115 年 國立臺灣大學應用力學研究所甲組《材料力學（C）》

此題主要考驗熱應力與熱膨脹的觀念。當溫度改變時，若材料受到拘束而無法自由膨脹或收縮，則會產生熱應力。

核心觀念：

1. 熱膨脹位移：$\Delta L = \alpha \Delta T L$
2. 熱應力：$\sigma = E \epsilon = E \frac{\Delta L}{L}$
3. 應力與應變的關係：$\sigma = E \epsilon$
4. 力與應力的關係：$P = \sigma A$

解題步驟：

a. 計算熱應力 ($\sigma$)

當溫度從 $T_1 = 20^\circ\text{C}$ 升高到 $T_2 = 70^\circ\text{C}$ 時，溫度變化量為 $\Delta T = T_2 - T_1 = 70^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 50^\circ\text{C}$。

如果鋼桿沒有受到牆壁的拘束，其長度會因為熱膨脹而增加 $\Delta L_{free} = \alpha \Delta T L$。
$\Delta L_{free} = (12 \times 10^{-6}/^\circ\text{C}) \times (50^\circ\text{C}) \times (2.5 \text{ m})$
$\Delta L_{free} = 12 \times 50 \times 2.5 \times 10^{-6} \text{ m}$
$\Delta L_{free} = 600 \times 2.5 \times 10^{-6} \text{ m}$
$\Delta L_{free} = 1500 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.5 \times 10^{-3} \text{ m} = 1.5 \text{ mm}$

然而，鋼桿被固定在兩個剛性牆壁之間，這意味著其長度變化量必須為零 ($\Delta L = 0$)。牆壁施加的力會抵抗熱膨脹，產生一個壓縮應力（當溫度升高時）或拉伸應力（當溫度降低時）。

由於溫度升高，鋼桿傾向於膨脹，但牆壁阻止了這種膨脹。因此，牆壁對鋼桿施加了一個壓縮力，使得鋼桿的總長度變化為零。這會導致鋼桿產生一個熱壓縮應力。

熱應力 ($\sigma$) 可以由應變 ($\epsilon$) 計算得到，而這個應變是為了抵消自由膨脹所產生的應變。
自由膨脹的應變為 $\epsilon_{free} = \alpha \Delta T$。

此題考驗圓管扭轉的應力與變形計算。

核心觀念：

1. 最大剪應力：$\tau_{\text{max}} = \frac{T r_{\text{max}}}{J}$，其中 $r_{\text{max}}$ 是最大半徑（外徑半徑）。
2. 扭轉剛度 (Torsional rigidity)：$GJ$
3. 扭轉角：$\phi = \frac{TL}{GJ}$
4. 極慣性矩 (Polar moment of inertia)：$J = \frac{\pi}{32}(D^4 - d^4)$

解題步驟：

給定參數：
長度 $L = 1.5 \text{ m}$
外徑 $D = 100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}$
內徑 $d = 70 \text{ mm} = 0.07 \text{ m}$
扭矩 $T = 8 \text{ kNm} = 8 \times 10^3 \text{ Nm}$
剪切模數 $G = 27 \text{ GPa} = 27 \times 10^9 \text{ Pa}$

a. 計算最大剪應力 ($\tau_{\text{max}}$)

首先，計算極慣性矩 $J$。
$J = \frac{\pi}{32}(D^4 - d^4)$
$D = 0.1 \text{ m}$, $D^4 = (0.1)^4 = 0.0001 \text{ m}^4 = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^4$
$d = 0.07 \text{ m}$, $d^4 = (0.07)^4 = 0.00002401 \text{ m}^4 = 2.401 \times 10^{-5} \text{ m}^4$

