

假設速度為 $x$ km/hr。
每小時耗油量為 $f(x) = (x-90)^2 + 364$ L/hr。
每小時行駛距離為 $x$ km/hr。

因此，每公里油耗 $g(x)$ 可以表示為：
$g(x) = \frac{\text{每小時耗油量}}{\text{每小時行駛距離}} = \frac{f(x)}{x} = \frac{(x-90)^2 + 364}{x}$ L/km。

我們的目標是找到使 $g(x)$ 最小的速度 $x$。
我們需要對 $g(x)$ 求導，並找出其臨界點。
$g(x) = \frac{x^2 - 180x + 8100 + 364}{x} = \frac{x^2 - 180x + 8464}{x}$
$g(x) = x - 180 + \frac{8464}{x}$

現在我們求 $g(x)$ 對 $x$ 的導數：
$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( x - 180 + \frac{8464}{x} \right)$
$g'(x) = 1 - 0 - \frac{8464}{x^2}$
$g'(x) = 1 - \frac{8464}{x^2}$

為了找到極值，我們令 $g'(x) = 0$：
$1 - \frac{8464}{x^2} = 0$
$1 = \frac{8464}{x^2}$
$x^2 = 8464$
$x = \pm \sqrt{8464}$

我們需要計算 $\sqrt{8464}$。
$90^2 = 8100$
$92^2 = (90+2)^2 = 8100 + 2 \cdot 90 \cdot 2 + 4 = 8100 + 360 + 4 = 8464$。
所以，$x = \pm 92$。

由於速度 $x$ 必須是正值，我們只考慮 $x = 92$ km/hr。

此題考查線性代數中的 Gram-Schmidt 正交化過程，以及 QR 分解。QR 分解是將一個矩陣 A 分解為一個正交矩陣 Q 和一個上三角矩陣 R 的乘積。

給定矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$。
Gram-Schmidt 正交化過程是將矩陣 A 的列向量組轉換為一組正交向量組，然後將其正規化為正交向量組。

令 $a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $a_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 為 A 的列向量。
我們將使用 Gram-Schmidt 過程來找到一組正交向量 $u_1, u_2$ 和一組標準正交向量 $q_1, q_2$。

步驟 1: 找到第一個正交向量 $u_1$。
$u_1 = a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。

步驟 2: 找到第一個標準正交向量 $q_1$。
$q_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|}$。
$\|u_1\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$。
$q_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \end{bmatrix}$。

步驟 3: 找到第二個正交向量 $u_2$。
$u_2 = a_2 - \mathrm{proj}_{u_1} a_2 = a_2 - \frac{a_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1$。
$a_2 \cdot u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$。
$u_1 \cdot u_1 = \|u_1\|^2 = 6$。
$u_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{3}{6} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 1/2 \\ 1 - 1 \\ 0 - 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 0 \\ -1/2 \end{bmatrix}$。

步驟 4: 找到第二個標準正交向量 $q_2$。
$q_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|}$。
$\|u_2\| = \sqrt{(1/2)^2 + 0^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 0 + 1/4} = \sqrt{2/4} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
$q_2 = \frac{1}{1/\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 0 \\ -1/2 \end{bmatrix} = \sqrt{2} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 0 \\ -1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 \\ 0 \\ -\sqrt{2}/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$。

現在我們有了標準正交向量 $q_1$ 和 $q_2$。
矩陣 Q 的列向量是 $q_1$ 和 $q_2$。
$Q = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} \\ 2/\sqrt{6} & 0 \\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$。

矩陣 R 的元素 $r_{ij}$ 可以通過以下方式找到：
$a_1 = r_{11} q_1 + r_{21} q_2 + \dots$
$a_2 = r_{12} q_1 + r_{22} q_2 + \dots$
由於我們只有兩個向量，所以：
$a_1 = r_{11} q_1$
$a_2 = r_{12} q_1 + r_{22} q_2$

更一般地，Gram-Schmidt 過程給出了：
$a_1 = u_1 = r_{11} q_1$ (這裡 $r_{11} = \|u_1\|$)
$a_2 = \mathrm{proj}_{q_1} a_2 + \mathrm{proj}_{q_2} a_2 = (a_2 \cdot q_1) q_1 + (a_2 \cdot q_2) q_2$
這裡 $r_{12} = a_2 \cdot q_1$ 和 $r_{22} = a_2 \cdot q_2$。

此題考查線性代數中矩陣的列空間 (Column Space) 和左零空間 (Left Null Space) 的求解。

首先，我們來求解矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 的列空間 $C(A)$。
列空間是由矩陣 A 的列向量線性展開所形成的向量空間。
列向量為 $a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $a_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。
$C(A) = \mathrm{span} \{a_1, a_2\} = \mathrm{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$。
由於這兩個向量顯然不是線性相關的（它們不成比例），所以它們構成 $C(A)$ 的一個基底。
$C(A)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一個二維子空間。
我們可以寫出 $C(A)$ 的一個基底為 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$。

接下來，我們來求解矩陣 $A^T$ 的零空間，也就是 $A$ 的左零空間 $N(A^T)$。
首先，寫出 $A^T$：
$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$。
$N(A^T)$ 是所有滿足 $A^T x = 0$ 的向量 $x$ 的集合。
我們需要解方程組：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

