114 年 國立臺灣大學資料科學碩士學位學程《工程數學（D）》

核心觀念

本題考查以下線性代數基本定理：

1. 矩陣可對角化不代表特徵值必須互異。
2. $n\times n$ 矩陣若有 $n$ 個相異特徵值，則必可對角化。
3. 矩陣與其轉置矩陣具有相同的秩，因此具有相同的零度。
4. $\sqrt{A^T A}$ 的行列式等於 $|\det A|$，不一定等於 $\det A$。
5. 方陣若存在右逆矩陣，則該方陣必為可逆矩陣。

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選項分析

(a) If $A$ is diagonalizable, then $A$ has $n$ distinct eigenvalues.

答案：False

矩陣可對角化的定義是：存在可逆矩陣 $P$ 與對角矩陣 $D$，使得

$$A=PDP^{-1}.$$

對角矩陣中的對角元素不必彼此相異。例如

$$A=I_n.$$

此矩陣本身就是對角矩陣，因此可對角化，但其唯一的特徵值是 $1$，代數重數為 $n$，並沒有 $n$ 個相異特徵值。

因此，可對角化不代表具有 $n$ 個相異特徵值。

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(b) If $A$ has $n$ distinct eigenvalues, then $A$ is diagonalizable.

答案：True

定理指出：若 $n\times n$ 矩陣具有 $n$ 個相異特徵值，則對應的特徵向量線性獨立。

設這些相異特徵值為

$$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,$$

對應的特徵向量分別為

$$v_1,v_2,\ldots,v_n.$$

由於特徵值相異，$v_1,\ldots,v_n$ 線性獨立，因此可組成可逆矩陣

$$P=\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix}.$$

令

$$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n),$$

則

$$AP=PD,$$

進而得到

$$A=PDP^{-1}.$$

所以 $A$ 可對角化。

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(c) The nullity of $A$ equals the nullity of $A^T$.

答案：True

由基本定理，

$$\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{rank}(A)=n.$$

矩陣與轉置矩陣具有相同的秩：

$$\operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}(A).$$

因此

$$\begin{aligned} \operatorname{nullity}(A^T) &=n-\operatorname{rank}(A^T)\\ &=n-\operatorname{rank}(A)\\ &=\operatorname{nullity}(A). \end{aligned}$$

故 $A$ 與 $A^T$ 的零度相等。

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核心觀念

本題考查「生成集（generating set）」、「線性獨立」、「基底」與「維度」的定義及基本定理。

設 $V$ 是有限維向量空間：

• 生成集：集合 $S$ 的線性組合可以表示 $V$ 中每一個向量，即
  $\operatorname{span}(S)=V.$
• 線性獨立：$S$ 中向量的線性組合若等於零向量，則所有係數皆為零。
• 基底：同時滿足「生成」與「線性獨立」的集合。
• 維度：$V$ 的任一組基底所含向量個數，記為 $\dim V$。

由於 $V$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間，因此 $V$ 必為有限維向量空間，且必存在基底。

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解題方法

逐項檢查各敘述是否符合上述定義與定理，並用簡單反例判斷「唯一性」敘述。

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選項分析

(a) A nonzero subspace of $\mathbb{R}^n$ has a generating set.

判斷：True

任何 $\mathbb{R}^n$ 的子空間 $V$ 都是有限維向量空間，因此存在一組基底。基底本身一定是生成集，所以 $V$ 必定有生成集。

事實上，即使不限制 $V$ 非零，零子空間 $\{0\}$ 也有生成集，例如空集合或 $\{0\}$。

因此此敘述正確。

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(b) A nonzero subspace of $\mathbb{R}^n$ has a basis.

判斷：True

有限維向量空間的基本定理指出，每個有限維向量空間都存在基底。由於 $V\subseteq \mathbb{R}^n$，所以 $V$ 為有限維，必定存在基底。

例如，若

$$V=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq\mathbb{R}^3,$$

則

$$\{(1,0,0),(0,1,0)\}$$

就是 $V$ 的一組基底。

因此此敘述正確。

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(c) A nonzero subspace of $\mathbb{R}^n$ has a unique generating set.

