114 年 國立臺北大學統計學系碩士班《統計學》

本題在考驗單一樣本平均值的 $Z$ 檢定。我們需要根據顯著水準和拒絕域來計算臨界值 $a$，並進一步計算檢定的功效。

核心觀念： 單一樣本 $Z$ 檢定、顯著水準、拒絕域、檢定功效。

步驟一：求解臨界值 $a$

已知樣本來自常態分配，且母體變異數 $\sigma^2$ 已知。根據題意，檢定為單尾檢定（右尾），顯著水準 $\alpha = 0.05$。
拒絕域為 $R = \{\bar{y}: \bar{y} > 50 + a\}$。
在虛無假設 $H_0: \mu = 50$ 為真時，樣本平均數 $\bar{y}$ 的抽樣分配為 $\bar{y} \sim N(\mu=50, \sigma^2/n)$。
標準化後，$Z = \frac{\bar{y} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
拒絕域可以轉換為標準化變數 $Z$ 的形式：
$\bar{y} > 50 + a \implies \frac{\bar{y} - 50}{\sigma/\sqrt{n}} > \frac{50 + a - 50}{\sigma/\sqrt{n}} \implies Z > \frac{a}{\sigma/\sqrt{n}}$。
由於顯著水準為 $\alpha = 0.05$，且為右尾檢定，我們有 $P(Z > \frac{a}{\sigma/\sqrt{n}}) = 0.05$。
查標準常態分配表，當 $P(Z > z_\alpha) = 0.05$ 時，$z_\alpha \approx 1.645$。
因此，$\frac{a}{\sigma/\sqrt{n}} = 1.645$。
所以，$a = 1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

步驟二：計算檢定功效

檢定功效 (Power of the test) 定義為在對立假設為真時，正確拒絕虛無假設的機率。
即，Power $= P(\text{Reject } H_0 | \mu = 60)$。
在虛無假設 $H_0: \mu = 50$ 下，拒絕域為 $\bar{y} > 50 + a$。

核心觀念

本題考查「二項分配的隨機試驗次數服從卜瓦松分配」的 thinning property：

• $X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$；
• 給定 $X=x$ 時，$Y\mid X=x\sim\operatorname{Binomial}(x,p)$；
• 每一個原本被計入 $X$ 的事件，以機率 $p$ 被計入 $Y$，因此 $Y$ 仍服從卜瓦松分配，參數變為 $\lambda p$。

題目中的 $P_X(x)$ 應為標準卜瓦松機率質量函數

$$P_X(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots$$

原題文字少寫了 $\lambda^x$，且卜瓦松分配的支撐通常包含 $x=0$。

解題方法：直接求邊際分配

由全機率公式，

$$P_Y(y)=\sum_{x=y}^{\infty}P_{Y\mid X}(y\mid x)P_X(x).$$

代入題目中的條件分配與卜瓦松分配：

$$\begin{aligned} P_Y(y) &=\sum_{x=y}^{\infty} \binom{x}{y}p^y(1-p)^{x-y} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}. \end{aligned}$$

利用

$$\binom{x}{y}\frac{1}{x!} =\frac{1}{y!(x-y)!},$$

得

$$P_Y(y) = \sum_{x=y}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x p^y(1-p)^{x-y}} {y!(x-y)!}.$$

令 $k=x-y$，則 $x=k+y$，因此

$$\begin{aligned} P_Y(y) &= \frac{e^{-\lambda}(\lambda p)^y}{y!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\{\lambda(1-p)\}^k}{k!}\\ &= \frac{e^{-\lambda}(\lambda p)^y}{y!} e^{\lambda(1-p)}\\ &= \frac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^y}{y!}, \qquad y=0,1,2,\ldots \end{aligned}$$

