111 年 國立臺北大學統計學系碩士班《統計學》

這題考驗對發生率的理解以及如何將其應用於機率計算。

a. 核心概念是將年發生率視為在一年內發生事件的機率，並利用指數分佈或近似方法計算未來幾年的發生機率。
我們假設年發生率 $\lambda$ 是固定的，並且事件的發生彼此獨立。對於一個 55 歲的男性，我們需要知道他未來 5 年發生大腸癌的機率。根據 Table 1，55-59 歲男性的年發生率（平均每年每十萬人）為 60.3。我們將此轉換為每人每年的發生率：
$\lambda = \frac{60.3}{100,000} = 0.000603$
假設發生次數服從 Poisson 分佈，則在 $t$ 年內發生事件的機率為 $1 - e^{-\lambda t}$。
在這裡，$t=5$ 年。
因此，一個 55 歲的男性在未來 5 年內發生大腸癌的機率為：
$P(\text{colon cancer in 5 years}) = 1 - e^{-\lambda \times 5}$
$P(\text{colon cancer in 5 years}) = 1 - e^{-0.000603 \times 5}$
$P(\text{colon cancer in 5 years}) = 1 - e^{-0.003015}$
$P(\text{colon cancer in 5 years}) \approx 1 - 0.996990 = 0.003010$

另一種近似方法是直接將年發生率乘以年數，如果年發生率很小，這個近似是相當準確的。
機率 $\approx \lambda \times t = 0.000603 \times 5 = 0.003015$
兩種方法結果非常接近。

【答案】約為 0.003010

b. 這題要求計算一個群體在一段時間內預期會發生的事件數量。
我們有 1000 位 50 歲、從未罹患癌症的男性。我們需要預期他們在 15 年內發生大腸癌的數量。
首先，我們需要確定 50 歲男性的年發生率。根據 Table 1，50-54 歲年齡層的大腸癌發生率為 35.7 / 100,000。
$\lambda_{50-54} = \frac{35.7}{100,000} = 0.000357$
這個發生率是針對 50-54 歲的年齡層。題目要求的是 50 歲男性在 15 年後的預期。

這題主要考驗對二項分佈的應用，以及如何利用期望值來檢定某種現象（在此為群聚）。

首先，我們需要從題目中提取關鍵資訊：
總共有 98 位居民，其中 46 位生病。
房間的配置：

• 13 間房間，每間 2 位住戶。
• 4 間房間，每間 3 位住戶。
• 15 間房間，每間 4 位住戶。

a. 核心概念是將二項分佈應用於房間內的生病人數。
我們需要計算在房間人數為 2 的情況下，生病人數的機率分佈。
首先，我們要估計單一個體感染的機率 $p$。
總共有 98 位居民，46 位生病。所以，生病的比例是 $p = \frac{46}{98} \approx 0.4694$。
這個 $p$ 是整個護理之家的平均感染機率。我們假設這個機率適用於房間內的任何兩個人。

對於有 2 位住戶的房間，設 $Y$ 為房間內生病的人數。$Y$ 服從二項分佈 $B(n=2, p \approx 0.4694)$。
我們需要計算 $P(Y=0)$, $P(Y=1)$, $P(Y=2)$。

$P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$P(Y=0) = \binom{2}{0} (0.4694)^0 (1-0.4694)^{2-0} = 1 \times 1 \times (0.5306)^2 \approx 0.2815$
$P(Y=1) = \binom{2}{1} (0.4694)^1 (1-0.4694)^{2-1} = 2 \times 0.4694 \times 0.5306 \approx 0.4979$
$P(Y=2) = \binom{2}{2} (0.4694)^2 (1-0.4694)^{2-2} = 1 \times (0.4694)^2 \times 1 \approx 0.2206$