$J = \frac{\pi}{32}(1 \times 10^{-4} \text{ m}^4 - 2.401 \times 10^{-5} \text{ m}^4)$
$J = \frac{\pi}{32}(10 \times 10^{-5} \text{ m}^4 - 2.401 \times 10^{-5} \text{ m}^4)$
$J = \frac{\pi}{32}(7.599 \times 10^{-5} \text{ m}^4)$
$J \approx \frac{3.14159}{32} \times 7.599 \times 10^{-5} \text{ m}^4$
$J \approx 0.098175 \times 7.599 \times 10^{-5} \text{ m}^4$
$J \approx 7.460 \times 10^{-6} \text{ m}^4$

此題考驗懸臂梁在均佈載重下的彎矩與彎曲應力計算。

核心觀念：

1. 懸臂梁的彎矩圖 (Bending Moment Diagram, BMD)：對於固定端，彎矩最大；對於自由端，彎矩為零。
2. 最大彎矩：對於承受均佈載重的懸臂梁，最大彎矩發生在固定端。
3. 彎曲應力公式：$\sigma = \frac{My}{I}$，其中 $M$ 是彎矩，$y$ 是離中性軸的距離，$I$ 是斷面慣性矩。
4. 最大彎曲應力：發生在離中性軸最遠的點，即斷面的頂部或底部。
5. 斷面慣性矩：對於矩形斷面，$I = \frac{bh^3}{12}$。

解題步驟：

給定參數：
梁長 $L = 3 \text{ m}$
均佈載重 $w = 10 \text{ kN/m} = 10 \times 10^3 \text{ N/m}$
斷面寬度 $b = 120 \text{ mm} = 0.12 \text{ m}$
斷面高度 $h = 200 \text{ mm} = 0.2 \text{ m}$

a. 計算最大彎矩 ($M_{\text{max}}$)

對於一個懸臂梁，承受均佈載重 $w$，其固定端（左端，假設）的剪力為 $V_{fixed} = wL$，彎矩為 $M_{fixed} = -\frac{wL^2}{2}$ (負號表示彎曲使梁的上方受拉，下方受壓，根據工程慣例)。

計算最大彎矩的大小：
$M_{\text{max}} = \frac{wL^2}{2}$
$M_{\text{max}} = \frac{(10 \text{ kN/m}) \times (3 \text{ m})^2}{2}$
$M_{\text{max}} = \frac{10 \times 9}{2} \text{ kNm}$
$M_{\text{max}} = 45 \text{ kNm}$。

若以牛頓和公尺為單位：
$w = 10 \times 10^3 \text{ N/m}$
$L = 3 \text{ m}$
$M_{\text{max}} = \frac{(10 \times 10^3 \text{ N/m}) \times (3 \text{ m})^2}{2}$
$M_{\text{max}} = \frac{10 \times 10^3 \times 9}{2} \text{ Nm}$

此題考驗平面應力轉換，計算主應力與最大平面內剪應力。

核心觀念：

1. 主應力公式：
   $\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
2. 最大平面內剪應力公式：
   $\tau_{\text{max, in-plane}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
   或 $\tau_{\text{max, in-plane}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}$

解題步驟：

給定參數：
$\sigma_x = 90 \text{ MPa}$
$\sigma_y = -30 \text{ MPa}$
$\tau_{xy} = 40 \text{ MPa}$ (注意：若原題是 $\tau_{yx}$，且為逆時針旋轉，則 $\tau_{xy}$ 應為負值。此處假設 $\tau_{xy}$ 指的是 x-y 平面上的剪應力，其符號由右手規則定義。常見約定是 $\tau_{xy}$ 為正表示 xy 面上的剪力使物件有順時針旋轉的趨勢，或 yx 面上的剪力使物件有逆時針旋轉的趨勢。題目直接給值，我們直接使用。)

a. 計算主應力 ($\sigma_1$ and $\sigma_2$)

計算平均應力：
$\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{90 \text{ MPa} + (-30 \text{ MPa})}{2} = \frac{60 \text{ MPa}}{2} = 30 \text{ MPa}$。

計算應力差的一半：
$\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} = \frac{90 \text{ MPa} - (-30 \text{ MPa})}{2} = \frac{120 \text{ MPa}}{2} = 60 \text{ MPa}$。

