111 年 國立臺灣大學流行病學與預防醫學研究所乙：生醫統計組 ：生醫統計組《基礎統計學》

核心觀念

本題考查三個核心概念：

1. 指數分佈描述「第一次事件發生的等待時間」。
2. 布瓦松分佈描述固定時間內「事件發生的次數」。
3. 指數分佈與布瓦松分佈可由同一個布瓦松過程建立，兩者共同參數為事件發生率 $\lambda$。

令：

• $n=100$：接觸者總數；
• $m=30$：14 天內感染確診人數；
• $n-m=70$：14 天內未感染人數；
• $X_i$：第 $i$ 位接觸者自接觸日起至感染的等待時間；
• $T=14$：觀察期間；
• $\lambda$：每日感染事件發生率。

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(1) 兩種分佈的函數、共同參數與充分統計量

一、指數分佈

若 $X$ 表示第一次感染發生的等待時間，且

$$X\sim \operatorname{Exp}(\lambda), \qquad \lambda>0,$$

則其機率密度函數為

$$f_X(x\mid \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \qquad x\geq 0.$$

累積分佈函數為

$$F_X(x\mid \lambda) = P(X\leq x) = 1-e^{-\lambda x}, \qquad x\geq 0.$$

因此：

• $P(X\leq t)=1-e^{-\lambda t}$：$t$ 天內感染的機率；
• $P(X>t)=e^{-\lambda t}$：至少 $t$ 天仍未感染的機率；
• $E(X)=1/\lambda$：平均等待感染時間；
• $\lambda$ 的單位為「每日感染事件數」。

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二、布瓦松分佈

若 $N(t)$ 表示固定 $t$ 天內發生的感染事件數，則

$$N(t)\sim \operatorname{Poisson}(\lambda t).$$

其機率質量函數為

$$P(N(t)=k) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}{k!}, \qquad k=0,1,2,\ldots$$

其累積分佈函數為

$$P(N(t)\leq k) = \sum_{j=0}^{k} \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^j}{j!}.$$

布瓦松分佈的平均數與變異數均為

$$E[N(t)]=\operatorname{Var}[N(t)]=\lambda t.$$

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三、共同參數的意義

兩種分佈的共同參數為 $\lambda$，代表單位時間內感染事件的平均發生率。

在本題中，$\lambda$ 可解釋為：

$$\lambda = \text{每一位接觸者每日發生感染的瞬時率}.$$

指數分佈使用 $\lambda$ 描述「等待第一次感染的時間」；布瓦松分佈則使用 $\lambda t$ 描述「$t$ 天內感染事件的平均次數」。

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四、充分統計量

指數分佈

若觀察到 $r$ 位個體的感染時間 $x_1,\ldots,x_r$，則概似函數為

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{r}\lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^r e^{-\lambda\sum_{i=1}^{r}x_i}.$$

由因子分解定理，資料對 $\lambda$ 的資訊只透過

$$\sum_{i=1}^{r}x_i$$

呈現，因此

$$\boxed{\sum_{i=1}^{r}X_i}$$

是 $\lambda$ 的充分統計量。

若存在尚未感染者而有右設限，則充分統計量會改為所有個體的「總暴露人時」，即感染者的觀察時間加上未感染者的設限時間。

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布瓦松分佈

若有 $n$ 位接觸者，其感染次數分別為 $N_1,\ldots,N_n$，則

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda T}(\lambda T)^{N_i}}{N_i!}.$$

整理得

$$L(\lambda) = \frac{e^{-n\lambda T}(\lambda T)^{\sum_iN_i}} {\prod_iN_i!}.$$

因此資料對 $\lambda$ 的資訊只透過

$$\sum_{i=1}^{n}N_i$$

呈現，所以

$$\boxed{\sum_{i=1}^{n}N_i}$$

是 $\lambda$ 的充分統計量。

本題若每位接觸者只可能記錄一次感染，則總感染事件數為

$$\sum_{i=1}^{100}N_i=30.$$

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(2) 概似函數與最大概似估計

一、指數分佈模型

若知道 30 位感染者的實際感染時間為 $x_1,\ldots,x_{30}$，而 70 位未感染者觀察至第 14 天，則：

• 對感染者，貢獻密度 $\lambda e^{-\lambda x_i}$；
• 對未感染者，貢獻存活機率 $P(X>14)=e^{-14\lambda}$。

因此概似函數為

$$L_E(\lambda) = \left(\prod_{i=1}^{30}\lambda e^{-\lambda x_i}\right) \left(e^{-14\lambda}\right)^{70}.$$

