115 年 國立臺灣大學資料科學碩士學位學程《工程數學（D）》

核心觀念

向量空間 $F$ 必須滿足：

• 對向量加法封閉，且每個向量都有加法反元素；
• 純量乘法定義於純量與向量之間；
• 向量加法具有交換律與結合律。

題目要求判斷哪一項不是向量空間公理或其直接推論。

解題方法

逐一檢查各選項是否能由向量空間的基本性質推出。

選項分析

(a) 若 $a,b\in F$，則 $a-b\in F$。

由向量空間對加法封閉，且 $-b\in F$，可得

$$a-b=a+(-b)\in F.$$

因此此敘述正確，是向量空間性質的直接推論。

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(b) 若 $a\in F$，則 $a+a=2\cdot a$。

純量 $2$ 可寫成 $1+1$，利用純量乘法對純量加法的分配律：

$$2\cdot a=(1+1)\cdot a =1\cdot a+1\cdot a =a+a.$$

因此此敘述正確。

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(c) 若 $a,b\in F$，則 $a\cdot b\in F$。

一般向量空間只定義：

核心觀念

判斷一個集合是否為實數域 $\mathbb{R}$ 上的向量空間，必須檢查：

1. 向量加法下封閉；
2. 實數純量乘法下封閉；
3. 含有零向量；
4. 每個向量都有加法反元素；
5. 加法與純量乘法滿足向量空間公理。

本題的關鍵是：即使某集合具有加法結構，只要對任意實數純量 $c$ 不封閉，就不是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。

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解題方法

逐一檢查各選項是否能定義成 $\mathbb{R}$ 上的向量空間，特別注意純量乘法是否對所有 $c\in\mathbb{R}$ 都成立。

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選項分析

(a) 複數集合 $\mathbb{C}$

將複數視為向量，定義通常的複數加法與實數純量乘法：

$$c(a+bi)=ca+cbi,\qquad c\in\mathbb{R}.$$

若 $z_1,z_2\in\mathbb{C}$，則 $z_1+z_2\in\mathbb{C}$；若 $c\in\mathbb{R}$，則 $cz\in\mathbb{C}$。零向量為 $0$，$z$ 的加法反元素為 $-z$。

事實上，$\mathbb{C}$ 可寫成

$$\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\},$$

因此它是 $\mathbb{R}$ 上的二維向量空間，基底可取 $\{1,i\}$。

所以 (a) 可以作為 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。

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(b) 滿足 $x^2\le 0$ 的所有實數 $x$

對任意實數 $x$，皆有

$$x^2\ge 0.$$

因此 $x^2\le 0$ 只有在 $x=0$ 時成立，集合為

$$\{x\in\mathbb{R}:x^2\le 0\}=\{0\}.$$

單元素集合 $\{0\}$ 是平凡向量空間：

• 零向量是 $0$；
• $0+0=0$，加法封閉；
• 對任意 $c\in\mathbb{R}$，$c\cdot 0=0$，純量乘法封閉。

所以 (b) 可以作為 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。

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(c) 所有可微函數 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

令 $f,g$ 為可微函數，$c\in\mathbb{R}$。定義逐點運算：

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x),$$ $$(cf)(x)=c f(x).$$

因為可微函數的和仍可微，且常數倍仍可微：

$$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x),$$ $$(cf)'(x)=c f'(x).$$

零向量是零函數

$$0(x)=0,$$

而 $f$ 的加法反元素為 $-f$，其中

$$(-f)(x)=-f(x).$$

因此所有 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 的可微函數構成 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。

線性變換 $T:V\to W$ 必須滿足

$T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(\alpha v)=\alpha\,T(v)\quad(\forall u,v\in V,\;\alpha\in\mathbb{F})$

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(a) $L(x)=-x$

$$L(u+v)=-(u+v)=-u+(-v)=L(u)+L(v),\qquad L(\alpha v)=-(\alpha v)=\alpha(-v)=\alpha L(v)$$

兩條性質皆成立 → 線性。

(b) $\displaystyle\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

此為恆等映射 $I(v)=v$，顯然滿足加法與純量乘法 → 線性。

(c) 兩個線性變換 $T_1,T_2$ 的和 $T(v)=T_1(v)+T_2(v)$

核心觀念

矩陣 $M$ 的 rank（秩）定義為其 column space 的維度：

$$\operatorname{rank}(M)=\dim(\operatorname{Col}(M)).$$

因此，rank 也等於：

• column space 中基底向量的數目；
• reduced row echelon form（RREF）中的 pivot 數目；
• RREF 中 leading $1$ 的數目；
• 線性獨立行或列的最大數目。

另外，右零空間的維度是 nullity（零度），由 rank-nullity theorem 可得：

$$\operatorname{rank}(M)+\dim(\operatorname{Null}(M))=\text{欄數}.$$

解題方法

逐一檢查各選項是否符合 rank 的一般定義。特別注意：RREF 中應計算的是 pivot 的數目，而不是所有數值等於 $1$ 的元素。

選項分析

(a) The width of $M$ if $M$ is invertible.

