111 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《材料力學（C）》

本題主要考驗學生對平面應力轉換以及莫爾圓 (Mohr's Circle) 的理解與應用。

核心觀念：

1. 平面應力轉換公式：$\sigma_{n} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$，$\tau_{nt} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$。
2. 莫爾圓的繪製與應用：圓心座標為 $(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0)$，半徑為 $R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$。圓上任一點代表一特定角度下的應力狀態 $(\sigma_n, \tau_{nt})$。

解題過程：

題目給定的應力狀態為：
$\sigma_x = 6 \text{ MPa}$
$\sigma_y = 4 \text{ MPa}$
$\tau_{xy} = 3 \text{ MPa}$ (注意：依圖示，此剪應力為使 $y$ 軸應力變大，故為正值，但莫爾圓繪製時，若 $\tau_{xy}$ 作用於 $x-y$ 平面，使得 $x$ 軸邊緣有向上剪力，則為正；若作用於 $x-y$ 平面，使得 $x$ 軸邊緣有向下剪力，則為負。此處圖示 $\tau_{xy}$ 作用方式，使 $x$ 軸上邊緣受向右剪力，$y$ 軸右側邊緣受向上剪力，符合正剪應力的定義。)

(1) 繪製莫爾圓：
莫爾圓的圓心座標 $(\sigma_{avg}, 0)$ 為：
$\sigma_{avg} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \text{ MPa}$

莫爾圓的半徑 $R$ 為：
$R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{(\frac{6 - 4}{2})^2 + 3^2} = \sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 3^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \text{ MPa}$

因此，莫爾圓的圓心為 $(5, 0)$，半徑為 $\sqrt{10}$。
要繪製莫爾圓，我們還需要兩個主應力點。
主應力 $\sigma_1, \sigma_2$ 為：
$\sigma_{avg} \pm R = 5 \pm \sqrt{10}$
$\sigma_1 = 5 + \sqrt{10} \approx 5 + 3.16 = 8.16 \text{ MPa}$
$\sigma_2 = 5 - \sqrt{10} \approx 5 - 3.16 = 1.84 \text{ MPa}$

在莫爾圓上，點 $P_x$ 代表原始應力狀態 $(\sigma_x, \tau_{xy}) = (6, 3)$。
點 $P_y$ 代表應力狀態 $(\sigma_y, -\tau_{xy}) = (4, -3)$。
這兩個點與圓心 $(5, 0)$ 的距離應等於半徑 $R = \sqrt{10}$。
$P_x$: 距離平方 $= (6-5)^2 + (3-0)^2 = 1^2 + 3^2 = 10 = R^2$
$P_y$: 距離平方 $= (4-5)^2 + (-3-0)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 10 = R^2$

繪製步驟：

1. 畫一組 $\sigma-\tau$ 座標軸。
2. 標出圓心 $(5, 0)$。
3. 以圓心為圓，畫出半徑為 $\sqrt{10}$ 的圓。
4. 標出與 $\sigma$ 軸的交點，即主應力 $\sigma_1 \approx 8.16$ 和 $\sigma_2 \approx 1.84$。
5. 可以在圓上標示出點 $(6, 3)$ 和 $(4, -3)$。

【答案】繪製出圓心在 $(5, 0)$，半徑為 $\sqrt{10}$ 的莫爾圓。

(2) 在旋轉 30° 反時針方向的元素上表示應力狀態：
原始的應力元素是位於 $0^\circ$ 的位置。題目要求將元素旋轉 $30^\circ$ 反時針方向，這意味著我們需要找出在新座標軸下的應力狀態。在莫爾圓上，角度的旋轉是真實角度的兩倍。因此，我們需要在莫爾圓上從點 $P_x$ (代表 $0^\circ$) 開始，逆時針旋轉 $2 \times 30^\circ = 60^\circ$。

設新座標軸為 $n-t$ 軸，其中 $n$ 軸相對於 $x$ 軸旋轉了 $\theta = 30^\circ$ 的反時針方向。
新的正應力 $\sigma_n$ 和剪應力 $\tau_{nt}$ 可以通過應力轉換公式計算：
$\sigma_n = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$
$\tau_{nt} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$