整理得

$$L_E(\lambda) = \lambda^{30} \exp\left[ -\lambda\left(\sum_{i=1}^{30}x_i+70\times14\right) \right].$$

其對數概似為

$$\ell_E(\lambda) = 30\log\lambda - \lambda\left(\sum_{i=1}^{30}x_i+980\right).$$

微分並令其為零：

$$\frac{d\ell_E}{d\lambda} = \frac{30}{\lambda} - \left(\sum_{i=1}^{30}x_i+980\right) =0.$$

所以 MLE 為

$$\boxed{ \widehat{\lambda}_E = \frac{30} {\sum_{i=1}^{30}x_i+980} }.$$

由於

$$\frac{d^2\ell_E}{d\lambda^2} = -\frac{30}{\lambda^2}<0,$$

故此解為最大值。

題目只提供「30 人感染、70 人未感染」，沒有提供 30 位感染者的實際感染時間，因此無法直接算出右設限指數模型的精確 MLE。

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二、布瓦松分佈模型

將每位接觸者觀察 14 天，假設 14 天內感染事件數服從布瓦松分佈：

$$N_i\sim \operatorname{Poisson}(14\lambda).$$

若總感染事件數為 30，則概似函數為

$$L_P(\lambda) = \prod_{i=1}^{100} \frac{e^{-14\lambda}(14\lambda)^{N_i}}{N_i!}.$$

由於總事件數為 30，與 $\lambda$ 有關的部分可寫成

$$L_P(\lambda) \propto e^{-1400\lambda}(14\lambda)^{30}.$$

對數概似為

$$\ell_P(\lambda) = -1400\lambda+30\log(14\lambda)+C,$$

其中 $C$ 為與 $\lambda$ 無關的常數。

微分：

$$\frac{d\ell_P}{d\lambda} = -1400+\frac{30}{\lambda}.$$

令其等於零：

$$-1400+\frac{30}{\lambda}=0,$$

得到

$$\boxed{ \widehat{\lambda}_P = \frac{30}{1400} = \frac{3}{140} \approx0.02143 }$$

感染事件／人日。

此結果也可由「事件總數除以總暴露人時」直接得到：

$$\widehat{\lambda}_P = \frac{\text{總感染事件數}} {\text{總暴露人時}} = \frac{30}{100\times14}.$$

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(3) 零感染機率、半衰期與 10 天感染機率

一、兩種分佈在零事件時的關係

指數分佈中，$t$ 天內尚未感染的機率為

$$P(X>t) = 1-F_X(t) = e^{-\lambda t}.$$

核心觀念

本題比較三種基因型的 BMI，並將 SNP 與 BMI 的關係分別以連續型及二元型反應變數建模：

• BMI 為連續變數時，可用單因子變異數分析，或以基因型虛擬變數建立迴歸模型。
• 肥胖狀態為二元變數時，可用羅吉斯迴歸；基因型若視為類別，須用兩個虛擬變數表示。
• 類別型自變數的整體檢定，是檢定所有代表基因型差異的迴歸係數是否同時為零。
• 「交互作用」表示某因子的效果會隨另一因子而變；它本身不必然導致各組變異數不同。

依題目列值順序，三組資料整理如下：

基因型	BMI 資料	樣本數
AA	27, 25, 24, 25, 25, 24, 27, 24, 26	9
Aa	25, 25, 24, 23, 24, 22, 24, 23	8
aa	24, 24, 23, 23, 23, 24, 25, 26	8

各組平均數為：

$$\bar Y_{AA}=\frac{227}{9}=25.222,\qquad \bar Y_{Aa}=\frac{190}{8}=23.750,\qquad \bar Y_{aa}=\frac{192}{8}=24.000.$$

全體樣本數 $N=25$，總平均數為 $\bar Y=609/25=24.36$。

（1）以變異數分析檢定 SNP 與 BMI 的關係

令 $\mu_{AA},\mu_{Aa},\mu_{aa}$ 分別代表三種基因型母群的平均 BMI。

假說與檢定統計量

$$H_0:\mu_{AA}=\mu_{Aa}=\mu_{aa}$$ $$H_1:\text{至少有一組平均 BMI 不同}$$

單因子變異數分析的檢定統計量為

$$F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}} =\frac{SS_{\text{組間}}/(k-1)}{SS_{\text{組內}}/(N-k)},$$

其中 $k=3$ 是基因型組數，$N=25$ 是總樣本數。

由各組總和 $T_j$ 與組內平方和計算：

$$SS_{\text{組間}} =\sum_{j=1}^{3}\frac{T_j^2}{n_j} -\frac{T^2}{N} =10.7044,$$ $$SS_{\text{總}} =\sum_{i,j}Y_{ij}^2-\frac{T^2}{N} =37.7600,$$ $$SS_{\text{組內}}=SS_{\text{總}}-SS_{\text{組間}}=27.0556.$$