這正是參數為 $\lambda p$ 的卜瓦松分配：

$$Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda p).$$

變異數

使用全變異數公式：

本題考驗隨機變數的線性組合的機率分配，以及分位數的計算。

核心觀念： 獨立隨機變數的線性組合、機率分配的計算、分位數的定義。

步驟一：定義單一投資的回報

設 $X_1$ 為第一個投資的回報， $X_2$ 為第二個投資的回報。
已知每個投資有以下幾種可能的回報：

1. 損失 $5$ 百萬：回報為 $-5$
2. 損失 $1$ 百萬：回報為 $-1$
3. 獲得 $2$ 百萬：回報為 $2$

每個投資的回報分配如下：

• $P(X_i = -5) = 0.04$
• $P(X_i = -1) = 0.02$
• $P(X_i = 2) = 0.94$

驗證總機率：$0.04 + 0.02 + 0.94 = 1.00$。

步驟二：計算單一投資的期望值和變異數（非必需，但有助理解）

$E[X_i] = (-5)(0.04) + (-1)(0.02) + (2)(0.94)$
$E[X_i] = -0.20 - 0.02 + 1.88 = 1.66$ (百萬)

$E[X_i^2] = (-5)^2(0.04) + (-1)^2(0.02) + (2)^2(0.94)$
$E[X_i^2] = (25)(0.04) + (1)(0.02) + (4)(0.94)$
$E[X_i^2] = 1.00 + 0.02 + 3.76 = 4.78$

$Var(X_i) = E[X_i^2] - (E[X_i])^2 = 4.78 - (1.66)^2 = 4.78 - 2.7556 = 2.0244$

步驟三：定義投資組合的回報

投資組合的總回報為 $T = X_1 + X_2$。
由於 $X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的，且具有相同的機率分配，我們可以計算 $T$ 的所有可能值及其機率。

$X_1$ 的可能值：$-5, -1, 2$
$X_2$ 的可能值：$-5, -1, 2$

$T = X_1 + X_2$ 的所有可能組合及其機率：

1. $X_1 = -5, X_2 = -5 \implies T = -10$
   $P(T = -10) = P(X_1 = -5) P(X_2 = -5) = (0.04)(0.04) = 0.0016$
2. $X_1 = -5, X_2 = -1 \implies T = -6$
   $P(T = -6) = P(X_1 = -5) P(X_2 = -1) = (0.04)(0.02) = 0.0008$
3. $X_1 = -5, X_2 = 2 \implies T = -3$
   $P(T = -3) = P(X_1 = -5) P(X_2 = 2) = (0.04)(0.94) = 0.0376$
4. $X_1 = -1, X_2 = -5 \implies T = -6$
   $P(T = -6) = P(X_1 = -1) P(X_2 = -5) = (0.02)(0.04) = 0.0008$
5. $X_1 = -1, X_2 = -1 \implies T = -2$
   $P(T = -2) = P(X_1 = -1) P(X_2 = -1) = (0.02)(0.02) = 0.0004$

核心觀念

本題考查常態母體下兩個平方和的卡方分配：

1. 若 $X_1,\ldots,X_n$ 為來自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的隨機樣本，且 $\mu$ 已知，則
   $\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2_n.$

2. 若母平均數未知，以樣本平均數 $\bar X$ 估計，則
   $\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\sim\chi^2_{n-1}.$

其中，自由度減少 $1$ 是因為估計了 $\mu$。

解題方法

題目定義

$$s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2.$$

因此

$$\frac{n-1}{\sigma^2}s_1^2 = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2.$$

由於中心是真實且已知的母平均數 $\mu$，沒有使用樣本資料估計參數，所以自由度為 $n$。當 $n=60$ 時，

$$\frac{n-1}{\sigma^2}s_1^2\sim\chi^2_{60}.$$

再看

$$s_2^2=\frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2.$$

因此

$$\frac{n-2}{\sigma^2}s_2^2 = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2.$$

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 有限母體變異數
2. 不放回抽樣下，樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分配與變異數

若母體大小為 $N$，抽取樣本數為 $n$，且採用不放回簡單隨機抽樣，則：

$$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n} \left(\frac{N-n}{N-1}\right)$$

其中

$$\frac{N-n}{N-1}$$

稱為有限母體修正因子（finite population correction, FPC）。

---

解題方法一：先求母體變異數

母體為：

$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9$$

母體平均數為：

$$\mu=\frac{1+3+5+7+9}{5}=5$$

母體變異數的定義為：

$$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

因此：

$$\sigma^2 = \frac{(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{5}$$ $$= \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8$$