本題考驗學生對體積變化 (dilatation) 以及應力-應變關係的應用，特別是在三軸受力情況下。

核心觀念：

1. 體積變化 (Dilatation, $\Delta V / V$): 在均勻應力狀態下，體積應變等於三個方向正應力所引起的線應變之和。對於壓力，三個方向的正應力均為負值。
2. 廣義虎克定律 (Generalized Hooke's Law) for triaxial stress:
   $\epsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]$
   $\epsilon_y = \frac{1}{E} [\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z)]$
   $\epsilon_z = \frac{1}{E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]$
3. 體積應變 (Volumetric Strain): $\epsilon_v = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$。
   對於均勻壓力 $p$，則 $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = -p$。
   $\epsilon_v = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z) + \sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z) + \sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]$
   $\epsilon_v = \frac{1}{E} [(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) - 2\nu(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)]$
   $\epsilon_v = \frac{1 - 2\nu}{E} (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$
   若 $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = -p$，則 $\epsilon_v = \frac{1 - 2\nu}{E} (-3p) = -\frac{3(1 - 2\nu)}{E} p$。
   體積變化率 $\Delta V / V = \epsilon_v$。

解題過程：

題目給定的參數：
均勻壓力 $p = 0.5 \text{ MPa}$。由於是壓力，表示應力是壓應力，所以 $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = -p = -0.5 \text{ MPa}$。
楊氏係數 $E = 4 \text{ MPa}$。
蒲松比 $\nu = 0.35$。
尺寸：$a = 6 \text{ mm}$, $b = 15 \text{ mm}$, $c = 4 \text{ mm}$。

(1) 確定體積變化 (dilatation)：
我們使用體積應變的公式：
$\epsilon_v = \frac{1 - 2\nu}{E} (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$

核心觀念

本題考查懸臂梁在集中力與均佈載重作用下的剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）。

依原卷圖形判讀：梁左端固定、右端自由，全長 $3\ \text{m}$；均佈載重 $w=1\ \text{kN/m}$ 作用於固定端起算的前 $2\ \text{m}$，自由端受向下集中力 $P=3\ \text{kN}$。

取座標 $x$ 自固定端向右量，彎矩正號採下凹（sagging）為正。

解題方法

在距固定端 $x$ 處取剖面，利用剖面右側外力的合力與力矩求內力。

1. 剪力圖

區段一：$0\le x\le 2$

剖面右側包括：

• 均佈載重合力：$1(2-x)=2-x\ \text{kN}$
• 自由端集中力：$3\ \text{kN}$

因此剪力為

$$V(x)=-\left[3+(2-x)\right]=x-5\ \text{kN}$$

故

$$V(0)=-5\ \text{kN},\qquad V(2)=-3\ \text{kN}$$

區段二：$2\le x\le 3$

剖面右側只剩自由端集中力 $3\ \text{kN}$，所以

$$V(x)=-3\ \text{kN}$$

因此剪力圖由固定端的 $-5\ \text{kN}$ 線性上升至 $x=2$ m 的 $-3\ \text{kN}$，之後維持常數至自由端。

2. 彎矩圖

區段一：$0\le x\le 2$

均佈載重右側部分的合力為 $2-x$，作用點距剖面

$$\frac{2-x}{2}$$

因此

$$M(x) = -\left[ 3(3-x) + (2-x)\frac{2-x}{2} \right]$$

整理得

$$M(x)=-3(3-x)-\frac{(2-x)^2}{2}\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

關鍵位置：

$$M(0)=-3(3)-\frac{2^2}{2}=-11\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M(2)=-3(1)=-3\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

區段二：$2\le x\le 3$

剖面右側只有自由端集中力，因此

本題考驗學生計算懸臂梁在端部集中力矩作用下的撓度 (displacement)。

核心觀念：

1. 懸臂梁在端部集中力矩 $M$ 作用下的撓度公式。
2. 彎曲微分方程：$EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$。
3. 利用邊界條件求解積分常數。

