109 年 國立臺北大學統計學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考「全機率公式」與混合族群的機率計算。雙胞胎分為同卵與異卵兩類：

• 同卵雙胞胎必為同性，因此同卵雙胞胎中同性的機率為 $1$。
• 題目未明列異卵雙胞胎同性的機率；採用男女出生機率各為 $1/2$ 且彼此獨立的假設，異卵雙胞胎同性的機率為 $1/2$。

解題方法

設 $p$ 為所有雙胞胎中同卵雙胞胎所占比例。依全機率公式，全體雙胞胎為同性的機率為：

$$P(\text{同性}) = P(\text{同性}\mid\text{同卵})P(\text{同卵}) + P(\text{同性}\mid\text{異卵})P(\text{異卵})$$

代入題目資料及上述假設：

核心觀念

兩顆公平骰子的點數和是離散隨機變數。每顆骰子的點數 $1,2,\ldots,6$ 等機率出現；兩顆骰子共有 $6\times6=36$ 種等可能結果。將每種結果依點數和分類，即可得到點數和的機率分配。

兩顆骰子的點數和彼此獨立，因此

$$E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$$ $$\operatorname{Var}(X_1+X_2)=\operatorname{Var}(X_1)+\operatorname{Var}(X_2)$$

其中 $X_1$、$X_2$ 分別代表兩顆骰子的點數。

解題方法

令 $S=X_1+X_2$ 為兩顆骰子的點數和。依照 36 種等可能結果，逐一計算各點數和出現的次數，可得其分配如下：

點數和 $s$	出現次數	$P(S=s)$
2	1	$1/36$
3	2	$2/36$
4	3	$3/36$
5	4	$4/36$
6	5	$5/36$
7	6	$6/36$
8	5	$5/36$
9	4	$4/36$
10	3	$3/36$
11	2	$2/36$
12	1	$1/36$

各點數和的機率總和為 $36/36=1$。

(a) 點數和的平均數與標準差

利用表中的機率計算期望值：

$$E(S)=\sum_s sP(S=s) =\frac{2(1)+3(2)+4(3)+5(4)+6(5)+7(6)+8(5)+9(4)+10(3)+11(2)+12(1)}{36} =7$$

核心觀念

若 $X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，則平均數與變異數皆為 $\lambda$，因此標準差為 $\sqrt{\lambda}$。其機率質量函數為

$$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots$$

本題給定平均數 $\mu=4$，須先由卜瓦松分配的性質求出標準差，再依照嚴格不等式判斷哪些整數值符合條件。

解題方法

由 $\mu=\lambda=4$，可得

$$\sigma=\sqrt{\lambda}=\sqrt{4}=2.$$

因此題目中的區間為

$$\mu-\sigma<X<\mu+\sigma \quad\Longleftrightarrow\quad 2<X<6.$$

由於卜瓦松隨機變數只取非負整數，且不等式是嚴格不等式，符合條件的值為 $X=3,4,5$。所以

核心觀念

$X\sim B(100,0.1)$ 表示 $X$ 服從參數為 $n=100$、成功機率 $p=0.1$ 的二項分配。其機率質量函數為

$$P(X=k)=\binom{100}{k}(0.1)^k(0.9)^{100-k}.$$

由於 $12\le X\le14$ 包含 $X=12,13,14$ 三種互斥情況，因此所求機率是三項機率的總和。

解題方法

直接套用二項分配公式：

核心觀念

二項分配 $X\sim B(n,p)$ 在 $np$ 與 $n(1-p)$ 夠大時，可用常態分配近似：

$$X\approx N\bigl(np,\ np(1-p)\bigr).$$

由於 $X$ 只取整數值，將離散機率換成連續常態機率時，須使用連續性修正。

解題方法

本題 $n=100$、$p=0.1$，因此平均數與標準差為

$$\mu=np=100(0.1)=10,$$ $$\sigma=\sqrt{np(1-p)} =\sqrt{100(0.1)(0.9)} =3.$$

因為 $np=10$、$n(1-p)=90$，可用常態分配近似。要求 $12\leq X\leq14$，連續性修正後改為 $11.5\leq Y\leq14.5$，其中 $Y\sim N(10,9)$。標準化得到

核心觀念

本題考兩個獨立常態母體平均數差 $\mu_X-\mu_Y$ 的信賴區間。由於兩母體變異數未知，但可假設相等，使用合併變異數 $t$ 信賴區間。

合併變異數估計量為

$$S_p^2 = \frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}.$$

其自由度為 $n+m-2$。在兩母體常態且變異數相等的條件下，標準化後的平均數差服從 $t_{n+m-2}$ 分配。

解題方法

令 $t_{1-\alpha/2,\;n+m-2}$ 表示自由度為 $n+m-2$ 的 $t$ 分配第 $1-\alpha/2$ 分位數。標準誤為

$$S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}.$$

因此，

$$\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_X-\mu_Y)} {S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \sim t_{n+m-2}.$$