計算根號內的部分：
$\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 = (60 \text{ MPa})^2 + (40 \text{ MPa})^2$
$= 3600 \text{ MPa}^2 + 1600 \text{ MPa}^2 = 5200 \text{ MPa}^2$。

核心觀念

三個應變計分別量得不同方向的正應變。取應變計 $A$ 方向為 $x$ 軸，應變計 $B$ 方向為 $y$ 軸；依圖，應變計 $C$ 方向與 $x$ 軸夾角為 $30^\circ$。

平面應變轉換公式為

$$\epsilon_\theta = \epsilon_x\cos^2\theta + \epsilon_y\sin^2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta$$

其中 $\gamma_{xy}$ 為工程剪應變。

已知

$$\epsilon_x=\epsilon_A=\alpha,\qquad \epsilon_y=\epsilon_B=3\alpha,\qquad \epsilon_{30^\circ}=\epsilon_C=2\alpha$$

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解題方法

將 $\theta=30^\circ$ 代入應變轉換公式：

$$2\alpha = \alpha\cos^2 30^\circ + 3\alpha\sin^2 30^\circ + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 60^\circ$$

由

$$\cos^2 30^\circ=\frac{3}{4},\qquad \sin^2 30^\circ=\frac{1}{4},\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

得

$$2\alpha = \frac{3}{4}\alpha + \frac{3}{4}\alpha + \frac{\sqrt3}{4}\gamma_{xy}$$

因此

$$\gamma_{xy}=\frac{2\alpha}{\sqrt3}$$

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a. 兩個主應變

主應變公式為

$$\epsilon_{1,2} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma_{xy}}{2} \right)^2 }$$

代入數值：

$$\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} = \frac{\alpha+3\alpha}{2} = 2\alpha$$

且

$$\left(\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\right)^2 = \left(\frac{\alpha-3\alpha}{2}\right)^2 = \alpha^2$$ $$\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 = \left(\frac{\alpha}{\sqrt3}\right)^2 = \frac{\alpha^2}{3}$$

所以

$$\epsilon_{1,2} = 2\alpha \pm \sqrt{\alpha^2+\frac{\alpha^2}{3}}$$

因 $\alpha>0$，可得

$$\boxed{\epsilon_1=2\alpha+\frac{2\alpha}{\sqrt3}}$$ $$\boxed{\epsilon_2=2\alpha-\frac{2\alpha}{\sqrt3}}$$

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b. 平面應力狀態下的兩個主應力

平面應力的廣義虎克定律為

$$\sigma_1 = \frac{E}{1-\nu^2} \left(\epsilon_1+\nu\epsilon_2\right)$$

此題考驗簡支梁在線性變載重下的彎矩與撓度計算。

核心觀念：

1. 簡支梁受力分析：計算支點反力。
2. 彎矩方程式：對梁任意點 $x$ 建立剪力 $V(x)$ 和彎矩 $M(x)$ 的方程式。
3. 最大彎矩：通常發生在剪力為零處。
4. 撓度方程式：利用梁的彎曲微分方程式 $\frac{d^2v}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI}$，積分兩次求得撓度 $v(x)$。
5. 邊界條件：簡支梁在兩端支點的撓度為零 ($v(0)=0, v(L)=0$)。
6. 斜率：對撓度 $v(x)$ 微分求得斜率 $\frac{dv}{dx}$。

解題步驟：

給定參數：
梁長 $L$
最大線密度 $q_0$
flexural rigidity $EI$

載重分佈：
載重線密度為 $w(x) = q_0 \frac{x}{L}$ (從左支點 $x=0$ 開始，到右支點 $x=L$)。

1. 計算支點反力：
總載重 $W = \int_0^L w(x) dx = \int_0^L q_0 \frac{x}{L} dx = \frac{q_0}{L} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^L = \frac{q_0}{L} \frac{L^2}{2} = \frac{q_0 L}{2}$。
設左支點反力為 $R_A$，右支點反力為 $R_B$。
對整個梁取力平衡：$\sum F_y = R_A + R_B - W = 0 \implies R_A + R_B = \frac{q_0 L}{2}$。

