114 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《材料力學（C）》

本題主要考驗學生對二維應力轉換（應力座標轉換）的理解與應用。已知一平面應力狀態下的應力分量，需計算旋轉 $\theta = 45^\circ$ 後的新應力分量。

題目的已知應力狀態如下：
$\sigma_x = 15$ MPa
$\sigma_y = 45$ MPa
$\tau_{xy} = 8$ MPa

我們需要將此應力狀態轉換到旋轉 $\theta = 45^\circ$ 的新座標系 $(x_1, y_1)$ 下。應力轉換公式如下：
$\sigma_{x1} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$
$\sigma_{y1} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) - \tau_{xy} \sin(2\theta)$
$\tau_{x1y1} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$

其中 $\theta = 45^\circ$，所以 $2\theta = 90^\circ$。
$\cos(90^\circ) = 0$
$\sin(90^\circ) = 1$

本題考驗靜定梁的力學分析，包含計算支承反力、繪製剪力圖與彎矩圖，以及求取特定斷面的剪力與彎矩。

梁的幾何尺寸與載重：
總長度 = 2m (A到C) + 6m (C到B) = 8m。
均勻分布載重 $q = 10$ kN/m，作用於整個梁長。
集中載重 $P = 50$ kN，作用於距離 A 點 2m 處（即 C 點）。

(A) 計算支承反力 $R_A$ 與 $R_B$：
梁為靜定梁，可利用整體平衡方程式求解。
∑M_A = 0 (以 A 點為參考點取力矩平衡)：
$P \times (2 \text{ m}) + q \times (8 \text{ m}) \times (4 \text{ m}) - R_B \times (8 \text{ m}) = 0$
$50 \text{ kN} \times 2 \text{ m} + 10 \text{ kN/m} \times 8 \text{ m} \times 4 \text{ m} - R_B \times 8 \text{ m} = 0$
$100 \text{ kNm} + 320 \text{ kNm} - R_B \times 8 \text{ m} = 0$
$420 \text{ kNm} = R_B \times 8 \text{ m}$
$R_B = \frac{420}{8} \text{ kN} = 52.5 \text{ kN}$

∑F_y = 0 (垂直方向力平衡)：
$R_A + R_B - P - q \times (8 \text{ m}) = 0$
$R_A + 52.5 \text{ kN} - 50 \text{ kN} - 10 \text{ kN/m} \times 8 \text{ m} = 0$
$R_A + 52.5 \text{ kN} - 50 \text{ kN} - 80 \text{ kN} = 0$
$R_A - 77.5 \text{ kN} = 0$
$R_A = 77.5 \text{ kN}$

驗證：∑M_B = 0
$R_A \times (8 \text{ m}) - P \times (6 \text{ m}) - q \times (8 \text{ m}) \times (4 \text{ m}) = 0$
$77.5 \text{ kN} \times 8 \text{ m} - 50 \text{ kN} \times 6 \text{ m} - 10 \text{ kN/m} \times 8 \text{ m} \times 4 \text{ m} = 0$
$620 \text{ kNm} - 300 \text{ kNm} - 320 \text{ kNm} = 0$
$0 = 0$ (驗證成功)

(B) 繪製剪力圖 (Shear Force Diagram, SFD) 與彎矩圖 (Bending Moment Diagram, BMD)：

剪力圖 (SFD)：
從左到右分析：

1. 在 A 點左側：$V = 0$
2. 在 A 點：$V$ 突升 $R_A = 77.5$ kN。所以 $V(0^+) = 77.5$ kN。
3. 從 A 點到 C 點 (0 < x < 2m)：均勻分布載重 $q$ 作用，剪力線性遞減。
   $V(x) = R_A - qx = 77.5 - 10x$
   在 C 點 (x=2m)：$V(2^-) = 77.5 - 10(2) = 77.5 - 20 = 57.5$ kN。
4. 在 C 點：集中載重 $P = 50$ kN 作用，剪力突降。
   $V(2^+) = V(2^-) - P = 57.5 - 50 = 7.5$ kN。
5. 從 C 點到 B 點 (2m < x < 8m)：均勻分布載重 $q$ 作用，剪力線性遞減。
   $V(x) = V(2^+) - q(x-2) = 7.5 - 10(x-2)$
   在 B 點 (x=8m)：$V(8^-) = 7.5 - 10(8-2) = 7.5 - 10(6) = 7.5 - 60 = -52.5$ kN。
6. 在 B 點：$V$ 突升 $R_B = 52.5$ kN，回到 0。$V(8^+) = -52.5 + 52.5 = 0$。

剪力圖特徵：

• $V(0) = 77.5$ kN
• $V(2^-) = 57.5$ kN
• $V(2^+) = 7.5$ kN
• $V(8) = -52.5$ kN
• 剪力圖在 A 點上方，C 點上方，B 點下方。

核心觀念

本題考查對稱工字梁的：

• 形心軸慣性矩 $I$
• 彈性彎曲公式
  $\sigma=\frac{My}{I}$
• 初降伏彎矩
  $M_{\max}=\frac{\sigma_y I}{c}$
• 降伏後的理想彈塑性應力分布
• 應力分布的合力與彎矩積分

