112 年 國立臺灣大學應用力學研究所丙組《電磁學（A）》

核心觀念

本題考查同心球形電容器的電容定義：

$$C=\frac{Q}{V}$$

其中 $Q$ 為內外球殼所帶電量的絕對值，$V$ 為兩球殼間的電位差。

利用高斯定律可求得球對稱電場：

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$

因此在兩球殼之間，電場大小隨距離呈 $1/r^2$ 衰減。

解題方法

設內球殼半徑為 $R$，外球殼半徑為 $2R$。令內球殼帶電量 $+Q$，外球殼帶電量 $-Q$。

在兩球殼之間，即

$$R<r<2R$$

取半徑為 $r$ 的球形高斯面，由球對稱性可知電場方向為徑向，且大小只與 $r$ 有關。因此由高斯定律：

$$E(r)(4\pi r^2)=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$

得到

$$E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

兩球殼間的電位差為

$$V=V_{\text{內}}-V_{\text{外}} =\int_R^{2R} E(r)\,dr$$

代入電場：

$$V =\int_R^{2R}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dr$$ $$=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \int_R^{2R}r^{-2}\,dr$$

應用力學研究所丙組 電磁學（A） 第 2 題 詳解

觀念與核心公式

本題旨在求載流圓環軸線上某點的磁場，利用畢歐-沙伐定律（Biot-Savart Law）：
$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\boldsymbol{\ell} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$

---

推導過程

1. 幾何設定與向量標示

   • 將圓環置於 $xy$ 平面，圓心位於原點 $(0,0,0)$，半徑為 $R$。
   • 計算點為軸線上高 $z$ 處，座標為 $(0,0,z)$。
   • 圓環上一微小線段 $d\boldsymbol{\ell} = R d\phi\, \hat{\boldsymbol{\phi}}$。
   • 從微小線段指向觀察點的向量微元距離為 $r = \sqrt{R^2 + z^2}$。

2. 磁場微元 $d\mathbf{B}$ 計算

   • 微小線段 $d\boldsymbol{\ell}$ 與單位向量 $\hat{\mathbf{r}}$ 垂直，故 $|d\boldsymbol{\ell} \times \hat{\mathbf{r}}| = d\ell = R d\phi$。
   • 微小磁場量值為：
     $dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{R d\phi}{R^2 + z^2}$

核心觀念

靜電場必須滿足：

1. 電場為保守場，因此
   $\nabla\times\mathbf E=\mathbf 0.$
2. 電場與電位關係為
   $\mathbf E=-\nabla V.$
3. 電荷密度由高斯定律微分形式決定：
   $\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0},$
   因此
   $\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E.$

本題的關鍵在於：判斷是否為靜電場要檢查旋度；求電荷分布則要計算散度。散度不為零並不代表不能是靜電場。

---

（a）判斷是否為靜電場

題 given 電場為

$$\mathbf E=(yz-2x)\hat{\mathbf i}+xz\hat{\mathbf j}+xy\hat{\mathbf k}.$$

計算旋度：

$$\nabla\times\mathbf E= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ yz-2x&xz&xy \end{vmatrix}.$$

各分量分別為

$$(\nabla\times\mathbf E)_x =\frac{\partial E_z}{\partial y} -\frac{\partial E_y}{\partial z} =x-x=0,$$ $$(\nabla\times\mathbf E)_y =\frac{\partial E_x}{\partial z} -\frac{\partial E_z}{\partial x} =y-y=0,$$ $$(\nabla\times\mathbf E)_z =\frac{\partial E_y}{\partial x} -\frac{\partial E_x}{\partial y} =z-z=0.$$

因此

$$\nabla\times\mathbf E=\mathbf 0.$$

在一般單連通空間中，旋度為零表示此電場為保守場，具備電位函數，因此可為靜電場。

電位函數驗證

由

$$\mathbf E=-\nabla V$$

可得

$$\frac{\partial V}{\partial x}=-(yz-2x)=-yz+2x.$$

對 $x$ 積分：

$$V=-xyz+x^2+f(y,z).$$

再由 $y$ 方向：

$$\frac{\partial V}{\partial y}=-xz+\frac{\partial f}{\partial y}.$$

因為

$$E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}=xz,$$

所以

$$\frac{\partial f}{\partial y}=0.$$

同理，由 $z$ 方向：

$$\frac{\partial V}{\partial z}=-xy+\frac{\partial f}{\partial z},$$

而

核心觀念

1. 靜電場的保守性（Conservative Field）與純量電位（Electric Potential）：
   • 根據馬克士威靜電方程式（Maxwell's Electrostatic Equation）或庫侖定律（Coulomb's Law），靜電場為無旋場（irrotational field）： $$\nabla \times \mathbf{E} = 0$$
   • 依據向量微積分中的赫姆霍茲定理（Helmholtz theorem）與波恩卡雷引理（Poincaré lemma），任何旋度處處為零的向量場，必可表示為某一純量場（純量位 $V$）的梯度（Gradient）。負號取決於做功與能量定義之物理約定。
2. 球座標系下的梯度運算子（Gradient in Spherical Coordinates）：
   • 純量函數 $V(r, \theta, \phi)$ 在球座標系下的梯度定義為： $$\nabla V = \hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} + \hat{\phi} \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \phi}$$
   • 偶極電場由 $\mathbf{E} = -\nabla V$ 逐分量微分求得。

---

解題方法

(a) 說明為何在靜電學中可表示為 $\mathbf{E} = -\nabla V$

1. 旋度為零的物理與數學基礎：
   在靜電學（Electrostatics）中，電荷分佈不隨時間改變（$\partial \mathbf{B}/\partial t = 0$），由法拉第定律（Faraday's Law）：

   $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0$$

   或由單一靜止點電荷 $q$ 的電場出發，其電場為中心力場（徑向）：

   $$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$$

   對任意封閉路徑 $C$ 積分，線積分 $\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0$。由斯托克斯定理（Stokes' Theorem）：

   $$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d\mathbf{a} = 0 \implies \nabla \times \mathbf{E} = 0$$

2. 純量位的引入：
   向量微積分中，恆等式 $\nabla \times (\nabla \psi) \equiv 0$ 對任意純量場 $\psi$ 恆成立。反之，若向量場滿足 $\nabla \times \mathbf{E} = 0$，則該向量場必可表示為某純量函數的梯度：

   $$\mathbf{E} = -\nabla V$$

3. 負號的物理意義：

   • 電場方向指向電位降低最快的方向（高電位往低電位）。
   • 外力將單位正電荷抗拒靜電力由參考點移動至該點所作的功定義為電位能，負號確保正電荷順著電場運動時，位能減少、動能增加，滿足能量守恆： $$V(\mathbf{r}) - V(\mathbf{r}_{\text{ref}}) = -\int_{\mathbf{r}_{\text{ref}}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$

---

(b) 推導遠距離電偶極電場 $\mathbf{E}$

由題意，電偶極在遠處的電位近似式為：

$$V(r, \theta) = \frac{qd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

令電偶極矩大小為 $p = qd$，式子可寫為：

$$V(r, \theta) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

由於 $V$ 與方位角 $\phi$ 無關（具有軸對稱性，$\partial V/\partial \phi = 0$），在球座標系下：