109 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《材料力學（E）》

核心觀念

本題使用 Euler–Bernoulli 梁的彈性曲線方程：

$$EI\frac{d^2y}{dx^2}=M(x)$$

其中：

• $x=0$ 位於支承 $A$，$x=L$ 位於支承 $B$。
• $y$ 軸向上為正。
• $M>0$ 定義為正彎矩。
• W8 × 40 截面繞強軸彎曲，查表得
  $I=I_x=146\ \text{in}^4$

右側懸臂長度為 $L/2$，均布載重 $w$ 的合力為

$$W=w\frac{L}{2}$$

作用位置在 $B$ 右方 $L/4$，即距離 $A$ 為 $5L/4$。

解題方法

依圖示，左端施加逆時針偶矩

$$C=\frac{wL^2}{2}$$

1. 求支承反力

取向上為正，對 $A$ 點取力矩：

$$R_B L+\frac{wL^2}{2} -\left(w\frac{L}{2}\right)\left(\frac{5L}{4}\right)=0$$

因此

$$R_B=\frac{wL}{8}$$

再由垂直力平衡：

$$R_A+R_B=w\frac{L}{2}$$

得

$$R_A=\frac{3wL}{8}$$

2. 建立支承間的彎矩方程

在 $A$、$B$ 之間取距離 $A$ 為 $x$ 的剖面，左側自由體的彎矩為

$$M(x)=R_Ax-C$$

代入反力與偶矩：

$$M(x)=\frac{3wL}{8}x-\frac{wL^2}{2}, \qquad 0\le x\le L$$

因此彈性曲線方程為

$$EI\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3wL}{8}x-\frac{wL^2}{2}$$

積分兩次：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3wL}{16EI}x^2 -\frac{wL^2}{2EI}x+C_1$$ $$y(x) = \frac{wL}{16EI}x^3 -\frac{wL^2}{4EI}x^2 +C_1x+C_2$$

由兩支承處撓度為零：

$$y(0)=0\Rightarrow C_2=0$$

本題考驗薄壁圓筒壓力容器的應力分析，包含軸向應力、環向應力、剪應力以及主應力與最大剪應力的計算。

核心觀念：
薄壁圓筒壓力容器的應力分析主要依賴於將容器內部的壓力和外部施加的力分解到特定的截面上。

1. 環向應力 (Hoop stress, $\sigma_h$)： 垂直於圓筒軸線方向，作用在容器壁上的應力。
2. 軸向應力 (Axial stress, $\sigma_a$)： 平行於圓筒軸線方向，作用在容器壁上的應力。
3. 徑向應力 (Radial stress, $\sigma_r$)： 垂直於容器內壁方向，由內壓力引起，在內壁最大，在外壁為零（對於薄壁容器可忽略）。
4. 剪應力 (Shear stress, $\tau$)： 作用在特定截面上的剪應力。
5. 主應力 (Principal stresses, $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$)： 作用在某一點上，使剪應力為零的垂直於該點的應力。
6. 最大剪應力 (Maximum shear stress, $\tau_{max}$)。

對於薄壁圓筒（半徑與壁厚的比值 $r/t > 10$），假設應力沿壁厚方向均勻分佈。
環向應力：$\sigma_h = \frac{pr}{t}$
軸向應力：$\sigma_a = \frac{pr}{2t}$ (對於封閉端蓋的圓筒)
其中 $p$ 是內部壓力，$r$ 是容器的內半徑，$t$ 是壁厚。

對於螺旋焊接縫，需要考慮焊接縫與圓筒軸線之間的夾角 $\theta$，以及作用在該焊接縫上的應力。

解題步驟：

已知條件：

• 內徑 $d = 4 \text{ ft}$，故內半徑 $r = d/2 = 2 \text{ ft}$。
• 壁厚 $t = 0.6 \text{ in}$。
• 內部壓力 $p = 300 \text{ psi}$。
• 外部軸向力 $P = 28 \text{ kip} = 28,000 \text{ lb}$。
• 外部彎矩 $T = 550 \text{ kip-ft} = 550,000 \text{ lb-ft}$。
• 螺旋焊縫的傾斜角度（從圖示 3 判斷，平面與垂直方向夾角為 $30^\circ$）。

單位統一：
為了方便計算，將所有單位統一為英吋（in.）和磅（lb）。
$r = 2 \text{ ft} \times 12 \text{ in/ft} = 24 \text{ in}$。
$P = 28 \text{ kip} = 28,000 \text{ lb}$。
$T = 550 \text{ kip-ft} = 550,000 \text{ lb-ft} = 550,000 \times 12 \text{ lb-in} = 6,600,000 \text{ lb-in}$。