對左支點 $A$ 取力矩平衡：$\sum M_A = R_B L - \int_0^L x w(x) dx = 0$。
$\int_0^L x w(x) dx = \int_0^L x \left(q_0 \frac{x}{L}\right) dx = \frac{q_0}{L} \int_0^L x^2 dx = \frac{q_0}{L} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^L = \frac{q_0}{L} \frac{L^3}{3} = \frac{q_0 L^2}{3}$。
所以，$R_B L = \frac{q_0 L^2}{3} \implies R_B = \frac{q_0 L}{3}$。

代入 $R_A + R_B = \frac{q_0 L}{2}$：
$R_A + \frac{q_0 L}{3} = \frac{q_0 L}{2} \implies R_A = \frac{q_0 L}{2} - \frac{q_0 L}{3} = \frac{3q_0 L - 2q_0 L}{6} = \frac{q_0 L}{6}$。

2. 建立彎矩方程式 $M(x)$：
考慮梁的右側，從 $x$ 到 $L$ 的部分，將其視為懸臂梁。
右支點反力 $R_B = \frac{q_0 L}{3}$。
從 $x$ 到 $L$ 的載重線密度為 $w(\xi) = q_0 \frac{\xi}{L}$，其中 $\xi$ 是從左端算的座標。
對右側的任意點 $x$ (從左邊算起)，我們需要計算從右側（$x$ 到 $L$）作用的彎矩。
或者，我們可以在左側建立方程式，即 $0 \le x \le L$。

從左側 $x$ 處切斷，考慮左側部分。
彎矩 $M(x) = R_A x - \int_0^x \xi w(\xi) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x - \int_0^x \xi \left(q_0 \frac{\xi}{L}\right) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x - \frac{q_0}{L} \int_0^x \xi^2 d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x - \frac{q_0}{L} \left[\frac{\xi^3}{3}\right]_0^x$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x - \frac{q_0}{L} \frac{x^3}{3}$
$M(x) = \frac{q_0 L x}{6} - \frac{q_0 x^3}{3L}$。

a. 計算最大彎矩的位置和值

最大彎矩發生在剪力 $V(x) = 0$ 的地方。
剪力方程式：$V(x) = R_A - \int_0^x w(\xi) d\xi$
$V(x) = \frac{q_0 L}{6} - \int_0^x q_0 \frac{\xi}{L} d\xi$
$V(x) = \frac{q_0 L}{6} - \frac{q_0}{L} \left[\frac{\xi^2}{2}\right]_0^x$
$V(x) = \frac{q_0 L}{6} - \frac{q_0 x^2}{2L}$。

令 $V(x) = 0$ 求 $x$：
$\frac{q_0 L}{6} - \frac{q_0 x^2}{2L} = 0$
$\frac{q_0 L}{6} = \frac{q_0 x^2}{2L}$
$\frac{L}{6} = \frac{x^2}{2L}$
$x^2 = \frac{2L^2}{6} = \frac{L^2}{3}$
$x = \frac{L}{\sqrt{3}}$。

將 $x = \frac{L}{\sqrt{3}}$ 代入彎矩方程式 $M(x)$：
$M_{\text{max}} = M\left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right) = \frac{q_0 L}{6} \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right) - \frac{q_0}{3L} \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)^3$
$M_{\text{max}} = \frac{q_0 L^2}{6\sqrt{3}} - \frac{q_0}{3L} \frac{L^3}{3\sqrt{3}}$
$M_{\text{max}} = \frac{q_0 L^2}{6\sqrt{3}} - \frac{q_0 L^2}{9\sqrt{3}}$
$M_{\text{max}} = q_0 L^2 \left(\frac{1}{6\sqrt{3}} - \frac{1}{9\sqrt{3}}\right)$
$M_{\text{max}} = q_0 L^2 \left(\frac{3 - 2}{18\sqrt{3}}\right)$
$M_{\text{max}} = \frac{q_0 L^2}{18\sqrt{3}} = \frac{q_0 L^2 \sqrt{3}}{54}$。

