108 年 國立體育大學競技與教練科學研究所教練科學組《運動生物力學》

本題要求解釋「功率」此一名詞。

【詳解】
功率（Power）是指單位時間內所做的功，或是能量轉換的速率。在物理學中，功率的定義為：
$P = \frac{W}{t}$
其中，$P$ 代表功率，單位是瓦特（Watt, W）；$W$ 代表功（Work），單位是焦耳（Joule, J）；$t$ 代表時間（time），單位是秒（second, s）。
功率也可以表示為力與速度的乘積：

本題要求解釋「轉動慣量」此一名詞。

【詳解】
轉動慣量（Moment of inertia），也稱為慣性力矩，是物體抵抗其角加速度的量度。它在轉動運動中的作用類似於質量在直線運動中的作用。質量越大，物體越難改變其直線運動狀態；轉動慣量越大，物體越難改變其轉動運動狀態。

轉動慣量的大小取決於物體的質量分佈以及繞轉軸的距離。對於一個質點，其轉動慣量 $I$ 為：
$I = mr^2$
其中，$m$ 是質點的質量，$r$ 是質點到轉軸的距離。

本題要求解釋「重心」（Center of gravity）此一名詞。

【詳解】
重心（Center of gravity, CG）是指物體所有部分所受重力合力的作用點。在均勻重力場下，重心與質心（Center of mass, CM）是同一個點。
在物理學和生物力學中，重心的概念非常重要，它決定了物體的平衡狀態。當物體的支撐面大於或等於其重心垂直投影到支撐面的範圍時，物體就能保持平衡。

本題要求解釋「摩擦力」（Friction force）此一名詞。

【詳解】
摩擦力（Friction force）是指當兩個物體表面接觸，並且有相對運動或有相對運動趨勢時，在接觸面上所產生的一種阻礙運動的力。摩擦力總是與接觸面平行，並且方向與相對運動或趨勢相反。

摩擦力主要分為兩種類型：

1. 靜摩擦力（Static friction）：在物體尚未開始運動時，阻止其相對運動的力。其大小可變，最大值等於最大靜摩擦力。
2. 動摩擦力（Kinetic friction）：在物體已開始運動時，阻礙其相對運動的力。其大小通常近似恆定，與相對速度無關，但與正向力成正比。

本題要求解釋「衝量」（Impulse）此一名詞。

【詳解】
衝量（Impulse）是指力在一段時間內的累積效應。在物理學中，衝量定義為力與作用時間的乘積。
$J = \vec{F} \Delta t$
其中，$J$ 代表衝量，單位是牛頓秒（N·s）；$\vec{F}$ 是作用力；$\Delta t$ 是力作用的時間。

衝量與動量變化（Change in momentum）之間有著重要的關係，即衝量-動量定理（Impulse-momentum theorem）：
$J = \Delta p$

本題要求舉出測量運動學（Kinematics）的儀器，說明其可測量的參數，並探討其在高爾夫揮桿技術分析中的應用。

【詳解】
運動學（Kinematics）是描述物體運動的幾何學，關注運動的狀態（如位置、速度、加速度）而非產生運動的原因（力）。

測量運動學參數的科學儀器：

1. 運動捕捉系統 (Motion Capture System)：

   • 原理：透過在物體（例如人體關節）上標記反射標記點，利用多個攝影機捕捉這些標記點在三維空間中的位置隨時間的變化。
   • 可測量參數：
     • 位置 (Position)：標記點在空間中的絕對或相對座標。
     • 速度 (Velocity)：位置隨時間的變化率（一階導數）。
     • 加速度 (Acceleration)：速度隨時間的變化率（二階導數）。
     • 角度 (Angles)：透過標記點的相對位置計算關節角度。
     • 角速度 (Angular Velocity)：關節角度隨時間的變化率。
     • 角加速度 (Angular Acceleration)：關節角速度隨時間的變化率。
     • 運動軌跡 (Trajectories)：標記點的運動路徑。
   • 在高爾夫揮桿分析中的應用：
     • 揮桿動作分解：精確記錄球員身體各部位（如頭部、肩膀、手臂、手腕、桿身）的運動軌跡、速度和加速度，以分析揮桿的時序、協調性。
     • 關節運動分析：測量肩膀、手腕、肘部等關鍵關節的運動角度、角速度，評估揮桿動作的流暢度與力量傳遞效率。
     • 桿頭速度與路徑：計算桿頭在擊球瞬間的速度和軌跡，直接關聯到球的飛行距離和方向。
     • 動作優化：與頂尖選手的數據進行比對，找出技術差異，提供個別化訓練建議，改善揮桿動作。

2. 加速度計 (Accelerometers)：

   • 原理：測量物體在特定方向上的加速度。通常是微機電系統（MEMS）製成，體積小，可穿戴。
   • 可測量參數：

本題主要考查角動量守恆定律的應用，包括公式的說明、不同姿勢下的角速度計算，以及利用角速度計算迴旋次數。

【詳解】
本題包含三個小題：(1) 角動量守恆公式的說明與應用，(2) 計算伸展姿勢下的角速度，以及 (3) 計算飛行時間內的迴旋次數。

首先，我們需要釐清題目的敘述與結構。
題目中的 "(2)試列出與說明角動量守恆公式" 應為 (1)，而 "(1)請問此時的角速度為多少?" 應為 (2)，"(3)若有 2 秒的飛行時間,以此角速度可有幾迴旋?" 則為 (3)。我們將按照此邏輯順序作答。

