113 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《材料力學（C）》

本題考驗軸向受力桿件的變形計算，重點在於理解桿件各段受力與應力分布，並利用材料力學的積分法或疊加法計算總變位。

首先，我們分析桿件各段所受的軸向內力。
桿件從 A 到 C 可分為兩段：AB 段和 BC 段。
固定端 A 相當於一個支撐點。

1. 分析各段內力 (Internal Forces):

   • 在 C 點右側，有一個 40 kN 的拉力。
   • 在 B 點，有一個 50 kN 的拉力作用。
   • 在 A 點，為固定端，會產生反作用力以平衡外部載重。

   我們從右向左分析：

   • BC 段 (400 mm): 在 C 點右側的 40 kN 拉力，會作用在 BC 段。因此，BC 段的軸向內力 $P_{BC} = 40 \, \text{kN}$ (拉力)。
   • AB 段 (600 mm): 在 B 點，除了 BC 段的 40 kN 作用外，還有一個 50 kN 的拉力。所以，AB 段的軸向內力 $P_{AB} = 40 \, \text{kN} + 50 \, \text{kN} = 90 \, \text{kN}$ (拉力)。
   • A 點: 為固定端，會產生一個反作用力 $F_A$ 來平衡總拉力。$F_A = P_{AB} + P_{BC} = 90 \, \text{kN} + 40 \, \text{kN} = 130 \, \text{kN}$ (壓力，指向右方)。

2. 計算各段的軸向應力 (Axial Stress):
   桿件的直徑 $d = 20 \, \text{mm}$。
   橫截面積 $A = \pi \frac{d^2}{4} = \pi \frac{(20 \, \text{mm})^2}{4} = 100\pi \, \text{mm}^2$。
   將單位統一為 N 和 mm。

   • AB 段應力 $\sigma_{AB} = \frac{P_{AB}}{A} = \frac{90 \times 10^3 \, \text{N}}{100\pi \, \text{mm}^2} = \frac{900}{\pi} \, \text{MPa}$ (拉應力)。
   • BC 段應力 $\sigma_{BC} = \frac{P_{BC}}{A} = \frac{40 \times 10^3 \, \text{N}}{100\pi \, \text{mm}^2} = \frac{400}{\pi} \, \text{MPa}$ (拉應力)。

3. 計算各段的軸向應變 (Axial Strain):
   材料的彈性模數 $E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^3 \, \text{MPa}$。

   • AB 段應變 $\epsilon_{AB} = \frac{\sigma_{AB}}{E} = \frac{900/\pi \, \text{MPa}}{200 \times 10^3 \, \text{MPa}} = \frac{900}{\pi \times 200000} = \frac{9}{20000\pi}$。
   • BC 段應變 $\epsilon_{BC} = \frac{\sigma_{BC}}{E} = \frac{400/\pi \, \text{MPa}}{200 \times 10^3 \, \text{MPa}} = \frac{400}{\pi \times 200000} = \frac{4}{20000\pi} = \frac{1}{5000\pi}$。

4. 計算各段的長度變化 (Change in Length):

   • AB 段長度變化 $\Delta L_{AB} = \epsilon_{AB} \times L_{AB} = \frac{9}{20000\pi} \times 600 \, \text{mm} = \frac{5400}{20000\pi} \, \text{mm} = \frac{27}{100\pi} \, \text{mm}$。

核心觀念

本題探討樑受彎曲變形時的應變與應力關係，核心觀念為純彎曲（Pure Bending）的幾何變形關係與虎克定律（Hooke's Law）。

當細長桿件被彎曲成曲率半徑為 $\rho$ 的圓弧時，中立軸（Neutral Axis）的長度保持不變。距離中立軸為 $y$ 的任意縱向纖維，其正應變（Normal Strain）由曲率幾何推導為：

