112 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《材料力學（C）》

本題考查材料力學中關於扭轉變形與角度的計算，特別是串聯結構的扭轉變形。

核心觀念：

1. 扭轉角度公式： 對於圓形斷面桿件，承受扭矩 $T$，長度為 $L$，材料剪力彈性模數為 $G$，斷面極慣性矩為 $J$，則扭轉角度 $\phi$ 為 $\phi = \frac{TL}{GJ}$。
2. 串聯結構的總扭轉角度： 當多個桿件串聯承受扭矩時，總扭轉角度為各段扭轉角度之和。
3. 圓管的極慣性矩： 對於外半徑為 $r_o$、內半徑為 $r_i$ 的圓管，其極慣性矩 $J = \frac{\pi}{2}(r_o^4 - r_i^4)$。

解題步驟：

1. 確定結構組成與受力：

   • 結構由兩部分串聯組成：圓管 BC 和實心軸 AB。
   • 扭矩 $T = 50 \, \text{N·m}$ 施加在 C 點。
   • A 點固定支撐。
   • 鋼材的剪力彈性模數 $G = 80 \, \text{GPa} = 80 \times 10^9 \, \text{N/m}^2$。

2. 分析圓管 BC 的扭轉：

   • 外半徑 $r_o = 25 \, \text{mm} = 0.025 \, \text{m}$。
   • 壁厚 $= 3 \, \text{mm}$。
   • 內半徑 $r_i = r_o - \text{壁厚} = 25 \, \text{mm} - 3 \, \text{mm} = 22 \, \text{mm} = 0.022 \, \text{m}$。
   • 圓管 BC 的長度 $L_{BC} = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}$。
   • 計算圓管 BC 的極慣性矩 $J_{BC}$：
     $J_{BC} = \frac{\pi}{2}(r_o^4 - r_i^4) = \frac{\pi}{2}((0.025 \, \text{m})^4 - (0.022 \, \text{m})^4)$
     $J_{BC} = \frac{\pi}{2}(3.90625 \times 10^{-7} \, \text{m}^4 - 2.34256 \times 10^{-7} \, \text{m}^4)$
     $J_{BC} = \frac{\pi}{2}(1.56369 \times 10^{-7} \, \text{m}^4) \approx 2.456 \times 10^{-7} \, \text{m}^4$。
   • 圓管 BC 承受的扭矩 $T_{BC} = 50 \, \text{N·m}$。
   • 計算圓管 BC 的扭轉角度 $\phi_{BC}$：
     $\phi_{BC} = \frac{T_{BC}L_{BC}}{G J_{BC}} = \frac{(50 \, \text{N·m})(0.1 \, \text{m})}{(80 \times 10^9 \, \text{N/m}^2)(2.456 \times 10^{-7} \, \text{m}^4)}$

本題考查薄壁圓筒的應力分析，以及如何利用 Mohr's circle 來找出最大法向應力與最大剪應力。

核心觀念：

1. 薄壁圓筒應力：
   • 環向應力 (Hoop stress, $\sigma_h$)： 抵抗內壓沿圓筒徑向向外拉的應力。公式為 $\sigma_h = \frac{pr}{t}$，其中 $p$ 為內壓，$r$ 為圓筒平均半徑（或內半徑，因壁厚遠小於半徑），$t$ 為壁厚。
   • 軸向應力 (Axial stress, $\sigma_a$)： 抵抗內壓沿圓筒軸向作用的應力。公式為 $\sigma_a = \frac{pr}{2t}$。
   • 徑向應力 (Radial stress, $\sigma_r$)： 沿半徑方向的應力，在薄壁圓筒中通常可忽略不計，即 $\sigma_r \approx 0$。
2. Mohr's Circle： 用於表示平面應力狀態的幾何圖形，可以方便地找出任意截面上的應力，以及最大/最小主應力、最大剪應力。
   • 圓心座標：$(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0)$
   • 半徑：$R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$
   • 主應力：$\sigma_1, \sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm R$
   • 最大剪應力：$\tau_{max} = R$

解題步驟：

給定參數：

• 內壓 $p = 0.7 \, \text{MPa}$
• 壁厚 $t = 6 \, \text{mm} = 0.006 \, \text{m}$
• 內徑 $= 200 \, \text{mm}$，所以內半徑 $r_i = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}$。
• 由於是薄壁圓筒，我們使用內半徑 $r = r_i = 0.1 \, \text{m}$。