判斷：False

生成集通常不唯一，因為生成集可以包含多餘向量，也可以替換其中的向量。

例如令

$$V=\operatorname{span}\{(1,0)\}\subseteq\mathbb{R}^2.$$

以下兩個集合都能生成 $V$：

$$S_1=\{(1,0)\},$$

以及

$$S_2=\{(1,0),(0,0)\}.$$

因為加入零向量不會改變線性包：

$$\operatorname{span}(S_1)=\operatorname{span}(S_2)=V.$$

核心觀念

本題考查內積、正交補空間、子空間、零空間與值域之間的關係。

對 $U\subseteq\mathbb{R}^n$，其正交補定義為

$$U^\perp=\{x\in\mathbb{R}^n:\ x\cdot u=0,\ \forall u\in U\}.$$

重要性質如下：

1. $U^\perp$ 一定是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。
2. $(U^\perp)^\perp=\operatorname{span}(U)$；若 $U$ 本身是子空間，才有 $$(U^\perp)^\perp=U.$$
3. 若 $U$ 是子空間，則 $$U\cap U^\perp=\{0\}.$$
4. 對線性轉換 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$， $$\operatorname{Null}(T^*)=(\operatorname{Range}T)^\perp,$$ 而不是一般所寫的 $\operatorname{Null}(T)=(\operatorname{Range}T)^\perp$。
5. 兩個非零且互相正交的向量必定線性獨立；若其中一個是零向量，則不成立。

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解題方法

逐項檢查敘述是否符合上述定義與定理，特別注意：

• 題目是否明確假設 $U$ 是子空間；
• 正交補與零空間所在的環境空間是否相同；
• 正交向量是否包含零向量。

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選項分析

(a) False

題目只說 $U$ 是子空間 $V$ 的子集合，並沒有說 $U$ 本身是子空間。

一般而言，

$$(U^\perp)^\perp=\operatorname{span}(U).$$

只有在 $U$ 本身是子空間時，才可得到

$$(U^\perp)^\perp=U.$$

例如取

$$U=\{(1,0),(0,1)\}\subseteq\mathbb{R}^2.$$

則

$$\operatorname{span}(U)=\mathbb{R}^2,$$

但 $U\neq\mathbb{R}^2$，因此

$$(U^\perp)^\perp=\mathbb{R}^2\neq U.$$

故敘述錯誤。

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(b) True

由定義，

$$U^\perp=\{x\in\mathbb{R}^n:x\cdot u=0,\ \forall u\in U\}.$$

證明其為子空間：

• 零向量滿足 $$0\cdot u=0,$$ 所以 $0\in U^\perp$。
• 若 $x,y\in U^\perp$，則對所有 $u\in U$， $$(x+y)\cdot u=x\cdot u+y\cdot u=0+0=0,$$ 因此 $x+y\in U^\perp$。
• 若 $c\in\mathbb{R}$ 且 $x\in U^\perp$，則 $$(cx)\cdot u=c(x\cdot u)=c\cdot 0=0,$$

