115 年 國立臺灣大學應用力學研究所丙組《電磁學（A）》

核心觀念

本題考查安培定律在「時間變動電場」下的失效，以及 Maxwell 所加入的位移電流項。

在真空中，原本的安培定律為

$$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}$$

其積分形式為

$$\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} =\mu_0 I_{\text{cond}}$$

其中 $\mathbf{J}$ 是傳導電流密度，$I_{\text{cond}}$ 是穿過曲面的傳導電流。這個形式只適用於穩恒電流，即電荷密度不隨時間改變的情況。

Maxwell 修正後的安培定律為

$$\boxed{ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} +\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} }$$

其中新增的項

$$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

稱為位移電流項。定義位移電流密度為

$$\mathbf{J}_{\text{d}} = \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

因此也可寫成

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\left( \mathbf{J}+\mathbf{J}_{\text{d}} \right)$$

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解題方法一：由電荷守恆推導修正項

電荷守恆的微分形式為連續方程式：

$$\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} =0$$

對原本的安培定律取散度：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = \mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}$$

由向量恆等式

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0$$

可得

$$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$$

這只在穩恒電流、$\partial\rho/\partial t=0$ 時成立。若存在充電、放電等非穩態過程，連續方程式要求

$$\nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t} \neq 0$$

此時原本的安培定律便產生矛盾。

由 Gauss 定律

$$\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

對時間微分：

$$\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{\partial\rho}{\partial t}$$

因此

$$\nabla\cdot \left( \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \right) = \frac{\partial\rho}{\partial t}$$

將此項加入傳導電流密度：

$$\nabla\cdot \left( \mathbf{J} + \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \right) = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} =0$$

如此便恢復了與旋度方程式相容的條件。因此 Maxwell 修正後的定律為

$$\boxed{ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \left( \mathbf{J} + \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \right) }$$

這說明位移電流項不是任意添加，而是由電荷守恆與 Gauss 定律所要求的必要項。

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解題方法二：以充電電容器驗證

考慮一個正在充電的平行板電容器。導線中有傳導電流 $I$，但兩極板之間為絕緣介質，沒有傳導電流穿過極板間隙。

對同一個閉合路徑 $C$，可選擇兩個不同的跨越曲面：

1. 曲面 $S_1$ 穿過導線，穿過傳導電流 $I$。
2. 曲面 $S_2$ 穿過電容器兩極板之間，沒有傳導電流。

若使用原本的安培定律，

$$\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$$

對曲面 $S_1$ 成立；但對曲面 $S_2$ 而言，因為沒有傳導電流，會得到

$$\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=0$$

同一個閉合路徑卻得到兩個不同結果，表示原本的安培定律不完整。

電容器間的電場

平行板間的電場近似為

核心觀念

本題考查同心球形電容器的電容定義：

$$C=\frac{Q}{V}$$

其中 $Q$ 為內球殼所帶電荷量，$V$ 為內、外球殼之間的電位差。

由於金屬殼在靜電平衡時，金屬內部電場為零，電荷分布具有球對稱性，因此可使用高斯定律求出兩球殼間的電場，再由電場積分得到電位差。

題目未指定介質，以下假設兩球殼間為真空，介電率為 $\varepsilon_0$。若填充均勻介質，只需將 $\varepsilon_0$ 換成該介質的介電率 $\varepsilon$。

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解題方法

設內球殼半徑為 $a$，外球殼半徑為 $b$，且 $a<b$。令內球殼帶電荷 $+Q$，外球殼帶電荷 $-Q$。

在兩球殼之間取半徑為 $r$ 的球形高斯面，其中

$$a<r<b$$

由球對稱性，電場大小只與 $r$ 有關，且方向為徑向。因此高斯定律給出

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

高斯面包住的電荷為 $Q$，所以

$$E(r)(4\pi r^2)=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$

得到兩球殼間的電場

$$E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad a<r<b$$

電位差取內球殼相對於外球殼：

$$V=V(a)-V(b)$$

電位差與電場的關係為

$$V(a)-V(b)=\int_a^b E(r)\,dr$$

代入電場：

$$V = \int_a^b \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dr$$

將常數提出：

$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \int_a^b r^{-2}\,dr$$

由

$$\int r^{-2}\,dr=-\frac{1}{r}$$

可得

$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_a^b$$

因此

核心觀念

導體在靜電平衡時滿足：

• 導體內部電場為零，電位為常數。
• 接地導體球的電位為零。
• 孤立且不帶電導體球的總感應電荷必須為零。
• 利用鏡像法構造等效電荷，再由唯一性定理得到導體外部的正確解。

令球心為原點，點電荷 $q$ 位於 $z$ 軸上的 $z=d$ 處，且 $d>a$。定義

$$k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\qquad b=\frac{a^2}{d}.$$

