111 年 國立臺灣大學流行病學與預防醫學研究所乙：生醫統計組 ：生醫統計組《基礎數學》

本題考查微分基本公式，特別是乘積法則與連鎖法則的應用。

對函數 $y = e^x \ln(x)$ 求導，我們需要使用乘積法則，即 $(uv)' = u'v + uv'$。
令 $u = e^x$ 且 $v = \ln(x)$。
則 $u' = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$。

本題考查不定積分的計算，可以透過變數代換或長除法來簡化被積函數。

方法一：變數代換
令 $u = 3x+1$，則 $du = 3dx$，所以 $dx = \frac{1}{3}du$。
同時，從 $u = 3x+1$ 可得 $3x = u-1$，即 $x = \frac{u-1}{3}$。
將這些代入積分式：
$\int \frac{x}{3x+1} dx = \int \frac{\frac{u-1}{3}}{u} \cdot \frac{1}{3} du$
$= \int \frac{u-1}{9u} du$
$= \frac{1}{9} \int \frac{u-1}{u} du$
$= \frac{1}{9} \int \left( 1 - \frac{1}{u} \right) du$
$= \frac{1}{9} \left( u - \ln|u| \right) + C$
將 $u = 3x+1$ 代回：
$= \frac{1}{9} \left( (3x+1) - \ln|3x+1| \right) + C$
$= \frac{1}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}\ln|3x+1| + C$
由於常數 $C$ 可以合併 $\frac{1}{9}$，所以最終結果為：

本題考查微分基本公式，特別是乘積法則與連鎖法則的應用。

對函數 $y = x^2e^{-x}$ 求導，我們需要使用乘積法則，即 $(uv)' = u'v + uv'$。
令 $u = x^2$ 且 $v = e^{-x}$。
則 $u' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
且 $v' = \frac{d}{dx}(e^{-x})$。

核心觀念

本題考查：

• 平面區域的判定與圖形繪製。
• 曲線與直線的交點。
• 利用「上界減下界」或「右界減左界」建立定積分。
• 定積分求平面圖形面積：

$$A=\int_a^b \bigl(\text{右界}-\text{左界}\bigr)\,dy$$

由於題目給出的水平線為 $y=1$ 與 $y=\frac34$，以 $y$ 作為積分變數最直接。

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解題方法

1. 找出各曲線的交點

拋物線為

$$y=x^2$$

與 $y=1$ 相交時：

$$x^2=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1$$

與 $y=\frac34$ 相交時：

$$x^2=\frac34 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$

本題所取的封閉區域位於右側分支，因此使用

$$x=\sqrt y$$

相關交點為：

$$\left(1,1\right), \qquad \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right)$$

再加上直線 $x=2$ 與兩條水平線的交點：

$$(2,1), \qquad \left(2,\frac34\right)$$

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2. 圖形判定

封閉區域的邊界依序為：

• $y=1$：上方水平線；
• $x=2$：右側垂直線；
• $y=\frac34$：下方水平線；
• $y=x^2$ 的右側分支：左側邊界。

圖形可描述為：在 $y=\frac34$ 到 $y=1$ 之間，位於拋物線右側分支 $x=\sqrt y$ 與直線 $x=2$ 之間的狹長區域。

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3. 建立面積積分

固定一個 $y$ 值時：

• 左界為拋物線右側分支：

$$x=\sqrt y$$

• 右界為：

$$x=2$$

因此水平小長條的寬度為：

$$2-\sqrt y$$

而 $y$ 的範圍為：

$$\frac34\le y\le1$$

所以面積為：

本題考查向量空間的生成集合 (spanning set) 的概念，以及如何判斷一個向量集合是否能生成整個向量空間。

一個向量集合 $S = \{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ 被稱為向量空間 $V$ 的生成集合，如果 $V$ 中的每一個向量都可以寫成 $S$ 中向量的線性組合。
對於 $\mathbb{R}^n$ 空間，如果一個集合包含 $n$ 個向量，那麼這個集合是 $\mathbb{R}^n$ 的生成集合，若且唯若這 $n$ 個向量是線性獨立的。
反之，如果一個集合包含的向量個數少於 $n$ 個，它就不能生成 $\mathbb{R}^n$。
如果包含的向量個數多於 $n$ 個，那麼它們不可能是線性獨立的，但仍有可能生成 $\mathbb{R}^n$ (例如，如果其中 $n$ 個向量已經生成了 $\mathbb{R}^n$，那麼加入其他向量後，它們仍然可以生成 $\mathbb{R}^n$；但如果這 $n+1$ 個向量都不能生成 $\mathbb{R}^n$，則無法判斷)。

