108 年 國立中正大學心理學系臨床心理學碩士班《心理與教育統計學》

此題考驗計算資料的眾數（median）與平均數（mean）的能力。

首先，將給定的14位學生的測驗分數由小至大排列：
1, 3, 3, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12

計算眾數 (Median)：
由於有 N=14 個分數（偶數），眾數為中間兩個分數的平均。
中間兩個分數是第 (14/2) = 7 個和第 (14/2 + 1) = 8 個分數。

此題考驗對資料分配形狀（skewness）、標準化分數（z-scores）的理解及其性質。

首先，回顧第1題的結果：
原始數據的眾數 (Median) = 9
原始數據的平均數 (Mean) ≈ 7.714

(a) 根據平均數與眾數判斷分配的形狀：
當平均數 < 眾數 (7.714 < 9) 時，表示資料的分布呈現負偏態（left-skewed），即尾巴較長的部分在左側，大部分數據集中在右側。

(b) 將原始分數轉換為 z 分數後，分配的形狀：
標準化（轉換為 z 分數）並不會改變資料的相對位置關係，因此資料的分配形狀（例如偏態）不會改變。

此題考驗在特定情境下選擇合適的統計檢定方法，並說明理由。

情境分析：
我們有一個關於「測驗分數中位數是否改變」的研究問題。
我們有一個基準值（過去班級的中位數為 7.5）。
我們對單一樣本（當前班級的測驗分數）的中位數是否與此基準值不同感興趣。

合適的統計檢定：
由於我們關心的是中位數 (median)，且我們只有一個樣本，因此適合使用「單一樣本中位數檢定」(One-sample median test)。

此題考驗在特定研究情境下選擇合適的統計方法，並說明該方法的假設條件。

研究情境：
一位書店老闆想了解「嘉義地區民眾每年平均購買多少本書」。
他收集了一個隨機樣本的資料：7, 1, 5, 3, 10, 0, 6, 9, 12, 5。
樣本大小 N = 10。

(a) 推薦的統計方法：
這個研究問題是要估計或推論「每年平均購買的書本數量」。由於資料是連續的（雖然是整數，但可以視為連續變數的離散化），且我們想了解「平均數」，最直接且常用的方法是計算樣本平均數，並可能進一步建構信賴區間來推論母體的平均數。
因此，推薦的方法是：

1. 計算樣本平均數 ($\bar{X}$) 作為點估計。
2. 若要推論母體平均數，可以建構母體平均數的信賴區間 (Confidence Interval for the Population Mean)。

(b) 統計方法的假設：
計算樣本平均數本身沒有特別的假設。
然而，若要建構母體平均數的信賴區間，標準的參數方法（例如使用 t 分配）需要以下假設：

1. 隨機抽樣 (Random Sampling)：樣本必須是從目標母體中隨機抽取的，以確保樣本能代表母體。題目中已說明是「隨機樣本」，此假設已滿足。

此題考驗對樣本大小 (sample size) 影響統計推論（特別是信賴區間）的理解。

當樣本大小 (N) 增加時，對於估計母體平均數的信賴區間，會有以下影響：

1. 信賴區間的寬度會變窄：
   • 建構母體平均數的信賴區間的標準公式（當母體標準差未知時）為：
     $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, df} \times (s / \sqrt{N})$
   • 其中 $s$ 是樣本標準差，$N$ 是樣本大小， $t_{\alpha/2, df}$ 是 t 分配的臨界值。
   • 當 $N$ 增加時， $\sqrt{N}$ 會增加，因此標準誤 $(s / \sqrt{N})$ 會減小。

此題考驗在特定研究情境下選擇合適的參數檢定方法，並說明理由。

研究情境：
我們要評估一個「打字速度提升訓練計畫」的效果。
我們有 8 位受試者 (trainees)。
我們在訓練「之前」和「之後」測量了他們的打字速度（以 words per minute, WPM 為單位）。
我們想要知道這個訓練計畫是否「提升」了打字速度。

資料特性：

• 我們有兩組配對的測量值：同一位受試者在「訓練前」和「訓練後」的得分。這表示這兩組分數是「相依」或「配對」的。
• 我們關心的是「平均速度的提升」，因此是關於平均數的比較。
• 我們使用的是參數檢定。

合適的參數檢定：
由於我們有兩個配對的樣本（訓練前 vs 訓練後），且我們想比較這兩個配對樣本的平均數是否有顯著差異（在此情境下是提升），最適合的參數檢定是「配對樣本 t 檢定」(Paired-samples t-test)，也稱為「相依樣本 t 檢定」(Dependent-sam