已知條件：

• 伸展姿勢（extended）時的角速度 $\omega_{ext}$ = 100 度/秒
• 伸展姿勢（extended）時的轉動慣量 $I_{ext}$ = 5 kg·m²
• 抱胸姿勢（tucked）時的轉動慣量 $I_{tuck}$ = 1 kg·m²
• 飛行時間 $t$ = 2 秒

1. 角動量守恆公式的說明與應用

• 公式說明：
  角動量守恆定律（Conservation of Angular Momentum）指出，如果一個系統不受外力矩（net external torque）的作用，則其總角動量（angular momentum）保持不變。
  角動量 ($L$) 的定義為：
  $L = I \omega$
  其中，$I$ 是物體的轉動慣量，$\omega$ 是物體的角速度。
  因此，角動量守恆定律的公式可以表示為：
  $L_{initial} = L_{final}$
  $I_{initial} \omega_{initial} = I_{final} \omega_{final}$
  這個公式表明，當系統的轉動慣量增加時，角速度必須減小以維持總角動量不變；反之，當轉動慣量減小時，角速度則會增加。

• 應用：
  在花式溜冰、體操、跳水等運動中，運動員透過改變身體的姿態（如伸展或收縮肢體）來改變自身的轉動慣量，進而控制旋轉的速度。當運動員從伸展姿勢轉為抱胸姿勢時，其轉動慣量減小，依據角動量守恆，其角速度會顯著增加，使旋轉更快。

2. 計算抱胸姿勢下的角速度

本題要求比較「角動量守恆」與「動量守恆」的差異，並以公式來說明。

【詳解】
動量守恆定律（Conservation of Linear Momentum）和角動量守恆定律（Conservation of Angular Momentum）是物理學中兩個重要的守恆定律，它們都與力的作用有關，但作用的對象和條件不同。

1. 動量守恆定律 (Conservation of Linear Momentum)

• 概念：
  動量守恆定律指出，如果一個系統不受外力的作用（或合外力為零），則系統的總線性動量保持不變。線性動量（linear momentum, $p$）是質量與速度的乘積。
• 公式：
  $\vec{p} = m\vec{v}$
  動量守恆公式：
  $\sum \vec{p}_{initial} = \sum \vec{p}_{final}$
  $\sum m_i \vec{v}_{i, initial} = \sum m_i \vec{v}_{i, final}$
  其中，$m_i$ 是第 $i$ 個質點的質量，$\vec{v}_{i, initial}$ 是其初始速度，$\vec{v}_{i, final}$ 是其最終速度。
• 條件：
  系統不受外力的作用，即合外力為零 ($\sum \vec{F}_{ext} = 0$)。
• 應用：
  適用於直線運動、碰撞（如撞球、汽車碰撞）、爆炸等情況。

2. 角動量守恆定律 (Conservation of Angular Momentum)

• 概念：
  角動量守恆定律指出，如果一個系統不受外力矩的作用（或合外力矩為零），則系統的總角動量保持不變。角動量（angular momentum, $L$）是轉動慣量與角速度的乘積。
• 公式：
  $L = I\omega$
  角動量守恆公式：
  $\sum L_{initial} = \sum L_{final}$
  $\sum I_i \omega_{i, initial} = \sum I_i \omega_{i, final}$
  其中，$I_i$ 是第 $i$ 個質點的轉動慣量，$\omega_{i, initial}$ 是其初始角速度，$\omega_{i, final}$ 是其最終角速度。
• 條件：
  系統不受外力矩的作用，即合外力矩為零 ($\sum \vec{\tau}_{ext} = 0$)。
• 應用：
  適用於轉動運動、天體運行、花式溜冰旋轉、陀螺儀等情況。

如何不同？

本題要求定義牛頓運動三大定律，並為每一定律舉出運動實例。

【詳解】
牛頓運動三大定律是古典力學的基礎，描述了物體運動與力的關係。

1. 牛頓第一運動定律（慣性定律）

• 定義：
  任何物體都會保持其靜止狀態或等速直線運動狀態，除非它受到外力的作用而迫使改變這種狀態。
  換句話說，如果一個物體不受外力，或者所受外力的合力為零，則其運動狀態（靜止或等速直線運動）將保持不變。

• 運動實例：

  • 靜止狀態：放在桌上的書本，在沒有外力推動或拉動的情況下，會一直保持靜止。
  • 等速直線運動狀態：在沒有空氣阻力和摩擦力影響的太空中，一個正在運動的太空船，如果引擎關閉，它將以恆定的速度沿直線方向持續運動。在地球上，若將球鞋在光滑的冰面上向前推動，雖然有微小的摩擦力，但它仍能滑行一段相當長的距離，這近似於慣性運動。

2. 牛頓第二運動定律（加速度定律）

• 定義：
  物體的加速度與作用在其上的淨外力成正比，與其質量成反比，且加速度的方向與淨外力的方向相同。
• 公式：
  $\vec{F}_{net} = m\vec{a}$
  其中，$\vec{F}_{net}$ 是作用在物體上的淨外力， $m$ 是物體的質量，$\vec{a}$ 是物體的加速度。
• 運動實例：
  • 質量與加速度：用相同的力去推一個空的購物車和裝滿物品的購物車。裝滿物品的購物車質量較大，受到的加速度較小，移動得較慢；空的購物車質量較小，受到的加速度較大，移動得較快。