b. 計算兩支點斜率

撓度方程式：

核心觀念

本題評量**線性彈性力學（Linear Elasticity）**中單軸受壓圓管之變形、應變與材料常數關係：

1. 單軸虎克定律（Hooke's Law）與軸向變形：
   軸向應力 $\sigma = \frac{P}{A}$，軸向縮短量 $\Delta L = \frac{PL}{EA}$。
2. 等向性材料常數關係（Isotropic Elastic Relations）：
   剪切模數（剛性模數）$G$ 與彈性模數 $E$、卜松比（Poisson's ratio）$\nu$ 的關係式為： $$G = \frac{E}{2(1 + \nu)} \implies \nu = \frac{E - 2G}{2G}$$
3. 側向應變（Lateral Strain）與幾何尺寸變化：
   由卜松比定義，軸向受壓縮時，橫向各尺寸產生對稱均勻膨脹，側向應變 $\epsilon' = -\nu \epsilon_{\text{axial}} = \nu \frac{P}{EA}$。
   外徑、內徑與管壁厚度均屬於橫向線性尺寸，其伸長量皆為「原尺寸 $\times$ 側向應變」。
4. 體積膨脹率／體積應變（Dilatation）：
   定義為單位體積的變化量 $e = \frac{\Delta V}{V} = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z = (1 - 2\nu)\epsilon_{\text{axial}}$。

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解題方法

由題意可知，軸向承受定值軸力 $P$ 造成長度縮減，故 $P$ 為軸向壓力（Compression）。

1. 幾何幾何截面積

空心薄／厚壁圓管之橫截面積為：

$$A = \frac{\pi}{4}\left(d_o^2 - d_i^2\right)$$

2. 材料常數轉換

材料為線彈性、均質且等向性，給定彈性模數 $E$ 與剪切模數 $G$，其卜松比 $\nu$ 為：

$$\nu = \frac{E}{2G} - 1 = \frac{E - 2G}{2G}$$

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各小題詳細推導：

a. 長度縮減量（The decrease of the length, $\Delta L$）

軸向壓應力之量值為：

$$\sigma = \frac{P}{A} = \frac{4P}{\pi(d_o^2 - d_i^2)}$$

軸向壓應變之量值為：

$$\epsilon_a = \frac{\sigma}{E} = \frac{4P}{\pi E(d_o^2 - d_i^2)}$$

故長度縮減量 $\Delta L$ 為：

$$\Delta L = \epsilon_a L = \frac{PL}{EA} = \frac{4PL}{\pi E(d_o^2 - d_i^2)}$$

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b. 側向應變（The lateral strain, $\epsilon'$）

由於軸向受壓，側向（徑向與環向）發生膨脹變形，其側向應變為伸長應變（正值）：

$$\epsilon' = \nu \epsilon_a = \left(\frac{E - 2G}{2G}\right) \frac{4P}{\pi E(d_o^2 - d_i^2)} = \frac{2(E - 2G)P}{\pi E G (d_o^2 - d_i^2)}$$

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c. 外徑與內徑的增加量（The increase of outer and inner diameter）

等向性材料在均勻單軸應力作用下，橫截面上所有同心圓周長與直徑之應變皆等於側向應變 $\epsilon'$：

• 外徑增加量（$\Delta d_o$）： $$\Delta d_o = \epsilon' d_o = \frac{2(E - 2G)P d_o}{\pi E G (d_o^2 - d_i^2)}$$
• 內徑增加量（$\Delta d_i$）： $$\Delta d_i = \epsilon' d_i = \frac{2(E - 2G)P d_i}{\pi E G (d_o^2 - d_i^2)}$$

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