此題要求計算適用於第6題配對樣本 t 檢定的自由度 (degrees of freedom, df)。

配對樣本 t 檢定的自由度計算：
對於配對樣本 t 檢定，我們實際上是在檢定兩次配對測量分數的「差值」(difference scores) 的平均數。
假設有 N 組配對數據，則差值向量的維度是 N。

核心觀念

本題要求計算「適當檢定統計量」（appropriate test statistic）。檢定統計量的選擇必須依據：

• 虛無假設與研究問題；
• 依變項的測量尺度；
• 單一樣本、兩獨立樣本或相依樣本設計；
• 母體變異數是否已知；
• 題目提供的樣本數、平均數、標準差、次數或相關係數等資料。

僅憑「The obtained value of the appropriate test statistic is _____」這一句，無法判定應使用 $t$ 檢定、$z$ 檢定、卡方檢定、相關檢定或變異數分析，也沒有足夠數值進行計算。

解題方法

完整題幹至少必須提供下列資料中的相關項目：

1. 研究假設或欲檢定的統計問題；
2. 樣本資料或摘要統計量；
3. 樣本數 $n$；
4. 平均數 $\bar{X}$、標準差 $s$、母體平均數 $\mu_0$ 等；
5. 若為比例或類別資料，則需提供觀察次數與期望次數；
6. 若為相關或迴歸問題，則需提供 $r$、$n$ 或其他必要統計量。

例如，若完整題幹是單一樣本平均數與假設值的比較，且母體變異數未知，才可使用：

此題要求對兩獨立樣本進行假設檢定，以比較其平均數是否有顯著差異。我們需要執行完整的假設檢定流程，包括設定假設、計算檢定統計量、決定自由度、找出臨界值或計算 p 值，並得出結論。

1. 設定假設 (Hypotheses)
由於題目要求檢定平均數是否有差異，且未指定方向，我們使用雙尾檢定。
原假設 ($H_0$): 兩組樣本的母體平均數相等 ($\mu_A = \mu_B$)。
對立假設 ($H_1$): 兩組樣本的母體平均數不相等 ($\mu_A \neq \mu_B$)。
顯著水準 ($\alpha$) = 0.05。

2. 選擇檢定方法
這是兩個獨立樣本的比較，且樣本量不大，我們需要先判斷是否可以進行獨立樣本 t 檢定。獨立樣本 t 檢定的假設是兩母體的變異數相等 (homogeneity of variances)。通常會先做 Levene's test 或 F-test 來檢驗此假設。但題目直接給了 A-B 的分數差值，暗示我們也可以用配對樣本 t 檢定的方式來處理，如果 A 和 B 的資料是配對的。然而，題目明確說明「A and B are two independent samples」，這表示我們應該將 A 和 B 分別視為兩個獨立的樣本。

我們需要計算 A 和 B 的樣本平均數、樣本變異數。
樣本數 $N_A = 20$, $N_B = 20$。

計算樣本平均數 ($\bar{X}$)
$\bar{X}_A = \frac{\sum X_A}{N_A} = \frac{71}{20} = 3.55$
$\bar{X}_B = \frac{\sum X_B}{N_B} = \frac{42}{20} = 2.10$

計算樣本變異數 ($s^2$)
樣本變異數公式：$s^2 = \frac{\sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{N}}{N-1}$

$s_A^2 = \frac{319 - \frac{(71)^2}{20}}{20-1} = \frac{319 - \frac{5041}{20}}{19} = \frac{319 - 252.05}{19} = \frac{66.95}{19} \approx 3.5237$
$s_B^2 = \frac{134 - \frac{(42)^2}{20}}{20-1} = \frac{134 - \frac{1764}{20}}{19} = \frac{134 - 88.2}{19} = \frac{45.8}{19} \approx 2.4105$

檢驗變異數同質性 (Homogeneity of Variances)
我們可以使用 F 檢定來比較兩個樣本變異數。
$F_{ratio} = \frac{s_{larger}^2}{s_{smaller}^2} = \frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{3.5237}{2.4105} \approx 1.4618$
自由度為 (df1, df2) = (19, 19)。
查 F 分配表，在 $\alpha = 0.05$ 下，雙尾檢定的臨界值大約是 2.17。
由於 $1.4618 < 2.17$，我們無法拒絕變異數同質性的假設。因此，我們可以使用合併變異數的獨立樣本 t 檢定 (pooled variance t-test)。