計算基本應力：

1. 環向應力 ($\sigma_h$)：
   $\sigma_h = \frac{pr}{t} = \frac{(300 \text{ psi}) \times (24 \text{ in})}{0.6 \text{ in}} = 12,000 \text{ psi} = 12 \text{ ksi}$。

2. 軸向應力 ($\sigma_a$)：
   此軸向應力包含內部壓力引起的和外部軸向力引起的。
   由內部壓力引起的軸向應力：$\sigma_{a,p} = \frac{pr}{2t} = \frac{(300 \text{ psi}) \times (24 \text{ in})}{2 \times (0.6 \text{ in})} = 6,000 \text{ psi} = 6 \text{ ksi}$。
   由外部軸向力 $P$ 引起的軸向應力：$\sigma_{a,P} = \frac{P}{A}$。
   截面積 $A = \pi (r_{out}^2 - r_{in}^2)$。
   外半徑 $r_{out} = r + t = 24 \text{ in} + 0.6 \text{ in} = 24.6 \text{ in}$。
   $A = \pi ((24.6 \text{ in})^2 - (24 \text{ in})^2) = \pi (605.16 - 576) \text{ in}^2 = \pi (29.16) \text{ in}^2 \approx 91.61 \text{ in}^2$。
   $\sigma_{a,P} = \frac{28,000 \text{ lb}}{91.61 \text{ in}^2} \approx 305.6 \text{ psi} \approx 0.306 \text{ ksi}$。

   總軸向應力 $\sigma_a = \sigma_{a,p} + \sigma_{a,P} = 6 \text{ ksi} + 0.306 \text{ ksi} = 6.306 \text{ ksi}$。

3. 彎矩 $T$ 引起的應力：
   彎矩 $T$ 作用在圓筒上。圖示顯示 $T$ 垂直於圓筒軸線。假設 $T$ 作用在端板上，且端板連接到圓筒。
   彎矩 $T$ 會在圓筒的截面上產生彎曲應力。由於 $T$ 是扭矩，它會引起剪應力。
   但題目說 "Additional loads are applied to the cylinder through a rigid end plate."，並且圖示中 $T=550 \text{ kip-ft}$ 似乎是指扭矩。
   若 $T$ 是扭矩，則在圓筒截面上產生剪應力 $\tau_T$。
   $\tau_T = \frac{Tr}{J}$，其中 $J$ 是極慣性矩。
   對於薄壁圓筒，可以近似認為 $J \approx 2\pi r^3 t$。
   $J \approx 2\pi (24 \text{ in})^3 (0.6 \text{ in}) = 2\pi (13824) (0.6) \text{ in}^4 \approx 52120 \text{ in}^4$。
   $\tau_T = \frac{6,600,000 \text{ lb-in} \times 24 \text{ in}}{52120 \text{ in}^4} \approx 3031 \text{ psi} \approx 3.031 \text{ ksi}$。
   這個剪應力是沿圓筒周向的。

   若 $T$ 是彎矩，則會產生彎曲應力 $\sigma_b = \frac{My}{I}$。但圖示中 $T$ 是垂直於軸線的。
   題目圖示中的 $T=550 \text{ kip-ft}$ 標示在圖的側面，並且箭頭指向扭轉，所以應視為扭矩。

a. 焊接縫上的應力

焊接縫的平面與圓筒軸線的夾角為 $\theta$。圖示中，平面與垂直方向（即軸向）的夾角為 $30^\circ$。所以，焊接縫平面與軸向的夾角為 $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。
我們通常定義 $\theta$ 為焊接縫與軸向的夾角。在此，我們設 $\theta = 60^\circ$。
或者，若將圖示中的 $30^\circ$ 直接理解為焊接縫與環向的夾角，則與軸向夾角為 $60^\circ$。
圖示中的 'Plane of weld' 標示，以及角度 $3$ 旁邊的斜線，表示該平面與圓筒軸線的夾角是 $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。
所以，焊接縫與圓筒軸線的夾角 $\theta = 60^\circ$。

