108 年 國立臺灣大學流行病學與預防醫學研究所乙：生醫統計組 ：生醫統計組《基礎數學（含微積分、線性代數）》

本題考查函數的局部極值問題，需要透過計算函數的一階導數，找出臨界點，再利用二階導數判別極值。

首先，我們計算函數 $f(x)$ 的一階導數 $f'(x)$：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 6) = 6x^2 - 6x - 12$

為了找出臨界點，我們令 $f'(x) = 0$：
$6x^2 - 6x - 12 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x-2)(x+1) = 0$
因此，臨界點為 $x=2$ 和 $x=-1$。

接著，我們計算函數的二階導數 $f''(x)$：
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6$

本題考查定積分的計算，其中被積函數包含指數函數和多項式，可以使用分部積分法來求解。

我們需要計算的積分是 $\int_0^t \tau^2 e^{-\tau} d\tau$。注意題目中將積分變數標記為 $f(x)$，但積分符號內卻是 $t$，且積分上下限也是 $t$，這表示我們要求的是一個關於 $t$ 的函數，且積分變數應為獨立於上限的符號，例如 $\tau$。

我們使用分部積分法，設 $u = \tau^2$ 且 $dv = e^{-\tau} d\tau$。
則 $du = 2\tau d\tau$ 且 $v = \int e^{-\tau} d\tau = -e^{-\tau}$。

根據分部積分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，我們有：
$\int \tau^2 e^{-\tau} d\tau = \tau^2 (-e^{-\tau}) - \int (-e^{-\tau})(2\tau d\tau)$
$= -\tau^2 e^{-\tau} + 2 \int \tau e^{-\tau} d\tau$

現在我們需要計算 $\int \tau e^{-\tau} d\tau$。再次使用分部積分法，設 $u = \tau$ 且 $dv = e^{-\tau} d\tau$。
則 $du = d\tau$ 且 $v = -e^{-\tau}$。

本題考查不定積分的計算，被積函數為有理函數，我們需要使用部分分式分解的方法來求解。

首先，我們將被積函數 $\frac{1}{x(x-1)^3}$ 進行部分分式分解。
設 $\frac{1}{x(x-1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3}$。

將右式通分，得到：
$1 = A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx$

現在我們代入特定的 $x$ 值來求解係數：
令 $x=0$：
$1 = A(0-1)^3 + B(0)(-1)^2 + C(0)(-1) + D(0)$
$1 = A(-1)^3 = -A \implies A = -1$

令 $x=1$：
$1 = A(1-1)^3 + B(1)(1-1)^2 + C(1)(1-1) + D(1)$
$1 = D \implies D = 1$

為了求解 $B$ 和 $C$，我們可以展開 $A(x-1)^3$ 和 $Bx(x-1)^2$，然後比較係數。
$A(x-1)^3 = -1(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1$
$Bx(x-1)^2 = Bx(x^2 - 2x + 1) = B(x^3 - 2x^2 + x)$
$Cx(x-1) = Cx^2 - Cx$
$Dx = x$

將這些代回 $1 = A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx$：
$1 = (-x^3 + 3x^2 - 3x + 1) + (Bx^3 - 2Bx^2 + Bx) + (Cx^2 - Cx) + x$
$1 = (B-1)x^3 + (3 - 2B + C)x^2 + (-3 + B - C + 1)x + 1$
$1 = (B-1)x^3 + (3 - 2B + C)x^2 + (B - C - 2)x + 1$

本題考查矩陣求逆的性質，特別是針對形如 $(A+uv^T)$ 的矩陣求逆，這是一個典型的矩陣求逆的公式（Sherman-Morrison-Woodbury formula 的一個特例）。證明方法是直接驗證。

我們需要證明 $(A + uv^T)(A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}) = I$，其中 $I$ 是 $n \times n$ 的單位矩陣。

首先，我們計算左側的乘積：
$(A + uv^T)(A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u})$
$= A(A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}) + uv^T(A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u})$

展開第一項：
$A(A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}) = A A^{-1} - A \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$
$= I - \frac{AA^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$
$= I - \frac{I uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$
$= I - \frac{uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$

展開第二項：
$uv^T(A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}) = uv^T A^{-1} - uv^T \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$
$= uv^T A^{-1} - \frac{uv^T A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$

注意到 $v^T A^{-1} u$ 是一個純量（$1 \times n$ 矩陣乘以 $n \times n$ 矩陣再乘以 $n \times 1$ 矩陣，結果是 $1 \times 1$ 的矩陣）。
所以，$uv^T A^{-1} u v^T A^{-1} = u (v^T A^{-1} u) v^T A^{-1}$。