其中 $\hat{\mathbf z}$ 為由球心指向點電荷的單位向量。

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一、接地導體球

1. 電位

在球內放置鏡像電荷

$$q'=-\frac{a}{d}q$$

其位置為 $z=b=a^2/d$。

對球面上任一點，成立

$$\left|\mathbf r-b\hat{\mathbf z}\right| =\frac{a}{d}\left|\mathbf r-d\hat{\mathbf z}\right|.$$

因此，在球面 $r=a$ 上，

$$\frac{q}{|\mathbf r-d\hat{\mathbf z}|} + \frac{q'}{|\mathbf r-b\hat{\mathbf z}|} =0,$$

符合接地條件 $\phi=0$。

故整個空間的電位為

$$\phi_{\mathrm g}(\mathbf r)= \begin{cases} \displaystyle k\left[ \frac{q}{|\mathbf r-d\hat{\mathbf z}|} -\frac{(a/d)q}{|\mathbf r-(a^2/d)\hat{\mathbf z}|} \right], & r>a,\\[1.2em] 0, & r\le a. \end{cases}$$

在點電荷所在位置，電位包含點電荷本身的奇異項。

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2. 點電荷所受的力

點電荷只需考慮鏡像電荷 $q'$ 所產生的力。兩電荷間距為

$$d-b=d-\frac{a^2}{d} =\frac{d^2-a^2}{d}.$$

因此

$$\mathbf F_{\mathrm g} = k\frac{qq'}{(d-b)^2}\hat{\mathbf z}.$$

代入 $q'$ 得

$$\boxed{ \mathbf F_{\mathrm g} = -k\frac{a q^2d}{(d^2-a^2)^2}\hat{\mathbf z} }$$

方向為指向導體球，表示點電荷受到吸引力。

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3. 靜電能

感應電荷在點電荷位置所產生的電位為

$$\phi_{\mathrm{ind,g}} = k\frac{q'}{d-b} = -k\frac{aq}{d^2-a^2}.$$

由於感應電荷會隨 $q$ 線性變化，系統能量必須包含一個 $1/2$ 因子：

$$U_{\mathrm g} = \frac12 q\phi_{\mathrm{ind,g}}.$$

故

$$\boxed{ U_{\mathrm g} = -\frac{k a q^2}{2(d^2-a^2)} }$$

能量零點取為 $d\to\infty$。

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二、孤立且不帶電的導體球

1. 鏡像電荷與電位

僅放置接地情形的鏡像電荷 $q'$ 時，導體球的總感應電荷為 $q'$，不符合孤立且不帶電的條件。

因此在球心再加入鏡像電荷

$$q_0=-q'=\frac{a}{d}q.$$

這樣鏡像電荷總和為

$$q'+q_0=0,$$

符合導體球總感應電荷為零的要求。

球外電位為

$$\phi_{\mathrm u}(\mathbf r) = k\left[ \frac{q}{|\mathbf r-d\hat{\mathbf z}|} -\frac{(a/d)q}{|\mathbf r-(a^2/d)\hat{\mathbf z}|} +\frac{(a/d)q}{r} \right], \qquad r>a.$$

球面上前兩項相消，因此球面的電位為

$$V_{\mathrm{sphere}} = k\frac{q_0}{a} = k\frac{q}{d}.$$

所以整個空間的電位為

核心觀念

本題探討導體在均勻外加磁場中繞對稱軸等速旋轉時的電動力學行為（旋轉導體效應，如法拉第圓盤／均勻旋轉圓柱），主要包含以下物理概念：

1. 導體內部達到穩態（Stationary conditions）的平衡條件：導體內自由電子隨圓柱以角速度 $\boldsymbol{\omega} = \omega \hat{\mathbf{z}}$ 作圓周運動。在非慣性旋轉參考系中，電子受到柯氏力與離心力；在慣性系中，電子維持圓周運動所需的向心力由靜電力與勞侖茲磁力共同提供： $$\mathbf{F}_{\text{net}} = -e (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}_0) = -m_e \omega^2 r \hat{\mathbf{r}}$$
2. 勞侖茲磁力與離心力之比：
   • 速度 $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} = \omega r \hat{\boldsymbol{\phi}}$。
   • 磁力大小 $F_B = |-e(\mathbf{v} \times \mathbf{B}_0)| = e \omega r B_0$。
   • 慣性向心力需求（在旋轉系對應離心力）大小 $F_c = m_e \omega^2 r$。
3. 高斯定律（微觀電荷分佈）：
   由內建徑向電場 $\mathbf{E}(r)$，利用馬克士威第一方程式 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho / \varepsilon_0$ 計算導體內部的體電荷密度 $\rho$，再由邊界條件求出表面電荷密度 $\sigma$。
4. 旋轉電流所產生的感應磁場：
   淨電荷以速度 $\mathbf{v} = \omega r \hat{\boldsymbol{\phi}}$ 旋轉形成面電流密度與體電流密度，由安培定律計算軸向感應磁場 $\mathbf{B}_1$。