錯誤。

若 $M$ 為可逆矩陣，則 $M$ 必為 $n\times n$ 方陣，且

$$\operatorname{rank}(M)=n.$$

此時矩陣的 width（欄數）確實等於 rank。然而，這只適用於可逆方陣，不能用來定義一般矩陣的 rank。不可逆矩陣或非方陣的 rank 並不等於其 width。

(b) The dimension of the right null space $\{v: Mv = 0\}$.

錯誤。

集合

$$\{v:Mv=0\}$$

核心觀念

本題考查對 Gilbert Strang《Introduction to Linear Algebra》內容編排的熟悉程度，並非要求實際計算矩陣。該書約 600 頁，前半部先介紹向量、線性方程組與矩陣基本運算，再進入正定矩陣、廣義逆矩陣與奇異值分解等進階主題。

第 58 頁位於矩陣基本運算的早期章節，主題是 矩陣乘法（Matrix multiplication）。

矩陣乘法的定義為：若

$$A\in\mathbb{R}^{m\times n},\qquad B\in\mathbb{R}^{n\times p},$$

則乘積 $AB$ 存在，且

$$AB\in\mathbb{R}^{m\times p},$$

其第 $i,j$ 個元素為

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$$

矩陣乘法的核心條件是：前一個矩陣的欄數必須等於後一個矩陣的列數。

解題方法

依照該書的內容順序判斷：

1. 矩陣乘法屬於線性代數的基礎運算，通常在全書前段介紹。
2. Pseudo inverse、positive semi-definite、singular value decomposition 都屬於後續的進階矩陣主題。
3. 因此第 58 頁所對應的主題應是矩陣乘法。

選項分析

(a) Pseudo inverse

Pseudo inverse，即「廣義逆矩陣」，通常記為 $A^+$，用於矩陣不可逆或非方陣的情形，並與最小平方解及奇異值分解密切相關。這是較後段的進階主題，不是第 58 頁的內容。

核心觀念

矩陣 $A$ 的四個基本子空間為：

1. 列空間（row space）$\operatorname{Row}(A)$
2. 零空間（null space）$\operatorname{N}(A)$
3. 行空間（column space）$\operatorname{Col}(A)$
4. 左零空間（left null space）$\operatorname{N}(A^T)$

其中「rank space」不是線性代數中四個基本子空間的正式名稱。矩陣的 rank 是秩，代表列空間或行空間的維度，並不是一個獨立的基本子空間。

選項分析

• (a) row space：正確。
  列空間由矩陣 $A$ 的所有列向量所張成，是四個基本子空間之一。

• (b) null space：正確。
  零空間定義為
  $\operatorname{N}(A)=\{x:Ax=0\},$
  也是四個基本子空間之一。

核心觀念

1. 增廣矩陣（Augmented Matrix）的定義
   對於包含 $m$ 個方程式、$n$ 個未知數的線性方程組 $Ax = b$：

   • 係數矩陣 $A$ 的維度為 $m \times n$（其中 $m \ge 1, n \ge 1$）。
   • 未知數向量 $x$ 為 $n \times 1$ 的行向量（column vector）。
   • 常數向量 $b$ 為 $m \times 1$ 的行向量（column vector）。
   • 增廣矩陣表示為 $[A \mid b]$，其維度為 $m \times (n+1)$，是將向量 $b$ 作為最後一行（column）附加於矩陣 $A$ 右側所構成。

2. 線性系統解的判定（Rouché–Capelli 定理）
   透過對增廣矩陣 $[A \mid b]$ 進行基本列運算（Elementary Row Operations）化簡為列梯形矩陣（Row Echelon Form），可比較 $\text{rank}(A)$ 與 $\text{rank}([A \mid b])$ 來判定解的結構：