計算基本應力：

• 環向應力 $\sigma_h = \frac{pr}{t} = \frac{(0.7 \, \text{MPa})(100 \, \text{mm})}{6 \, \text{mm}} = \frac{70}{6} \, \text{MPa} \approx 11.67 \, \text{MPa}$。
• 軸向應力 $\sigma_a = \frac{pr}{2t} = \frac{1}{2} \sigma_h = \frac{1}{2} (11.67 \, \text{MPa}) \approx 5.83 \, \text{MPa}$。
• 徑向應力 $\sigma_r \approx 0$。

a) 情況 (a)：圓筒兩端封閉，受內壓
在此情況下，圓筒壁上任一點的應力狀態可以視為一個平面應力狀態，其中：

• $\sigma_x = \sigma_h = 11.67 \, \text{MPa}$ (環向應力)
• $\sigma_y = \sigma_a = 5.83 \, \text{MPa}$ (軸向應力)
• $\tau_{xy} = 0$ (因為沒有扭矩或剪力作用在這些主平面上)

1. 狀態應力：

   • 主應力為 $\sigma_1 = \sigma_h = 11.67 \, \text{MPa}$ 和 $\sigma_2 = \sigma_a = 5.83 \, \text{MPa}$。
   • 最小主應力 $\sigma_3 = \sigma_r \approx 0 \, \text{MPa}$。
   • 此時，$\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 作用在與圓筒表面垂直的平面上，即環向和軸向方向。

2. Mohr's Circle 繪製與分析：

   • 將 $\sigma_h$ 和 $\sigma_a$ 作為平面應力。
   • 圓心座標：$C = (\frac{\sigma_h + \sigma_a}{2}, 0) = (\frac{11.67 + 5.83}{2}, 0) = (\frac{17.5}{2}, 0) = (8.75 \, \text{MPa}, 0)$。
   • 半徑 $R = \frac{\sigma_h - \sigma_a}{2} = \frac{11.67 - 5.83}{2} = \frac{5.84}{2} = 2.92 \, \text{MPa}$。
   • 最大主應力： $\sigma_{max} = \sigma_1 = 11.67 \, \text{MPa}$。
   • 最小主應力： $\sigma_{min} = \sigma_2 = 5.83 \, \text{MPa}$ (在平面應力情況下，我們通常只考慮 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$，但若考慮三維，則 $\sigma_3 = 0$ 是最小的)。
   • 最大剪應力： $\tau_{max} = R = 2.92 \, \text{MPa}$。此最大剪應力發生在與主平面成 45 度的平面上。

b) 情況 (b)：圓筒為開放式，兩端未封閉，受內壓
在此情況下，圓筒僅承受軸向的力（來自活塞 P），但兩端是開放的，所以沒有軸向應力由內壓產生。然而，題目圖示 (b) 顯示活塞 P 施加了一個向下的壓力，並由圓筒壁支撐。這意味著圓筒壁承受一個向下的總力，該力在圓筒壁上產生軸向應力。

• 分析圖示 (b)： 圖示 (b) 顯示兩端開放，但活塞 P 施加壓力。題目描述「piston P produces an internal pressure of 0.7 MPa」，這句話可能有點歧義。如果是指圓筒內部壓力為 0.7 MPa，但兩端開放，則沒有環向應力 $\sigma_h$ 和軸向應力 $\sigma_a$ 由內壓產生。但圖示 (b) 中的箭頭 P 指向圓筒內部，表示壓力。如果圓筒是開放的（無端蓋），則內壓 $p$ 在圓筒壁上只會產生環向應力 $\sigma_h = \frac{pr}{t}$，因為軸向的力會通過端面直接傳遞。
  然而，常見的薄壁圓筒分析，若兩端開放，則：

本題考查複合應力分析，包含扭轉、軸向拉伸（或壓縮）以及彎曲（雖然題目圖示未顯示彎曲，但實際情況可能包含，不過本題僅給出扭矩和軸力，應力計算以這兩者為主）。題目要求計算主應力與最大剪應力。

核心觀念：

1. 應力疊加原理： 當桿件同時承受多種載荷時，任一點的總應力是各載荷單獨作用時產生的應力之疊加。
2. 軸向應力： $\sigma_{axial} = \frac{P}{A}$，其中 $P$ 是軸向力，$A$ 是斷面積。
3. 扭轉剪應力： $\tau_{T} = \frac{Tr}{J}$，其中 $T$ 是扭矩，$r$ 是到圓心距離，$J$ 是極慣性矩。
4. 彎曲正向應力： $\sigma_{b} = \frac{My}{I}$，其中 $M$ 是彎矩，$y$ 是離中性軸距離，$I$ 是面積慣性矩。
5. 主應力與最大剪應力： 對於平面應力狀態 $(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy})$，可以通過 Mohr's circle 求得。
   • 主應力：$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$
   • 最大剪應力：$\tau_{max} = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$