所以第一個空格為：

$$\boxed{\sigma^2=8}$$

---

解題方法二：列出十個可能樣本與樣本平均數

由五個物體中不放回抽取兩個，樣本數為：

$$\binom{5}{2}=10$$

十個樣本及其樣本平均數如下：

樣本	$\bar X$
$(1,3)$	$2$
$(1,5)$	$3$
$(1,7)$	$4$
$(1,9)$	$5$
$(3,5)$	$4$
$(3,7)$	$5$
$(3,9)$	$6$
$(5,7)$	$6$
$(5,9)$	$7$
$(7,9)$	$8$

樣本平均數的平均值為：

$$E(\bar X) = \frac{2+3+4+5+4+5+6+6+7+8}{10} = \frac{50}{10} = 5$$

這也符合不放回簡單隨機抽樣下：

$$E(\bar X)=\mu=5$$

接著計算樣本平均數的變異數：

$$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{1}{10}\sum_{j=1}^{10}(\bar x_j-5)^2$$ $$= \frac{(2-5)^2+(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(4-5)^2} {10}$$ $$\quad+ \frac{(5-5)^2+(6-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2}{10}$$ $$= \frac{9+4+1+0+1+0+1+1+4+9}{10} = \frac{30}{10} = 3$$

本題考驗對兩個獨立常態母體變異數的 $F$ 檢定。

核心觀念： 兩個獨立樣本變異數的 $F$ 檢定。

步驟一：設定虛無假設與對立假設

我們要檢定的是男性和女性 SAT 分數變異數是否存在顯著差異。
虛無假設 $H_0$：男性與女性 SAT 分數的母體變異數相等。
對立假設 $H_a$：男性與女性 SAT 分數的母體變異數不相等。

數學表示：
$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
$H_a: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$

其中 $\sigma_1^2$ 是男性 SAT 分數的母體變異數，$\sigma_2^2$ 是女性 SAT 分數的母體變異數。

步驟二：識別樣本數據

• 男性樣本：$n_1 = 36$, $s_1 = 90$。樣本變異數 $s_1^2 = 90^2 = 8100$。
• 女性樣本：$n_2 = 16$, $s_2 = 130$。樣本變異數 $s_2^2 = 130^2 = 16900$。

步驟三：計算檢定統計量

兩個獨立常態母體變異數的 ratio 的檢定，我們使用 $F$ 檢定統計量：
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ 或 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$。
通常，我們將較大的樣本變異數放在分子，以進行右尾檢定，並調整自由度。
這裡 $s_2^2 = 16900$ 較大，$s_1^2 = 8100$ 較小。
所以，我們計算 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$。

$F = \frac{16900}{8100} \approx 2.0864$。

自由度：
分子自由度 $df_1 = n_2 - 1 = 16 - 1 = 15$。
分母自由度 $df_2 = n_1 - 1 = 36 - 1 = 35$。

步驟四：決定顯著水準與臨界值

題目沒有明確指定顯著水準，但通常在 II. 問答題部分，除非另有說明，顯著水準為 $\alpha = 0.05$。
由於這是雙尾檢定 ($H_a: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$)，我們需要將 $\alpha$ 分配到兩邊，即 $\alpha/2 = 0.025$。
我們需要尋找 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 和 $F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$。
由於我們將較大的變異數放在分子，我們只需要考慮右尾臨界值。
臨界值 $F_{0.025, 15, 35}$。

本題考驗兩個獨立常態母體平均值的 $t$ 檢定，特別是單尾檢定。

核心觀念： 兩個獨立樣本 $t$ 檢定（變異數相等或不等）。

步驟一：設定虛無假設與對立假設

我們要檢定的是男性 SAT 平均分數是否顯著低於女性 SAT 平均分數。
虛無假設 $H_0$：男性與女性 SAT 分數的母體平均數相等。
對立假設 $H_a$：男性 SAT 的母體平均數顯著低於女性 SAT 的母體平均數。

數學表示：
$H_0: \mu_1 = \mu_2$ (或 $\mu_1 - \mu_2 = 0$)
$H_a: \mu_1 < \mu_2$ (或 $\mu_1 - \mu_2 < 0$)