計算合併變異數 ($s_p^2$)
$s_p^2 = \frac{(N_A-1)s_A^2 + (N_B-1)s_B^2}{N_A + N_B - 2} = \frac{(19)(3.5237) + (19)(2.4105)}{20 + 20 - 2} = \frac{66.95 + 45.8}{38} = \frac{112.75}{38} \approx 2.9671$

3. 計算檢定統計量 (Test Statistic)
獨立樣本 t 檢定公式 (合併變異數)：
$t = \frac{(\bar{X}_A - \bar{X}_B) - (\mu_A - \mu_B)}{\sqrt{s_p^2 (\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_B})}}$
在 $H_0$ 下，$(\mu_A - \mu_B) = 0$。
$t = \frac{(3.55 - 2.10) - 0}{\sqrt{2.9671 (\frac{1}{20} + \frac{1}{20})}} = \frac{1.45}{\sqrt{2.9671 (\frac{2}{20})}} = \frac{1.45}{\sqrt{2.9671 \times 0.1}} = \frac{1.45}{\sqrt{0.29671}} = \frac{1.45}{0.5447} \approx 2.662$

4. 決定自由度 (Degree of Freedom)
$df = N_A + N_B - 2 = 20 + 20 - 2 = 38$

5. 決定臨界值或計算 p 值
使用 $\alpha = 0.05$ 的雙尾檢定，自由度為 38。
查 t 分配表（或使用軟體），自由度 38 的臨界值約為 $\pm 2.024$。
$t_{critical} \approx \pm 2.024$

6. 得出結論 (Conclusion)
計算出的 t 值為 $2.662$。
臨界值為 $\pm 2.024$。
由於 $|t_{calculated}| = |2.662| > |t_{critical}| = |2.024|$，我們拒絕原假設 $H_0$。

核心觀念

本題考查「有重複觀察值的二因子變異數分析」：

• 因子 A：早期經驗（Experience），有 3 個水準
  1. Control
  2. Tone
  3. Vibration
• 因子 B：制約刺激（Conditioned Stimulus），有 2 個水準
  1. Tone
  2. Vibration
• 每個細格有 $n=3$ 隻老鼠，因此為平衡的 $3\times 2$ 因子設計。

二因子 ANOVA 分解為：

$$SS_T=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_E$$

其中：

• $SS_A$：早期經驗的主要效果
• $SS_B$：制約刺激的主要效果
• $SS_{AB}$：交互作用
• $SS_E$：誤差平方和

顯著性檢定統計量為：

$$F_A=\frac{MS_A}{MS_E},\qquad F_B=\frac{MS_B}{MS_E},\qquad F_{AB}=\frac{MS_{AB}}{MS_E}$$

---

解題方法

將題目資料依照各細格整理如下：

早期經驗	Tone 制約刺激	Vibration 制約刺激	細格總和
Control	$11,16,21$	$19,24,29$	$120$
Tone	$25,28,34$	$21,26,31$	$165$
Vibration	$20,13,6$	$44,41,52$	$176

各細格總和為：

$$T_{11}=48,\quad T_{12}=72,\quad T_{21}=87,\quad T_{22}=78,\quad T_{31}=39,\quad T_{32}=137$$

因子 A 的邊際總和：

$$T_{1.}=48+72=120$$ $$T_{2.}=87+78=165$$ $$T_{3.}=39+137=176$$

因子 B 的邊際總和：

$$T_{.1}=48+87+39=174$$ $$T_{.2}=72+78+137=287$$

總和：

$$G=461$$

所有觀察值平方和為：

$$\sum X^2 =818+1778+2565+2078+605+6321 =14165$$

修正項為：

$$C=\frac{G^2}{N} =\frac{461^2}{18} =11806.722$$

---

各平方和計算

1. 總平方和

$$SS_T=\sum X^2-C$$ $$SS_T=14165-11806.722 =2358.278$$

2. 早期經驗的平方和

每個早期經驗水準包含 $2\times3=6$ 筆觀察值：

$$SS_A= \frac{120^2+165^2+176^2}{6}-C$$ $$SS_A= \frac{14400+27225+30976}{6}-11806.722 =960.111$$

