109 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《動力學（B）》

核心觀念

本題考查：

• 無水平外力時，系統質心做等速度運動。
• 碰撞時間極短，對系統質心取角動量，角動量守恆。
• 粒子黏附後，視為「剛體平移＋繞新質心轉動」。
• 剛體上任一點的速度公式：
  $\mathbf v=\mathbf V_{\rm CM}+\boldsymbol\omega\times\mathbf r.$

以下依圖將碰撞點取為原點，桿沿 $y$ 軸由 $y=0$ 延伸至 $y=l$，粒子沿 $+x$ 方向運動。

(a) 質心位置 $\mathbf R(t)$

桿的質量為 $2m$，其質心位置為

$$\mathbf r_{\rm rod}=\frac{l}{2}\hat{\mathbf j}.$$

粒子質量也是 $2m$，碰撞瞬間位於原點，因此系統總質量為 $4m$，碰撞瞬間的質心為

$$\mathbf R(0) =\frac{2m\left(\frac l2\hat{\mathbf j}\right)+2m(0)} {4m} =\frac l4\hat{\mathbf j}.$$

水平方向無外力，所以系統總動量守恆。碰撞前總動量為

$$\mathbf P=2m v_0\hat{\mathbf i}.$$

因此碰撞後質心速度為

$$\mathbf V_{\rm CM} =\frac{\mathbf P}{4m} =\frac{v_0}{2}\hat{\mathbf i}.$$

質心以此速度等速運動，故

$$\boxed{ \mathbf R(t)=\frac{v_0t}{2}\hat{\mathbf i} +\frac l4\hat{\mathbf j} } \qquad (t\ge 0).$$

(b) 碰撞後的角速度

碰撞瞬間對系統新質心取角動量。粒子相對於新質心的位置為

$$\mathbf r_p=-\frac l4\hat{\mathbf j},$$

碰撞前粒子的動量為

$$\mathbf p_p=2m v_0\hat{\mathbf i}.$$

因此碰撞前角動量為

$$\mathbf L_{\rm CM} =\mathbf r_p\times\mathbf p_p =\left(-\frac l4\hat{\mathbf j}\right) \times \left(2m v_0\hat{\mathbf i}\right) =\frac{m l v_0}{2}\hat{\mathbf k}.$$

碰撞後粒子與桿黏在一起，繞新質心轉動。先計算總轉動慣量。

桿繞自身質心的轉動慣量為

$$I_{\rm rod,center} =\frac{1}{12}(2m)l^2 =\frac{ml^2}{6}.$$

桿質心距系統新質心為 $l/4$，由平行軸定理，

$$I_{\rm rod,CM} =\frac{ml^2}{6}+2m\left(\frac l4\right)^2 =\frac{7ml^2}{24}.$$