其中 $\mu_1$ 是男性 SAT 分數的母體平均數，$\mu_2$ 是女性 SAT 分數的母體平均數。
這是一個左尾檢定。

步驟二：識別樣本數據

• 男性樣本：$n_1 = 36$, $\bar{x}_1 = 1300$, $s_1 = 90$, $s_1^2 = 8100$。
• 女性樣本：$n_2 = 16$, $\bar{x}_2 = 1360$, $s_2 = 130$, $s_2^2 = 16900$。

步驟三：判斷是否需要進行變異數相等檢定

在進行 $t$ 檢定之前，我們需要知道是否可以假設兩個母體變異數相等。
在上一題 (II. 1. (1)) 中，我們進行了 $F$ 檢定來比較兩個母體變異數。
$F = \frac{s_2^2}{s_1^2} \approx 2.0864$，自由度為 $(15, 35)$。
臨界值 $F_{0.025, 15, 35} \approx 2.089$。
由於 $2.0864 < 2.089$，我們沒有拒絕虛無假設 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$。
因此，在這個問題中，我們可以假設兩個母體變異數相等，並使用合併變異數的 $t$ 檢定公式。

步驟四：計算合併變異數 $s_p^2$

當假設 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 時，合併變異數 $s_p^2$ 為：
$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
$s_p^2 = \frac{(36-1)(90^2) + (16-1)(130^2)}{36 + 16 - 2}$
$s_p^2 = \frac{(35)(8100) + (15)(16900)}{50}$
$s_p^2 = \frac{283500 + 253500}{50}$
$s_p^2 = \frac{537000}{50} = 10740$。

步驟五：計算 $t$ 檢定統計量

$t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$
在虛無假設下，$(\mu_1 - \mu_2) = 0$。
$s_p = \sqrt{s_p^2} = \sqrt{10740} \approx 103.634$。

$t = \frac{(1300 - 1360) - 0}{103.634 \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{16}}}$
$t = \frac{-60}{103.634 \sqrt{0.027778 + 0.0625}}$
$t = \frac{-60}{103.634 \sqrt{0.090278}}$
$t = \frac{-60}{103.634 \times 0.30046}$
$t = \frac{-60}{31.127}$
$t \approx -1.9275$。

本題考驗兩個獨立樣本比例的卡方檢定（或 $z$ 檢定）。

核心觀念： 兩個比例的卡方檢定，或使用標準常態 $z$ 檢定。

步驟一：設定虛無假設與對立假設

我們要檢定的是男性與女性學生中，州內學生比例是否相同。
虛無假設 $H_0$: 男性與女性學生中，州內學生的比例相同 ($p_1 = p_2$)。
對立假設 $H_a$: 男性與女性學生中，州內學生的比例不同 ($p_1 \neq p_2$)。

其中 $p_1$ 是男性學生中州內學生的比例，$p_2$ 是女性學生中州內學生的比例。
這是一個雙尾檢定。

步驟二：整理數據

從表格中提取所需數據：

• 男性：樣本總數 $n_1 = 36$，州內學生數 $x_1 = 16$。
• 女性：樣本總數 $n_2 = 16$，州內學生數 $x_2 = 10$。

步驟三：計算樣本比例

• 男性州內比例 $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{16}{36} \approx 0.4444$。
• 女性州內比例 $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{10}{16} = 0.6250$。

步驟四：計算合併比例 $\hat{p}$

在虛無假設下，我們估計所有學生的州內學生比例。
合併州內學生數 $x = x_1 + x_2 = 16 + 10 = 26$。
合併樣本總數 $n = n_1 + n_2 = 36 + 16 = 52$。
合併比例 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{26}{52} = 0.5$。

步驟五：計算檢定統計量

我們可以使用卡方檢定或 $z$ 檢定。

方法一：卡方檢定

卡方檢定用於比較兩個或多個類別變數的獨立性。在這裡，我們檢定「性別」和「是否為州內學生」是否獨立。
首先，構建期望次數表：

Gender	In-state (Observed)	Out-of-state (Observed)	Total
Male	16	$36 - 16 = 20$	36
Female	10	$16 - 10 = 6$	16
Total	26	$20 + 6 = 26$	52