驗證：$0.2815 + 0.4979 + 0.2206 = 1.0000$。

【答案】
$P(\text{0 affected people in a room with 2 occupants}) \approx 0.2815$
$P(\text{1 affected person in a room with 2 occupants}) \approx 0.4979$
$P(\text{2 affected people in a room with 2 occupants}) \approx 0.2206$

b. 核心概念是計算一個隨機變數的期望值。
我們需要計算整個護理之家（所有房間）中，有 2 個或更多住戶生病的房間數量的期望值。
首先，我們需要計算不同房間大小下，有 2 個或更多住戶生病的機率。
我們繼續使用 $p \approx 0.4694$ 作為感染機率。

對於有 2 位住戶的房間 ($n=2$)：
$P(\text{2 or more affected in } n=2) = P(Y=2) \approx 0.2206$ (由 a 部分計算得到)

對於有 3 位住戶的房間 ($n=3$)：
設 $Z$ 為房間內生病的人數， $Z \sim B(n=3, p \approx 0.4694)$。
$P(Z \ge 2) = P(Z=2) + P(Z=3)$
$P(Z=2) = \binom{3}{2} (0.4694)^2 (1-0.4694)^{3-2} = 3 \times (0.4694)^2 \times 0.5306 \approx 3 \times 0.2203 \times 0.5306 \approx 0.3505$
$P(Z=3) = \binom{3}{3} (0.4694)^3 (1-0.4694)^{3-3} = 1 \times (0.4694)^3 \times 1 \approx 0.1034$
$P(Z \ge 2) \approx 0.3505 + 0.1034 = 0.4539$

對於有 4 位住戶的房間 ($n=4$)：
設 $W$ 為房間內生病的人數， $W \sim B(n=4, p \approx 0.4694)$。
$P(W \ge 2) = P(W=2) + P(W=3) + P(W=4)$

這題考驗對指數分佈機率密度函數的理解，以及如何計算累積分佈函數和絕對值的機率。

a. 核心概念是計算累積分佈函數 (CDF)。
給定的機率密度函數 (PDF) 是 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ for $x \ge 0$, and $f(x) = 0$ for $x < 0$。這是一個指數分佈。
累積分佈函數 $F(t) = P(X < t)$ 是 PDF 對 $x$ 從 $-\infty$ 積到 $t$ 的積分。

我們需要分情況討論 $t$ 的可能值：

情況 1: $t < 0$
如果 $t$ 小於 0，那麼 $X < t$ 意味著 $X$ 必須是負數。然而，PDF 在 $x < 0$ 時為 0，所以 $P(X < t) = 0$。
$P(X < t) = \int_{-\infty}^{t} f(x) dx = \int_{-\infty}^{t} 0 dx = 0$

情況 2: $t \ge 0$
如果 $t$ 大於或等於 0，我們需要積分從 $-\infty$ 到 $t$。由於 PDF 在 $x < 0$ 時為 0，積分範圍實際上是從 0 到 $t$。
$P(X < t) = \int_{-\infty}^{t} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x} dx$
$P(X < t) = 0 + \lambda \int_{0}^{t} e^{-\lambda x} dx$
計算積分：
$\int e^{-\lambda x} dx = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}$
所以，
$\lambda \int_{0}^{t} e^{-\lambda x} dx = \lambda \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_{0}^{t}$
$= \lambda \left( -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} - (-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda \cdot 0}) \right)$
$= \lambda \left( -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} + \frac{1}{\lambda} e^0 \right)$

這題考驗對常態分佈及其樣本均值分佈的理解，以及如何計算信賴區間的邊際誤差。

a. 核心概念是樣本均值的標準誤 (standard error of the mean, SEM) 以及中央極限定理。
我們知道母體分數 $X$ 服從常態分佈 $N(\mu=70, \sigma=9)$。
當我們抽取一個樣本大小為 $n=9$ 的隨機樣本時，樣本均值 $\bar{X}$ 的分佈為：
$\bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}} = \mu, \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
$\mu_{\bar{X}} = 70$
$\sigma_{\bar{X}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$
所以，樣本均值 $\bar{X}$ 服從 $N(70, 3^2)$。