3. 制約刺激的平方和

每個制約刺激水準包含 $3\times3=9$ 筆觀察值：

$$SS_B= \frac{174^2+287^2}{9}-C$$ $$SS_B= \frac{30276+82369}{9}-11806.722 =709.389$$

4. 細格平方和

每個細格有 $n=3$ 筆觀察值：

$$SS_{\text{cells}} = \frac{ 48^2+72^2+87^2+78^2+39^2+137^2 }{3}-C$$ $$SS_{\text{cells}} = \frac{41431}{3}-11806.722 =2003.611$$

5. 交互作用平方和

$$SS_{AB}=SS_{\text{cells}}-SS_A-SS_B$$ $$SS_{AB}=2003.611-960.111-709.389 =334.111$$

6. 誤差平方和

$$SS_E=SS_T-SS_A-SS_B-SS_{AB}$$

或直接計算：

$$SS_E=\sum X^2-\frac{\sum T_{ij}^2}{n}$$ $$SS_E=14165-\frac{41431}{3} =354.667$$

---

ANOVA 表

自由度如下：

$$df_A=a-1=3-1=2$$ $$df_B=b-1=2-1=1$$ $$df_{AB}=(a-1)(b-1)=2$$ $$df_E=ab(n-1)=3(2)(2)=12$$ $$df_T=N-1=18-1=17$$

因此：

變異來源	$SS$	$df$	$MS$	$F$
早期經驗 A	960.111	2	480.056	16.247
制約刺激 B	709.389	1	709.389	24.005
交互作用 $A\times B

此題要求計算原始資料的相關係數與迴歸直線，以及標準化後資料的相關係數與迴歸直線。

重要公式回顧

• 相關係數 (r): $r = \frac{cov_{xy}}{s_x s_y} = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X - \bar{X})^2 \sum (Y - \bar{Y})^2}}$
  另一個常用計算公式：$r = \frac{N\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[N\sum X^2 - (\sum X)^2][N\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}$
• 迴歸直線 (Y on X): $Y = a + bX$
  • 斜率 (b): $b = \frac{cov_{xy}}{s_x^2} = \frac{N\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{N\sum X^2 - (\sum X)^2}$
  • 截距 (a): $a = \bar{Y} - b\bar{X}$
• 標準化分數 (z-score): $z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ (在此，我們使用樣本平均數 $\bar{X}$ 和樣本標準差 $s$ 來估計)
  $z_X = \frac{X - \bar{X}}{s_x}$
  $z_Y = \frac{Y - \bar{Y}}{s_y}$

已知數據
$N = 10$
$\sum X = 751$
$\sum X^2 = 57329$
$\sum Y = 758$
$\sum Y^2 = 58950$
$\sum XY = 57905$

首先計算樣本平均數和樣本標準差
$\bar{X} = \frac{\sum X}{N} = \frac{751}{10} = 75.1$
$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{N} = \frac{758}{10} = 75.8$

$s_x^2 = \frac{\sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{N}}{N-1} = \frac{57329 - \frac{(751)^2}{10}}{10-1} = \frac{57329 - \frac{564001}{10}}{9} = \frac{57329 - 56400.1}{9} = \frac{928.9}{9} \approx 103.211$
$s_x = \sqrt{103.211} \approx 10.159$

$s_y^2 = \frac{\sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{N}}{N-1} = \frac{58950 - \frac{(758)^2}{10}}{10-1} = \frac{58950 - \frac{574564}{10}}{9} = \frac{58950 - 57456.4}{9} = \frac{1493.6}{9} \approx 165.956$
$s_y = \sqrt{165.956} \approx 12.882$

計算共變異數 (Covariance)
$cov_{xy} = \frac{\sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{N}}{N-1}$ (這是樣本共變異數的定義)
$cov_{xy} = \frac{57905 - \frac{(751)(758)}{10}}{10-1} = \frac{57905 - \frac{569258}{10}}{9} = \frac{57905 - 56925.8}{9} = \frac{979.2}{9} \approx 108.8$

Part (a): Original Data

1. Correlation Coefficient (r)
使用公式: $r = \frac{N\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[N\sum X^2 - (\sum X)^2][N\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}$
分子: $N\sum XY - (\sum X)(\sum Y) = 10 \times 57905 - (751)(758) = 579050 - 569258 = 9792$
分母的平方項:
$N\sum X^2 - (\sum X)^2 = 10 \times 57329 - (751)^2 = 573290 - 564001 = 9289$
$N\sum Y^2 - (\sum Y)^2 = 10 \times 58950 - (758)^2 = 589500 - 574564 = 14936$
分母: $\sqrt{9289 \times 14936} = \sqrt{138705664} \approx 11777.3$
$r = \frac{9792}{11777.3} \approx 0.8314$