在材料處於線彈性範圍內時，依據一維虎克定律 $\sigma = E\epsilon$，正應力分佈為：

最大彎曲應力發生在離中立軸最遠的外側表面纖維處（$y_{\max} = c = t/2$，其中 $t$ 為斷面厚度）：

此外，亦可透過曲率方程式 $\frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI}$ 求得彎矩 $M = \frac{EI}{\rho}$，再代入彎曲應力公式 $\sigma_{\max} = \frac{Mc}{I}$ 得到完全相同的結果。

解題方法

1. 整理已知物理量與單位換算：

   • 鋼帶厚度（thickness）：$t = 10\text{ mm} = 0.01\text{ m}$
   • 鋼帶寬度（width）：$b = 20\text{ mm} = 0.02\text{ m}$
   • 曲率半徑（radius of curvature）：$\rho = 10\text{ m}$
   • 彈性模數（modulus of elasticity）：$E = 200\text{ GPa} = 200 \times 10^9\text{ Pa} = 200 \times 10^3\text{ MPa}$

2. 計算中立軸至最外側纖維之距離 $c$：
   鋼帶沿厚度方向彎曲，矩形截面之中立軸位於厚度中心處：

本題考驗扭轉桿件的設計，重點在於將功率、轉速轉換為扭矩，然後利用許用剪應力條件計算所需的最小直徑。

題目給予的資訊：

• 功率 $P = 300\pi^2 \, \text{W}$。
• 轉速 $N = 180 \, \text{rev/min}$。
• 許用剪應力 $\tau_{allow} = 100 \, \text{MPa}$。
• 材料假設為均質且符合彈性行為。

我們需要計算軸的最小直徑 $d_{min}$。

核心觀念：

1. 功率與扭矩的關係： 功率 $P$ (瓦特 W) 與扭矩 $T$ (牛頓-米 N·m) 和角速度 $\omega$ (弧度/秒 rad/s) 的關係為 $P = T\omega$。
2. 角速度轉換： 轉速 $N$ (轉/分 rev/min) 需要轉換為角速度 $\omega$ (弧度/秒 rad/s)。$1 \, \text{rev} = 2\pi \, \text{rad}$，$1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}$。
   $\omega = N \times \frac{2\pi \, \text{rad}}{1 \, \text{rev}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} = \frac{2\pi N}{60} \, \text{rad/s}$。
3. 扭轉應力公式： 圓形桿件受扭矩 $T$ 時，在距離軸心 $r$ 處的剪應力為 $\tau = \frac{Tr}{J}$，其中 $J$ 是極慣性矩 (polar moment of inertia)。最大剪應力發生在最外緣，即 $r = d/2$。
   $\tau_{max} = \frac{T(d/2)}{J}$。
   對於實心圓軸，極慣性矩 $J = \frac{\pi d^4}{32}$。
   將 $J$ 代入 $\tau_{max}$ 公式：
   $\tau_{max} = \frac{T(d/2)}{\frac{\pi d^4}{32}} = \frac{T d}{2} \times \frac{32}{\pi d^4} = \frac{16T}{\pi d^3}$。

計算步驟：

1. 轉換轉速為角速度 $\omega$：
   $N = 180 \, \text{rev/min}$。
   $\omega = \frac{2\pi \times 180}{60} \, \text{rad/s} = 2\pi \times 3 \, \text{rad/s} = 6\pi \, \text{rad/s}$。

2. 計算扭矩 $T$：
   $P = 300\pi^2 \, \text{W}$。
   $P = T\omega$。
   $T = \frac{P}{\omega} = \frac{300\pi^2 \, \text{W}}{6\pi \, \text{rad/s}} = 50\pi \, \text{N} \cdot \text{m}$。

3. 將許用剪應力單位轉換為 N/mm² (MPa)：
   $\tau_{allow} = 100 \, \text{MPa} = 100 \, \text{N/mm}^2$。

