108 年 國立臺北護理健康大學語言治療與聽力學系碩士班聽力組《聽力科學》

核心觀念

正弦波可表示為

$$x(t)=A\cos(2\pi ft+\phi)$$

其中：

• $A$：峰值振幅
• $f$：頻率
• $T$：週期，且 $f=\dfrac{1}{T}$
• $\phi$：起始相位
• $t$：時間，單位為秒

相位差可由兩波在同一時間點的週期位置判斷；若同時位於波峰或波谷，且變化方向相同，即為同相。

解題方法

（1）正弦波 A 的峰值振幅

由圖可讀出正弦波 A 的最高點為 $2$，最低點為 $-2$，因此峰值振幅為

$$A=2$$

振幅是由平衡位置 $0$ 到波峰或波谷的距離，不是波峰到波谷的全振幅 $4$。

（2）正弦波 A 的頻率

由圖可見正弦波 A 的相鄰兩個波峰約位於

$$t=0.15\text{ s},\qquad t=0.35\text{ s}$$

因此週期為

$$T=0.35-0.15=0.20\text{ s}$$

頻率為

$$f=\frac{1}{T} =\frac{1}{0.20} =5\text{ Hz}$$

（3）正弦波 A 的起始相位

在 $t=0$ 時，正弦波 A 位於平衡位置 $x=0$，而且曲線正向下移動。

若採用正弦形式

$$x(t)=A\sin(2\pi ft+\phi)$$

則在 $t=0$ 時：

$$x(0)=2\sin\phi=0$$

所以 $\phi$ 可為 $0$ 或 $\pi$。由於波形在起點向下，必須選擇

$$\phi=\pi$$

因此正弦形式的起始相位為

$$\boxed{\phi=\pi\text{ rad}=180^\circ}$$

若採用餘弦形式，則相同波形可寫成起始相位 $\dfrac{\pi}{2}$。

（4）描述正弦波 A 的數學函數

已知：

此題旨在探討聲波在遇到不同尺寸與阻抗的障礙物時，可能產生的物理現象，涉及聲學中的繞射、反射、吸收等概念。

聲波是一種機械波，其傳播方式受到介質以及障礙物的影響。當聲波遇到障礙物時，其反應取決於障礙物的尺寸、材質（進而影響阻抗）以及聲波本身的特性（如頻率）。主要可能發生的現象包括：

1. 繞射 (Diffraction):

   • 原理： 當聲波遇到尺寸接近或小於其波長的障礙物邊緣時，聲波會發生彎曲，繞過障礙物繼續傳播。
   • 尺寸效應： 聲波的波長 $\lambda$ 與障礙物尺寸 $d$ 的關係是關鍵。
     • 若 $d \gg \lambda$ (障礙物遠大於波長)：繞射效應不明顯，聲波大致沿直線傳播，產生陰影區。
     • 若 $d \approx \lambda$ (障礙物尺寸約等於波長)：繞射現象最為顯著，聲波會明顯地繞過邊緣。
     • 若 $d \ll \lambda$ (障礙物遠小於波長)：聲波幾乎不受影響，可以完全繞過。
   • 頻率影響： 低頻聲波的波長較長，較容易發生繞射；高頻聲波的波長較短，繞射現象較不明顯。這也是為什麼我們在建築物後面仍能聽到低沉的聲音，但聽不到高亢的聲音。

2. 反射 (Reflection):

   • 原理： 當聲波遇到密度較大、表面光滑且聲阻抗與空氣差異顯著的障礙物時，聲波會被反射回來。
   • 阻抗效應： 聲阻抗 (acoustic impedance) 是介質對聲波傳播阻礙程度的量度，定義為介質密度 $\rho$ 乘以聲速 $c$ ($\text{Z} = \rho c$)。當聲波從一種介質傳播到另一種聲阻抗差異很大的介質時，會發生顯著的反射。
     • 高阻抗障礙物 (例如：石牆、金屬)： 聲阻抗遠大於空氣，會將大部分聲能反射回去，導致反射聲增強。
     • 低阻抗障礙物 (例如：軟木、海綿)： 聲阻抗與空氣差異較小，或本身具有吸聲特性，反射的聲能較少。
   • 表面平整度： 表面越平整，反射越規則（類似鏡面反射）。表面粗糙會導致聲波向各個方向散射（類似漫反射）。