2. Regression Line (Y on X)

• Slope (b):
  $b = \frac{N\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{N\sum X^2 - (\sum X)^2} = \frac{9792}{9289} \approx 1.0541$

此題為獨立樣本 t 檢定。題目要求執行假設檢定，包括設定假設、計算檢定統計量、自由度、臨界值或 p 值，以及得出結論。

1. 設定假設 (Hypotheses)

• 原假設 ($H_0$): 兩組樣本的母體平均數相等 ($\mu_A = \mu_B$)。
• 對立假設 ($H_1$): 兩組樣本的母體平均數不相等 ($\mu_A \neq \mu_B$)。
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05。

2. 檢定方法與計算
由於題目明確指出 A 和 B 是「獨立樣本」，我們應執行獨立樣本 t 檢定。
首先，計算兩組樣本的樣本數、平均數與變異數。
樣本數: $N_A = 20$, $N_B = 20$。

計算樣本平均數 ($\bar{X}$)
$\bar{X}_A = \frac{\sum X_A}{N_A} = \frac{71}{20} = 3.55$
$\bar{X}_B = \frac{\sum X_B}{N_B} = \frac{42}{20} = 2.10$

計算樣本變異數 ($s^2$)
$s_A^2 = \frac{\sum X_A^2 - \frac{(\sum X_A)^2}{N_A}}{N_A-1} = \frac{319 - \frac{(71)^2}{20}}{20-1} = \frac{319 - \frac{5041}{20}}{19} = \frac{319 - 252.05}{19} = \frac{66.95}{19} \approx 3.5237$
$s_B^2 = \frac{\sum X_B^2 - \frac{(\sum X_B)^2}{N_B}}{N_B-1} = \frac{134 - \frac{(42)^2}{20}}{20-1} = \frac{134 - \frac{1764}{20}}{19} = \frac{134 - 88.2}{19} = \frac{45.8}{19} \approx 2.4105$

檢驗變異數同質性 (Homogeneity of Variances)
使用 F 檢定比較兩樣本變異數：
$F_{ratio} = \frac{s_{larger}^2}{s_{smaller}^2} = \frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{3.5237}{2.4105} \approx 1.4618$
自由度為 (df1, df2) = (19, 19)。在 $\alpha = 0.05$ 下，雙尾檢定的臨界值約為 2.17。
由於 $1.4618 < 2.17$，我們無法拒絕變異數同質性的假設，因此使用合併變異數的 t 檢定。

計算合併變異數 ($s_p^2$)
$s_p^2 = \frac{(N_A-1)s_A^2 + (N_B-1)s_B^2}{N_A + N_B - 2} = \frac{(19)(3.5237) + (19)(2.4105)}{20 + 20 - 2} = \frac{66.95 + 45.8}{38} = \frac{112.75}{38} \approx 2.9671$

核心觀念

本題考查「有重複觀察值的二因子變異數分析」：

• 因子 A：早期經驗（Experience），有 3 個水準
  1. Control
  2. Tone
  3. Vibration
• 因子 B：制約刺激（Conditioned Stimulus），有 2 個水準
  1. Tone
  2. Vibration
• 每個細格有 $n=3$ 隻老鼠，因此為平衡的 $3\times 2$ 因子設計。

二因子 ANOVA 分解為：

$$SS_T=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_E$$

其中：

• $SS_A$：早期經驗的主要效果
• $SS_B$：制約刺激的主要效果
• $SS_{AB}$：交互作用
• $SS_E$：誤差平方和

顯著性檢定統計量為：

$$F_A=\frac{MS_A}{MS_E},\qquad F_B=\frac{MS_B}{MS_E},\qquad F_{AB}=\frac{MS_{AB}}{MS_E}$$

---

解題方法

將題目資料依照各細格整理如下：

早期經驗	Tone 制約刺激	Vibration 制約刺激	細格總和
Control	$11,16,21$	$19,24,29$	$120$
Tone	$25,28,34$	$21,26,31$	$165$
Vibration	$20,13,6$	$44,41,52$	$176

各細格總和為：

$$T_{11}=48,\quad T_{12}=72,\quad T_{21}=87,\quad T_{22}=78,\quad T_{31}=39,\quad T_{32}=137$$