因此，

$$MS_{\text{組間}}=\frac{10.7044}{2}=5.3522,\qquad MS_{\text{組內}}=\frac{27.0556}{22}=1.2298,$$ $$F=\frac{5.3522}{1.2298}=4.352.$$

在 $H_0$ 成立且 ANOVA 誤差常態、獨立、同變異數的假設下，

$$F\sim F_{2,22}.$$

顯著水準 $\alpha=0.05$ 的拒絕域為

$$F>F_{0.95}(2,22)\approx3.443.$$

因為 $4.352>3.443$，拒絕 $H_0$。在 0.05 顯著水準下，有證據顯示至少一種基因型的平均 BMI 與其他基因型不同。這項整體檢定不指出究竟是哪兩組不同，若要比較組別，須再做事後比較。

（2）以迴歸分析檢定 SNP 與 BMI 的關係

基因型是三分類變數，使用兩個虛擬變數，以 AA 為參考組。令

$$X_{1i}=I(G_i=Aa),\qquad X_{2i}=I(G_i=aa),$$

其中 $I(\cdot)$ 為指示函數。迴歸模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+\varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i\overset{iid}{\sim}N(0,\sigma^2).$$

此處 $Y_i$ 是第 $i$ 人的 BMI。

迴歸係數意義與假說

• $\beta_0$：AA 組的母群平均 BMI。
• $\beta_1$：Aa 組與 AA 組的母群平均 BMI 差。
• $\beta_2$：aa 組與 AA 組的母群平均 BMI 差。

欲檢定 SNP 是否與 BMI 有關，整體假說為

$$H_0:\beta_1=\beta_2=0, \qquad H_1:\beta_1,\beta_2\text{ 至少一個不為零}.$$

由樣本平均數得到估計值：

$$\hat\beta_0=25.222,\qquad \hat\beta_1=23.750-25.222=-1.472,\qquad \hat\beta_2=24.000-25.222=-1.222.$$

因此，樣本中 Aa 與 aa 組平均 BMI 分別比 AA 組低約 $1.472$ 與 $1.222$。

整體檢定

使用整體迴歸 $F$ 檢定，檢定統計量可寫為

$$F=\frac{(SSE_0-SSE_1)/2}{SSE_1/(N-3)},$$

其中 $SSE_0$ 是只含截距的虛無模型殘差平方和，$SSE_1$ 是含兩個基因型虛擬變數的完整模型殘差平方和。這個檢定與第（1）小題的單因子 ANOVA 等價，因此

$$F=4.352,\qquad F\overset{H_0}{\sim}F_{2,22}.$$

拒絕域為 $F>3.443$。因 $4.352>3.443$，拒絕 $H_0$；在 0.05 顯著水準下，基因型與平均 BMI 有關。

若只放一個基因型數值編碼，例如 AA、Aa、aa 分別編成 0、1、2，模型檢定的會是「每增加一個等位基因拷貝，BMI 是否呈線性改變」的加性遺傳模型。題目未指定此模型，因此以兩個虛擬變數檢定三組整體差異較合適。

（3）以羅吉斯迴歸檢定 SNP 與肥胖的關係

令 $Y_i=1$ 表示 BMI $\geq25$、屬於肥胖；$Y_i=0$ 表示 BMI $<25$。依題目資料計數：

基因型	肥胖人數	非肥胖人數	肥胖比例
AA	6	3	$6/9$
Aa	2	6	$2/8$
aa	2	6	$2/8$

仍以 AA 為參考組，令 $X_{1i}=I(G_i=Aa)$、$X_{2i}=I(G_i=aa)$。模型為

$$\log\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right) =\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i},$$

其中 $p_i=P(Y_i=1\mid G_i)$。

迴歸係數意義與假說

• $\beta_0$：AA 組肥胖的對數勝算。
• $\beta_1$：Aa 相較於 AA 的對數勝算比；$e^{\beta_1}$ 為兩組肥胖勝算比。
• $\beta_2$：aa 相較於 AA 的對數勝算比；$e^{\beta_2}$ 為兩組肥胖勝算比。

整體假說為

$$H_0:\beta_1=\beta_2=0, \qquad H_1:\beta_1,\beta_2\text{ 至少一個不為零}.$$

使用概似比檢定。令 $\ell_1$ 為含基因型完整模型的最大對數概似值，$\ell_0$ 為只含截距虛無模型的最大對數概似值，則