   • 無解（Inconsistent）：$\text{rank}(A) < \text{rank}([A \mid b])$（增廣矩陣最後一行的常數行出現軸元 pivot）。
   • 恰有一解（Unique Solution）：$\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid b]) = n$（無自由變數）。
   • 無限多解（Infinitely Many Solutions）：$\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid b]) < n$（存在 $n - \text{rank}(A)$ 個自由變數）。

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解題方法

本題要求選出關於增廣矩陣 $[A \mid b]$ 的「錯誤敘述」。
解題切入點在於：

1. 檢驗矩陣與向量的基本維度定義（矩陣行數 $n$ 與向量 $b$ 的形式）。

核心觀念

$3\times 3$ 矩陣共有

$$3\times 3=9$$

個位置。每個位置都可以獨立填入 $0$ 或 $1$，因此每個位置有 $2$ 種選擇。

根據乘法原理，矩陣總數為

$$2^9=512.$$

解題方法

將矩陣視為 $9$ 個獨立位置：

$$\begin{pmatrix} \Box & \Box & \Box\\ \Box & \Box & \Box\\ \Box & \Box & \Box \end{pmatrix}.$$

每個 $\Box$ 有 $2$ 種填法，因此

$$\underbrace{2\times 2\times\cdots\times 2}_{9\text{ 個}} =2^9=512.$$

$512$ 約等於 $500$，所以選擇 (f)。

選項分析

核心觀念

本題考查行列式的拉普拉斯展開（按某一行或某一列展開）：

$$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}, \qquad C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},$$

其中 $M_{ij}$ 是刪去第 $i$ 列、第 $j$ 欄後所得的子矩陣行列式。

題目中的第 $2$ 欄只有一個非零元素，第 $5$ 欄在刪除後也只有一個非零元素，因此適合連續使用降階展開。

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解題方法

原矩陣記為 $A$：

$$A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 55 & 4 & 0 \\ 7 & 0 & 51 & 90 & 0 \\ 67 & 0 & 57 & 85 & 19 \\ 32 & 84 & 72 & 34 & 11 \\ 0 & 0 & 63 & 92 & 0 \end{pmatrix}.$$

沿第 $2$ 欄展開。第 $2$ 欄只有第 $4$ 列的元素 $84$ 非零，因此

$$\det(A) = (-1)^{4+2}84 \begin{vmatrix} 0 & 55 & 4 & 0 \\ 7 & 51 & 90 & 0 \\ 67 & 57 & 85 & 19 \\ 0 & 63 & 92 & 0 \end{vmatrix}.$$

因為 $(-1)^6=1$，所以

$$\det(A) = 84 \begin{vmatrix} 0 & 55 & 4 & 0 \\ 7 & 51 & 90 & 0 \\ 67 & 57 & 85 & 19 \\ 0 & 63 & 92 & 0 \end{vmatrix}.$$

對上述 $4\times4$ 行列式沿第 $4$ 欄展開。第 $4$ 欄只有第 $3$ 列的元素 $19$ 非零：

$$\begin{vmatrix} 0 & 55 & 4 & 0 \\ 7 & 51 & 90 & 0 \\ 67 & 57 & 85 & 19 \\ 0 & 63 & 92 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{3+4}19 \begin{vmatrix} 0 & 55 & 4 \\ 7 & 51 & 90 \\ 0 & 63 & 92 \end{vmatrix}.$$

由於 $(-1)^7=-1$，得

$$= -19 \begin{vmatrix} 0 & 55 & 4 \\ 7 & 51 & 90 \\ 0 & 63 & 92 \end{vmatrix}.$$

接著沿第 $1$ 欄展開，只有第 $2$ 列的元素 $7$ 非零：

$$\begin{vmatrix} 0 & 55 & 4 \\ 7 & 51 & 90 \\ 0 & 63 & 92 \end{vmatrix} = (-1)^{2+1}7 \begin{vmatrix} 55 & 4 \\ 63 & 92 \end{vmatrix}.$$

因此

$$= -7(55\cdot92-4\cdot63).$$

計算 $2\times2$ 行列式：

$$55\cdot92-4\cdot63 = 5060-252 = 4808.$$

所以

核心觀念

本題考查 Gershgorin 圓盤定理。若以第 $j$ 欄計算，

$$p_j=\sum_{i\ne j}|a_{ij}|,$$

則第 $j$ 個 Gershgorin 圓盤為

$$G_j=\{z\in\mathbb C:|z-a_{jj}|<p_j\}.$$

Gershgorin 圓盤定理指出：矩陣的每一個特徵值，至少會落在一個 Gershgorin 圓盤內。因此，若某個數值落在所有圓盤之外，便確定不是特徵值。

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解題方法

矩陣為

$$A= \begin{pmatrix} -10&-1&-3&2\\ 3&0&-3&0\\ -1&3&20&0\\ 0&3&0&-40 \end{pmatrix}.$$