將中央 $1-\alpha$ 的機率範圍轉回 $\mu_X-\mu_Y$，得到信賴區間：

$$(\overline X-\overline Y) \pm t_{1-\alpha/2,\;n+m-2} S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}.$$

等價地寫成

核心觀念

兩母體變異數未知，且不能假設相等時，應使用 Welch 兩樣本 $t$ 信賴區間。由於兩樣本獨立，

$$\operatorname{Var}(\overline X-\overline Y) = \frac{\sigma_X^2}{n}+\frac{\sigma_Y^2}{m}.$$

以樣本變異數估計母體變異數後，差的標準誤估計為

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\overline X-\overline Y) = \sqrt{\frac{S_X^2}{n}+\frac{S_Y^2}{m}}.$$

解題方法

先以樣本平均差 $\overline X-\overline Y$ 作為 $\mu_X-\mu_Y$ 的點估計，並使用上式估計其標準誤。因母體變異數未知，臨界值採用 $t$ 分配；其自由度以 Welch–Satterthwaite 公式近似：

$$\nu = \frac{ \left(\dfrac{S_X^2}{n}+\dfrac{S_Y^2}{m}\right)^2 }{ \dfrac{(S_X^2/n)^2}{n-1} + \dfrac{(S_Y^2/m)^2}{m-1} }.$$

令 $t_{1-\alpha/2,\nu}$ 表示自由度為 $\nu$ 的 $t$ 分配之 $1-\alpha/2$ 分位數。則 $(1-\alpha)100\%$ 信賴區間為

核心觀念

本題考二因子有重複觀測的固定效果變異數分析。因子 A 為訓練方案，共 3 個水準；因子 B 為性別，共 2 個水準；每個「方案 × 性別」組合有 2 筆觀測。分析要分解總變異為因子 A、因子 B、交互作用及誤差四部分，再以各效果的均方除以誤差均方進行 $F$ 檢定。

解題方法

原卷表格顯示三種方案、男女兩組，每個組合各有 2 筆觀測；總觀測數為 12，總和為 3300，且給定 $SST=62300$。以組合平均數估計模型的各格平均，再用平方和分解建立 ANOVA 表。

(a) 二因子 ANOVA 完整模型

令 $y_{ijk}$ 為第 $i$ 種方案、第 $j$ 種性別的第 $k$ 筆觀測，其中 $i=1,2,3$、$j=1,2$、$k=1,2$。完整模型為

$$y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}$$

其中 $\mu$ 為總平均，$\alpha_i$ 為方案效果，$\beta_j$ 為性別效果，$(\alpha\beta)_{ij}$ 為交互作用效果；誤差項假設彼此獨立且服從 $N(0,\sigma^2)$。

為使參數可識別，採用限制條件

$$\sum_{i=1}^{3}\alpha_i=0,\qquad \sum_{j=1}^{2}\beta_j=0$$ $$\sum_{i=1}^{3}(\alpha\beta)_{ij}=0\quad\text{對每個 }j,\qquad \sum_{j=1}^{2}(\alpha\beta)_{ij}=0\quad\text{對每個 }i$$

(b) 模型估計

各組合平均數為：

方案	男性平均	女性平均	方案平均
I	$(320+240)/2=280$	$(380+300)/2=340$	$310$
II	$(160+180)/2=170$	$(240+210)/2=225$	$197.5$
III	$(240+290)/2=265$	$(360+380)/2=370$	$317.5$

總平均為

$$\bar y_{...}=\frac{3300}{12}=275$$

性別平均為男性 $1430/6=238.333$，女性 $1870/6=311.667$。因此效果估計如下：

$$\hat\mu=275$$ $$(\hat\alpha_1,\hat\alpha_2,\hat\alpha_3) =(310-275,\ 197.5-275,\ 317.5-275) =(35,\ -77.5,\ 42.5)$$ $$(\hat\beta_{\text{男}},\hat\beta_{\text{女}}) =(238.333-275,\ 311.667-275) =(-36.667,\ 36.667)$$

交互作用估計以「組合平均數 − 總平均 − 方案效果 − 性別效果」計算：

方案	男性交互作用估計	女性交互作用估計
I	$280-275-35+36.667=6.667$	$340-275-35-36.667=-6.667$
II	$170-275+77.5+36.667=9.167$	$225-275+77.5-36.667=-9.167$
III	$265-275-42.5+36.667=-15.833$	$370-275-42.5-36.667=15.833$

核心觀念

本題考的是母體比例的信賴區間。以樣本比例 $\hat p$ 估計真正喜歡巧克力棒的比例 $p$，在常態近似適用時，$90\%$ 信賴區間為

$$\hat p \pm z_{0.95}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},$$

其中 $z_{0.95}=1.645$。

解題方法

原卷第 2 頁的表格顯示：喜歡者 $320$ 人、不喜歡者 $80$ 人，合計 $400$ 人；題目要求建構喜歡巧克力棒之真正比例的 $90\%$ 信賴區間。

樣本數 $n=400$，樣本比例為

$$\hat p=\frac{320}{400}=0.8.$$

常態近似條件成立，因為 $n\hat p=320$ 且 $n(1-\hat p)=80$，均大於 $5$。標準誤為

核心觀念

這題考查母體比例的樣本數規劃。信賴水準為 $90\%$ 時，臨界值為 $z_{\alpha/2}=z_{0.05}\approx1.645$；在容許誤差 $E$ 下，所需樣本數為