在焊接縫的平面上，我們需要計算正向應力（法向應力）和剪應力。
考慮在圓筒表面的一點，該點的應力狀態為：

• 軸向應力 $\sigma_x = \sigma_a = 6.306 \text{ ksi}$。
• 環向應力 $\sigma_y = \sigma_h = 12 \text{ ksi}$。
• 由扭矩引起的剪應力 $\tau_{xy} = \tau_T = 3.031 \text{ ksi}$ (作用在 $xy$ 平面上)。

現在考慮一個新的座標系統 $(x', y')$，其中 $x'$ 軸垂直於焊接縫平面，$y'$ 軸平行於焊接縫平面且沿圓筒周向。
或者，我們可以將焊接縫平面看作一個傾斜的截面。
設 $\phi$ 為焊接縫平面與軸向應力 $\sigma_a$ 方向的夾角。根據圖示，$\phi = 60^\circ$。

在傾斜平面上的正向應力 $\sigma_{x'}$ 和剪應力 $\tau_{x'y'}$ 可以通過應力轉換公式計算。
$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\phi) + \tau_{xy} \sin(2\phi)$
$\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\phi) + \tau_{xy} \cos(2\phi)$

代入數值：
$\sigma_x = 6.306 \text{ ksi}$
$\sigma_y = 12 \text{ ksi}$
$\tau_{xy} = 3.031 \text{ ksi}$
$\phi = 60^\circ$
$2\phi = 120^\circ$
$\cos(120^\circ) = -0.5$
$\sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0.866$

$\sigma_{x'} = \frac{6.306 + 12}{2} + \frac{6.306 - 12}{2} (-0.5) + (3.031) (0.866)$
$\sigma_{x'} = \frac{18.306}{2} + \frac{-5.694}{2} (-0.5) + 2.625$
$\sigma_{x'} = 9.153 + (-2.847)(-0.5) + 2.625$
$\sigma_{x'} = 9.153 + 1.4235 + 2.625 \approx 13.20 \text{ ksi}$。
此為焊接縫平面上的法向應力。

$\tau_{x'y'} = -\frac{6.306 - 12}{2} (0.866) + (3.031) (-0.5)$
$\tau_{x'y'} = -\frac{-5.694}{2} (0.866) - 1.5155$
$\tau_{x'y'} = -(-2.847)(0.866) - 1.5155$
$\tau_{x'y'} = 2.465 - 1.5155 \approx 0.9495 \text{ ksi}$。
此為焊接縫平面上的剪應力。

請注意： 題目要求計算「在焊接縫平面上的」正向應力和剪應力。我們計算的是作用在該平面上的應力分量。

a. 焊接縫上的應力：

• 焊接縫平面上的正向應力 (Normal stress on the plane of the weld)：$\sigma_{weld} = \sigma_{x'} \approx 13.20 \text{ ksi}$。
• 焊接縫平面上的剪應力 (Shearing stress on the plane of the weld)：$\tau_{weld} = \tau_{x'y'} \approx 0.95 \text{ ksi}$。

b. 內部表面上的主應力與最大剪應力

在圓筒內表面，應力狀態為：

• 軸向應力 $\sigma_x = \sigma_a = 6.306 \text{ ksi}$。

• 環向應力 $\sigma_y = \sigma_h = 12 \text{ ksi}$。

• 徑向應力 $\sigma_z = 0$ (因為在內表面，壓力為 $p=300 \text{ psi} = 0.3 \text{ ksi}$。對於薄壁容器，徑向應力在內表面為 $p$，在外表面為 $0$。但在薄壁容器分析中，徑向應力通常被忽略，或者如果強調內表面，則應考慮 $p$。)
  如果考慮內表面的徑向應力 $\sigma_z = -p = -0.3 \text{ ksi}$。
  然而，題目說 "thin-walled cylindrical pressure vessel"，通常在這種分析中，徑向應力 $\sigma_z$ 被視為零，或者其影響遠小於 $\sigma_h$ 和 $\sigma_a$。
  如果我們忽略 $\sigma_z$，則應力狀態為平面應力。
  如果考慮 $\sigma_z = -0.3 \text{ ksi}$，則為三軸應力狀態。

  情況 1：忽略徑向應力 ($\sigma_z=0$)，視為平面應力問題。
  應力分量為 $\sigma_x = 6.306 \text{ ksi}$, $\sigma_y = 12 \text{ ksi}$, $\tau_{xy} = 3.031 \text{ ksi}$。
  平面應力的主應力為：