依題目定義計算各欄的 $p_j$：

$$p_1=|3|+|-1|+|0|=4,$$ $$p_2=|-1|+|3|+|3|=7,$$ $$p_3=|-3|+|-3|+|0|=6,$$ $$p_4=|2|+|0|+|0|=2.$$

所以四個 Gershgorin 圓盤為

$$G_1:\ |z+10|<4,$$ $$G_2:\ |z|<7,$$ $$G_3:\ |z-20|<6,$$ $$G_4:\ |z+40|<2.$$

由於所有選項皆為實數，可直接比較其與各圓心的距離：

• $G_1$ 覆蓋實軸區間 $(-14,-6)$；
• $G_2$ 覆蓋實軸區間 $(-7,7)$；
• $G_3$ 覆蓋實軸區間 $(14,26)$；
• $G_4$ 覆蓋實軸區間 $(-42,-38)$。

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選項分析

(a) $-40.0001427912351045$

其與 $-40$ 的距離為

$$|-40.0001427912351045+40| =0.0001427912351045<2.$$

因此落在 $G_4$ 內，符合特徵值的位置。

(a) 正確為特徵值。

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(b) $-11.1008990913169226$

其與 $-10$ 的距離為

解題重點

1. 令 $u$ 為列向量，依題目迭代

$v = uT,\qquad u = \frac{v}{v_{1}}$

其中 $v_{1}$ 為 $v$ 的第一個分量。
2. 若 $T$ 的支配特徵值為 $\lambda_{\max }$，則在每一步正規化後，$v_{1}$ 會收斂至 $\lambda_{\max }$。
3. 矩陣

$$T =2i\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 1&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}=2iA$$

因此只要找出 $A$ 的最大實根 $\alpha$，則

$\lambda_{\max}=2i\alpha .$

4. 計算 $A$ 的特徵多項式（展開 $\det(A-\alpha I)$）得到

$p(\alpha)=\alpha^{4}-\alpha^{3}-\alpha^{2}-\alpha-1=0 .$

以牛頓法求根，收斂至

$\alpha = 1.9256197548\; (10^{-12}\text{ 的相對誤差})$

因而

$\lambda_{\max}=2i\alpha = 3.8512395096585\,i .$

核心觀念

正交矩陣 $O$ 滿足

$$O^T O=I.$$

題目考察的是正交矩陣的「一階擾動」。若矩陣在微小變化下仍維持正交性至一階，則一階變化量必須滿足

$$K^T+K=0,$$

這正是 $K$ 為斜對稱矩陣（skew-symmetric matrix）的條件。

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解題方法

將題目中的矩陣因式分解：

$$O+\epsilon OK=O(I+\epsilon K).$$

因此

$$\begin{aligned} (O+\epsilon OK)^T(O+\epsilon OK) &=(O(I+\epsilon K))^T O(I+\epsilon K)\\ &=(I+\epsilon K)^T O^T O(I+\epsilon K). \end{aligned}$$

由於 $O^T O=I$，可得

$$\begin{aligned} (O+\epsilon OK)^T(O+\epsilon OK) &=(I+\epsilon K)^T(I+\epsilon K)\\ &=(I+\epsilon K^T)(I+\epsilon K)\\ &=I+\epsilon K+\epsilon K^T+\epsilon^2K^TK\\ &=I+\epsilon(K^T+K)+\epsilon^2K^TK. \end{aligned}$$

所以

$$(O+\epsilon OK)^T(O+\epsilon OK)-I = \epsilon(K^T+K)+\epsilon^2K^TK.$$

題目要求沒有 $\epsilon^1$ 項，因此必須有

$$K^T+K=0.$$

等價於

$$K^T=-K.$$

故 $K$ 必須是斜對稱矩陣。

此時

$$(O+\epsilon OK)^T(O+\epsilon OK)-I = \epsilon^2K^TK,$$

其每個元素確實都是 $\epsilon^2$ 的倍數，符合題目要求。

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選項分析

(a) $K$ is orthogonal

錯誤。正交矩陣滿足 $K^TK=I$，但題目要求的是

$$K^T=-K.$$

兩者是不同條件。例如

$$\begin{aligned} &\text{將開關與燈泡由左至右分別編號：} \\ &\text{開關：} a, b, c, d, e \\ &\text{燈泡：} L_1, L_2, L_3, L_4, L_5 \end{aligned}$$

