111 年 國立中正大學地球與環境科學系地震研究所《工程數學》

核心觀念

本題是一階線性微分方程，也可視為可分離變數方程：

$$y'=-2xy \quad\Longleftrightarrow\quad y'+2xy=0。$$

可使用積分因子法。對標準形式 $y'+P(x)y=Q(x)$，積分因子為

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}。$$

本題 $P(x)=2x$，因此

$$\mu(x)=e^{\int 2x\,dx}=e^{x^2}。$$

解題方法

原方程為

$$y'+2xy=0。$$

兩邊乘以積分因子 $e^{x^2}$：

$$e^{x^2}y'+2xe^{x^2}y=0。$$

左側可合併為乘積微分：

$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}y\right)=0。$$

因此積分得

$$e^{x^2}y=C，$$

其中 $C$ 為常數。解出 $y$：

$$y=Ce^{-x^2}。$$

代入初始條件 $y(0)=2$：

$$2=Ce^0=C，$$

核心觀念

本題是二階常係數齊次線性微分方程：

$$y''+y'-2y=0.$$

對此類方程，設解為 $y=e^{rx}$，即可得到特徵方程。若特徵方程有兩個相異根 $r_1,r_2$，通解為

$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.$$

再利用初始條件 $y(0)$ 與 $y'(0)$ 求出常數 $C_1,C_2$。

解題方法

設

$$y=e^{rx}.$$

則

$$y'=re^{rx},\qquad y''=r^2e^{rx}.$$

代入原方程：

$$r^2e^{rx}+re^{rx}-2e^{rx}=0.$$

因為 $e^{rx}\neq 0$，可得特徵方程

$$r^2+r-2=0.$$

因式分解：

$$r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0,$$

因此兩個相異特徵根為

$$r_1=1,\qquad r_2=-2.$$

所以微分方程的通解為

$$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}.$$

對通解微分：

$(e^{x+y}+ye^{y})dx+(xe^{y}-1)dy=0,\qquad y(0)=-1$

1. 求積分因子

$M=e^{x+y}+ye^{y},\qquad N=xe^{y}-1$

$$\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}-(e^{x+y}+e^{y}+ye^{y})=-\bigl(e^{x+y}+ye^{y}\bigr)$$ $$\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Big/ M = -1$$

此比值僅與 $y$ 無關（為常數），故積分因子只需是 $y$ 的函數：

$\mu(y)=\exp\!\left(\int -1\,dy\right)=e^{-y}$

2. 乘上積分因子

$$e^{-y}(e^{x+y}+ye^{y})dx+e^{-y}(xe^{y}-1)dy = (e^{x}+y)\,dx+(x-e^{-y})\,dy=0$$

此時

$M_{1}=e^{x}+y,\qquad N_{1}=x-e^{-y}$

核心觀念

本題是二階常係數線性非齊次微分方程：

$$y''+\frac94y=-10e^{-3x/2}.$$

解法分為：

1. 先求齊次方程的通解。
2. 再以待定係數法求特解。
3. 代入初始條件 $y(0)=2$、$y'(0)=0$ 求常數。

齊次方程的特徵根若為純虛根，通解會以正弦、餘弦表示。

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解題方法

一、求齊次解

先考慮對應的齊次方程：

$$y''+\frac94y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2+\frac94=0,$$