計算期望次數 $E_{ij} = \frac{\text{Row Total}_i \times \text{Column Total}_j}{\text{Grand Total}}$：

• Male, In-state: $E_{11} = \frac{36 \times 26}{52} = \frac{36 \times 1}{2} = 18$
• Male, Out-of-state: $E_{12} = \frac{36 \times 26}{52} = 18$
• Female, In-state: $E_{21} = \frac{16 \times 26}{52} = \frac{16 \times 1}{2} = 8$
• Female, Out-of-state: $E_{22} = \frac{16 \times 26}{52} = 8$

計算卡方統計量 $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$：
$\chi^2 = \frac{(16-18)^2}{18} + \frac{(20-18)^2}{18} + \frac{(10-8)^2}{8} + \frac{(6-8)^2}{8}$

本題考驗兩個獨立比例的信賴區間建構。

核心觀念： 兩個比例差的信賴區間。

步驟一：識別樣本數據與目標

我們要建構男性與女性學生中，州內學生比例差異的 95% 信賴區間。
樣本比例差異為 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$。

• 男性：$n_1 = 36$, $x_1 = 16$, $\hat{p}_1 = 16/36 \approx 0.4444$。
• 女性：$n_2 = 16$, $x_2 = 10$, $\hat{p}_2 = 10/16 = 0.6250$。

信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
由於是雙尾信賴區間，我們需要 $z_{\alpha/2} = z_{0.025}$。

步驟二：計算樣本比例差異

比例差異 $= \hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.4444 - 0.6250 = -0.1806$。

步驟三：計算標準誤

在建構比例差的信賴區間時，我們使用合併比例 $\hat{p}$ 來估計標準誤，因為我們通常假設虛無假設下比例相等。
從上題 (II. 1. (3))，我們計算出合併比例 $\hat{p} = 0.5$。

標準誤 (Standard Error, SE) 的公式為：
$SE(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}$
$SE = \sqrt{0.5(1-0.5)(\frac{1}{36} + \frac{1}{16})}$
$SE = \sqrt{0.25 \times (0.027778 + 0.0625)}$
$SE = \sqrt{0.25 \times 0.090278}$
$SE = \sqrt{0.0225695} \approx 0.15023$。

步驟四：尋找臨界 $z$ 值

對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
臨界 $z$ 值 $z_{0.025} = 1.96$。

步驟五：計算信賴區間

信賴區間的公式為：
(點估計) $\pm$ (臨界值) $\times$ (標準誤)
$(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \times SE(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)$

信賴區間 $= -0.1806 \pm 1.96 \times 0.15023$
信賴區間 $= -0.1806 \pm 0.29445$

本題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 中的組內變異數 (Within-group variance) 的計算。

核心觀念： 單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，組內變異數 (Within-group variance)，也稱為誤差變異數 (Error variance) 或 $MS_W$。

步驟一：識別數據

我們有三個獨立的組別（治療方法）：Medication, Exercise, Special Diet。

• 組 1 (Medication): $n_1 = 4$, $\bar{x}_1 = 10$, $s_1 = 6$, $s_1^2 = 36$。
• 組 2 (Exercise): $n_2 = 5$, $\bar{x}_2 = 12$, $s_2 = 12$, $s_2^2 = 144$。
• 組 3 (Special Diet): $n_3 = 4$, $\bar{x}_3 = 14$, $s_3 = 12$, $s_3^2 = 144$。

總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 4 + 5 + 4 = 13$。
組數 $k = 3$。

步驟二：計算組內平方和 (Sum of Squares Within, $SS_W$)

組內平方和是各組樣本變異數的加權平均。由於題目假設母體變異數相等，我們可以使用合併樣本變異數 $s_p^2$ 來計算。
$SS_W = \sum_{i=1}^k (n_i - 1) s_i^2$

本題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的檢定統計量 $F$ 的計算。

核心觀念： 單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，組間變異數 (Between-group variance)，組內變異數 (Within-group variance)，$F$ 檢定統計量。