本題考驗細長桿件的挫屈 (buckling) 問題，核心是歐拉公式 (Euler's formula) 的應用。

題目給予的資訊：

• 桿件長度 $L = 1.25 \, \text{m}$。
• 桿件直徑 $d = 25 \, \text{mm}$。
• 材料：鋼，彈性模數 $E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^3 \, \text{MPa}$。
• 支撐條件：兩端固定 (fixed-fixed)。

我們需要計算臨界挫屈載荷 $P_{cr}$。

核心觀念：
歐拉公式用於計算細長桿件在受壓時可能發生的挫屈現象。公式為：
$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2}$
其中：

• $P_{cr}$ 是臨界挫屈載荷。
• $E$ 是材料的彈性模數。
• $I$ 是截面關於中性軸的最小面積慣性矩。
• $L$ 是桿件的實際長度。
• $K$ 是有效長度係數 (effective length factor)，其值取決於桿件兩端的支撐條件。

步驟：

1. 確定有效長度係數 $K$：
   題目說明「兩端固定 supported (fixed supported)」。對於兩端固定 (fixed-fixed) 的情況，其有效長度係數為 $K = 0.5$。這意味著有效長度為 $KL = 0.5L$。

2. 計算截面的最小面積慣性矩 $I$：
   桿件截面為直徑 $d = 25 \, \text{mm}$ 的圓形。
   對於圓形截面，任何通過中心的軸的面積慣性矩都相同，為 $I = \frac{\pi d^4}{64}$。
   $I = \frac{\pi (25 \, \text{mm})^4}{64} = \frac{\pi \times (390625)}{64} \, \text{mm}^4 \approx 19174.6 \, \text{mm}^4$。

3. 轉換單位：

   • $L = 1.25 \, \text{m} = 1250 \, \text{mm}$。
   • $E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^3 \, \text{MPa} = 200 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2$。
   • $I \approx 19174.6 \, \text{mm}^4$。
   • $K = 0.5$。

4. 計算臨界挫屈載荷 $P_{cr}$：
   $P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2}$
   $KL = 0.5 \times 1.25 \, \text{m} = 0.625 \, \text{m} = 625 \, \text{mm}$。

   $P_{cr} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) (19174.6 \, \text{mm}^4)}{(625 \, \text{mm})^2}$
   $P_{cr} = \frac{\pi^2 \times 200 \times 10^3 \times 19174.6}{625^2} \, \text{N}$
   $P_{cr} = \frac{9.8696 \times 200 \times 10^3 \times 19174.6}{390625} \, \text{N}$
   $P_{cr} \approx \frac{1.9739 \times 10^4 \times 19174.6}{390625} \, \text{N}$
   $P_{cr} \approx \frac{3.785 \times 10^8}{390625} \, \text{N}$
   $P_{cr} \approx 968990 \, \text{N}$。

   將結果轉換為 kN：
   $P_{cr} \approx 969 \, \text{kN}$。

   更精確的計算：
   $I = \frac{\pi (25)^4}{64} \, \text{mm}^4 = \frac{390625\pi}{64} \, \text{mm}^4$。
   $KL = 625 \, \text{mm}$。
   $P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) (\frac{390625\pi}{64} \, \text{mm}^4)}{(625 \, \text{mm})^2}$
   $P_{cr} = \frac{\pi^3 \times 200 \times 10^3 \times 390625}{64 \times 625^2} \, \text{N}$
   $P_{cr} = \frac{\pi^3 \times 200 \times 10^3 \times 390625}{64 \times 390625} \, \text{N}$
   $P_{cr} = \frac{\pi^3 \times 200 \times 10^3}{64} \, \text{N}$
   $P_{cr} = \frac{31.006 \times 200 \times 10^3}{64} \, \text{N}$
   $P_{cr} = \frac{6201.2 \times 10^3}{64} \, \text{N}$
   $P_{cr} \approx 96894 \, \text{N} \times 10 = 968940 \, \text{N}$。
   $P_{cr} \approx 968.94 \, \text{kN}$。

