115 年 國立臺灣大學應用力學研究所丙組《動力學》

本題考查牛頓第二運動定律以及靜摩擦力的概念。當卡車加速時，冰箱之所以能隨之移動而不滑動，是靠著靜摩擦力提供的。為了使冰箱不滑動，所需的靜摩擦力必須小於或等於最大靜摩擦力。

首先，將最終速度單位換算成公尺/秒：
$v = 100 \text{ km/h} = 100 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{1000}{36} \text{ m/s} = \frac{250}{9} \text{ m/s}$

設卡車的加速度為 $a$。冰箱的質量為 $m = 250 \text{ kg}$，靜摩擦係數為 $\mu_s = 0.30$。
冰箱在水平方向受到的力是卡車施加的靜摩擦力 $f_s$。根據牛頓第二運動定律，冰箱在水平方向的運動方程式為：
$f_s = ma$

冰箱在垂直方向不受力，因此垂直方向合力為零。冰箱受到向下的重力 $mg$ 和向上的支持力 $N$。
$N - mg = 0 \implies N = mg$

核心觀念

本題為經典質點動力學（Particle Kinetics）與拋體運動（Projectile Motion）的綜合題，主要評量以下核心觀念：

1. 力學能守恆定律（Work-Energy Principle / Conservation of Mechanical Energy）：由於軌道光滑無摩擦力，系統僅有重力作功，小球在運動過程中的力學能守恆，可用於求解小球在圓弧軌道任意位置的速率。
2. 法向與切向座標系運動方程式（$n$-$t$ Coordinates Kinetics）：小球沿圓弧軌道運動時，法向加速度為向心加速度 $a_n = \frac{v^2}{R}$，指向圓心。依據牛頓第二運動定律 $\sum F_n = m a_n$，建立自由體圖受力與運動的關係，以求得軌道正向力 $N$。
3. 斜向拋射運動（Projectile Motion）：小球脫離軌道點 $B$ 後，在空中僅受重力作用，水平方向為等速運動，垂直方向為等加速度（重力）運動。

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解題方法與推導

幾何與坐標設定

• 設地面為重力位能零位面，點 $A$ 為圓弧軌道最低點，半徑為 $R$，故點 $A$ 恰位於地面上（高度 $y_A = 0$）。小球釋放高度為 $h$。
• 軌道在點 $B$ 終止，該處半徑與鉛直線夾角為 $\theta = 45^\circ$。
  • 點 $B$ 的高度為： $$y_B = R - R \cos 45^\circ = R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
  • 點 $B$ 相對於點 $A$ 的水平距離為： $$x_B = R \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}R$$
  • 在點 $B$ 處，軌道切線方向與水平面夾角亦為 $\theta = 45^\circ$（仰角朝向右上方）。

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(a) 點 A 之自由體圖（FBD）與正向力

1. 自由體圖（FBD）描述：
   小球在最低點 $A$ 時受兩個力作用：

   • 垂直向下的重力：$W = mg$
   • 軌道施加於小球、垂直向上的正向力：$N_A$

2. 力學能守恆求點 A 速率 $v_A$：

   $$mgh = \frac{1}{2} m v_A^2 \implies v_A^2 = 2gh$$

3. 牛頓第二運動定律（法向／向心方向，取向上為正）：

   $$\sum F_n = N_A - mg = m \frac{v_A^2}{R}$$

   將 $v_A^2 = 2gh$ 代入：

   $$N_A = mg + m\frac{2gh}{R} = mg\left(1 + \frac{2h}{R}\right)$$

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(b) 點 B 之自由體圖（FBD）與正向力

1. 自由體圖（FBD）描述：
   小球即將離開點 $B$ 時受兩個力作用：

   • 垂直向下的重力：$mg$
   • 軌道施加於小球、沿半徑指向圓心（朝向內側上方，與鉛直夾角 $45^\circ$）的正向力：$N_B$

2. 力學能守恆求點 B 速率 $v_B$：

   $$mgh = mgy_B + \frac{1}{2} m v_B^2$$ $$v_B^2 = 2g(h - y_B) = 2g\left[h - R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]$$