1. 初始狀態與連接關係

根據圖中線路，各開關控制的燈泡集合如下：

• 開關 $a$ 控制：$\{L_1, L_2\}$
• 開關 $b$ 控制：$\{L_1, L_3\}$
• 開關 $c$ 控制：$\{L_2, L_3, L_4\}$
• 開關 $d$ 控制：$\{L_3, L_5\}$
• 開關 $e$ 控制：$\{L_4, L_5\}$

定義 $x_i \in \{0, 1\}$ 表示開關 $i$ 是否被按下（$1$ 表示按下，$0$ 表示不按下）。
燈泡的初始狀態為：

$$(L_1, L_2, L_3, L_4, L_5) = (0, 1, 0, 0, 1) \quad (\text{其中 0 代表 off，1 代表 On})$$

2. 建立二元一次方程組

若要使所有燈泡最終皆為關閉狀態（$0$），在模 2 餘數系統（$\mathbb{F}_2$）下須滿足：

核心觀念

對二元線性區塊碼而言，生成矩陣 $G$ 的所有 $3\times 3$ 子矩陣，其行列式若為奇數，等價於在模 $2$ 下行列式為 $1$。題目所稱的 MDS 條件為：

$$\det(G_{i,j,k})\equiv 1\pmod 2$$

其中 $G_{i,j,k}$ 表示取第 $i,j,k$ 欄所形成的 $3\times 3$ 矩陣。

因此，只要三個欄向量在 $\mathbb{F}_2$ 上線性相關，其行列式即為偶數，該三欄便會產生偶數 minor。

將各欄記為

$$\begin{aligned} c_1&=(1,0,0)^T, & c_2&=(0,1,0)^T, & c_3&=(0,0,1)^T,\\ c_4&=(1,1,0)^T, & c_5&=(1,0,1)^T, & c_6&=(0,1,1)^T. \end{aligned}$$

解題方法

直接觀察欄向量間的二元關係：

$$c_4=c_1+c_2,$$

因此

$$c_1+c_2+c_4=0,$$

三欄 $c_1,c_2,c_4$ 線性相關，所以其行列式為 $0$，是偶數。

同理，

$$c_5=c_1+c_3 \quad\Longrightarrow\quad c_1+c_3+c_5=0,$$

故 $c_1,c_3,c_5$ 產生偶數 minor。

此外，

$$c_6=c_2+c_3 \quad\Longrightarrow\quad c_2+c_3+c_6=0,$$

故 $c_2,c_3,c_6$ 也產生偶數 minor。

最後，

$$c_4+c_5+c_6 =(1,1,0)+(1,0,1)+(0,1,1) =(0,0,0)\pmod 2,$$

所以 $c_4,c_5,c_6$ 亦線性相關。其整數行列式為

$$\det \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{pmatrix} =-2,$$

同樣是偶數。

選項分析

在將卡片屬性編碼後，可將此遊戲的 27 張卡片對應至體 $\mathbb{F}_3$ 上的三維仿射空間 $AG(3, 3) \cong \mathbb{F}_3^3$ 中的點。

在此空間中，三張卡片 $x, y, z$ 組成一個 triple，若且唯若它們在仿射空間中三點共線，即滿足：
$x + y + z = 0 \pmod 3$

根據定義，子集 $S \subseteq \mathbb{F}_3^3$ 稱為 triple-fruitful，代表若 $x, y \in S$（且 $x \neq y$），則唯一與其共線的第三點 $z = -x-y$ 亦屬於 $S$。這表示 $S$ 在幾何上「包含通過其中任意兩點的整條直線」。

核心觀念

本題考查三個觀念：

1. Schur 分解：任意複數方陣皆可寫成
   $S=ULU^*,$
   其中 $U$ 為 unitary matrix，$L$ 為三角矩陣。本題採用下三角形式。

2. 實對稱矩陣也是 Hermitian 矩陣：因為 $S$ 為實矩陣且對稱，
   $S^T=S,\qquad S^*=S^T=S.$

3. 三角矩陣的對角線元素就是特徵值：三角矩陣的特徵多項式為
   $\det(\lambda I-L)=\prod_{i=1}^n(\lambda-l_{ii}),$
   因此其對角線元素即為全部特徵值。