本題考驗平面應力轉換，特別是利用莫爾圓 (Mohr's circle) 來求解任意角度下的應力。

題目給予的資訊：

• 初始應力狀態：$\sigma_x = 10 \, \text{MPa}$，$\sigma_y = 5 \, \text{MPa}$。
• 由於是雙軸應力，且未提及剪應力，假設 $\tau_{xy} = 0$。
• 要求解的平面角度：$\theta = 60^\circ$。

我們需要計算在傾斜 60 度的平面上的正向應力 $\sigma_{x'}$ 和剪應力 $\tau_{x'y'}$。

核心觀念：
莫爾圓是一種幾何方法，用於可視化和計算平面應力轉換。

1. 建立莫爾圓：
   • 圓心座標 $(C)$: $\sigma_{avg} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$，$\tau_{avg} = 0$。
   • 半徑 $R$: $R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$。
   • 圓上的點 $(\sigma, \tau)$ 代表某個平面上的應力狀態。
2. 角度轉換：
   在莫爾圓上，實際平面角度 $\theta$ 在莫爾圓上對應的角度是 $2\theta$。
   • 當平面從 x 軸逆時針旋轉 $\theta$ 時，莫爾圓上的點從 $(\sigma_x, \tau_{xy})$ 沿著圓周逆時針旋轉 $2\theta$。
3. 計算轉換應力：
   設傾斜後的平面為 x' 軸，則該平面上的正向應力為 $\sigma_{x'}$，剪應力為 $\tau_{x'y'}$。
   轉換公式為：
   $\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$
   $\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$

計算步驟：

1. 計算圓心和半徑：
   $\sigma_x = 10 \, \text{MPa}$
   $\sigma_y = 5 \, \text{MPa}$
   $\tau_{xy} = 0 \, \text{MPa}$

   圓心 $\sigma_{avg} = \frac{10 + 5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{MPa}$。
   半徑 $R = \sqrt{(\frac{10 - 5}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{MPa}$。

   莫爾圓的圓心在 $(7.5, 0)$，半徑為 $2.5$。
   圓上的兩個特徵點是 $(\sigma_x, \tau_{xy}) = (10, 0)$ 和 $(\sigma_y, -\tau_{xy}) = (5, 0)$。

2. 計算 $2\theta$：
   $\theta = 60^\circ$。
   $2\theta = 120^\circ$。

3. 計算 $\cos(120^\circ)$ 和 $\sin(120^\circ)$：
   $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$。
   $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

4. 計算轉換應力 $\sigma_{x'}$ 和 $\tau_{x'y'}$：
   使用轉換公式：
   $\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$
   $\sigma_{x'} = 7.5 \, \text{MPa} + \frac{10 - 5}{2} \cos(120^\circ) + 0 \times \sin(120^\circ)$
   $\sigma_{x'} = 7.5 \, \text{MPa} + (2.5 \, \text{MPa}) \times (-\frac{1}{2}) + 0$
   $\sigma_{x'} = 7.5 \, \text{MPa} - 1.25 \, \text{MPa} = 6.25 \, \text{MPa}$。

   $\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$
   $\tau_{x'y'} = -\frac{10 - 5}{2} \sin(120^\circ) + 0 \times \cos(120^\circ)$
   $\tau_{x'y'} = -(2.5 \, \text{MPa}) \times (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0$
   $\tau_{x'y'} = -\frac{2.5\sqrt{3}}{2} \, \text{MPa} = -\frac{5\sqrt{3}}{4} \, \text{MPa}$。

   計算數值：$\sqrt{3} \approx 1.732$。
   $\tau_{x'y'} \approx -\frac{5 \times 1.732}{4} = -\frac{8.66}{4} = -2.165 \, \text{MPa}$。