3. 法向運動方程式（沿半徑指向圓心方向為正）：
   重力沿半徑方向的分量為 $mg \cos 45^\circ$（背離圓心方向）：

   $$\sum F_n = N_B - mg \cos 45^\circ = m \frac{v_B^2}{R}$$

   將 $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 與 $v_B^2$ 代入：

   $$N_B = mg\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{m}{R}\cdot 2g\left[h - R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]$$

   展開並整理：

   $$N_B = mg \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2h}{R} - 2 + \sqrt{2} \right] = mg\left(\frac{2h}{R} - 2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$$

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(c) 小球離開點 B 時的速率

小球在點 $B$ 脫離軌道時的速率即為 (b) 中由力學能守恆所求得的 $v_B$：

$$v_B = \sqrt{2g\left[h - R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]}$$

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(d) 點 A 到著地點的水平距離

小球離開點 $B$ 後進行斜向拋射，初速度大小為 $v_B$，拋射角為 $\theta = 45^\circ$（仰角）。

• 速度初分量：

核心觀念

本題考查一維直線運動與相對運動。關鍵是比較兩列火車的位置，確保任意時刻列車 $P$ 都不會追上列車 $Q$。

設向右為正方向，兩列車位置分別為 $x_P(t)$、$x_Q(t)$。

• 火車 $P$：初位置為 $d$、初速為 $0$、加速度為 $a$。
• 火車 $Q$：初位置為 $0$、初速為 $v_0$、加速度為 $-a$。

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解題方法

1. 寫出兩列火車的位置

火車 $P$ 的位置為

$$x_P(t)=d+\frac{1}{2}at^2.$$

火車 $Q$ 的位置為

$$x_Q(t)=v_0t-\frac{1}{2}at^2.$$

兩車間距為

$$s(t)=x_P(t)-x_Q(t) =d-v_0t+at^2.$$

為了不發生碰撞，必須對所有 $t\geq 0$ 滿足

$$s(t)\geq 0.$$

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2. 求兩車間距的最小值

由於 $a>0$，$s(t)$ 是開口向上的二次函數，其最小值發生在

$$\frac{ds}{dt}=-v_0+2at=0.$$

因此最接近的時刻為

$$t=\frac{v_0}{2a}.$$

代回間距函數：

$$s_{\min} =d-v_0\left(\frac{v_0}{2a}\right) +a\left(\frac{v_0}{2a}\right)^2.$$

整理得

核心觀念

本題考查擺的切線方向運動方程，以及小角度近似下的簡諧運動。依圖，父親施加的切向力 $F$ 與擺向最低點的運動方向一致，因此會與重力的切向分量共同促進擺下降。

重力沿切線方向的分量為 $mg\sin\theta$。令右側偏角為正，最低點為 $\theta=0$，則下降方向為負方向。

解題方法

沿切線方向套用牛頓第二定律：

$$mL\ddot{\theta}=-mg\sin\theta-F$$

利用小角度近似 $\sin\theta\approx\theta$：

$$mL\ddot{\theta}=-mg\theta-F$$

整理得

$$\ddot{\theta}+\frac{g}{L}\theta=-\frac{F}{mL}$$

題目給定

$$\theta_0=\frac{1}{10},\qquad F=\frac{mg}{10}$$

令

$$\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$$

則運動方程式為

$$\ddot{\theta}+\omega^2\theta=-\frac{\omega^2}{10}$$

其平衡位置為

$$\theta_{\mathrm{eq}}=-\frac{1}{10}$$

定義相對於平衡位置的角度

$$\phi=\theta+\frac{1}{10}$$

便有

$$\ddot{\phi}+\omega^2\phi=0$$