核心觀念

由條件

$$A^2+A=0$$

可因式分解為

$$A(A+I)=0.$$

這表示 $A$ 的最小多項式整除

$$x(x+1).$$

因為 $x$ 與 $x+1$ 沒有重根，故 $A$ 可對角化；其所有特徵值只能是 $0$ 或 $-1$。

行列式等於所有特徵值的乘積，因此關鍵在於判斷 $0$ 與 $-1$ 出現的情形。

解題方法

設 $\lambda$ 為 $A$ 的任一特徵值，取對應的非零特徵向量 $v$，則

$$Av=\lambda v.$$

將條件 $A^2+A=0$ 作用在 $v$ 上：

$$(A^2+A)v=0,$$

因此

$$\lambda^2v+\lambda v=(\lambda^2+\lambda)v=0.$$

由 $v\neq 0$，得到

$$\lambda^2+\lambda=0,$$

即

$$\lambda(\lambda+1)=0.$$

所以每個特徵值皆為

$$\lambda=0\quad\text{或}\quad \lambda=-1.$$

分情況討論：

1. 若 $0$ 是 $A$ 的特徵值，則

   $$\det(A)=0.$$

2. 若 $0$ 不是特徵值，則 $A$ 的全部 $n$ 個特徵值皆為 $-1$，因此

   $$\det(A)=(-1)^n.$$

核心觀念

本題考查矩陣冪次 $A^k$ 的計算，以及利用矩陣滿足的低次多項式關係來建立一般式。

先計算行列式：

$$\det A=(-2)(-1)-(1)(2)=2-2=0.$$

因此 $A$ 是奇異矩陣，不可逆；負整數次方 $A^k$（$k<0$）沒有定義。

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解題方法

直接計算 $A^2$：

$$A^2= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3\\ -6 & 3 \end{pmatrix}.$$

比較原矩陣 $A$：

$$-3A =-3 \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3\\ -6 & 3 \end{pmatrix}.$$

所以

$$A^2=-3A.$$

對於 $k\geq 1$，可用數學歸納法推導。假設

$$A^k=(-3)^{k-1}A,$$

則

$$A^{k+1} =A^kA =\left((-3)^{k-1}A\right)A =(-3)^{k-1}A^2.$$

利用 $A^2=-3A$：

$$A^{k+1} =(-3)^{k-1}(-3A) =(-3)^kA.$$

核心觀念

本題考查實數體 $\mathbb{R}$ 上 $2 \times 2$ 矩陣的特徵值、特徵空間（Eigenspace）及其可對角化（Diagonalizability）條件。涉及之核心理論如下：

1. 特徵方程式（Characteristic Equation）：
   矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda$ 滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$。對於 $2 \times 2$ 矩陣，亦可利用跡數與行列式表示為： $$\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$$
2. 特徵空間基底（Basis for Eigenspace）：
   對應特徵值 $\lambda$ 的特徵空間為齊次線性方程組 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 的解空間 $\operatorname{Null}(A - \lambda I)$。求其非零解即得對應之特徵向量與基底。
3. 實數體上的可對角化定理（Diagonalizability over $\mathbb{R}$）：
   矩陣 $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上可對角化的充要條件為：
   • 特徵方程式的所有根皆落在實數體 $\mathbb{R}$ 內（即無嚴格複數共軛根）。
   • 每個特徵值的幾何重數（Geometric Multiplicity，即對應特徵空間的維度）等於其代數重數（Algebraic Multiplicity）。

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解題方法與推導

(a) 求 $A$ 的特徵值

計算 $A$ 的特徵多項式：

$$\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1 - \lambda & b \\ a & 1 - \lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)^2 - ab = 0$$

展開並求解：

$$(1 - \lambda)^2 = ab \implies \lambda = 1 \pm \sqrt{ab}$$

由於題目明確指定矩陣定義於實數體 $\mathbb{R}$ 上，特徵值必須為實數，因此必須根據實數乘積 $ab$ 的正負性質進行討論：

• 當 $ab > 0$ 時：存在兩個相異實數特徵值 $\lambda_1 = 1 + \sqrt{ab}$ 與 $\lambda_2 = 1 - \sqrt{ab}$。
• 當 $ab = 0$ 時：存在單一重根特徵值 $\lambda = 1$（代數重數為 2）。
• 當 $ab < 0$ 時：特徵值為共軛複數 $1 \pm i\sqrt{|ab|} \notin \mathbb{R}$，在實數體 $\mathbb{R}$ 上無特徵值。

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(b) 求各特徵空間的基底

特徵向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \neq \mathbf{0}$ 滿足 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$，即：

$$\begin{bmatrix} 1 - \lambda & b \\ a & 1 - \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