使用莫爾圓幾何方法驗證：

• 圓心 $C = (7.5, 0)$。
• 初始點 $P_x = (10, 0)$。
• 旋轉角度 $2\theta = 120^\circ$ 逆時針。
• 新的點 $P_{x'}$ 的座標 $(\sigma_{x'}, \tau_{x'y'})$。

在莫爾圓上，點 $P_x$ 的角度是 0 度（相對於圓心）。
旋轉 $120^\circ$ 後，新點 $P_{x'}$ 的角度為 $120^\circ$。
$\sigma_{x'} = C_x + R \cos(120^\circ) = 7.5 + 2.5 \times (-\frac{1}{2}) = 7.5 - 1.25 = 6.25 \, \text{MPa}$。
$\tau_{x'y'} = C_y + R \sin(120^\circ) = 0 + 2.5 \times (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2.5\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \, \text{MPa}$。

注意符號約定：
通常，在莫爾圓上，正的剪應力是順時針方向的剪切力。如果我們定義 $\tau_{xy}$ 是 x 表面上作用的剪應力，y 表面上作用的剪應力是 $-\tau_{xy}$。

本題考驗薄壁圓筒壓力容器的應力分析，包含周向應力、縱向應力以及斜面上的應力轉換。

題目給予的資訊：

• 內半徑 $r = 2 \, \text{m}$。
• 壁厚 $t = 25 \, \text{mm}$。
• 彈性模數 $E = 210 \, \text{GPa}$。
• 蒲松比 $v = 0.3$。
• 內壓 $p = 1000 \, \text{kPa}$。
• 焊接線角度 $\theta = 60^\circ$。

核心觀念：

1. 薄壁圓筒假設： 當 $r/t \ge 10$ 時，可視為薄壁容器。本題 $r/t = 2000 \, \text{mm} / 25 \, \text{mm} = 80 \ge 10$，符合薄壁假設。
2. 周向應力 (Circumferential Stress, Hoop Stress)： 作用在徑向方向，環繞容器周圍的應力。
   $\sigma_h = \frac{pr}{t}$
3. 縱向應力 (Longitudinal Stress)： 作用在容器軸向的應力。
   $\sigma_l = \frac{pr}{2t}$
4. 斜面應力轉換： 對於承受周向應力和縱向應力的平面應力狀態，我們可以利用莫爾圓或應力轉換公式計算任意角度下的應力。

部分 (a): 周向應力和縱向應力

單位換算：

• $r = 2 \, \text{m} = 2000 \, \text{mm}$。
• $t = 25 \, \text{mm}$。
• $p = 1000 \, \text{kPa} = 1000 \times 10^3 \, \text{Pa} = 1 \, \text{MPa} = 1 \, \text{N/mm}^2$。
• $E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}$。

計算：

1. 周向應力 $\sigma_h$：
   $\sigma_h = \frac{pr}{t} = \frac{(1 \, \text{N/mm}^2)(2000 \, \text{mm})}{25 \, \text{mm}} = \frac{2000}{25} \, \text{N/mm}^2 = 80 \, \text{MPa}$。

2. 縱向應力 $\sigma_l$：
   $\sigma_l = \frac{pr}{2t} = \frac{(1 \, \text{N/mm}^2)(2000 \, \text{mm})}{2 \times 25 \, \text{mm}} = \frac{2000}{50} \, \text{N/mm}^2 = 40 \, \text{MPa}$。

注意： 在薄壁圓筒中，應力狀態為平面應力，其中 $\sigma_x = \sigma_l$ (沿軸向) 和 $\sigma_y = \sigma_h$ (沿周向)，且 $\tau_{xy} = 0$。

部分 (b): 斜面上的應力

此部分要求計算焊接線上的應力，焊接線與軸向夾角為 $\theta = 60^\circ$。
我們將縱向應力視為 $\sigma_x = \sigma_l = 40 \, \text{MPa}$，周向應力視為 $\sigma_y = \sigma_h = 80 \, \text{MPa}$。
焊接線相對於軸向的角度為 $60^\circ$。
我們需要計算在與軸向夾角為 $60^\circ$ 的平面上的正向應力 $\sigma_{x'}$ 和剪應力 $\tau_{x'y'}$。