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^{\,2}\hat p(1-\hat p)}{E^2}$$

其中 $\hat p$ 是先前樣本估得的喜好比例。樣本數計算結果須向上取整，才能確保誤差不超過指定上限。

解題方法

圖中題目給出 400 位消費者的回覆，其中 320 人喜歡巧克力棒；本小題要求在 $90\%$ 的信心水準下，將誤差控制在 $3\%$ 以內。因此以觀察到的喜好比例估計母體比例：

核心觀念

母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數 $n=100$，因此使用單一母體平均數的右尾 $Z$ 檢定。題目要判斷平均起薪是否增加，所以採右尾檢定。

檢定統計量為

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

其中 $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均數，$\sigma/\sqrt n$ 是樣本平均數的標準誤。

解題方法

(a) 假設檢定與結論

令 $\mu$ 為 2019 年商學院畢業生的母體平均起薪。假設為

$$H_0:\mu=38{,}400$$ $$H_1:\mu>38{,}400$$

這是顯著水準 $\alpha=0.05$ 的右尾檢定。在虛無假設成立時，檢定統計量服從標準常態分配。右尾臨界值為

$$z_{0.05}=1.645$$

樣本標準誤為

$$\frac{\sigma}{\sqrt n} = \frac{8{,}000}{\sqrt{100}} = 800$$

代入樣本平均起薪 $40,000：

$$z = \frac{40{,}000-38{,}400}{800} = 2$$

因為 $2>1.645$，檢定統計量落在拒絕域，故在 $5\%$ 顯著水準下拒絕 $H_0$。資料提供足夠證據支持 2019 年平均起薪高於 2018 年的 $38,400。

此檢定的 $p$ 值約為 $P(Z>2)=0.0228$，小於 $0.05$，與臨界值法的結論一致。

(b) 當 $\mu=40{,}000$ 時的檢定力

檢定力是當某個指定的真實平均數成立時，正確拒絕虛無假設的機率。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸：以最小平方法估計迴歸直線，利用斜率的 $t$ 檢定與整體迴歸的 $F$ 檢定判斷線性關係是否顯著，並計算決定係數、平均反應的信賴區間及個別反應的預測區間。

解題方法

原卷圖中列出五筆觀測值 $(x,y)=(2,4),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，並提供 $\bar{x}=4$、$\bar{y}=2.8$、$S_{xx}=10$、$S_{yy}=6.8$、$S_{xy}=-8$。以下依這些數據計算；第 (e) 小題在 $x=5$ 時，估計平均反應與預測單一反應，兩者的標準誤不同。

(a) 最小平方法迴歸式

斜率與截距估計值為

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-8}{10}=-0.8$$ $$b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}=2.8-(-0.8)(4)=6$$

因此最小平方法估計迴歸式為

$$\hat{y}=6-0.8x$$

斜率為負，表示 $x$ 每增加 $1$，估計的平均 $y$ 減少 $0.8$。

(b) 斜率的 $t$ 檢定

檢定斜率是否顯著異於零：

$$H_0:\beta_1=0,\qquad H_a:\beta_1\ne 0$$

先計算誤差平方和與均方誤差：

$$SSE=S_{yy}-b_1S_{xy}=6.8-(-0.8)(-8)=0.4$$ $$MSE=\frac{SSE}{n-2}=\frac{0.4}{3}=0.1333$$

斜率估計值的標準誤為

$$SE(b_1)=\sqrt{\frac{MSE}{S_{xx}}} =\sqrt{\frac{0.1333}{10}} \approx 0.1155$$

檢定統計量為

$$t=\frac{b_1-0}{SE(b_1)} =\frac{-0.8}{0.1155} \approx -6.928$$

自由度為 $n-2=3$。雙尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下，臨界值為 $t_{0.025,3}=3.182$。由於 $|t|=6.928>3.182$，拒絕 $H_0$；斜率顯著異於零。

同樣可用 95% 斜率信賴區間判斷：

$$b_1\pm t_{0.025,3}SE(b_1) =-0.8\pm 3.182(0.1155) \approx (-1.167,-0.433)$$

此區間不包含 $0$，與檢定結論一致。

(c) 整體迴歸的 $F$ 檢定

簡單線性迴歸的整體模型檢定為

$$H_0:\beta_1=0,\qquad H_a:\beta_1\ne 0$$

迴歸平方和為

$$SSR=b_1S_{xy}=(-0.8)(-8)=6.4$$

自由度與均方如下：

來源	平方和	自由度	均方
迴歸	$6.4$	$1$	$6.4$
誤差	$0.4$	$3$	$0.1333$
總計	$6.8$	$4$

因此

$$F=\frac{MSR}{MSE} =\frac{6.4}{0.1333}=48$$