本題考驗複合材料梁的彎曲應力與變形分析，特別是中性軸的位置、截面慣性矩以及最大彎矩的計算。

核心觀念：
複合材料梁在受彎時，由於各層材料的楊氏模數不同，會產生應力疊加和變形協調的現象。

1. 變形協調： 梁的各層材料在彎曲時，具有相同的曲率。
2. 應力疊加： 彎曲應力 $\sigma = E \epsilon = E \kappa y$，其中 $\kappa$ 是曲率， $y$ 是距中性軸的距離。由於 $E$ 不同，即使 $y$ 相同，應力也不同。
3. 中性軸 (Neutral Axis, NA)： 梁中不受拉也不受壓的軸線，所有應力為零。在複合材料梁中，中性軸的位置不一定在幾何中心。
4. 等效截面法 (Equivalent Section Method)： 將不同材料的複合梁轉換為單一材料的等效梁來進行分析。通常是將一種材料的寬度按楊氏模數的比例進行縮放。
5. 截面慣性矩 (Moment of Inertia, $I$)： 在計算彎曲應力時，需要使用等效截面的慣性矩。

解題步驟：

已知條件：

• 頂層材料：黃銅 (Brass)，楊氏模數 $E_b = 100 \text{ GPa}$。
• 底層材料：鋁 (Aluminum)，楊氏模數 $E_a = 70 \text{ GPa}$。
• 鋁層厚度 $t_a = 50 \text{ mm}$。
• 黃銅層厚度 $h$ (待求)。
• 梁寬度 $b = 150 \text{ mm}$。
• 最大容許應力：$\sigma_{allow,a} = 130 \text{ MPa}$ (鋁)，$\sigma_{allow,b} = 30 \text{ MPa}$ (黃銅)。

a. 確定黃銅層厚度 $h$ 使中性軸位於兩層界面

1. 建立座標系統：
   設梁的頂部為黃銅層，底部為鋁層。
   將中性軸設為 $y=0$ 的基準。
   由於中性軸位於兩層界面，表示黃銅層與鋁層的界面處的應力為零。
   設梁的頂部為黃銅層，底部為鋁層。
   黃銅層的頂部邊緣距離中性軸的距離為 $y_{top} = h/2$。
   黃銅層的底部邊緣（即中性軸）距離中性軸的距離為 $y_{bottom\_b} = 0$。
   鋁層的頂部邊緣（即中性軸）距離中性軸的距離為 $y_{top\_a} = 0$。
   鋁層的底部邊緣距離中性軸的距離為 $y_{bottom\_a} = -t_a = -50 \text{ mm}$。

   重要觀念： 當中性軸位於材料界面時，表示該界面上的應力為零。
   對於複合梁，中性軸的位置由各層材料的面積矩決定。
   設 $y_{NA}$ 為中性軸到某參考點（例如梁的頂部）的距離。
   若以梁的頂部為參考點，則中性軸的位置 $y_{NA}$ 滿足：
   $\sum_{i} E_i A_i (y_{NA} - \bar{y}_i) = 0$
   其中 $A_i$ 是第 $i$ 層材料的面積，$\bar{y}_i$ 是第 $i$ 層材料的形心到參考點的距離。

   另一種更直觀的方法是利用應力為零的條件。
   在界面處，應力 $\sigma = E \kappa y = 0$。由於 $E \neq 0$，且曲率 $\kappa \neq 0$，則必須 $y=0$。
   這表示中性軸必須通過該界面。

   我們需要確認的是，如果中性軸在界面，那麼兩層材料的變形是否協調。
   變形協調意味著曲率 $\kappa$ 相同。
   應力 $\sigma = E \kappa y$。
   若中性軸在界面，則界面上的 $y=0$，應力為零。
   黃銅層的應力：$\sigma_b(y) = E_b \kappa y$ （其中 $y$ 是從界面往上算的距離，範圍 $0 \le y \le h$）。
   鋁層的應力：$\sigma_a(y) = E_a \kappa y$ （其中 $y$ 是從界面往下算的距離，範圍 $0 \le y \le t_a$）。
   在這種情況下，應力不會為零，而是非零的。

   重新理解題目： "the neutral plan is located at the interface of these two layers."
   這意味著，在界面處，應力為零。
   我們知道 $\sigma = E \kappa y$。如果界面是中性軸 ($y=0$)，那麼 $\sigma=0$。
   這意味著，界面本身就是中性軸。
   這表示，黃銅層的上邊緣距離中性軸為 $h$，下邊緣（界面）距離中性軸為 $0$。
   鋁層的上邊緣（界面）距離中性軸為 $0$，下邊緣距離中性軸為 $-t_a = -50 \text{ mm}$。

