108 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《材料力學（E）》

此題考驗承受均佈載重梁的撓曲分析，特別是三角均佈載重下的懸臂梁。我們將使用微分方程式法來求解。

首先，我們需要建立梁的彎曲變形微分方程式。對於承受載重 $w(x)$ 的梁，其撓曲曲線 $y(x)$ 滿足以下關係：
$EI \frac{d^4y}{dx^4} = w(x)$
其中 $E$ 是材料的楊氏模數，$I$ 是梁的斷面慣性矩。

在此題中，我們將座標原點設在固定端 A，並向右為正。梁的長度為 $L$。載重為三角分佈，其最大強度 $q_0$ 作用在自由端 B。因此，距離 A 端為 $x$ 處的載重強度 $w(x)$ 可以表示為：
$w(x) = \frac{q_0}{L} x$
請注意，載重是向下的，所以在微分方程式中，我們通常會將載重函數取負值。然而，題目圖示中，載重方向似乎是向上的，且通常此類題目會將載重視為向下。我們假設載重向下，則 $w(x) = -\frac{q_0}{L} x$。

梁的彎曲變形微分方程式為：
$EI \frac{d^4y}{dx^4} = -\frac{q_0}{L} x$

我們積分四次來求解 $y(x)$：
$EI \frac{d^3y}{dx^3} = -\frac{q_0}{2L} x^2 + C_1 \quad \text{(剪力 V)}$
$EI \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{q_0}{6L} x^3 + C_1 x + C_2 \quad \text{(彎矩 M)}$
$EI \frac{dy}{dx} = -\frac{q_0}{24L} x^4 + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 x + C_3 \quad \text{(轉角 } \theta \text{)}$
$EI y(x) = -\frac{q_0}{120L} x^5 + \frac{C_1}{6} x^3 + \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 x + C_4 \quad \text{(撓曲 } y \text{)}$

接下來，我們需要利用邊界條件來求解積分常數 $C_1, C_2, C_3, C_4$。
對於懸臂梁，固定端 A ($x=0$) 的條件是：

1. 撓曲為零：$y(0) = 0$
2. 轉角為零：$\frac{dy}{dx}(0) = 0$

自由端 B ($x=L$) 的條件是：
3. 彎矩為零：$\frac{d^2y}{dx^2}(L) = 0$
4. 剪力為零：$\frac{d^3y}{dx^3}(L) = 0$

讓我們將這些條件應用到積分後的方程式：

從 $y(0) = 0$ 得到：
$EI y(0) = 0 + 0 + 0 + 0 + C_4 = 0 \implies C_4 = 0$

從 $\frac{dy}{dx}(0) = 0$ 得到：
$EI \frac{dy}{dx}(0) = 0 + 0 + 0 + C_3 = 0 \implies C_3 = 0$

現在我們有：
$EI \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{q_0}{6L} x^3 + C_1 x + C_2$
$EI \frac{dy}{dx} = -\frac{q_0}{24L} x^4 + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 x$
$EI y(x) = -\frac{q_0}{120L} x^5 + \frac{C_1}{6} x^3 + \frac{C_2}{2} x^2$

應用自由端 B ($x=L$) 的條件：
從 $\frac{d^3y}{dx^3}(L) = 0$ 得到：
$EI \frac{d^3y}{dx^3}(L) = -\frac{q_0}{2L} L^2 + C_1 = 0 \implies C_1 = \frac{q_0 L}{2}$

從 $\frac{d^2y}{dx^2}(L) = 0$ 得到：
$EI \frac{d^2y}{dx^2}(L) = -\frac{q_0}{6L} L^3 + C_1 L + C_2 = 0$
$-\frac{q_0 L^2}{6} + (\frac{q_0 L}{2}) L + C_2 = 0$
$-\frac{q_0 L^2}{6} + \frac{q_0 L^2}{2} + C_2 = 0$
$\frac{-q_0 L^2 + 3q_0 L^2}{6} + C_2 = 0$
$\frac{2q_0 L^2}{6} + C_2 = 0 \implies C_2 = -\frac{q_0 L^2}{3}$