本題要求解釋一個聲音訊號的時域波形圖、頻域的振幅譜圖以及相位譜圖。這三者是傅立葉分析的結果，描述了訊號在時間和頻率兩個維度上的特性。

核心觀念：
時域訊號的傅立葉轉換可以得到其頻域表示，包括振幅譜（各頻率成分的強度）和相位譜（各頻率成分的起始相位）。反之，振幅譜和相位譜也可以通過傅立葉逆轉換重構出時域訊號。

圖 (a)：時域波形 (Waveform)

• 描述： 圖 (a) 顯示了聲音訊號在時間上的變化。橫軸是時間，單位是毫秒 (ms)。縱軸是振幅（arbitrary unit），表示訊號的強度。
• 觀察： 圖中呈現了複雜的波形，不是單純的正弦波。它由多個不同振幅和頻率的成分疊加而成，表現出非週期性或複雜週期的特徵。可以看到波形有快速的起伏，最大振幅約為 1.5，最小振幅約為 -1。訊號的持續時間約為 5 毫秒。
• 意義： 時域波形直觀地展示了訊號隨時間的變化情況，例如訊號的持續時間、瞬時幅度、以及是否存在明顯的週期性。對於聲音而言，這代表了聲音的波形，包含了其音高、響度、音色等資訊的原始記錄。

圖 (b)：振幅譜 (Amplitude Spectrum)

• 描述： 圖 (b) 顯示了聲音訊號在不同頻率上的振幅分量。橫軸是頻率，單位是赫茲 (Hz)。縱軸是相對振幅（arbitrary unit），表示每個頻率成分的強度。
• 觀察：
  • 在頻率 1000 Hz、2000 Hz 和 3000 Hz 處，有明顯的離散的峰值，其振幅分別約為 1.0、1.5 和 1.0。
  • 其他頻率點的振幅非常接近於零，表明這些頻率成分非常微弱或不存在。
• 意義： 振幅譜揭示了訊號是由哪些頻率的正弦波組成的，以及每個頻率成分的強度。
  • 這個聲音訊號似乎主要由 1000 Hz、2000 Hz 和 3000 Hz 三個頻率的純音組成。
  • 其中 2000 Hz 的成分強度最大，1000 Hz 和 3000 Hz 的成分強度次之。
  • 這種由離散諧波組成的訊號通常是週期性的，但其週期可能不是由單一基頻決定，而是由這些諧波的基頻（即它們的公約數）決定。在此，1000 Hz 是這三個頻率的公約數，因此整個訊號可能是一個週期為 $1/1000 \text{ Hz} = 1 \text{ ms}$ 的週期性訊號。

本題要求解釋聽神經的「突觸間期直方圖」(Inter-spike Interval Histogram, ISI Histogram)，這是一個描述神經元放電模式的常用工具。

核心觀念：
突觸間期直方圖 (ISI Histogram) 是一種統計圖表，用於顯示神經元連續兩次放電（或稱為「脈衝」、「動作電位」）之間的時間間隔的分布情況。它有助於分析神經元的放電模式，例如是規則放電、偶發性放電，還是叢狀放電等。

圖的組成與解讀：

• 橫軸 (x-axis)： 表示「放電之間的時間間隔」(Time between discharges)，單位是毫秒 (msec)。這代表了兩次連續動作電位之間經過的時間長度。
• 縱軸 (y-axis)： 表示「間隔的數量」(Number of intervals)，即在給定的時間間隔範圍內，觀察到多少次這樣的放電間隔。這是一個頻率或計數的統計值。
• 圖形本身：
  • 在較短的時間間隔（例如 0-2 msec）： 觀察到非常高的計數（接近 160 次）。這表示神經元非常頻繁地以非常短的時間間隔放電。
  • 隨著時間間隔的增加： 計數迅速下降。例如，在 2-4 msec 範圍內，計數明顯減少；在 4-6 msec 範圍內，計數進一步減少。
  • 到較長的時間間隔（例如 10 msec 以上）： 計數變得非常低，接近於零。這表示神經元很少或幾乎不會以這麼長的時間間隔來放電。