   等效截面法：
   我們將梁看作單一材料的梁。通常選擇楊氏模數較大的材料作為基準，或者選擇其中一種材料。
   這裡，我們將梁看作是鋁材料的梁，但其寬度會根據楊氏模數進行縮放。
   設基準材料為鋁， $E_a = 70 \text{ GPa}$。
   黃銅層的等效寬度 $b'_b = b \frac{E_b}{E_a} = 150 \text{ mm} \times \frac{100 \text{ GPa}}{70 \text{ GPa}} = 150 \times \frac{10}{7} \text{ mm} \approx 214.3 \text{ mm}$。
   鋁層的等效寬度 $b'_a = b \frac{E_a}{E_a} = b = 150 \text{ mm}$。

   現在，我們有一個寬度為 $b'_b = 214.3 \text{ mm}$ 的黃銅層，厚度為 $h$，位於上方。
   以及一個寬度為 $b'_a = 150 \text{ mm}$ 的鋁層，厚度為 $t_a = 50 \text{ mm}$，位於下方。
   這兩個層的界面是中性軸。

   中性軸位置的計算：
   中性軸的位置由以下公式確定：
   $y_{NA} = \frac{\sum E_i A_i y_i}{\sum E_i A_i}$ （以某個參考點為基準）
   或使用等效截面法，中性軸是該等效截面的形心位置。
   設梁的頂部為參考點。
   黃銅層：面積 $A_b = b \times h = 150h$。形心距離頂部 $\bar{y}_b = h/2$。
   鋁層：面積 $A_a = b \times t_a = 150 \times 50 = 7500 \text{ mm}^2$。形心距離頂部 $\bar{y}_a = h + t_a/2 = h + 25$。

   根據題目要求，中性軸位於界面處。這意味著，如果我們以界面為基準 $y=0$，那麼黃銅層的形心距離界面為 $h/2$，鋁層的形心距離界面為 $-t_a/2 = -25 \text{ mm}$。
   中性軸在界面，表示該界面是等效截面的形心。
   設界面為 $y=0$。
   黃銅層：寬度 $b=150 \text{ mm}$，厚度 $h$。形心距離界面為 $h/2$。
   鋁層：寬度 $b=150 \text{ mm}$，厚度 $t_a=50 \text{ mm}$。形心距離界面為 $-t_a/2 = -25 \text{ mm}$。

   使用等效截面法，將所有材料轉換為鋁。
   黃銅層的等效寬度 $b'_b = b \frac{E_b}{E_a} = 150 \times \frac{100}{70} = \frac{1500}{7} \text{ mm}$。
   鋁層的寬度 $b'_a = b = 150 \text{ mm}$。

   現在我們有一個頂部是寬度為 $b'_b$ 的黃銅層（厚度 $h$），底部是寬度為 $b'_a$ 的鋁層（厚度 $t_a=50$）。
   中性軸在界面，表示界面是整個等效截面的形心。
   設界面為 $y=0$。
   黃銅層的形心高度為 $h/2$。
   鋁層的形心高度為 $-t_a/2 = -25 \text{ mm}$。

   根據形心公式：
   $y_{NA} = \frac{\sum A'_i y'_i}{\sum A'_i} = 0$ (因為中性軸在界面)
   其中 $A'_i$ 是等效面積，$y'_i$ 是等效形心到基準點的距離。
   我們將界面設為基準點 $y=0$。
   黃銅層的等效面積 $A'_b = b'_b \times h = \frac{1500}{7} h$。其形心高度為 $h/2$。
   鋁層的等效面積 $A'_a = b'_a \times t_a = 150 \times 50 = 7500 \text{ mm}^2$。其形心高度為 $-t_a/2 = -25 \text{ mm}$。

   $\sum A'_i y'_i = A'_b (h/2) + A'_a (-t_a/2) = 0$
   $(\frac{1500}{7} h) (\frac{h}{2}) + (7500) (-25) = 0$
   $\frac{750}{7} h^2 - 187500 = 0$
   $\frac{750}{7} h^2 = 187500$
   $h^2 = \frac{187500 \times 7}{750} = 250 \times 7 = 1750$
   $h = \sqrt{1750} \approx 41.83 \text{ mm}$。