核心觀念

本題考查變截面懸臂梁的撓度計算。梁的彎曲剛度為 $EI$，其中 $I$ 在 $AC$ 與 $CB$ 兩段不同，因此必須分段積分。

採用單位荷重法：

$$\delta_B=\int_0^L \frac{M(x)m(x)}{E I(x)}\,dx$$

其中 $M(x)$ 為實際荷重 $P$ 造成的彎矩，$m(x)$ 為在 $B$ 點施加單位向下荷重所造成的彎矩。

取 $x$ 自固定端 $A$ 向右量，則任一截面的彎矩大小為

$$M(x)=P(L-x)$$

單位荷重所造成的彎矩為

$$m(x)=L-x$$

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(a) 分段慣性矩時的端點撓度

兩段梁的慣性矩為

$$I(x)= \begin{cases} I_2, & 0\le x\le \dfrac{L}{2}\\[4pt] I_1, & \dfrac{L}{2}\le x\le L \end{cases}$$

因此

$$\delta_B = \frac{P}{E} \left[ \frac{1}{I_2}\int_0^{L/2}(L-x)^2\,dx + \frac{1}{I_1}\int_{L/2}^{L}(L-x)^2\,dx \right]$$

第一段：

$$\int_0^{L/2}(L-x)^2\,dx = \frac{1}{3}\left[L^3-\left(\frac{L}{2}\right)^3\right] = \frac{7L^3}{24}$$

第二段：

核心觀念

本題為圓管的彎曲與扭轉組合應力。先在 $a$–$a$ 截面求出彎矩與扭矩，再計算頂點、底點的正應力與剪應力，最後利用平面應力公式求主應力及最大剪應力。

圓管外緣的應力為

$$\sigma=\frac{Mc}{I},\qquad \tau=\frac{Tc}{J},$$

其中 $I$ 為截面二次矩，$J$ 為極慣性矩，$c$ 為外半徑。截面頂點與底點因橫向剪力產生的剪應力為零，因此這兩點的剪應力僅來自扭轉。

解題方法

1. 依原圖求截面內力

圖中 $a$–$a$ 截面距牆面 $5\ \mathrm{in.}$，牆面至下方彎管的距離為 $14\ \mathrm{in.}$；扳手沿 $y$ 方向再伸出 $9\ \mathrm{in.}$。因此，向下的 $50\ \mathrm{lb}$ 載重對截面的彎曲力臂為

$$\ell_M=(14-5)+9=18\ \mathrm{in.},$$

故彎矩大小為

$$M=50(18)=900\ \mathrm{lb\cdot in.}$$

上方管段沿 $x$ 方向的偏移量為 $7\ \mathrm{in.}$，因此繞截面管軸 $y$ 的扭矩大小為

$$T=50(7)=350\ \mathrm{lb\cdot in.}$$

垂直管段的 $10\ \mathrm{in.}$ 高度與載重方向平行，不構成此載重的力臂。

向下載重使截面頂點受拉、底點受壓。依圖中座標，正 $y$ 截面上的彎矩為 $M_x=-900\ \mathrm{lb\cdot in.}$，亦可由

$$\sigma_y=-\frac{M_xz}{I}$$

判定頂點 $z>0$ 的正應力為正。

2. 求圓管截面性質

外徑 $D=1\ \mathrm{in.}$，管壁厚度 $t=1/8\ \mathrm{in.}$，所以內徑為

$$d=D-2t=1-2\left(\frac18\right)=\frac34\ \mathrm{in.}, \qquad c=\frac D2=0.5\ \mathrm{in.}$$

空心圓截面的截面性質為

$$I=\frac{\pi}{64}(D^4-d^4) =\frac{\pi}{64}\left[1^4-\left(\frac34\right)^4\right] =0.03356\ \mathrm{in.^4},$$ $$J=\frac{\pi}{32}(D^4-d^4) =2I =0.06711\ \mathrm{in.^4}.$$

3. 求頂點、底點的應力

彎曲正應力大小為

$$\sigma_b=\frac{Mc}{I} =\frac{900(0.5)}{0.03356} \approx13.410\ \mathrm{ksi}.$$