在本題中，我們有矩陣 $A$ 的行向量（或者列向量，題目沒有明確說明，但通常矩陣的行或列被視為向量集合）。
設矩陣 $A$ 的行向量為 $v_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix}$。
我們要判斷這三個向量是否能生成 $\mathbb{R}^3$。

由於我們有 3 個向量，而我們想生成 $\mathbb{R}^3$（維度為 3），所以這 3 個向量能生成 $\mathbb{R}^3$ 的充要條件是它們是線性獨立的。
判斷線性獨立性，我們可以將這三個向量作為列向量組成一個新的矩陣 $B$，然後計算其行列式。如果行列式不為零，則向量線性獨立。
$B = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 5 & 6 & 5 \\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

計算矩陣 $B$ 的行列式：

本題考查特徵值 (eigenvalue) 和特徵向量 (eigenvector) 的概念，以及特徵空間 (eigenspace) 的求解。

首先，我們需要找到矩陣 $M$ 的特徵值。特徵值 $\lambda$ 是滿足特徵方程式 $\det(M - \lambda I) = 0$ 的值，其中 $I$ 是單位矩陣。
$M - \lambda I = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-\lambda & -2 \\ -2 & 2-\lambda \end{bmatrix}$

計算行列式：
$\det(M - \lambda I) = (5-\lambda)(2-\lambda) - (-2)(-2)$
$= (10 - 5\lambda - 2\lambda + \lambda^2) - 4$
$= \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 4$
$= \lambda^2 - 7\lambda + 6$

令特徵方程式等於零：
$\lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0$
因式分解：
$(\lambda - 1)(\lambda - 6) = 0$
所以，特徵值為 $\lambda_1 = 1$ 和 $\lambda_2 = 6$。

接下來，我們需要為每一個特徵值找到相應的特徵向量，進而確定特徵空間。

情況一：特徵值 $\lambda_1 = 1$
我們需要解 $(M - \lambda_1 I)v = 0$，即 $(M - I)v = 0$。
$M - I = \begin{bmatrix} 5-1 & -2 \\ -2 & 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$
令 $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，則我們需要解：
$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
這兩個方程式是等價的：
$4x - 2y = 0 \implies 2x = y$
$-2x + y = 0 \implies y = 2x$
所以，特徵向量的形式為 $\begin{bmatrix} x \\ 2x \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$，其中 $x \neq 0$。

核心觀念

本題考查有限馬可夫鏈的轉移矩陣與穩態分布。

每小時病原體可以：

1. 留在目前城鎮；
2. 移動到與目前城鎮直接相連的其他城鎮。

題意說明「留在原地與前往其他城鎮的機率均相等」，因此若某城鎮有 $d$ 條連線，則共有 $d+1$ 種等可能去向，每一種機率皆為

$$\frac{1}{d+1}.$$

題目圖形的連線為

$$A-D,\quad A-B,\quad D-C,\quad B-C,\quad B-E,\quad C-E.$$

各城鎮的連線數為

$$d_A=2,\quad d_D=2,\quad d_B=3,\quad d_C=3,\quad d_E=2.$$

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解題方法：建立轉移矩陣

以狀態順序

$$(A,D,B,C,E)$$

表示轉移矩陣，並採用「第 $i$ 列表示目前城鎮、第 $j$ 欄表示下一小時所在城鎮」的列隨機矩陣 convention。

由於每個城鎮皆可留在原地：

• 從 $A$ 可到 $A,D,B$，各為 $\frac13$；
• 從 $D$ 可到 $D,A,C$，各為 $\frac13$；
• 從 $B$ 可到 $B,A,C,E$，各為 $\frac14$；
• 從 $C$ 可到 $C,D,B,E$，各為 $\frac14$；
• 從 $E$ 可到 $E,B,C$，各為 $\frac13$。