步驟一：識別數據與先前計算結果

• 組別數 $k = 3$ (Medication, Exercise, Special Diet)。
• 樣本大小：$n_1 = 4, n_2 = 5, n_3 = 4$。總樣本數 $N = 13$。
• 組別均值：$\bar{x}_1 = 10, \bar{x}_2 = 12, \bar{x}_3 = 14$。
• 組內變異數 (Within-group variance, $MS_W$)：在上一題中已計算為 $MS_W = 111.6$。

步驟二：計算組間平方和 (Sum of Squares Between, $SS_B$)

組間平方和衡量各組均值與總均值之間的差異。
首先，計算所有樣本的總均值 $\bar{\bar{x}}$。
$\bar{\bar{x}} = \frac{\sum n_i \bar{x}_i}{N}$
$\bar{\bar{x}} = \frac{4(10) + 5(12) + 4(14)}{13}$
$\bar{\bar{x}} = \frac{40 + 60 + 56}{13} = \frac{156}{13} = 12$。

接著計算組間平方和：
$SS_B = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{x}_i - \bar{\bar{x}})^2$

核心觀念

本題檢定多元線性迴歸模型中，三個解釋變數 Age、Pressure、Smoker 是否至少有一個對中風風險具有顯著解釋力，使用整體迴歸顯著性之 $F$ 檢定。

迴歸模型可表示為：

$$Risk_i=\beta_0+\beta_1Age_i+\beta_2Pressure_i+\beta_3Smoker_i+\varepsilon_i$$

檢定假設為：

$$H_0:\beta_1=\beta_2=\beta_3=0$$ $$H_1:\text{至少有一個 }\beta_j\neq 0$$

其中不包含截距項 $\beta_0$。若拒絕 $H_0$，表示至少有一個預測變數對風險具有顯著線性解釋力。

$F$ 統計量為：

$$F=\frac{MSR}{MSE} =\frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}$$

其中：

• $n=20$：樣本數
• $k=3$：預測變數個數
• $SSE=530.21$：Residual Sum of Squares
• $SST=4190.95$：Total Sum of Squares
• $SSR=SST-SSE$

解題方法

先由平方和分解計算迴歸平方和：

$$SSR=SST-SSE$$ $$SSR=4190.95-530.21=3660.74$$

因此：

$$MSR=\frac{SSR}{k} =\frac{3660.74}{3} =1220.2467$$

誤差自由度為：

$$df_E=n-k-1=20-3-1=16$$

所以均方誤差為：

本題考驗複迴歸分析中，個別預測變數的顯著性檢定，通常使用 $t$ 檢定。

核心觀念： 複迴歸分析，個別迴歸係數的 $t$ 檢定。

步驟一：設定虛無假設與對立假設

我們要檢定的是「吸菸者」變數 (Smoker) 是否是預測中風風險的顯著預測因子。
虛無假設 $H_0$: 吸菸者變數的迴歸係數為零 ($\beta_{Smoker} = 0$)。
對立假設 $H_a$: 吸菸者變數的迴歸係數不為零 ($\beta_{Smoker} \neq 0$)。

這是一個雙尾檢定。

步驟二：識別數據

從迴歸結果表中提取與「Smoker」變數相關的數據：

• 迴歸係數 (coefficient) $\hat{\beta}_{Smoker} = 8.74$。
• 標準誤 (Standard error) $SE(\hat{\beta}_{Smoker}) = 3.00$。

步驟三：計算 $t$ 檢定統計量

$t$ 檢定統計量計算公式為：
$t = \frac{\hat{\beta} - \beta_0}{SE(\hat{\beta})}$
其中 $\beta_0$ 是虛無假設下的迴歸係數值。在本例中，$\beta_0 = 0$。

$t = \frac{8.74 - 0}{3.00} = \frac{8.74}{3.00} \approx 2.9133$。

步驟四：決定顯著水準與臨界值

題目未指定顯著水準，預設 $\alpha = 0.05$。
自由度 $df$ 是殘差自由度，從上一題計算得出 $df_{Error} = n - p - 1 = 20 - 3 - 1 = 16$。

本題考驗複迴歸分析中，決定係數 $R^2$ 的解釋。

核心觀念： 決定係數 ($R^2$)，解釋變異量。

步驟一：識別所需資訊

題目詢問「由 Age, Pressure, Smoker 這三個預測變數的線性效應所解釋的變異量百分比」。這正是決定係數 $R^2$ 的定義。
我們需要從 ANOVA 或迴歸結果中找到 $R^2$ 的值。