因子 A 的邊際總和：

$$T_{1.}=48+72=120$$ $$T_{2.}=87+78=165$$ $$T_{3.}=39+137=176$$

因子 B 的邊際總和：

$$T_{.1}=48+87+39=174$$ $$T_{.2}=72+78+137=287$$

總和：

$$G=461$$

所有觀察值平方和為：

$$\sum X^2 =818+1778+2565+2078+605+6321 =14165$$

修正項為：

$$C=\frac{G^2}{N} =\frac{461^2}{18} =11806.722$$

---

各平方和計算

1. 總平方和

$$SS_T=\sum X^2-C$$ $$SS_T=14165-11806.722 =2358.278$$

2. 早期經驗的平方和

每個早期經驗水準包含 $2\times3=6$ 筆觀察值：

$$SS_A= \frac{120^2+165^2+176^2}{6}-C$$ $$SS_A= \frac{14400+27225+30976}{6}-11806.722 =960.111$$

3. 制約刺激的平方和

每個制約刺激水準包含 $3\times3=9$ 筆觀察值：

$$SS_B= \frac{174^2+287^2}{9}-C$$ $$SS_B= \frac{30276+82369}{9}-11806.722 =709.389$$

4. 細格平方和

每個細格有 $n=3$ 筆觀察值：

$$SS_{\text{cells}} = \frac{ 48^2+72^2+87^2+78^2+39^2+137^2 }{3}-C$$ $$SS_{\text{cells}} = \frac{41431}{3}-11806.722 =2003.611$$

5. 交互作用平方和

$$SS_{AB}=SS_{\text{cells}}-SS_A-SS_B$$ $$SS_{AB}=2003.611-960.111-709.389 =334.111$$

6. 誤差平方和

$$SS_E=SS_T-SS_A-SS_B-SS_{AB}$$

或直接計算：

$$SS_E=\sum X^2-\frac{\sum T_{ij}^2}{n}$$ $$SS_E=14165-\frac{41431}{3} =354.667$$

---

ANOVA 表

自由度如下：

$$df_A=a-1=3-1=2$$ $$df_B=b-1=2-1=1$$ $$df_{AB}=(a-1)(b-1)=2$$ $$df_E=ab(n-1)=3(2)(2)=12$$ $$df_T=N-1=18-1=17$$

因此：

變異來源	$SS$	$df$	$MS$	$F$
早期經驗 A	960.111	2	480.056	16.247
制約刺激 B	709.389	1	709.389	24.005
交互作用 $A\times B

此題要求計算原始數據的相關係數與迴歸直線，以及標準化數據的相關係數與迴歸直線。

已知數據:
$N = 10$
$\sum X = 751$, $\sum X^2 = 57329$
$\sum Y = 758$, $\sum Y^2 = 58950$
$\sum XY = 57905$

計算基本統計量:

• 樣本平均數:
  $\bar{X} = \frac{\sum X}{N} = \frac{751}{10} = 75.1$
  $\bar{Y} = \frac{\sum Y}{N} = \frac{758}{10} = 75.8$
• 樣本變異數 ($s^2$) 與標準差 ($s$):
  $s_x^2 = \frac{\sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{N}}{N-1} = \frac{57329 - \frac{(751)^2}{10}}{9} = \frac{57329 - 56400.1}{9} = \frac{928.9}{9} \approx 103.211$
  $s_x = \sqrt{103.211} \approx 10.159$
  $s_y^2 = \frac{\sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{N}}{N-1} = \frac{58950 - \frac{(758)^2}{10}}{9} = \frac{58950 - 57456.4}{9} = \frac{1493.6}{9} \approx 165.956$
  $s_y = \sqrt{165.956} \approx 12.882$
• 樣本共變異數 ($cov_{xy}$):
  $cov_{xy} = \frac{\sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{N}}{N-1} = \frac{57905 - \frac{(751)(758)}{10}}{9} = \frac{57905 - 56925.8}{9} = \frac{979.2}{9} \approx 108.8$

(a) Original Data

1. Correlation Coefficient (r):
   使用公式 $r = \frac{cov_{xy}}{s_x s_y}$
   $r = \frac{108.8}{10.159 \times 12.882} = \frac{108.8}{130.839} \approx 0.8315$
   (使用 $r = \frac{N\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[N\sum X^2 - (\sum X)^2][N\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}$ 計算結果為 $\approx 0.8314$)
   我們採用較精確的計算結果。