我們需要計算 $P(67 < \bar{X} < 71.5)$。
為了計算這個機率，我們將 $\bar{X}$ 標準化為標準常態分佈 $Z \sim N(0, 1)$。
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}$

對於 $\bar{X} = 67$:
$Z_1 = \frac{67 - 70}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

對於 $\bar{X} = 71.5$:
$Z_2 = \frac{71.5 - 70}{3} = \frac{1.5}{3} = 0.5$

這題考驗對多元迴歸分析結果的解讀，包含殘差計算、迴歸係數檢定、信賴區間以及整體迴歸模型的顯著性檢定。

首先，我們需要從 ANOVA 表和迴歸結果表中提取資訊。
樣本大小 $n=39$。
總平方和 $SST = 125.24930$。
迴歸平方和 $SSR = 83.81322$。
誤差平方和 $SSE = SST - SSR = 125.24930 - 83.81322 = 41.43608$。
誤差自由度 $df_E = n - (\text{number of predictors}) - 1 = 39 - 3 - 1 = 35$。
迴歸自由度 $df_R = \text{number of predictors} = 3$。
總自由度 $df_T = n-1 = 38$。
均方誤差 $MSE = \frac{SSE}{df_E} = \frac{41.43608}{35} \approx 1.183888$。
迴歸均方 $MSR = \frac{SSR}{df_R} = \frac{83.81322}{3} \approx 27.93774$。

迴歸方程式為：
$\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_{IQ} \cdot \text{IQ} + \hat{\beta}_{SC} \cdot \text{SC} + \hat{\beta}_{SEX} \cdot \text{SEX}$
$\hat{Y} = 0.56551 + 0.04845 \cdot \text{IQ} + 0.03696 \cdot \text{SC} - 1.08573 \cdot \text{SEX}$

a. 核心概念是殘差 (residual) 的定義。
殘差 $e$ 是實際觀測值 $Y$ 與預測值 $\hat{Y}$ 之間的差異：$e = Y - \hat{Y}$。
題目給定：
男性學生 (SEX=1)，IQ=100，SC=50，實際 AP score (Y) = 4。

首先，計算預測的 AP score ($\hat{Y}$)：
$\hat{Y} = 0.56551 + 0.04845 \times 100 + 0.03696 \times 50 - 1.08573 \times 1$
$\hat{Y} = 0.56551 + 4.845 + 1.848 - 1.08573$
$\hat{Y} = 6.17278$

然後，計算殘差：
$e = Y - \hat{Y} = 4 - 6.17278 = -2.17278$

【答案】殘差為 -2.17278。

b. 核心概念是檢定單一迴歸係數的顯著性。
我們要檢定 IQ score 是否為 AP score 的重要預測因子。這相當於檢定 IQ 的迴歸係數 $\beta_{IQ}$ 是否顯著不為零。
虛無假設 $H_0: \beta_{IQ} = 0$
對立假設 $H_a: \beta_{IQ} \ne 0$

我們可以使用 t 檢定。檢定統計量為：
$t = \frac{\hat{\beta}_{IQ} - 0}{\text{SE}(\hat{\beta}_{IQ})}$
從表中我們得到：
$\hat{\beta}_{IQ} = 0.04845$
$\text{SE}(\hat{\beta}_{IQ}) = 0.01658$

$t = \frac{0.04845}{0.01658} \approx 2.922$

要判斷是否顯著，我們需要比較這個 t 值與臨界值，或者計算 p-value。
顯著水準 $\alpha$ 未指定，但題目在開頭提到「Use significant level .05 unless otherwise specified」。

這題考驗對比例檢定 (hypothesis testing for proportions) 和比例信賴區間 (confidence interval for proportions) 的應用。