步驟二：從 ANOVA 表計算 $R^2$

在複迴歸分析中，決定係數 $R^2$ 定義為：
$R^2 = \frac{SSR}{SST}$
其中 $SSR$ 是迴歸平方和 (Sum of Squares Regression)，$SST$ 是總平方和 (Sum of Squares Total)。

從題目提供的 ANOVA 表資訊：

• Sum of Square Total ($SST$) = 4190.95
• Sum of Square Residual ($SSE$) = 530.21

我們需要計算迴歸平方和 $SSR$：
$SSR = SST - SSE$
$SSR = 4190.95 - 530.21 = 3660.74$。

步驟三：計算 $R^2$

本題考驗對獨立樣本比例的卡方適合度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test)。

核心觀念： 卡方適合度檢定，期望次數，觀察次數，檢定統計量。

步驟一：設定虛無假設與對立假設

我們要檢定的是，五種結果的機率是否均等 (皆為 0.2)。
虛無假設 $H_0$: $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = 0.2$。
對立假設 $H_a$: 至少有一個 $p_i \neq 0.2$。

步驟二：識別數據

• 實驗總複製數 $n = 60$。
• 可能的結果數 $k = 5$。
• 虛無假設下的期望機率 $p_i = 0.2$ 對於所有 $i=1, \ldots, 5$。
• 觀察到的次數 (Observed frequencies, $O_i$)：12, 7, 10, 14, 17。
  驗證觀察次數總和：$12 + 7 + 10 + 14 + 17 = 60$。這與總複製數一致。

步驟三：計算期望次數 (Expected frequencies, $E_i$)

在虛無假設下，每個結果的期望次數為：
$E_i = n \times p_i = 60 \times 0.2 = 12$。
所以，期望次數為 $E_1 = 12, E_2 = 12, E_3 = 12, E_4 = 12, E_5 = 12$。

步驟四：計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)

卡方統計量公式為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
$\chi^2 = \frac{(12-12)^2}{12} + \frac{(7-12)^2}{12} + \frac{(10-12)^2}{12} + \frac{(14-12)^2}{12} + \frac{(17-12)^2}{12}$

核心觀念

本題考查「二項分配的隨機試驗次數服從卜瓦松分配」的 thinning property：

• $X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$；
• 給定 $X=x$ 時，$Y\mid X=x\sim\operatorname{Binomial}(x,p)$；
• 每一個原本被計入 $X$ 的事件，以機率 $p$ 被計入 $Y$，因此 $Y$ 仍服從卜瓦松分配，參數變為 $\lambda p$。

題目中的 $P_X(x)$ 應為標準卜瓦松機率質量函數

$$P_X(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots$$

原題文字少寫了 $\lambda^x$，且卜瓦松分配的支撐通常包含 $x=0$。

解題方法：直接求邊際分配

由全機率公式，

$$P_Y(y)=\sum_{x=y}^{\infty}P_{Y\mid X}(y\mid x)P_X(x).$$

代入題目中的條件分配與卜瓦松分配：

$$\begin{aligned} P_Y(y) &=\sum_{x=y}^{\infty} \binom{x}{y}p^y(1-p)^{x-y} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}. \end{aligned}$$

利用

$$\binom{x}{y}\frac{1}{x!} =\frac{1}{y!(x-y)!},$$

得

$$P_Y(y) = \sum_{x=y}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x p^y(1-p)^{x-y}} {y!(x-y)!}.$$

令 $k=x-y$，則 $x=k+y$，因此

$$\begin{aligned} P_Y(y) &= \frac{e^{-\lambda}(\lambda p)^y}{y!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\{\lambda(1-p)\}^k}{k!}\\ &= \frac{e^{-\lambda}(\lambda p)^y}{y!} e^{\lambda(1-p)}\\ &= \frac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^y}{y!}, \qquad y=0,1,2,\ldots \end{aligned}$$

這正是參數為 $\lambda p$ 的卜瓦松分配：

$$Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda p).$$

變異數

使用全變異數公式：