截面上下對稱，因此中性軸位於截面中央。總高度為

$$H=h+2t=25+2(2.5)=30\text{ cm}$$

最外纖維至中性軸距離為

$$c=\frac{H}{2}=15\text{ cm}$$

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(A) 截面慣性矩 $I$

以水平中性軸計算。截面由上下兩個翼板與中央腹板組成。

上、下翼板

每個翼板面積為

$$A_f=wt=30(2.5)=75\text{ cm}^2$$

翼板自身對水平軸的慣性矩為

$$I_{f,c}=\frac{wt^3}{12} =\frac{30(2.5)^3}{12} =39.0625\text{ cm}^4$$

翼板形心至全截面中性軸的距離為

$$d=\frac{h}{2}+\frac{t}{2} =12.5+1.25=13.75\text{ cm}$$

因此，上下翼板合計慣性矩為

$$I_f=2\left(I_{f,c}+A_fd^2\right)$$ $$I_f =2\left[39.0625+75(13.75)^2\right] =28437.5\text{ cm}^4$$

腹板

$$I_w=\frac{bh^3}{12} =\frac{5(25)^3}{12} =6510.4167\text{ cm}^4$$

所以總慣性矩為

$$I=I_f+I_w =28437.5+6510.4167$$ $$\boxed{I=34947.92\text{ cm}^4}$$

換算為 SI 單位：

$$\boxed{I=3.49479\times10^{-4}\text{ m}^4}$$

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(B) 不超過降伏應力的最大彎矩 $M_{\max}$

第一次降伏發生在最外纖維，因此使用

$$\sigma_y=\frac{M_{\max}c}{I}$$

整理得

$$M_{\max}=\frac{\sigma_y I}{c}$$

採用 SI 單位：

$$\sigma_y=200\times10^6\text{ Pa}$$ $$M_{\max} =\frac{(200\times10^6)(3.49479\times10^{-4})}{0.15}$$ $$\boxed{M_{\max}=4.6597\times10^5\text{ N}\cdot\text{m}}$$

亦即

$$\boxed{M_{\max}\approx465.97\text{ kN}\cdot\text{m}}$$

此時最外側上下表面的應力分別達到 $\pm200$ MPa。

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(C) 彈性階段的軸向應力分布

彈性彎曲時，應力沿高度呈線性分布：

$$\sigma(y)=\frac{M}{I}y$$

中性軸處 $y=0$，所以

$$\sigma=0$$

在最外纖維 $y=\pm15$ cm 處：

$$\sigma=\pm\sigma_y=\pm200\text{ MPa}$$

若上翼板受壓、下翼板受拉，分布可表示為：

上表面       -200 MPa（壓）
                 ▲
                 │ 線性變化
中性軸          0
                 │ 線性變化
                 ▼
下表面       +200 MPa（拉）

因此，應力圖為通過中性軸的三角形分布；同一高度上的應力在翼板與腹板中相同。

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(D) 作用於上翼板 A 的合力 $F_R$

在最大彈性彎矩時，上翼板範圍為

$$y=12.5\text{ cm}\sim15\text{ cm}$$

應力在翼板內呈線性變化：

• 翼板下緣：
  $\sigma_1=200\left(\frac{12.5}{15}\right)=166.67\text{ MPa}$

• 翼板上緣：
  $\sigma_2=200\text{ MPa}$

因此翼板平均應力為

$$\sigma_{\text{avg}} =\frac{166.67+200}{2} =183.33\text{ MPa}$$

上翼板面積為

核心觀念

圓形中空軸的扭轉公式為

$$J=\frac{\pi}{32}\left(D^4-d^4\right),\qquad \tau_{\max}=\frac{Tc}{J},\qquad \frac{\phi}{L}=\frac{T}{GJ}$$

其中 $D$ 為外徑、$d$ 為內徑、$c=D/2$。

依題目文字，將 $d_o$ 視為內徑，壁厚為

$$t=0.1d_o$$

因此外徑為

$$D=d_o+2t=1.2d_o$$

令

$$K=\frac{\pi}{32}\left(1.2^4-1\right) =0.1054004$$

則 $J=Kd_o^4$。

(A) 極慣性矩

$$\begin{aligned} J &=\frac{\pi}{32}\left[(1.2d_o)^4-d_o^4\right]\\ &=\frac{\pi}{32}(1.2^4-1)d_o^4\\ &=\boxed{0.1054004\,d_o^4} \end{aligned}$$

(B) 由最大剪應力決定 $d_o$

外表面半徑為

$$c=\frac{D}{2}=0.6d_o$$

採用 $T=1500\ \text{N}\cdot\text{m}=1.5\times10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}$，並以 mm 為長度單位：

$$45=\frac{(1.5\times10^6)(0.6d_o)} {0.1054004d_o^4}$$

整理得

$$d_o^3= \frac{0.6(1.5\times10^6)} {45(0.1054004)}$$

因此

$$\boxed{d_{o,\tau}=57.46\ \text{mm}}$$

(C) 由最大扭轉率決定 $d_o$

先將角度換成弧度：

$$0.9^\circ/\text{m} =\frac{0.9\pi}{180}\ \text{rad/m} =1.5708\times10^{-5}\ \text{rad/mm}$$