我們有兩個獨立樣本：男性和女性。
男性樣本：$n_m = 100$，成功次數 (願意花錢) $x_m = 30$。樣本比例 $\hat{p}_m = \frac{30}{100} = 0.30$。
女性樣本：$n_f = 100$，成功次數 $x_f = 10$。樣本比例 $\hat{p}_f = \frac{10}{100} = 0.10$。

a. 核心概念是進行雙樣本比例的檢定，以判斷男性比例是否顯著大於女性比例。
虛無假設 $H_0: p_m = p_f$ (男性願意花錢的比例等於女性)
對立假設 $H_a: p_m > p_f$ (男性願意花錢的比例大於女性)

這是單尾檢定。
為了進行檢定，我們通常合併兩個樣本的比例來估計共同比例 $\hat{p}_{pool}$，尤其是在 $H_0$ 為 $p_m = p_f$ 時。
合併比例 $\hat{p}_{pool} = \frac{x_m + x_f}{n_m + n_f} = \frac{30 + 10}{100 + 100} = \frac{40}{200} = 0.20$。
合併比例的標準誤為：
$SE_{pool} = \sqrt{\hat{p}_{pool}(1-\hat{p}_{pool})(\frac{1}{n_m} + \frac{1}{n_f})}$
$SE_{pool} = \sqrt{0.20(1-0.20)(\frac{1}{100} + \frac{1}{100})}$
$SE_{pool} = \sqrt{0.20 \times 0.80 \times (\frac{2}{100})}$
$SE_{pool} = \sqrt{0.16 \times 0.02} = \sqrt{0.0032} \approx 0.05657$

檢定統計量 z 值為：
$z = \frac{\hat{p}_m - \hat{p}_f}{SE_{pool}}$
$z = \frac{0.30 - 0.10}{0.05657} = \frac{0.20}{0.05657} \approx 3.535$

顯著水準 $\alpha = 0.05$ (題目未指定，但通常預設為 0.05)。
這是單尾檢定 $H_a: p_m > p_f$。
查閱標準常態分佈表，對於 $\alpha = 0.05$ 的單尾檢定，臨界值 $z_{0.05} \approx 1.645$。
由於我們的檢定統計量 $z \approx 3.535$ 遠大於臨界值 $1.645$，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：有足夠的證據表明，男性比女性更願意花錢購買豪華車。

這題考驗對假設檢定的第二類錯誤 (Type II error) 和檢定能力的理解。

已知：
母體標準差 $\sigma = 6$。
樣本大小 $n = 100$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
虛無假設 $H_0: \mu = 28$。
對立假設 $H_a: \mu \ne 28$ (雙尾檢定)。

a. 核心概念是計算在對立假設為真時，未能拒絕錯誤的虛無假設的機率。這就是第二類錯誤的機率，記為 $\beta$。
題目問的是「NOT rejecting $H_0$ for $\mu$ equal to 26」。這表示我們假設真實的母體平均值是 $\mu = 26$ (這是對立假設為真的一種情況)，但我們卻未能拒絕 $H_0: \mu = 28$。

首先，我們需要確定拒絕 $H_0$ 的區域 (Rejection Region)。
由於是雙尾檢定，我們需要找到臨界值。
樣本均值 $\bar{X}$ 的分佈為 $N(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n})$，其中 $\mu_0 = 28$ 是 $H_0$ 下的母體均值。
$\bar{X} \sim N(28, \frac{6^2}{100}) = N(28, \frac{36}{100}) = N(28, 0.36)$
樣本均值的標準誤 $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0.36} = 0.6$。

在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，雙尾檢定的臨界值是基於標準常態分佈 $Z$。
$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
拒絕域為 $|\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_{\bar{X}}}| > z_{\alpha/2}$。
$|\bar{X} - 28| > 1.96 \times 0.6$
$|\bar{X} - 28| > 1.176$
這意味著 $\bar{X} - 28 > 1.176$ 或 $\bar{X} - 28 < -1.176$。
所以，拒絕域為 $\bar{X} > 28 + 1.176 = 29.176$ 或 $\bar{X} < 28 - 1.176 = 26.824$。