   驗證：
   如果 $h = 41.83 \text{ mm}$，則黃銅層頂部邊緣距離界面為 $41.83 \text{ mm}$，底部邊緣（界面）距離界面為 $0$。
   鋁層頂部邊緣（界面）距離界面為 $0$，底部邊緣距離界面為 $-50 \text{ mm}$。
   設界面為 $y=0$。
   黃銅層形心 $y'_b = h/2 = 41.83/2 = 20.915 \text{ mm}$。
   鋁層形心 $y'_a = -t_a/2 = -25 \text{ mm}$。
   等效面積 $A'_b = \frac{1500}{7} \times 41.83 \approx 8963.6 \text{ mm}^2$。
   等效面積 $A'_a = 7500 \text{ mm}^2$。
   $y_{NA} = \frac{A'_b y'_b + A'_a y'_a}{A'_b + A'_a} = \frac{8963.6 \times 20.915 + 7500 \times (-25)}{8963.6 + 7500}$
   $y_{NA} = \frac{187500 - 187500}{16463.6} = 0$。
   計算正確。

   【答案】
   (A) 黃銅層的厚度 $h \approx 41.83 \text{ mm}$。

b. 計算截面慣性矩 $I$

我們需要計算的是等效截面的慣性矩，並以鋁為基準材料。
等效截面由兩部分組成：

1. 頂部黃銅層：寬度 $b'_b = \frac{1500}{7} \text{ mm}$，厚度 $h = 41.83 \text{ mm}$。

核心觀念

本題考查軸的三維受力平衡、剪力與彎矩圖、扭矩圖，以及實心圓軸在彎曲與扭轉共同作用下的最大剪應力理論。軸線取為 $x$ 軸，支承位置為 $A=0$、$D=4\,\text{m}$；滑輪位置為 $B=1\,\text{m}$、$C=3\,\text{m}$、$E=5\,\text{m}$。

由圖可讀出，$B$、$C$ 的皮帶力沿 $z$ 方向，$E$ 的皮帶力沿 $y$ 方向。滑輪半徑皆為 $r=0.15\,\text{m}$。無摩擦軸承只提供 $y,z$ 方向反力，不提供軸向力或扭矩反力。

(A) 軸的自由體圖與支承反力

各滑輪的皮帶力合力與扭矩大小如下：

• $B$：$5\,\text{kN}$ 與 $1\,\text{kN}$ 沿同一 $z$ 方向，合力為 $6\,\text{kN}$；兩側張力差產生扭矩 $(5-1)(0.15)=0.60\,\text{kN}\cdot\text{m}$。
• $C$：$3\,\text{kN}$ 與 $1\,\text{kN}$ 沿同一 $z$ 方向，合力為 $4\,\text{kN}$；扭矩大小為 $(3-1)(0.15)=0.30\,\text{kN}\cdot\text{m}$。
• $E$：$1\,\text{kN}$ 與 $3\,\text{kN}$ 沿同一 $y$ 方向，合力為 $4\,\text{kN}$；扭矩大小亦為 $0.30\,\text{kN}\cdot\text{m}$。

以 $+y$ 向上、$+z$ 依圖示方向為正，力平衡及對 $A$ 取矩可得：

$$\sum F_y=0:\quad A_y+D_y-4=0$$ $$\sum M_A=0\text{（對 }z\text{ 軸）}:\quad 4D_y-4(5)=0$$

因此 $D_y=5\,\text{kN}$、$A_y=-1\,\text{kN}$。

$$\sum F_z=0:\quad A_z+D_z+6+4=0$$ $$\sum M_A=0\text{（對 }y\text{ 軸）}:\quad 4D_z+6(1)+4(3)=0$$

因此 $D_z=-4.5\,\text{kN}$、$A_z=-5.5\,\text{kN}$。負號表示方向與所選正方向相反。

(B) 彎矩圖與扭矩圖

彎矩由各方向的橫向力分別計算，再合成。以下列出各段端點的彎矩大小；圖形在集中力作用點間為直線。

位置	$M_y$（kN·m）	$M_z$（kN·m）	扭矩 $T$（kN·m）
$A$	$0$	$0$	$0$
$B$	$5.5$	$1$	$0.60$
$C$	$4.5$	$3$	$0.30$
$D$	$0$	$4$	$0.30$
$E$	$0$	$0$	$0$

$M_y$ 由 $z$ 向皮帶力與軸承反力造成：由 $A$ 至 $B$ 線性增至 $5.5\,\text{kN}\cdot\text{m}$，再降至 $C$ 的 $4.5\,\text{kN}\cdot\text{m}$，並於 $D$ 回到零。