本題主要考查矩陣的乘法、求解齊次線性方程組以及矩陣的秩。

Part (1): 計算矩陣乘積 $AB$
$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 12 & 8 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} (3)(1)+(2)(-1)+(1)(1) & (3)(-1)+(2)(1)+(1)(-1) & (3)(2)+(2)(-2)+(1)(2) \\ (6)(1)+(4)(-1)+(2)(1) & (6)(-1)+(4)(1)+(2)(-1) & (6)(2)+(4)(-2)+(2)(2) \\ (12)(1)+(8)(-1)+(4)(1) & (12)(-1)+(8)(1)+(4)(-1) & (12)(2)+(8)(-2)+(4)(2) \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 3-2+1 & -3+2-1 & 6-4+2 \\ 6-4+2 & -6+4-2 & 12-8+4 \\ 12-8+4 & -12+8-4 & 24-16+8 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 4 & -4 & 8 \\ 8 & -8 & 16 \end{pmatrix}$

Part (2): 求一向量 $x$ 使 $Ax = 0$
我們需要求解齊次線性方程組 $Ax = 0$。
$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 12 & 8 & 4 \end{pmatrix}$
將矩陣 $A$ 化為行階梯形矩陣：
對第一行乘以 -2，加到第二行：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$
$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6-2(3) & 4-2(2) & 2-2(1) \\ 12 & 8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 12 & 8 & 4 \end{pmatrix}$
對第一行乘以 -4，加到第三行：$R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1$
$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 12-4(3) & 8-4(2) & 4-4(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

矩陣化簡後得到 $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
這表示方程組 $Ax=0$ 等價於 $3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$。
我們有兩個自由變數，例如 $x_2$ 和 $x_3$。
令 $x_2 = s$ 和 $x_3 = t$，則 $3x_1 = -2s - t$，即 $x_1 = -\frac{2}{3}s - \frac{1}{3}t$。
所以，向量 $x$ 的形式為 $x = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}s - \frac{1}{3}t \\ s \\ t \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -2/3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1/3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

我們可以選擇一組特定的 $s, t$ 值來得到一個非零向量 $x$。
例如，令 $s=3, t=0$，則 $x_1 = -2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 0$。
$x = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$。

本題考查二階線性齊次微分方程的通解及其初值問題。

首先，我們求解微分方程 $y'' + y' - 20y = 0$ 的通解。
這是一個常係數線性齊次微分方程，其特徵方程為：
$r^2 + r - 20 = 0$

我們對特徵方程進行因式分解：
$(r+5)(r-4) = 0$
所以，特徵根為 $r_1 = 4$ 和 $r_2 = -5$。

由於特徵根是實數且不相等，微分方程的通解為：
$y(x) = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-5x}$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常數。

接下來，我們分別求解在不同條件下的特解。

(1) 條件：$y(0) = 1$
我們將 $x=0$ 和 $y(0)=1$ 代入通解：
$y(0) = c_1 e^{4(0)} + c_2 e^{-5(0)} = c_1 e^0 + c_2 e^0 = c_1 + c_2$
所以，$c_1 + c_2 = 1$。
這個條件只給出一個關於 $c_1$ 和 $c_2$ 的方程，因此無法確定唯一的解。此時，解集為所有滿足 $c_1 + c_2 = 1$ 的 $y(x) = c_1 e^{4x} + (1-c_1) e^{-5x}$。

(2) 條件：$y'(0) = 1$
首先，我們需要計算 $y'(x)$：
$y'(x) = \frac{d}{dx}(c_1 e^{4x} + c_2 e^{-5x}) = 4c_1 e^{4x} - 5c_2 e^{-5x}$
將 $x=0$ 和 $y'(0)=1$ 代入 $y'(x)$：
$y'(0) = 4c_1 e^{4(0)} - 5c_2 e^{-5(0)} = 4c_1 e^0 - 5c_2 e^0 = 4c_1 - 5c_2$
所以，$4c_1 - 5c_2 = 1$。

本題考查基本函數的微分。題目中的 $y = f(x) = 10x^1$ 實際上就是 $y = f(x) = 10x$。

我們需要計算 $y'$，也就是 $f'(x)$。
$y = 10x$
$y' = \frac{d}{dx}(10x)$

核心觀念

本題主要考查：

• 變數代換法；
• 冪次函數積分公式
  $\int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1；$
• 定積分上下限隨變數代換同步改變。

