115 年 國立臺北大學統計學系碩士班《統計學》

此題為一典型的二項分配近似常態分配問題。
首先，我們定義隨機變數 $X$ 為抽取 180 戶家庭中，擁有智慧型手機的家庭數量。
根據題意，每一次抽樣可以視為獨立的伯努利試驗，成功機率 $p = 0.72$。
因此，$X$ 服從二項分配 $B(n, p)$，其中 $n = 180$ 且 $p = 0.72$。
我們要求的是 $P(115 < X < 125)$。
由於 $n$ 很大，我們可以利用常態分配來近似二項分配。
計算二項分配的平均數與變異數：
$\mu = np = 180 \times 0.72 = 129.6$
$\sigma^2 = np(1-p) = 180 \times 0.72 \times (1 - 0.72) = 180 \times 0.72 \times 0.28 = 36.288$
標準差 $\sigma = \sqrt{36.288} \approx 6.024$

由於我們使用常態分配來近似二項分配，需要進行連續性修正 (continuity correction)。
$P(115 < X < 125) \approx P(115.5 < Y < 124.5)$，其中 $Y$ 為服從常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$ 的隨機變數。
將 $X$ 的值轉換為標準常態分配 $Z$ 的值：

此題考驗對抽樣分配的理解，特別是當母體標準差已知時，樣本平均數的抽樣分配。
我們已知母體標準差 $\sigma = 4,850$。
抽樣的樣本數為 $n = 34$。
由於 $n=34 > 30$，根據中央極限定理，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配近似於常態分配，其平均數為母體平均數 $\mu$，標準差為母體標準差除以樣本數的平方根（標準誤, standard error）。
然而，題目中僅給出德拉瓦州「人均年所得」為 51,803 美元，這裡應將其視為母體平均數 $\mu = 51,803$。

(a) 計算從德拉瓦州隨機抽取34位居民,其平均所得高於50,000美元的機率。
樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配近似為 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
平均數 $\mu = 51,803$
標準誤 $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4850}{\sqrt{34}} \approx \frac{4850}{5.831} \approx 831.75$
我們要求 $P(\bar{X} > 50000)$。
將 $\bar{X}$ 轉換為 $Z$ 值：

此題考驗對 Chebyshev's theorem 的應用。Chebyshev's theorem 提供了一個不依賴於資料分配的機率下限。
給定的樣本平均數 $\bar{x} = 12$，樣本標準差 $s = 3$。
我們要求資料落在區間 $[4, 20]$ 的百分比。
首先，計算該區間與樣本平均數的距離：
區間的下限 $4$ 與平均數 $12$ 的差距為 $|4 - 12| = 8$。
區間的上限 $20$ 與平均數 $12$ 的差距為 $|20 - 12| = 8$。
這個區間可以表示為 $[\bar{x} - 8, \bar{x} + 8]$。

Chebyshev's theorem 指出，對於任何一個隨機變數 $X$ 及其平均數 $\mu$ 和標準差 $\sigma$，對於任意常數 $k > 0$，
$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$
或者，其補集為
$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$

核心觀念

本題使用箱形圖常見的 $1.5 \times IQR$ 離群值判定法。先將資料由小到大排列，再求第一四分位數 $Q_1$ 與第三四分位數 $Q_3$，並計算四分位距：

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

下界與上界分別為：

$$\text{下界} = Q_1 - 1.5IQR,\qquad \text{上界} = Q_3 + 1.5IQR$$

小於下界或大於上界的資料，判定為離群值。以下依「奇數筆資料取中位數後，將中位數排除，再分上下兩半求四分位數」的慣例計算。

解題方法

(a) 將資料排序：

$$19,\ 21,\ 25,\ 28,\ 29,\ 32,\ 34,\ 46$$

共有 8 筆資料，分成上下兩半：

• 下半部：$19, 21, 25, 28$，所以 $Q_1 = (21+25)/2 = 23$。
• 上半部：$29, 32, 34, 46$，所以 $Q_3 = (32+34)/2 = 33$。

因此：

$$IQR = 33-23=10$$ $$\text{下界}=23-1.5(10)=8,\qquad \text{上界}=33+1.5(10)=48$$

核心觀念

百分位數是將資料由小到大排列後，用位置找出指定百分比所對應的資料值。令樣本數為 $n$，第 $k$ 百分位數的位置為

$$L=\frac{k}{100}n$$

若 $L$ 不是整數，將位置進位至下一個整數，取該位置的資料值；若 $L$ 是整數，則取第 $L$ 與第 $L+1$ 個資料值的平均。

反過來，求某個資料值所對應的百分位數時，採用「低於該值的資料個數除以總資料個數，再乘以 $100\%$」的定義。

解題方法

本題共有 $n=27$ 筆資料。由小到大排列如下：

$$10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 17,\ 18,\ 19,\ 20,\ 21,\ 22,\ 23,\ 25,\ 26,\ 27,\ 29,\ 35,\ 37,\ 40,\ 43,\ 58,\ 66,\ 67,\ 97,\ 120,\ 129$$