解題過程：

梁的坐標系設定：設固定端為 $x=0$，自由端 A 為 $x=L$。
作用在自由端 A ($x=L$) 的集中力矩為 $M$。
由於是懸臂梁，固定端需要抵抗此力矩。
在固定端 $x=0$ 處，彎矩 $M(0) = M$ (假設力矩 M 是使梁左側向上彎曲，即逆時針方向)。
自由端 $x=L$ 處，彎矩 $M(L) = M$。
梁上的剪力為零。

彎曲微分方程：
$EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$
對於懸臂梁，在整個梁長度上，彎矩 $M(x)$ 是常數 $M$ (如果 M 是作用在自由端的力矩)。
我們假設力矩 $M$ 是使梁向上彎曲的力矩。
$EI \frac{d^2y}{dx^2} = M$

積分一次得到斜率 $\frac{dy}{dx}$：
$EI \frac{dy}{dx} = \int M dx = Mx + C_1$

積分二次得到撓度 $y(x)$：
$EI y(x) = \int (Mx + C_1) dx = \frac{1}{2}Mx^2 + C_1x + C_2$

邊界條件：

1. 在固定端 $x=0$ 處，撓度為零：$y(0) = 0$。
2. 在固定端 $x=0$ 處，斜率為零：$\frac{dy}{dx}(0) = 0$。

應用邊界條件：
從 $\frac{dy}{dx}(0) = 0$：
$EI \frac{dy}{dx}(0) = M(0) + C_1 = 0$
$0 + C_1 = 0 \implies C_1 = 0$。

從 $y(0) = 0$：
$EI y(0) = \frac{1}{2}M(0)^2 + C_1(0) + C_2 = 0$
$0 + 0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0$。

所以，撓度方程為：
$EI y(x) = \frac{1}{2}Mx^2$
$y(x) = \frac{Mx^2}{2EI}$

題目要求計算點 A 的位移。點 A 是自由端，位於 $x=L$ 處。
將 $x=L$ 代入撓度方程：
$y(L) = \frac{ML^2}{2EI}$

這個公式表示自由端 A 的撓度。
通常，集中力矩 $M$ 在自由端產生的撓度是 $ML^2/(2EI)$。
如果 M 是順時針力矩，則梁會向下彎曲。如果 M 是逆時針力矩，則梁會向上彎曲。
在圖示中，M 標示在自由端，箭頭指向順時針方向。在材料力學中，通常順時針力矩會導致梁向下彎曲。
那麼，自由端 A 的位移 $y_A$ 就是 $y(L)$。

注意： 題目中的 M 可能代表力矩，也可能代表集中力。從圖示箭頭看，更像是力矩。如果 M 代表力，則需要知道力的方向。但通常力矩的符號用 M 表示。
假設 M 是作用在自由端的順時針力矩。
那麼，在固定端 $x=0$ 處，需要一個逆時針的力矩來平衡，即 $M_{reaction} = -M$。
彎矩方程 $M(x)$ (從固定端 $x=0$ 開始)：
在梁的任意截面 $x$ 處，其彎矩 $M(x)$ 等於固定端的反力矩 $M_{reaction}$ 加上從 $x=0$ 到 $x$ 之間所有力的力矩。
由於自由端只有一個力矩 $M$，所以在 $x$ 處的彎矩 $M(x)$ 應該是常數。
如果 $M$ 是順時針力矩，則 $M(x) = M$ (順時針)。

核心觀念

應力–應變圖的斜率代表模數，曲線下的面積代表單位體積吸收的能量：

• 比例限：應力與應變仍成正比的範圍終點。
• 彈性限：卸載後材料仍可完全恢復原狀的範圍終點。
• 彈性模數：彈性段的應力–應變斜率。
• 韌性模數：材料破壞前，應力–應變曲線下的總面積。
• 韌度模數：彈性區曲線下的面積。