因此

$$r=\pm \frac32 i.$$

所以齊次解為

$$y_h=C_1\cos\frac{3x}{2}+C_2\sin\frac{3x}{2}.$$

二、求特解

右側非齊次項為 $-10e^{-3x/2}$，設特解為

$$y_p=Ae^{-3x/2}.$$

微分得

$$y_p'=-\frac32Ae^{-3x/2},$$ $$y_p''=\frac94Ae^{-3x/2}.$$

代回原方程：

$$\frac94Ae^{-3x/2}+\frac94Ae^{-3x/2} =-10e^{-3x/2}.$$

整理為

$$\frac92Ae^{-3x/2}=-10e^{-3x/2}.$$

消去 $e^{-3x/2}$，得到

$$\frac92A=-10, \qquad A=-\frac{20}{9}.$$

故特解為

$$y_p=-\frac{20}{9}e^{-3x/2}.$$

由於 $e^{-3x/2}$ 並非齊次解中的正弦或餘弦項，不需要額外乘上 $x$。

三、寫出一般解

$$y=C_1\cos\frac{3x}{2} +C_2\sin\frac{3x}{2} -\frac{20}{9}e^{-3x/2}.$$

四、代入初始條件

核心觀念

特徵值 $\lambda$ 與特徵向量 $\mathbf v\neq \mathbf 0$ 的定義為

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v.$$

求特徵值時，使用特徵方程式

$$\det(A-\lambda I)=0.$$

本題的矩陣為上三角矩陣，因此特徵值也可直接由主對角線元素得到，即 $4$ 與 $3$。

解題方法

設

$$A= \begin{bmatrix} 4 & -2\\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

特徵方程式為

$$\det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} 4-\lambda & -2\\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix}.$$

因為矩陣為三角矩陣，其行列式為對角線元素乘積：

$$\det(A-\lambda I) =(4-\lambda)(3-\lambda).$$

令行列式等於零：

$$(4-\lambda)(3-\lambda)=0,$$

因此特徵值為

$$\lambda_1=4,\qquad \lambda_2=3.$$

當 $\lambda=4$ 時的特徵向量

解

$$(A-4I)\mathbf v=\mathbf 0.$$

其中

$$A-4I= \begin{bmatrix} 0 & -2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}.$$

設 $\mathbf v=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$，則

$$\begin{bmatrix} 0 & -2\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.$$

由方程式得

$$-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.$$

$x$ 可取任意非零值，因此

$$\mathbf v = \begin{bmatrix}x\\0\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}.$$

故 $\lambda=4$ 的特徵向量為

$$\mathbf v_1=t \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad t\neq 0.$$

當 $\lambda=3$ 時的特徵向量

解

核心觀念

本題考查二階常係數齊次線性微分方程組

$$\mathbf y'(t)=A\mathbf y(t),\qquad A= \begin{bmatrix} -3&1\\ 1&-3 \end{bmatrix}.$$

對此類系統，可利用矩陣的特徵值與特徵向量求解。若 $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$，則

$$\mathbf y(t)=e^{\lambda t}\mathbf v$$

為一組解；當矩陣具有兩個線性獨立的特徵向量時，通解為各組解的線性組合。

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解題方法一：特徵值與特徵向量

令

$$\mathbf y(t)=e^{\lambda t}\mathbf v,$$

代入原方程得

$$\lambda e^{\lambda t}\mathbf v =Ae^{\lambda t}\mathbf v.$$

由於 $e^{\lambda t}\neq 0$，所以必須滿足

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v.$$

特徵方程為

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} -3-\lambda&1\\ 1&-3-\lambda \end{vmatrix} =0.$$

因此

$$(-3-\lambda)^2-1=0,$$ $$(\lambda+3)^2-1=0,$$ $$(\lambda+2)(\lambda+4)=0.$$

故兩個特徵值為

$$\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=-4.$$

當 $\lambda_1=-2$ 時，

$$(A+2I)\mathbf v_1= \begin{bmatrix} -1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} \mathbf v_1=0,$$

可取特徵向量

$$\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}.$$

當 $\lambda_2=-4$ 時，

$$(A+4I)\mathbf v_2= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix} \mathbf v_2=0,$$

可取特徵向量

$$\mathbf v_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}.$$

所以兩組基本解為

$$\mathbf y^{(1)}(t) =e^{-2t} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf y^{(2)}(t) =e^{-4t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}.$$

由線性齊次系統的疊加原理，通解為

$$\mathbf y(t) =C_1e^{-2t} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} + C_2e^{-4t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix},$$

其中 $C_1,C_2$ 為任意常數。因此

$$\boxed{ \begin{aligned} y_1(t)&=C_1e^{-2t}+C_2e^{-4t},\\ y_2(t)&=C_1e^{-2t}-C_2e^{-4t}. \end{aligned}}$$