依序求百分位數：

• (a) 第 $40$ 百分位數

  $L=0.40(27)=10.8$

  進位取第 $11$ 個資料值，因此第 $40$ 百分位數為 $21$。

• (b) 第 $75$ 百分位數

  $L=0.75(27)=20.25$

此題考驗對信賴區間的建構與解釋。
已知樣本數 $n=36$，樣本平均數 $\bar{x}=50$，母體變異數 $\sigma^2 = 6$。
由於母體變異數已知，我們使用 $Z$ 分配來建構信賴區間。
標準差 $\sigma = \sqrt{6} \approx 2.449$。

(a) 建構 95% 信賴區間。
信賴區間的公式為：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
$\alpha/2 = 0.025$。
查閱標準常態分配表，對應 $P(Z > z_{\alpha/2}) = 0.025$ 的 $z$ 值為 $z_{0.025} = 1.96$。
標準誤 (Standard Error) $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx \frac{2.449}{6} \approx 0.4082$。
信賴區間的邊界為：
$50 \pm 1.96 \times 0.4082$
$50 \pm 0.8001$
信賴區間為 $[50 - 0.8001, 50 + 0.8001] = [49.1999, 50.8001]$。

【答案】(a) 95% 信賴區間為 $[49.20, 50.80]$ (四捨五入)。

(b) 解釋重複實驗的樣本平均數落在信賴區間的機率。
這個問題在於理解信賴區間的意義。
信賴區間是針對母體平均數 $\mu$ 而言，我們有 95% 的信心認為母體平均數 $\mu$ 落在建構出來的區間內。
然而，信賴區間本身是隨機的，因為它依賴於樣本平均數 $\bar{x}$。
如果我們重複抽樣，得到新的樣本平均數 $\bar{x}'$，這個新的樣本平均數 $\bar{x}'$ 來自於母體 $N(\mu, \sigma^2)$。
根據中央極限定理，新的樣本平均數 $\bar{x}'$ 的抽樣分配是 $N(\mu, \sigma^2/n)$。
因此，新的樣本平均數 $\bar{x}'$ 落在我們第一次建構的信賴區間 $[49.20, 50.80]$ 中的機率，並不是 95%。
實際上，這個機率是 $P(49.20 < \bar{X}' < 50.80)$，其中 $\bar{X}' \sim N(\mu, 6/36)$。
這個機率值取決於真實的母體平均數 $\mu$。

核心觀念

這題考的是實驗設計、假設檢定與樣本數規劃。要檢驗「加持後，受試者更常選中成功人士想買的股票」，需先把宣稱轉成可觀察的結果：每次試驗中，受試者的選擇是否與目標人士的選擇相同。

只測加持組的命中率，可能把一般的選股相似性誤認為加持效果。因此設置加持組與假加持對照組，以兩組命中率差異作為檢定依據。

實驗設計

每次試驗提供受試者與目標人士相同的四檔股票。目標人士先獨立選出自己想買的一檔並密封記錄；受試者看不到目標人士的選擇，再依自己的意願選出自己想買的一檔。（宣稱是「您會冥冥之中也想買那張股票」，所以要測的是受試者自己的購買意願，而不是猜別人會買什麼。）

將受試者隨機分派至兩組：

• 加持組：接受大師的加持。
• 對照組：接受時間、流程相同的假加持，但不接受大師所宣稱的加持。

受試者與記錄結果的人員都不知道組別安排；每位受試者只參加一次試驗，避免重複作答造成依賴。每次試驗都使用新的受試者與目標人士選擇。

定義命中指標 $Y$：

$$Y= \begin{cases} 1, & \text{受試者選擇與目標人士相同}\\ 0, & \text{受試者選擇與目標人士不同} \end{cases}$$

四檔股票下，若受試者只是隨機猜測，命中率為 $1/4=0.25$。實際上，一般人可能也會偏好某些股票，因此對照組可估計沒有加持時的命中率；隨機分組則使兩組可公平比較。

假設與檢定方法

令 $p_T$ 為加持組的命中率，$p_C$ 為對照組的命中率。檢定：

$$H_0:p_T=p_C$$ $$H_1:p_T>p_C$$

採用兩獨立樣本比例檢定。令加持組命中 $x_T$ 次、樣本數為 $n_T$，對照組命中 $x_C$ 次、樣本數為 $n_C$，則：

$$\hat p_T=\frac{x_T}{n_T},\qquad \hat p_C=\frac{x_C}{n_C}$$

在虛無假設下，合併比例估計為：

$$\hat p=\frac{x_T+x_C}{n_T+n_C}$$

檢定統計量為：

$$Z=\frac{\hat p_T-\hat p_C} {\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_T}+\frac{1}{n_C}\right)}}$$