解題步驟：

給定參數：

• 外徑 $d_o = 80 \, \text{mm}$，外半徑 $r_o = 40 \, \text{mm} = 0.04 \, \text{m}$。
• 壁厚 $t = 8 \, \text{mm}$。
• 內半徑 $r_i = r_o - t = 40 \, \text{mm} - 8 \, \text{mm} = 32 \, \text{mm} = 0.032 \, \text{m}$。
• 重量 $= 1 \, \text{kN/m}$。
• 扭矩 $T = 1.2 \, \text{kN·m} = 1.2 \times 10^3 \, \text{N·m}$。
• 軸向力 $P = 7.5 \, \text{kN}$ (圖示為向上箭頭，表示拉力)。
• 計算位置：截面 a，位於外表面。

1. 計算斷面積與性質：

• 斷面積 $A = \pi (r_o^2 - r_i^2) = \pi ((0.04 \, \text{m})^2 - (0.032 \, \text{m})^2)$
  $A = \pi (0.0016 \, \text{m}^2 - 0.001024 \, \text{m}^2) = \pi (0.000576 \, \text{m}^2) \approx 1.81 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$。
• 極慣性矩 $J = \frac{\pi}{2}(r_o^4 - r_i^4) = \frac{\pi}{2}((0.04 \, \text{m})^4 - (0.032 \, \text{m})^4)$
  $J = \frac{\pi}{2}(2.56 \times 10^{-6} \, \text{m}^4 - 1.048576 \times 10^{-6} \, \text{m}^4) = \frac{\pi}{2}(1.511424 \times 10^{-6} \, \text{m}^4) \approx 2.375 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$。

2. 計算各項應力：

• 軸向應力 ($\sigma_{axial}$):
  此處有軸向力 $P=7.5 \, \text{kN}$ (拉力)，以及鑽桿自身的重量。題目給出重量 $1 \, \text{kN/m}$。截面 a 位於下方 6m 處。

  • 由於軸向力 $P=7.5 \, \text{kN}$ 是向上施加的，而重量是向下的。
  • 總軸向力 $P_{total} = P_{applied} - W_{total}$。
  • 截面 a 距離頂部 6m + 6m = 12m。
  • 總重量 $W_{total} = (1 \, \text{kN/m}) \times (12 \, \text{m}) = 12 \, \text{kN}$。
  • 作用在截面 a 的淨軸向力 $P_{net} = 7.5 \, \text{kN} - 12 \, \text{kN} = -4.5 \, \text{kN}$。
  • 負號表示軸向力是壓力。
  • 軸向應力 $\sigma_{axial} = \frac{P_{net}}{A} = \frac{-4.5 \times 10^3 \, \text{N}}{1.81 \times 10^{-3} \, \text{m}^2} \approx -2.486 \times 10^6 \, \text{Pa} = -2.486 \, \text{MPa}$。
  • 注意： 如果截面 a 距離頂部只有 6m，則重量為 $6 \, \text{kN}$，淨軸向力為 $7.5 - 6 = 1.5 \, \text{kN}$ (拉力)。但圖示顯示截面 a 在下方 6m 處，且總長度約 12m。我們以總長 12m 計算。

• 扭轉剪應力 ($\tau_T$):
  扭矩 $T = 1.2 \, \text{kN·m} = 1.2 \times 10^3 \, \text{N·m}$。
  在截面 a 的外表面，距離圓心 $r = r_o = 0.04 \, \text{m}$。
  扭轉剪應力 $\tau_T = \frac{Tr_o}{J} = \frac{(1.2 \times 10^3 \, \text{N·m})(0.04 \, \text{m})}{2.375 \times 10^{-6} \, \text{m}^4}$

