113 年 國立臺灣大學應用力學研究所丙組《動力學》

本題考驗平均速率的計算以及變加速度運動下的時間計算。

Part (i): 平均速率計算

平均速率的定義為總路程除以總時間。在此問題中，上坡與下坡的路程相同，設為 $d$。

上坡時間 $t_{up}$：
速度 $v_{up} = 10$ km/h
$t_{up} = \frac{d}{v_{up}} = \frac{d}{10}$

下坡時間 $t_{down}$：
速度 $v_{down} = 20$ km/h
$t_{down} = \frac{d}{v_{down}} = \frac{d}{20}$

總路程 $= d + d = 2d$
總時間 $= t_{up} + t_{down} = \frac{d}{10} + \frac{d}{20} = \frac{2d+d}{20} = \frac{3d}{20}$

平均速率 $v_{avg} = \frac{總路程}{總時間} = \frac{2d}{\frac{3d}{20}} = 2d \times \frac{20}{3d} = \frac{40}{3}$ km/h

【答案】$\frac{40}{3}$ km/h

Part (ii): 變加速度運動下的時間計算

題目給定切線加速度 $a_t = a_0 (1-kv)$，其中 $v$ 是速度。我們知道切線加速度的定義為 $a_t = \frac{dv}{dt}$。
因此，我們有 $\frac{dv}{dt} = a_0 (1-kv)$。
這是一個微分方程，我們可以分離變數來求解時間 $t$。

$\frac{dv}{1-kv} = a_0 dt$

本題考驗角動量守恆定律在有外力作用下的應用。

首先，我們需要理解角動量的定義及其變化率。對於一個質點，其角動量 $\mathbf{J}$ 相對於原點 O 的定義為 $\mathbf{J} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}$，其中 $\mathbf{r}$ 是質點的位置向量，$\mathbf{v}$ 是質點的速度向量，$m$ 是質點的質量。

角動量的變化率由作用在質點上的淨力矩 $\boldsymbol{\tau}$ 決定，即 $\frac{d\mathbf{J}}{dt} = \boldsymbol{\tau}$。
淨力矩是所有作用在質點上的力相對於原點的力矩之和：$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}_1 + \boldsymbol{\tau}_2$。

第一種力是中央力 $f_1 = f(r)$。中央力的方向總是沿著位置向量 $\mathbf{r}$ 或與其相反。因此，中央力對原點的力矩為 $\boldsymbol{\tau}_1 = \mathbf{r} \times \mathbf{F}_1$。由於 $\mathbf{F}_1$ 與 $\mathbf{r}$ 平行或反平行，它們的叉乘為零，即 $\boldsymbol{\tau}_1 = 0$。

第二種力是摩擦力 $f_2 = -\lambda v$。這個力與速度 $\mathbf{v}$ 方向相反。作用在質點上的摩擦力為 $\mathbf{F}_2 = -\lambda \mathbf{v}$。
摩擦力對原點的力矩為 $\boldsymbol{\tau}_2 = \mathbf{r} \times \mathbf{F}_2 = \mathbf{r} \times (-\lambda \mathbf{v})$。

所以，淨力矩為 $\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}_1 + \boldsymbol{\tau}_2 = 0 + \mathbf{r} \times (-\lambda \mathbf{v}) = -\lambda (\mathbf{r} \times \mathbf{v})$。

根據角動量的變化率定律：
$\frac{d\mathbf{J}}{dt} = \boldsymbol{\tau} = -\lambda (\mathbf{r} \times \mathbf{v})$。

本題考驗牛頓第二運動定律在物體受力分析上的應用，特別是處理動力學問題中的非保守力（如拉力）以及重力。由於鏈條是以恆定的速度運動，代表鏈條的加速度為零，因此作用在鏈條上的合力為零。

我們假設鏈條的質量分佈是均勻的，線密度為 $\rho = \frac{m}{l}$。

Part (i): 以恆定速度 $v_1$ 提起鏈條

當鏈條以恆定的速度 $v_1$ 向上運動時，其加速度為零，所以合力為零。
我們需要分析作用在鏈條上的力。

1. 向下的重力：作用在鏈條質心上，大小為 $mg$。
2. 向上的拉力 $F$：由外部施加。

然而，隨著鏈條被提起，越來越少的鏈條懸掛在空中，因此作用在鏈條上的重力會改變。
假設鏈條被提起的高度為 $y$。那麼，懸掛在空中的鏈條長度為 $y$，其質量為 $m_{hanging} = \rho y = \frac{m}{l} y$。
這部分懸掛鏈條所受的重力為 $F_g = m_{hanging} g = \frac{m}{l} y g$。

由於鏈條是以恆定速度運動，合力為零。因此，拉力 $F$ 必須等於懸掛鏈條的重力。
$F - F_g = 0$
$F = F_g = \frac{m}{l} y g$

題目要求的是「required to raise the chain」，這意味著我們需要找到在整個提起過程中所需的力。但由於鏈條是以恆定速度運動，這個力是變化的，取決於 $y$。題目問的是「magnitude of the force F required」，通常是指在某個時刻或某個條件下的力。由於鏈條是從 $y=0$ 開始提起，並且以恆定速度 $v_1$ 運動，這意味著在任何時刻 $y$ 處，力 $F$ 都必須等於該高度下懸掛部分的重力。

如果題目意指「在提起過程中，拉力 $F$ 的值是多少」，那麼答案是 $F(y) = \frac{mgy}{l}$。
但是，如果題目問的是「要維持這個運動，所需力的「形式」」，則答案就是這個函數。
通常，這類問題會問「總共需要多少功」或者「在某個特定位置的力」。
題目敘述「starting from rest when $y=0$」但接著說「raise the chain with a constant speed $v_1$」。這意味著在 $t=0$ 時，鏈條速度為 0，然後在極短時間內加速到 $v_1$，之後以 $v_1$ 運動。如果嚴格來說，從靜止到 $v_1$ 的過程不是恆定速度，但題目假設了「以恆定速度 $v_1$」來描述整個過程。

核心觀念

本題考查：

• 自由落體求碰撞前速度；
• 短時間碰撞過程中，對「鐵鎚與樁」整體使用動量守恆；
• 「鐵鎚不反彈」表示碰撞後鐵鎚與樁具有相同速度，屬於完全非彈性碰撞；
• 冲量等於物體動量的變化量：

碰撞瞬間的重力冲量相較於碰撞冲量可忽略。

解題方法

取鉛直向下為正方向。鐵鎚由高度 $y_0$ 靜止落下，撞擊樁前速度為

樁在碰撞前靜止，因此碰撞前系統動量為

碰撞後鐵鎚不反彈，且與樁共同向下運動。設兩者碰撞後共同速度為 $v$，由動量守恆：

所以

接著對鐵鎚單獨分析。鐵鎚碰撞前速度為 $u$，碰撞後速度為 $v$，因此樁對鐵鎚的冲量為

代入 $u$ 與 $v$：