此題考驗對卡方獨立性檢定的應用，以及在特定條件下如何使用 Chebyshev's inequality。

(a) 檢定方法名稱、虛無假設與對立假設。

• 檢定方法名稱：卡方獨立性檢定 (Chi-squared test of independence)。
• 虛無假設 ($H_0$)：性別與被分派的學院是獨立的。換句話說，新生被分派到哪個學院與他們的性別無關。
• 對立假設 ($H_1$)：性別與被分派的學院不是獨立的。換句話說，新生被分派到哪個學院與他們的性別有關。

(b) 檢定統計量在虛無假設成立之下的分配、平均數及變異數。
在虛無假設成立之下，卡方獨立性檢定統計量 $\chi^2$ 服從自由度為 $df$ 的卡方分配 ($\chi^2$ distribution)。
自由度的計算公式為 $df = (r-1)(c-1)$，其中 $r$ 是列數，$c$ 是欄數。
在此表中，有 2 列 (Male, Female) 和 4 欄 (Gryffindor, Hufflepuff, Ravenclaw, Slytherin)。
所以，$r = 2$，$c = 4$。
$df = (2-1)(4-1) = 1 \times 3 = 3$。
因此，檢定統計量在 $H_0$ 下服從自由度為 3 的卡方分配 ($\chi^2(3)$)。

卡方分配的性質：

• 平均數 (Mean)：對於自由度為 $df$ 的卡方分配，其平均數為 $df$。
  所以，平均數 = 3。
• 變異數 (Variance)：對於自由度為 $df$ 的卡方分配，其變異數為 $2df$。
  所以，變異數 = $2 \times 3 = 6$。

【答案】(a) 方法：卡方獨立性檢定。$H_0$: 性別與學院獨立。$H_1$: 性別與學院不獨立。
(b) 分配：自由度為 3 的卡方分配 ($\chi^2(3)$)。平均數：3。變異數：6。

(c) 使用 Chebyshev's inequality 做決策。
首先，我們需要計算卡方統計量的值。
計算每個單元的期望次數 (Expected count) $E_{ij}$。
$E_{ij} = \frac{(\text{列總計}) \times (\text{欄總計})}{\text{總計}}$

學院	性別	實際次數 ($O_{ij}$)	列總計	欄總計	總計	期望次數 ($E_{ij}$)	$(O_{ij} - E_{ij})^2 / E_{ij}$
Gryffindor	Male	40	120	70	240	$(120 \times 70) / 240 = 35$	$(40-35)^2 / 35 = 25/35 \approx 0.714$
Hufflepuff	Male	20	120	60	240	$(120 \times 60) / 240 = 30$	$(20-30)^2 / 30 = 100/30 \approx 3.333$
Ravenclaw	Male	30	120	60	240	$(120 \times 60) / 240 = 30$	$(30-30)^2 / 30 = 0$
Slytherin	Male	30	120	50	240	$(120 \times 50) / 240 = 25$	$(30-25)^2 / 25 = 25/25 = 1$
Gryffindor	Female	30	120	70	240	$(120 \times 70) / 240 = 35$	$(30-35)^2 / 35 = 25/35 \approx 0.714$
Hufflepuff	Female	40	120	60	240	$(120 \times 60) / 240 = 30$	$(40-30)^2 / 30 = 100/30 \approx 3.333$
Ravenclaw	Female	30	120	60	240	$(120 \times 60) / 240 = 30$	$(30-30)^2 / 30 = 0$

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的斜率解釋、樣本範圍外預測，以及誤差變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計。迴歸係數的最小平方法估計量為

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}.$$

在誤差項獨立且變異數相同的簡單線性迴歸模型中，$\sigma^2$ 的不偏估計量為殘差平方和除以自由度 $n-2$：

$$\hat{\sigma}^2=\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}.$$

題目 (c) 沒有寫出要估計的參數；以下依簡單線性迴歸常見問法，將其解讀為「求 $\sigma^2$ 的不偏估計」。

(a) 斜率的實際意義

斜率估計值 $\hat{\beta}_1=7.16$ 表示：在此線性迴歸模型下，每日平均讀書時間每增加 1 小時，預測的期末考平均成績增加約 7.16 分。

這是根據樣本資料得到的平均關聯，不代表讀書時間每增加 1 小時，每位學生的實際成績都必定增加 7.16 分，也不能單憑迴歸結果斷定因果關係。

(b) 預測與使用上的考量

依題目指定的迴歸式，代入 $X=8$：

$$\hat{Y}=48.56+7.16(8)=105.84.$$

因此，預測成績為 105.84 分。

樣本中的讀書時間介於 1 至 6 小時，8 小時超出觀察範圍，這屬於外插。線性關係在已觀察範圍外未必仍成立，因此不宜把 105.84 分當成可靠的實際預測。題目已說明成績上限未知，不能只因預測值超過 100 分就判定它不合理；主要限制是預測超出樣本涵蓋的讀書時間範圍。

(c) $\sigma^2$ 的不偏估計

先由資料計算最小平方法的迴歸線。樣本數為 $n=10$，且

$$\bar{X}=3.5,\qquad \bar{Y}=72.6,$$ $$S_{xx}=\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar{X})^2=22.5, \qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=161.$$

所以