核心觀念

圖中直線段通過 $(\varepsilon,\sigma)=(0.007,490\text{ MPa})$，因此楊氏係數為

採用工程應力與工程應變：

且

原始截面積為

(a) 求 $\nu$、$E$ 與 $G$

50 kN 載重所造成的正應力為

由於 $394.705<490\text{ MPa}$，仍位於圖中的直線彈性段，因此軸向應變為

橫向應變為

所以蒲松比為

剪切模數為

本題考查材料的強度設計，特別是在單軸拉伸屈服應力已知的情況下，利用不同的失效準則（最大變形能理論和最大剪應力理論）來確定承受彎曲載荷的方截面桿件所需尺寸。

核心觀念：

1. 安全係數 (Safety Factor, $SF$)： 材料的屈服強度與實際工作應力之比，或許是許用應力與工作應力的比值。題目中給的是相對於屈服的，即 $SF = \frac{\sigma_y}{\sigma_{allowable}}$ 或 $\frac{\sigma_y}{\sigma_{working}}$。
2. 許用應力 (Allowable Stress, $\sigma_{allowable}$)： 為了安全起見，材料允許承受的最大應力。$\sigma_{allowable} = \frac{\sigma_y}{SF}$。
3. 彎曲應力： 對於承受彎矩 $M$ 的桿件，其正向應力為 $\sigma = \frac{My}{I}$，其中 $y$ 是離中性軸的距離，$I$ 是斷面的面積慣性矩。最大彎曲應力發生在離中性軸最遠的地方。
4. 最大變形能理論 (Maximum Distortion Energy Theory, MDET / Von Mises Criterion)：
   • 此理論認為，當材料的變形應力張量所產生的畸變應變能達到某個臨界值時，材料開始屈服。
   • 對於一般三維應力狀態 $(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$，屈服條件為：
     $\sigma_{eff} = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2]} \ge \sigma_y$
   • 對於平面應力狀態，若已知主應力為 $\sigma_1, \sigma_2$，且 $\sigma_3 = 0$：
     $\sigma_{eff} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} \ge \sigma_y$
   • 在設計時，我們用許用應力 $\sigma_{allowable}$ 代替 $\sigma_y$。
5. 最大剪應力理論 (Maximum Shear Stress Theory / Tresca Criterion)：
   • 此理論認為，當材料的最大剪應力達到單軸拉伸狀態下屈服時的最大剪應力時，材料開始屈服。
   • 單軸拉伸屈服時，最大剪應力為 $\tau_{y} = \sigma_y / 2$。
   • 對於一般三維應力狀態，最大剪應力為 $\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$。屈服條件為 $\tau_{max} \ge \tau_{y}$。
   • 對於平面應力狀態 $(\sigma_1, \sigma_2, 0)$，最大剪應力為 $\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$，其中 $\sigma_3$ 是最小主應力。
   • 在設計時，我們用許用應力 $\sigma_{allowable}$。

解題步驟：

給定參數：

• 桿件為方截面，設邊長為 $b$。
• 彎矩 $M = 10 \, \text{kN·m} = 10 \times 10^3 \, \text{N·m}$。
• 屈服應力 $\sigma_y = 840 \, \text{MPa}$。
• 安全係數 $SF = 1.5$。

1. 計算許用應力 $\sigma_{allowable}$：
$\sigma_{allowable} = \frac{\sigma_y}{SF} = \frac{840 \, \text{MPa}}{1.5} = 560 \, \text{MPa}$。