將矩陣 $A^T$ 化為列階梯形矩陣：

此題要求證明矩陣 A 的列空間 $C(A)$ 與其左零空間 $N(A^T)$ 是正交的。

根據線性代數的基本定理，對於任何 $m \times n$ 矩陣 A，其列空間 $C(A)$ 與其左零空間 $N(A^T)$ 是正交補空間（Orthogonal Complements）。這意味著 $C(A) = (N(A^T))^\perp$ 且 $N(A^T) = (C(A))^\perp$。

要證明 $C(A)$ 和 $N(A^T)$ 是正交的，我們只需要證明對於 $C(A)$ 中的任意向量 $v$ 和 $N(A^T)$ 中的任意向量 $w$，它們的內積 $v \cdot w$ 等於 0。

我們已經知道：
$C(A)$ 的一個基底是 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$。
$N(A^T)$ 的一個基底是 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$。

令 $v \in C(A)$ 和 $w \in N(A^T)$。
那麼 $v$ 可以寫成 $v = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，其中 $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$。
$w$ 可以寫成 $w = d \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，其中 $d \in \mathbb{R}$。

現在計算 $v \cdot w$：
$v \cdot w = \left( c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) \cdot \left( d \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right)$

此題要求將向量 $b$ 分解為 $C(A)$ 中的向量 $b_1$ 和 $N(A^T)$ 中的向量 $b_2$ 的和。這實際上是將向量 $b$ 投影到 $C(A)$ 和 $N(A^T)$ 上。由於 $C(A)$ 和 $N(A^T)$ 是正交補空間，這種分解是唯一的。

我們知道：
$C(A) = \mathrm{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$。
$N(A^T) = \mathrm{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$。

向量 $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$。

我們需要找到 $b_1 \in C(A)$ 和 $b_2 \in N(A^T)$ 使得 $b = b_1 + b_2$。
這意味著 $b_1$ 是 $b$ 在 $C(A)$ 上的投影，而 $b_2$ 是 $b$ 在 $N(A^T)$ 上的投影。
由於 $N(A^T)$ 的維度較低（為 1），我們更容易計算 $b_2$。
$b_2$ 是 $b$ 在 $N(A^T)$ 的基底向量 $v = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 上的投影。
$b_2 = \mathrm{proj}_v b = \frac{b \cdot v}{v \cdot v} v$。

計算點積：
$b \cdot v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1(1) + 2(-1) + (-1)(1) = 1 - 2 - 1 = -2$。
$v \cdot v = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$。

所以，$b_2 = \frac{-2}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{bmatrix}$。

現在，由於 $b = b_1 + b_2$，我們可以找到 $b_1$：

此題要求找到一個投影矩陣 $P$，使得將向量 $b$ 投影到 $C(A)$ 上後得到的向量 $b_1$ 滿足 $b_1 = Pb$。

我們知道 $b_1$ 是 $b$ 在 $C(A)$ 上的投影。
$C(A)$ 的基底是 $a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $a_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。
矩陣 A 的列向量就是 $C(A)$ 的基底。
投影矩陣 $P$ 到 $C(A)$ 的公式是 $P = A(A^T A)^{-1} A^T$。

首先，計算 $A^T A$：
$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$。
$A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+2(2)+1(1) & 1(1)+2(1)+1(0) \\ 1(1)+1(2)+0(1) & 1(1)+1(1)+0(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4+1 & 1+2 \\ 1+2 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$。

接下來，計算 $(A^T A)^{-1}$。
對於一個 2x2 矩陣 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，其逆矩陣為 $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$。
在這裡，$a=6, b=3, c=3, d=2$。
$ad-bc = 6(2) - 3(3) = 12 - 9 = 3$。
$(A^T A)^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$。

現在，計算 $P = A(A^T A)^{-1} A^T$：
$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2/3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$。

先計算 $A(A^T A)^{-1}$：

此題考查向量在直線上的正交投影。直線 $L$ 的方程為 $y=mx$，這表示直線通過原點，且斜率為 $m$。向量 $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$。我們需要找到向量 $x$ 在直線 $L$ 上的投影 $x_p$。

直線 $L$ 可以由其方向向量表示。由於 $y=mx$，當 $x=1$ 時，$y=m$。所以，直線 $L$ 的一個方向向量是 $v = \begin{bmatrix} 1 \\ m \end{bmatrix}$。
任何在直線 $L$ 上的向量都可以是這個方向向量的倍數。

向量 $x_p$ 是向量 $x$ 在方向向量 $v$ 上的投影。
投影公式為：$x_p = \mathrm{proj}_v x = \frac{x \cdot v}{v \cdot v} v$。

計算點積：
$x \cdot v = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ m \end{bmatrix} = x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot m = x_1 + mx_2$。

此題要求找到一個投影矩陣 $P$，使得將向量 $x$ 投影到直線 $L$（方程為 $y=mx$）上後得到的向量 $x_p$ 滿足 $x_p = Px$。

我們知道直線 $L$ 的方向向量是 $v = \begin{bmatrix} 1 \\ m \end{bmatrix}$。
投影矩陣 $P$ 到由向量 $v$ 張成的空間的公式是 $P = \frac{vv^T}{v^T v}$。

首先，計算 $v^T v$：
$v^T v = \begin{bmatrix} 1 & m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ m \end{bmatrix} = 1 \cdot 1 + m \cdot m = 1+m^2$。

接下來，計算 $vv^T$：