因此轉移矩陣為

$$P= \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 & \frac13 & 0 & 0\\ \frac13 & \frac13 & 0 & \frac13 & 0\\ \frac14 & 0 & \frac14 & \frac14 & \frac14\\ 0 & \frac14 & \frac14 & \frac14 & \frac14\\ 0 & 0 & \frac13 & \frac13 & \frac13 \end{pmatrix}.$$

每一列的總和皆為 $1$，符合轉移矩陣的基本條件。

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長時間後的穩態分布

設長時間後各城鎮的穩態比例為

$$\boldsymbol{\pi} = (\pi_A,\pi_D,\pi_B,\pi_C,\pi_E).$$

穩態分布滿足

$$\boldsymbol{\pi}P=\boldsymbol{\pi}, \qquad \sum_i\pi_i=1.$$

本題的圖形為無向圖，而且從每一個城鎮出發時，是在「原地加上所有鄰接城鎮」中均勻選擇。因此穩態權重與「原地加鄰接城鎮的總選項數」成正比，也就是與 $d_i+1$ 成正比：

$$\pi_i\propto d_i+1.$$

故各城鎮的權重為

$$A:D:B:C:E=3:3:4:4:3.$$

權重總和為

$$3+3+4+4+3=17.$$

所以穩態分布為

本題考查多元函數在約束條件下的極值問題。這需要我們尋找函數在定義域內部（臨界點）的極值，以及在邊界上的極值。

定義域為一個圓盤，中心在原點 $(0,0)$，半徑為 4。

第一步：尋找函數在定義域內部的臨界點。
我們對 $f(x,y)$ 分別對 $x$ 和 $y$ 求偏導數，並令它們等於零。
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 4$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 6y$

令偏導數等於零：
$4x - 4 = 0 \implies x = 1$
$6y = 0 \implies y = 0$
所以，臨界點是 $(1, 0)$。
我們需要檢查這個點是否在定義域內部，即 $x^2 + y^2 < 16$。
$1^2 + 0^2 = 1 < 16$。所以 $(1, 0)$ 在定義域內部。
計算該點的函數值：
$f(1, 0) = 2(1)^2 + 3(0)^2 - 4(1) - 5 = 2 + 0 - 4 - 5 = -7$。

第二步：尋找函數在邊界上的極值。
邊界是圓 $x^2 + y^2 = 16$。我們可以使用拉格朗日乘數法 (Lagrange Multiplier method) 來求解。
令約束條件為 $g(x,y) = x^2 + y^2 - 16 = 0$。
我們需要解 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 和 $g(x,y) = 0$。
$\nabla f = (4x - 4, 6y)$
$\nabla g = (2x, 2y)$

方程組為：

1. $4x - 4 = \lambda (2x)$
2. $6y = \lambda (2y)$
3. $x^2 + y^2 = 16$

從方程 2：$6y = 2\lambda y \implies 2y(3 - \lambda) = 0$。
這意味著 $y=0$ 或 $\lambda=3$。

情況一：$y=0$
將 $y=0$ 代入方程 3：
$x^2 + 0^2 = 16 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$。
我們得到兩個點：$(4, 0)$ 和 $(-4, 0)$。
計算這些點的函數值：

本題考查定積分的計算，包含高斯積分和一個瑕積分。

(a) $\int_0^\infty e^{-x^2} dx$
這是一個著名的高斯積分 (Gaussian integral)。其不定積分無法用初等函數表示，但定積分的值是已知的。
高斯積分的完整形式是 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$。
由於被積函數 $e^{-x^2}$ 是偶函數，且積分範圍是對稱的，所以：
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx$
因此，$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。

(b) $\int_0^\infty x^2 \ln \sqrt{x} dx$
首先，我們可以簡化被積函數：
$x^2 \ln \sqrt{x} = x^2 \ln (x^{1/2}) = x^2 \cdot \frac{1}{2} \ln x = \frac{1}{2} x^2 \ln x$。
所以，我們要計算 $\frac{1}{2} \int_0^\infty x^2 \ln x dx$。
這是一個瑕積分，因為在 $x \to 0^+$ 時，$\ln x \to -\infty$，且積分上限是 $\infty$。
我們需要使用積分的定義：
$\int_0^\infty x^2 \ln x dx = \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 x^2 \ln x dx + \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^2 \ln x dx$。