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解題方法

選取圓柱座標系 $(r, \phi, z)$，設圓柱軸沿 $z$ 軸，旋轉角速度 $\boldsymbol{\omega} = \omega \hat{\mathbf{z}}$，均勻外加磁場 $\mathbf{B}_0 = B_0 \hat{\mathbf{z}}$。
電子的電荷為 $-e$ ($e \approx 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}$)，質量為 $m_e \approx 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}$。

(a) 傳導電子的磁力與磁力／離心力比值

電子隨導體以速度 $\mathbf{v} = \omega r \hat{\boldsymbol{\phi}}$ 旋轉，所受之勞侖茲磁力為：

$$\mathbf{F}_B = -e (\mathbf{v} \times \mathbf{B}_0) = -e (\omega r \hat{\boldsymbol{\phi}} \times B_0 \hat{\mathbf{z}}) = -e \omega B_0 r \hat{\mathbf{r}}$$

磁力大小與徑向位置 $r$ 成正比：

$$F_B = e \omega B_0 r$$

代入數值 $\omega = 2 \times 10^2 \, \text{s}^{-1}$、$B_0 = 5 \times 10^{-5} \, \text{T}$：

$$\frac{F_B}{r} = e \omega B_0 = (1.602 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^2) \times (5 \times 10^{-5}) \approx 1.60 \times 10^{-21} \, \text{N/m}$$

因此磁力大小為：

$$F_B \approx 1.60 \times 10^{-21} r \, \text{N} \quad (\text{方向指向軸心 } -\hat{\mathbf{r}})$$

電子維持等速圓周運動所對應的向心力需求（即在旋轉坐標系中的離心力大小）為：

$$F_c = m_e \omega^2 r$$

兩者比值為：

$$\frac{F_B}{F_c} = \frac{e \omega B_0 r}{m_e \omega^2 r} = \frac{e B_0}{m_e \omega} = \frac{\omega_c}{\omega}$$

其中 $\omega_c = \frac{e B_0}{m_e}$ 為電子在該磁場下的迴旋頻率（cyclotron frequency）。
代入數值計算：

$$\frac{F_B}{F_c} = \frac{(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (5 \times 10^{-5} \, \text{T})}{(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}) \times (2 \times 10^2 \, \text{s}^{-1})} = \frac{8.01 \times 10^{-24}}{1.822 \times 10^{-28}} \approx 4.4 \times 10^4$$

結果顯示：磁力遠大於離心力（約大 $4.4 \times 10^4$ 倍），因此在接下來分析體內電場與電荷分佈時，慣性質量項 $m_e \omega^2 r$ 可忽略不計。

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(b) 圓柱內部的電場、體電荷密度與表面電荷密度

在穩態下，導體內電子無徑向相對漂移電流，作用在傳導電子上的總徑向力為零（忽略質量效應 $m_e \ll eB_0/\omega$）：

$$\mathbf{F} = -e (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}_0) = \mathbf{0}$$

由此可得圓柱內部的自洽電場：

$$\mathbf{E} = - \mathbf{v} \times \mathbf{B}_0 = - (\omega r \hat{\boldsymbol{\phi}} \times B_0 \hat{\mathbf{z}}) = - \omega B_0 r \hat{\mathbf{r}}$$

若考慮電子質量的微小修正，力平衡方程式為：

$$-e (E_r + \omega r B_0) = -m_e \omega^2 r \implies E_r = -\left(\omega B_0 - \frac{m_e \omega^2}{e}\right) r$$

由於 $\frac{m_e \omega}{e B_0} \ll 1$，標準電磁學精確解採用：

$$\mathbf{E}(r) = -\omega B_0 r \hat{\mathbf{r}} \quad (r < a)$$

1. 體電荷密度 $\rho$：
利用高斯定律的微分形式（在圓柱座標系中）：

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r E_r) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( - \omega B_0 r^2 \right) = - 2 \omega B_0$$

因此，圓柱內部的體電荷密度為均勻分佈：

$$\rho = \varepsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E} = - 2 \varepsilon_0 \omega B_0$$

此電荷密度為均勻的負電荷。

2. 表面電荷密度 $\sigma$：
整個圓柱原為中性導體，內部出現負的體總電荷，必在側表面（$r = a$）感應出等量的正電荷（圓柱兩端面因電場純為徑向，表面無感應電荷）。