被積分式中的 $x^8$ 與 $\sqrt{x^3+4}$ 不宜直接以 $x$ 積分，適合令 $t=x^3$，使根號內的式子成為一次式。

解題方法

令

$$t=x^3,$$

則

$$x=t^{1/3},\qquad dx=\frac13t^{-2/3}\,dt.$$

由於

$$x^8=t^{8/3},$$

因此

$$x^8\,dx=t^{8/3}\cdot \frac13t^{-2/3}\,dt =\frac13t^2\,dt.$$

當 $x=0$ 時，$t=0$；當 $x=1$ 時，$t=1$。原積分化為

$$\int_0^1x^8\sqrt{x^3+4}\,dx =\frac13\int_0^1t^2\sqrt{t+4}\,dt.$$

再令

$$u=t+4,$$

則

$$t=u-4,\qquad dt=du.$$

積分上下限變為：

$$t=0\Rightarrow u=4,\qquad t=1\Rightarrow u=5.$$

所以

$$\frac13\int_0^1t^2\sqrt{t+4}\,dt = \frac13\int_4^5(u-4)^2u^{1/2}\,du.$$

展開被積分式：

$$(u-4)^2u^{1/2} =(u^2-8u+16)u^{1/2} =u^{5/2}-8u^{3/2}+16u^{1/2}.$$

因此

本題考查矩陣的冪次計算。我們需要計算一個給定矩陣 $A$ 的 70 次方。

首先，我們計算矩陣 $A$ 的低次冪，觀察其規律。
$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

計算 $A^2$：
$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$A^2 = \begin{pmatrix} (0)(0)+(0)(0)+(1)(0) & (0)(0)+(0)(0)+(1)(1) & (0)(1)+(0)(0)+(1)(0) \\ (0)(0)+(0)(0)+(0)(0) & (0)(0)+(0)(0)+(0)(1) & (0)(1)+(0)(0)+(0)(0) \\ (0)(0)+(1)(0)+(0)(0) & (0)(0)+(1)(0)+(0)(1) & (0)(1)+(1)(0)+(0)(0) \end{pmatrix}$
$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

本題考查向量空間的生成集概念。在 $\mathbb{R}^3$ 中，一個生成集需要包含足夠的向量，使得 $\mathbb{R}^3$ 中的任何向量都可以表示為這些生成向量的線性組合。

對於 $\mathbb{R}^n$，如果我們有 $n$ 個向量，它們可以作為 $\mathbb{R}^n$ 的生成集，當且僅當它們是線性獨立的。反之，如果 $n$ 個向量是線性獨立的，它們就可以生成整個 $\mathbb{R}^n$。

我們有三個向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中。要判斷它們是否是 $\mathbb{R}^3$ 的生成集，我們可以檢查它們是否線性獨立。如果它們線性獨立，那麼它們就能生成 $\mathbb{R}^3$。

檢查線性獨立性，我們需要判斷是否存在不全為零的係數 $k_1, k_2, k_3$，使得：
$k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} + k_3 \vec{c} = \vec{0}$
即：
$k_1 (1,3,-2) + k_2 (3,-1,1) + k_3 (2,16,-11) = (0,0,0)$

這可以寫成一個齊次線性方程組：
$\begin{cases} k_1 + 3k_2 + 2k_3 = 0 \\ 3k_1 - k_2 + 16k_3 = 0 \\ -2k_1 + k_2 - 11k_3 = 0 \end{cases}$

我們可以將這個方程組寫成矩陣形式 $M \mathbf{k} = \mathbf{0}$，其中 $M$ 是由向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 作為行（或列）向量組成的矩陣，$\mathbf{k} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix}$。
我們通常將向量作為列向量來構建矩陣，這樣我們可以判斷其秩。

本題考查轉移矩陣與馬可夫鏈的應用。圖示了四個鄉鎮 A, B, C, D 的相鄰關係，病原體在這些鄉鎮之間移動。

從圖中可知，鄉鎮之間的連接關係如下：

• A 連接到 B 和 C。
• B 連接到 A 和 D。
• C 連接到 A 和 D。
• D 連接到 B 和 C。

病原體每小時必定離開原鄉鎮，隨機前往可移動方向的鄉鎮。這意味著移動是不可逆的，且具有隨機性。

Part (1): 寫出轉移矩陣
轉移矩陣 $P$ 的元素 $P_{ij}$ 表示從狀態 $j$ 轉移到狀態 $i$ 的機率。在這裡，狀態是指鄉鎮 A, B, C, D。
我們將鄉鎮順序設為 A, B, C, D。

• 狀態 A：可以移動到 B 或 C。有 2 個可能方向。

  • 從 A 到 B 的機率：$1/2$
  • 從 A 到 C 的機率：$1/2$
  • 從 A 到 A 的機率：0
  • 從 A 到 D 的機率：0
    所以，A 這一列（代表從 A 出發）的機率為 (0, 1/2, 1/2, 0)。

• 狀態 B：可以移動到 A 或 D。有 2 個可能方向。

  • 從 B 到 A 的機率：$1/2$
  • 從 B 到 D 的機率：$1/2$
  • 從 B 到 B 的機率：0
  • 從 B 到 C 的機率：0
    所以，B 這一列的機率為 (1/2, 0, 0, 1/2)。

• 狀態 C：可以移動到 A 或 D。有 2 個可能方向。

  • 從 C 到 A 的機率：$1/2$
  • 從 C 到 D 的機率：$1/2$
  • 從 C 到 B 的機率：0
  • 從 C 到 C 的機率：0
    所以，C 這一列的機率為 (1/2, 0, 0, 1/2)。

• 狀態 D：可以移動到 B 或 C。有 2 個可能方向。

  • 從 D 到 B 的機率：$1/2$
  • 從 D 到 C 的機率：$1/2$
  • 從 D 到 A 的機率：0
  • 從 D 到 D 的機率：0
    所以，D 這一列的機率為 (0, 1/2, 1/2, 0)。

因此，轉移矩陣 $P$ 為：
$P = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

Part (2): 非常長的時間後，各鄉鎮具有病原體數量
當經過非常長的時間後，系統會達到一個穩態分佈（stationary distribution）。