我們使用分部積分法來計算 $\int x^2 \ln x dx$。
令 $u = \ln x$ 且 $dv = x^2 dx$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$。
$\int x^2 \ln x dx = uv - \int v du$
$= (\ln x) \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^2}{3} dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3}$
$= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} = \frac{x^3}{9} (3 \ln x - 1)$。

本題考查泰勒級數的定義與計算。泰勒級數是以一個點為中心，將函數展開為冪級數的形式。

函數 $f(x)$ 在點 $a$ 的泰勒級數定義為：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$

我們需要計算函數 $f(x) = e^x$ 的各階導數，並在 $a=2$ 處求值。
$f(x) = e^x$
$f'(x) = e^x$
$f''(x) = e^x$
$f'''(x) = e^x$
...
$f^{(n)}(x) = e^x$ 對於所有 $n \ge 0$。

在 $a=2$ 處求值：
$f(2) = e^2$
$f'(2) = e^2$
$f''(2) = e^2$
...

本題考查矩陣求逆的方法。我們可以使用伴隨矩陣法或高斯-約旦消去法來求解。這裡我們採用伴隨矩陣法。

要求矩陣 $Z$ 的反矩陣 $Z^{-1}$，我們首先需要計算 $Z$ 的行列式 $\det(Z)$。如果 $\det(Z) \neq 0$，則反矩陣存在。
$Z = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 8 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$\det(Z) = 2 \cdot \det \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} + 3 \cdot \det \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$
$= 2 \cdot (4 \cdot 1 - 8 \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 1 - 8 \cdot (-2)) + 3 \cdot (0 \cdot 1 - 4 \cdot (-2))$
$= 2 \cdot (4 - 8) + 1 \cdot (0 + 16) + 3 \cdot (0 + 8)$
$= 2 \cdot (-4) + 1 \cdot (16) + 3 \cdot (8)$
$= -8 + 16 + 24$
$= 32$
由於 $\det(Z) = 32 \neq 0$，所以反矩陣 $Z^{-1}$ 存在。

反矩陣的公式為 $Z^{-1} = \frac{1}{\det(Z)} \text{adj}(Z)$，其中 $\text{adj}(Z)$ 是 $Z$ 的伴隨矩陣（共因子矩陣的轉置）。
我們需要計算 $Z$ 的共因子矩陣 (cofactor matrix)。共因子 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是代數餘子式。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot (4 - 8) = -4$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = -1 \cdot (0 - (-16)) = -16$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot (0 - (-8)) = 8$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \det \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = -1 \cdot (-1 - 3) = -1 \cdot (-4) = 4$
$C_{22} = (-1)^{2+2} \det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot (2 - (-6)) = 1 \cdot (8) = 8$
$C_{23} = (-1)^{2+3} \det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = -1 \cdot (2 - 2) = -1 \cdot (0) = 0$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \det \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} = 1 \cdot (-8 - 12) = -20$

核心觀念

特徵值與特徵向量必須相對於某個方陣 $A$ 定義。若非零向量 $v$ 滿足

$$Av=\lambda v,$$

則 $\lambda$ 稱為矩陣 $A$ 的 eigenvalue，$v$ 稱為對應於 $\lambda$ 的 eigenvector。

題目目前只給出

$$v= \begin{pmatrix} \frac12\\[2pt] -\frac12 \end{pmatrix},$$

但未提供矩陣 $A$，因此無法唯一決定所有 eigenvalues 及 eigenvectors。

解題方法

若完整題目中的矩陣為一般二階矩陣

$$A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix},$$

則其特徵值由特徵方程

$$\det(A-\lambda I)=0$$

求得：

$$\det \begin{pmatrix} a-\lambda&b\\ c&d-\lambda \end{pmatrix} =0.$$

因此

$$(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0,$$

即

$$\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0.$$

所以兩個特徵值為

$$\lambda= \frac{(a+d)\pm\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2}.$$

對每一個特徵值 $\lambda$，再解齊次方程

$$(A-\lambda I)x=0,$$

即可得到其對應的特徵向量。

已知向量 $v$ 的檢驗

將題目給定的向量代入：