對聽神經放電模式的意義：

聽神經元（或任何神經元）的 ISI histogram 的形狀可以提供關於其生理響應的關鍵資訊：

1. 絕對不應期 (Absolute Refractory Period):

   • 任何神經元在一次放電後，有一段極短的時間（通常是 1-2 毫秒），無論接收到多強的刺激，都無法再次放電。這段時間稱為絕對不應期。
   • ISI histogram 在極短時間間隔（通常小於 1-2 msec）的計數為零，或非常低，標誌著絕對不應期的存在。
   • 在這個圖中，雖然在 0-2 msec 區間有很高的計數，但如果我們假設絕對不應期是 1-2 msec，那麼在這個範圍內的數據可能反映的是「相對不應期」或特定刺激下的行為。然而，一般 ISI 曲線在絕對不應期（例如 1 msec 以下）的計數應為 0。這個圖的 0-2 msec 區間的計數很高，可能表示該神經元的絕對不應期相對較短，或者這個直方圖是針對特定刺激（例如持續的聲音）所記錄的。
   • 仔細觀察： 在 0-2 msec 範圍內，計數非常高，然後在 2-4 msec 範圍內急劇下降。這可能意味著絕對不應期大約在 1-2 msec 左右，之後的放電間隔迅速減少。

2. 相對不應期 (Relative Refractory Period):

本題要求解釋「時間調變轉換函數」(Temporal Modulation Transfer Function, TMTF) 的圖形。TMTF 是聽覺科學中用來評估人耳處理時間變化的語音或聲訊訊號的能力的指標。

核心觀念：
時間調變轉換函數 (TMTF) 量化了聽覺系統在傳遞（或「傳輸」）時間上調變的訊號時，能夠保留多少調變的深度。它描述了聽覺系統對不同「調變速率」(Modulation Rate) 的響應能力。

• 調變 (Modulation): 指訊號的某個屬性（如振幅、頻率）隨時間週期性地改變。例如，AM 訊號 (Amplitude Modulation) 就是振幅隨時間變化的訊號。
• 調變速率 (Modulation Rate): 指調變發生的速度，通常以赫茲 (Hz) 為單位。例如，一個每秒改變 10 次振幅的訊號，其調變速率是 10 Hz。
• 調變深度 (Modulation Depth): 指調變的強度或範圍。對於振幅調變，如果原始訊號的基頻是 $A_0$，調變後的振幅在 $A_0 - \Delta A$ 和 $A_0 + \Delta A$ 之間變化，則調變深度可以表示為 $\frac{\Delta A}{A_0}$（通常以百分比表示）。

圖形解讀：

• 橫軸 (x-axis): 調變速率 (Modulation Rate)，單位是赫茲 (Hz)。圖中採用對數尺度 (logarithmic scale)，從 1 Hz 到 1000 Hz。
• 縱軸 (y-axis): 調變深度 (Modulation Depth)，以百分比表示。圖中標示了幾個不同的調變深度水平：5%, 10%, 25%, 50%。
• 曲線： 圖中有一條曲線（由方塊標記點連接而成），表示在不同調變速率下，聽覺系統能夠成功「傳輸」或「偵測」到的最高調變深度。換句話說，當訊號的調變深度低於此曲線時，聽者可以感知到調變；當調變深度高於此曲線時，聽者可能無法感知到調變，或者認為訊號是穩定的。
• 觀察：
  • 低調變速率 (例如 1-10 Hz): 曲線位於較高的調變深度區域。例如，在 1 Hz 時，曲線可能在 50% 以上（圖中未完全顯示），表示聽覺系統能夠感知到高達 50% 或更高的調變深度。在 10 Hz 時，曲線也相對較高，可能仍在 25% 以上。這表示在較慢的調變速率下，聽覺系統對調變的感知能力較強，能夠有效傳輸較大的調變深度。
  • 中等調變速率 (例如 10-100 Hz): 隨著調變速率的增加，曲線逐漸下降。例如，在 20-30 Hz 左右，曲線可能下降到 25% 附近。
  • 高調變速率 (例如 100 Hz 以上): 曲線急劇下降。例如，在 100 Hz 時，曲線可能在 10% 左右；