依 $ab$ 的狀況分類討論：

1. 當 $ab > 0$ 時：

   • 對於 $\lambda_1 = 1 + \sqrt{ab}$：
     代入得方程組： $$\begin{bmatrix} -\sqrt{ab} & b \\ a & -\sqrt{ab} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ 兩列線性相依，由第一列 $-\sqrt{ab}\,x + by = 0$ 可取特徵向量： $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \sqrt{b} \\ \sqrt{a} \end{bmatrix} \quad (\text{若 } a > 0, b > 0)$$ 為統一適用正負號（無論 $a, b > 0$ 或 $a, b < 0$），取通用形式： $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} b \\ \sqrt{ab} \end{bmatrix} \quad \left(\text{或等價表示為 } \begin{bmatrix} \sqrt{ab} \\ a \end{bmatrix}\right)$$ 故特徵空間 $E_{\lambda_1}$ 的基底為： $$\mathcal{B}_1 = \left\{ \begin{bmatrix} b \\ \sqrt{ab} \end{bmatrix} \right\}$$
   • 對於 $\lambda_2 = 1 - \sqrt{ab}$：
     代入得方程組： $$\begin{bmatrix} \sqrt{ab} & b \\ a & \sqrt{ab} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ 由第一列 $\sqrt{ab}\,x + by = 0$，得特徵空間 $E_{\lambda_2}$ 的基底為： $$\mathcal{B}_2 = \left\{ \begin{bmatrix} -b \\ \sqrt{ab} \end{bmatrix} \right\}$$

2. 當 $ab = 0$ 時（特徵值 $\lambda = 1$）：
   方程式化簡為：

先將 $A$ 分塊寫成

$$A=\begin{bmatrix} n+2 & (n+2)\mathbf{1}^{\!T}\\[2pt] \mathbf{1} & B \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 3 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 3 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 3 \end{bmatrix}_{(n-1)\times(n-1)} .$$

注意 $B=2I_{n-1}+J_{n-1}$，其中 $J$ 為全 $1$ 矩陣。
對於形如 $aI+bJ$（$m\times m$）有

$(aI+bJ)^{-1}= \frac1a I-\frac{b}{a(a+bm)}J .$

取 $a=2,\;b=1,\;m=n-1$，得

$B^{-1}= \frac12 I-\frac1{2(n+1)}J .$

(a) 每張票以 $p=0.5$ 獲得一枚硬幣，期望需要的票數為

$E[N]=\frac{100}{p}= \frac{100}{0.5}=200\text{ 張}$

平均花費

$200\times10=2000\;\text{emeralds}$

(b) 每張輸的票在三張中會額外產生 $1/3$ 枚硬幣。
每張票的期望硬幣數

$E[C]=0.5\cdot1+0.5\cdot\frac13=\frac23$

每枚硬幣的平均成本

$\frac{10}{E[C]}=\frac{10}{2/3}=15\;\text{emeralds}$

(c) 以 (b) 的期望硬幣率 $\frac23$，取得 100 枚硬幣的期望票數

$E[N]=\frac{100}{2/3}=150\text{ 張}$

平均召喚成本

$150\times10=1500\;\text{emeralds}$

(d) Simpson 方案：連續三張失敗才給硬幣，失敗計數在給幣後重置。
將一個「循環」視為從狀態 $0$（無連續失敗）返回 $0$ 的過程，可得

$$\begin{aligned} P(\text{循環長}=1)&=0.5\;(W)\\ P(\text{循環長}=2)&=0.5\cdot0.5=0.25\;(L\!W)\\ P(\text{循環長}=3\text{ 且 }W)&=0.5^3=0.125\;(LLW)\\ P(\text{循環長}=3\text{ 且 }C)&=0.5^3=0.125\;(LLL) \end{aligned}$$

每個循環均獲得 1 枚硬幣，故平均硬幣率