依圖中標示，彈性與塑性區的分界點為 $(\epsilon,\sigma)=(2,\ 0.077\ \text{MPa})$，破壞點為 $(2.25,\ 0.385\ \text{MPa})$。依題目所給的分段直線描述計算。

解題方法

彈性段由原點至分界點；塑性段由分界點至破壞點。先用端點求各段斜率，再以三角形與梯形面積求能量密度。

(1)、(2) 彈性區與塑性區的應變範圍

由圖上的應變座標可讀得：

• 彈性區：$0\leq\epsilon\leq2$
• 塑性區：$2\leq\epsilon\leq2.25$

(3)、(4) 比例限與彈性限

分界點前為直線段，因此材料在彈性段內應力與應變成正比；圖中也將同一點標示為彈性與塑性區的邊界。因此比例限與彈性限相同：

$$\sigma_{\mathrm{比例限}}=\sigma_{\mathrm{彈性限}}=0.077\ \text{MPa}$$

(5) 破壞強度

破壞點的應力為 $0.385\ \text{MPa}$，所以破壞強度為：

$$\sigma_f=0.385\ \text{MPa}$$

(6) 韌度模數（彈性區面積）

彈性區下方是底為 $2$、高為 $0.077\ \text{MPa}$ 的三角形：

$$U_r=\frac{1}{2}(2)(0.077)=0.077\ \text{MPa}$$

核心觀念

本題考查軸向應力與應變、雙線性應力–應變圖，以及卸載後的永久變形。

軸向正應力為 $\sigma=P/A$，均勻桿件的伸長量為 $\delta=\epsilon L$。初始線性段的斜率為彈性模數 $E$；材料進入第二段後，依第二段斜率求載重時的總應變。卸載時假設沿初始彈性斜率 $E$ 返回，因此永久應變等於載重時總應變減去卸載恢復的彈性應變。

解題方法

先由外徑與壁厚求中空方形截面積：

$$A=50^2-(50-2\times5)^2=50^2-40^2=900\ \text{mm}^2$$

由應力–應變圖第一段求彈性模數：

$$E=\frac{250}{0.00125}=200{,}000\ \text{MPa}$$

（1）$P=100\ \text{kN}$ 時的伸長量

桿件的應力為：

$$\sigma_1=\frac{100{,}000}{900}=111.11\ \text{MPa}$$

因為 $111.11<250\ \text{MPa}$，材料仍在初始線性彈性段。其應變與伸長量為：

$$\epsilon_1=\frac{\sigma_1}{E} =\frac{111.11}{200{,}000} =0.0005556$$ $$\delta_1=\epsilon_1L =0.0005556\times600 =0.333\ \text{mm}$$

（2）$P=360\ \text{kN}$ 後卸載的永久伸長量

最大應力為：

本題考驗學生對樑的彎曲理論的理解，特別是彎曲應力公式以及斷面特性 (section modulus) 的應用。

核心觀念：

1. 彎曲應力公式：$\sigma_{max} = \frac{M y_{max}}{I} = \frac{M}{S}$，其中 $M$ 是內彎矩， $y_{max}$ 是從中性軸到最外纖維的距離，$I$ 是斷面的慣性矩， $S$ 是斷面模數 (Section Modulus)。
2. 斷面模數 (Section Modulus, S)：$S = I / y_{max}$。
3. 不同斷面的慣性矩 (Moment of Inertia) 和 $y_{max}$：
   • 矩形斷面 (邊長 $a$)：
     中性軸位於形心，即斷面中心。
     $y_{max} = a/2$。
     慣性矩 $I_{square} = \frac{1}{12} a^4$。
     斷面模數 $S_{square} = \frac{I_{square}}{y_{max}} = \frac{a^4/12}{a/2} = \frac{a^3}{6}$。
   • 圓形斷面 (半徑 $r$，直徑 $d=2r$)：
     中性軸位於圓心。
     $y_{max} = r$。
     慣性矩 $I_{circle} = \frac{\pi}{4} r^4$。