使用應力轉換公式 (或莫爾圓)：
$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$

核心觀念

此題考查變截面桿件的軸向伸長。桿內軸力固定為 $P$，但直徑沿長度逐漸變化，因此截面積 $A(x)$ 不是常數，必須使用微小桿段的軸向變形公式：

總伸長量為

解題方法

令 $x$ 自小端 $A$ 沿桿件方向量至大端 $B$，則直徑線性變化：

其中

實心圓截面的面積為

因此

令

則 $d(x)=d_A+kx$，所以

代回可得

本題考驗彎曲應力與彎曲力矩的計算，與題目 2 類似，但這次直接給定彎曲半徑，且是圓線。

題目給予的資訊：

• 導線直徑 $d = 3.5 \, \text{mm}$。
• 彎曲的圓柱形鼓半徑 $R_{drum} = 60 \, \text{cm} = 600 \, \text{mm}$。
• 材料：鋼，彈性模數 $E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}$。

我們需要計算：

1. 最大彎曲力矩 $M_{max}$。
2. 最大彎曲應力 $\sigma_{max}$。

核心觀念：
當導線被彎曲成圓柱形時，其彎曲的曲率半徑就是圓柱鼓的半徑。

1. 彎曲應力公式： $\sigma = -\frac{My}{I}$。
   最大彎曲應力發生在距離中性軸最遠的位置，即 $y_{max} = d/2$。
   $\sigma_{max} = \frac{M y_{max}}{I} = \frac{M (d/2)}{I}$。
2. 彎曲與曲率的關係： $\frac{1}{R_{curve}} = \frac{M}{EI}$。
   在此題中，$R_{curve} = R_{drum}$。

計算步驟：

1. 計算截面的面積慣性矩 $I$：
   導線截面為圓形，直徑 $d = 3.5 \, \text{mm}$。
   $I = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi (3.5 \, \text{mm})^4}{64} = \frac{\pi \times 150.0625}{64} \, \text{mm}^4 \approx 7.363 \, \text{mm}^4$。

2. 計算彎曲力矩 $M$：
   $E = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}$。
   $I \approx 7.363 \, \text{mm}^4$。
   $R_{curve} = R_{drum} = 600 \, \text{mm}$。

   $M = \frac{EI}{R_{curve}} = \frac{(210 \times 10^3 \, \text{MPa})(7.363 \, \text{mm}^4)}{600 \, \text{mm}}$
   $M \approx \frac{210 \times 10^3 \times 7.363}{600} \, \text{N} \cdot \text{mm}$
   $M \approx \frac{1546230}{600} \, \text{N} \cdot \text{mm} \approx 2577 \, \text{N} \cdot \text{mm}$。

   轉換為 N·m:
   $M \approx 2577 \, \text{N} \cdot \text{mm} \times \frac{1 \, \text{m}}{1000 \, \text{mm}} \approx 2.577 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

3. 計算最大彎曲應力 $\sigma_{max}$：
   $y_{max} = \frac{d}{2} = \frac{3.5 \, \text{mm}}{2} = 1.75 \, \text{mm}$。

   $\sigma_{max} = \frac{M y_{max}}{I}$
   $\sigma_{max} \approx \frac{(2577 \, \text{N} \cdot \text{mm})(1.75 \, \text{mm})}{7.363 \, \text{mm}^4}$
   $\sigma_{max} \approx \frac{4509.75}{7.363} \, \text{MPa} \approx 612.4 \, \text{MPa}$。

   使用另一個公式驗證：
   $\sigma_{max} = E \frac{y_{max}}{R_{curve}} = E \frac{d/2}{R_{drum}}$