2. 分析方截面桿件的應力狀態：

• 桿件承受彎矩 $M$。
• 方截面，邊長為 $b$。
• 中性軸位於截面的中心。
• 面積慣性矩 $I = \frac{b^4}{12}$。
• 最大彎曲應力發生在離中性軸最遠處，即 $y_{max} = \frac{b}{2}$。
• 最大彎曲應力 $\sigma_{max} = \frac{M y_{max}}{I} = \frac{M (b/2)}{b^4/12} = \frac{6M}{b^3}$。
• 在此情況下，桿件僅承受彎曲，所以應力狀態是單純的彎曲正向應力，即一個主應力為 $\sigma_{max}$，另一個主應力為 $\sigma_{min} = -\sigma_{max}$ (在截面另一側)，第三個主應力為 $\sigma_3 = 0$（若考慮整體平面應力，則為 $\sigma_1 = \sigma_{max}$, $\sigma_2 = 0$, $\sigma_3 = -\sigma_{max}$，但通常在分析單一截面上的最大應力時，我們關注的是 $\sigma_{max}$ 和 $\sigma_{min}$ 的大小）。
  更精確地說，在受彎桿件的表面，應力狀態是：
  • 沿彎曲方向的應力：$\sigma = \frac{My}{I}$。
  • 垂直於彎曲方向的應力：$\sigma = 0$。
  • 剪應力：通常在此類問題中，除非有額外的剪力，否則彎曲產生的剪應力可以忽略不計（或與正向應力相比很小）。
  • 因此，在最大彎曲應力處，我們有一個雙軸應力狀態，其中一個主應力是 $\sigma_{max}$，另一個是 $-\sigma_{max}$。
  • 嚴格來說，在彎曲表面，應力分量為：
    $\sigma_x = \frac{My}{I}$ (沿桿件軸向)
    $\sigma_y = 0$ (垂直於桿件軸向，在截面平面內)
    $\sigma_z = 0$ (沿桿件厚度方向，如果桿件是平板的話，但這裡是指橫截面上的應力)
    對於方截面，我們關注的是 $\sigma = \frac{M y}{I}$。在表面，存在應力 $\sigma_{max} = \frac{M (b/2)}{b^4/12} = \frac{6M}{b^3}$ 和 $-\sigma_{max}$。
    所以，在表面上，應力張量可以看作：
    $\sigma_1 = \sigma_{max} = \frac{6M}{b^3}$
    $\sigma_2 = 0$ (垂直於彎曲平面，在表面上)
    $\sigma_3 = -\sigma_{max} = -\frac{6M}{b^3}$ (在截面的另一側表面)

a) 根據最大變形能理論 (Von Mises)：

• 我們使用 $\sigma_{eff} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2}$ 對於平面應力。
• 在這裡，我們考慮的是最大應力處，應力狀態是 $\sigma_{max}$ 和 $0$。

  • 情況 1： 考慮 $\sigma_1 = \sigma_{max}$, $\sigma_2 = 0$, $\sigma_3 = -\sigma_{max}$。
    這是三維應力狀態。
    $\sigma_{eff} = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{max}-0)^2 + (0-(-\sigma_{max}))^2 + (-\sigma_{max}-\sigma_{max})^2]}$
    $\sigma_{eff} = \sqrt{\frac{1}{2}[\sigma_{max}^2 + \sigma_{max}^2 + (-2\sigma_{max})^2]}$
    $\sigma_{eff} = \sqrt{\frac{1}{2}[\sigma_{max}^2 + \sigma_{max}^2 + 4\sigma_{max}^2]} = \sqrt{\frac{1}{2}[6\sigma_{max}^2]} = \sqrt{3}\sigma_{max}$。
    屈服條件：$\sqrt{3}\sigma_{max} \ge \sigma_y$。
    在設計時：$\sqrt{3}\sigma_{max} = \sigma_y$。
    $\sigma_{max} = \frac{\sigma_y}{\sqrt{3}}$。
    使用許用應力：$\sigma_{max} = \frac{\sigma_{allowable}}{\sqrt{3}}$。
    $\frac{6M}{b^3} = \frac{\sigma_{allowable}}{\sqrt{3}}$。
    $b^3 = \frac{6\sqrt{3}M}{\sigma_{allowable}} = \frac{6\sqrt{3}(10 \times 10^3 \, \text{N·m})}{560 \times 10^6 \, \text{Pa}}$
    $b^3 = \frac{6 \times 1.732 \times 10^4}{560 \times 10^6} \, \text{m}^3 = \frac{103.92 \times 10^3}{560 \times 10^6} \, \text{m}^3 \approx 0.18557 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$。
    $b = (0.18557 \times 10^{-3})^{1/3} \, \text{m} \approx 0.05706 \, \text{m} \approx 57.06 \, \text{mm}$。

  • 情況 2： 如果我們只考慮平面應力，即 $\sigma_1 = \sigma_{max}$, $\sigma_2 = 0$ (在某個方向)，則 $\sigma_{eff} = \sigma_{max}$。
    這種情況適用於純彎曲，其中最大應力點承受 $\sigma_{max}$ 的拉應力，而對稱點承受 $-\sigma_{max}$ 的壓應力。
    如果我們將 $\sigma_{max}$ 作為設計應力，則 $\sigma_{max} = \sigma_{allowable}$。
    $\frac{6M}{b^3} = \sigma_{allowable}$。
    $b^3 = \frac{6M}{\sigma_{allowable}} = \frac{6(10 \times 10^3 \, \text{N·m})}{560 \times 10^6 \, \text{Pa}}$
    $b^3 = \frac{60 \times 10^3}{560 \times 10^6} \, \text{m}^3 = \frac{60}{560} \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \approx 0.10714 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$。