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解題方法

先對 $S$ 作 Schur 分解：
$S=ULU^*,$
其中 $L$ 為下三角矩陣、$U$ 為 unitary matrix。兩側左乘 $U^*$、右乘 $U$，得到
$L=U^*SU.$

由於 $S$ 為實對稱矩陣，所以 $S=S^*$。因此
$L=U^*SU=U^*S^*U.$

另一方面，

$$(U^*SU)^* =U^*S^*U,$$

故
$L=(U^*SU)^*=L^*.$

因為 $L$ 原本是下三角矩陣，而 $L^*$ 是其共軛轉置，必為上三角矩陣。又由 $L=L^*$ 可知 $L$ 同時是下三角與上三角矩陣，因此 $L$ 必為對角矩陣。

最後，$S=ULU^*$ 表示 $S$ 與 $L$ unitary 相似，兩者具有相同特徵值；而 $L$ 的對角線元素就是其特徵值。又因為
$L=L^*,$
所以每個對角元素滿足
$l_{ii}=\overline{l_{ii}},$
故 $l_{ii}$ 為實數。因此 $S$ 的所有特徵值皆為實數。

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核心觀念

本題考查數值線性代數（Numerical Linear Algebra）中的部分樞紐高斯消去法（Gaussian Elimination with Partial Pivoting）。

• 高斯消去法（Gaussian Elimination）：透過列運算（Row Operations）將矩陣化簡為上三角矩陣（Upper Triangular Matrix）。
• 部分樞紐（Partial Pivoting）：在每一步消去前，於目前考慮的樞紐行（Pivot Column）中，尋找從目前列至底部的所有元素中「絕對值最大者」，將該列交換（Row Swap）至目前的主列位置作為樞紐列，藉此降低浮點數運算時的捨入誤差（Rounding Error），避免除以極小數值產生數值不穩定。

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解題方法

給定題目中的 4 條列向量，構成 $4 \times 4$ 矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} -3 & 9 & -2 & 4 \\ 3 & -3 & 6 & 2 \\ 6 & 2 & 4 & 2 \\ -3 & 1 & 6 & 4 \end{bmatrix}$$

題目給予四個列的代號分別為：

• (a) $\begin{bmatrix} -3 & 9 & -2 & 4 \end{bmatrix}$
• (b) $\begin{bmatrix} 3 & -3 & 6 & 2 \end{bmatrix}$
• (c) $\begin{bmatrix} 6 & 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}$
• (d) $\begin{bmatrix} -3 & 1 & 6 & 4 \end{bmatrix}$

要求依據 Partial Pivoting 依序選取樞紐列的先後順序進行排序。

步驟 1：選擇第 1 個樞紐列（第 1 行消去）

觀察第 1 行（Column 1）的所有元素：

• 列 (a)：$|-3| = 3$
• 列 (b)：$|3| = 3$
• 列 (c)：$|6| = 6$
• 列 (d)：$|-3| = 3$

第一行中絕對值最大者為列 (c) 的 $6$。因此第 1 個被選為樞紐列的是 (c)。
將列 (c) 交換至第 1 列，並使用列 (c) 作為樞紐對其餘列進行消去：

• 對列 (a)：$R_a \leftarrow R_a - \left(\frac{-3}{6}\right) R_c = R_a + 0.5 R_c$ $$\begin{bmatrix} -3 & 9 & -2 & 4 \end{bmatrix} + 0.5 \begin{bmatrix} 6 & 2 & 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 10 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$
• 對列 (b)：$R_b \leftarrow R_b - \left(\frac{3}{6}\right) R_c = R_b - 0.5 R_c$ $$\begin{bmatrix} 3 & -3 & 6 & 2 \end{bmatrix} - 0.5 \begin{bmatrix} 6 & 2 & 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$
• 對列 (d)：$R_d \leftarrow R_d - \left(\frac{-3}{6}\right) R_c = R_d + 0.5 R_c$ $$\begin{bmatrix} -3 & 1 & 6 & 4 \end{bmatrix} + 0.5 \begin{bmatrix} 6 & 2 & 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 8 & 5 \end{bmatrix}$$

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步驟 2：選擇第 2 個樞紐列（第 2 行消去）

排除已固定的列 (c)，觀察剩餘列 (a)、(b)、(d) 在第 2 行（Column 2）的數值：

• 列 (a)：$|10| = 10$
• 列 (b)：$|-4| = 4$
• 列 (d)：$|2| = 2$