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解題方法二：和與差變數

核心觀念

本題是 Legendre 微分方程：

$$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0.$$

比較題目中的係數可得

$$n(n+1)=2 \quad\Longrightarrow\quad n=1\ \text{或}\ n=-2.$$

兩者給出同一個微分方程，因此取標準階數 $n=1$。本題未給初始條件或邊界條件，要求的是通解。

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解題方法

先觀察 $n=1$ 的 Legendre 多項式：

$$P_1(x)=x.$$

令

$$y_1=x,\qquad y_1'=1,\qquad y_1''=0,$$

代回原方程：

$$(1-x^2)(0)-2x(1)+2x=0.$$

因此第一個解為

$$y_1=x.$$

將原方程除以 $1-x^2$，寫成標準形式：

$$y''-\frac{2x}{1-x^2}y' +\frac{2}{1-x^2}y=0.$$

對於

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

已知一個解 $y_1$ 時，降階公式為

$$y_2 = y_1\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx.$$

本題中

$$p(x)=-\frac{2x}{1-x^2},$$

所以

$$\int p(x)\,dx = \ln|1-x^2|.$$

因此在常數倍意義下，

$$e^{-\int p(x)\,dx} = \frac{1}{1-x^2}.$$

代入 $y_1=x$：

$$\begin{aligned} y_2 &= x\int \frac{1}{x^2(1-x^2)}\,dx\\ &= x\int\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}\right)\,dx. \end{aligned}$$

其中使用部分分式分解：

$$\frac{1}{x^2(1-x^2)} = \frac{1}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}.$$

繼續積分：

$$\int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac1x,$$

且

核心觀念

本題是含有單位脈衝函數 $\delta(t-1)$ 的二階線性常微分方程，重點包括：

1. 齊次方程的特徵根。
2. 脈衝函數的拉普拉斯轉換：
   $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}.$
3. 第二平移定理：
   $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a),$
   其中 $u(t-a)$ 為單位階梯函數。
4. 脈衝作用下的跳躍條件：$y$ 保持連續，但 $y'$ 會產生跳躍。

題目未給初始條件，因此無法決定唯一解。以下先求一般解，再列出工程數學中最常用的零初始條件因果解。

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解題方法一：拉普拉斯轉換

先考慮零初始條件

$$y(0)=0,\qquad y'(0)=0.$$

對方程式

$$y''+3y'+2y=\delta(t-1)$$

取拉普拉斯轉換：

$$\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{\delta(t-1)\}.$$

由零初始條件，

$$s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=e^{-s}.$$

因此

$$Y(s)=\frac{e^{-s}}{s^2+3s+2} =\frac{e^{-s}}{(s+1)(s+2)}.$$

部分分式分解：

$$\frac{1}{(s+1)(s+2)} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.$$

所以

$$Y(s) =e^{-s}\left(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}\right).$$

先求未平移部分的反拉普拉斯轉換：

$$\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}\right\} =e^{-t}-e^{-2t}.$$

套用第二平移定理，得到

$$\boxed{ y(t)=u(t-1) \left[e^{-(t-1)}-e^{-2(t-1)}\right] }.$$

寫成分段形式為

核心觀念

列最簡梯形形式（reduced row echelon form，RREF）須符合：每個非零列的首個非零元素為 $1$；每個首 $1$ 所在欄的其他元素皆為 $0$；首 $1$ 由上而下向右移；全零列若存在則置於最下方。

解題方法

對矩陣施行初等列運算，逐欄建立主元，並將每個主元欄化成只有一個 $1$、其餘為 $0$。先交換前兩列，再消去第一欄：

$$\begin{bmatrix} 3&0&1&1\\ 1&3&-9&10\\ 4&-4&6&1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 3&0&1&1\\ 4&-4&6&1 \end{bmatrix} \xrightarrow[\;R_3\leftarrow R_3-4R_1\;]{R_2\leftarrow R_2-3R_1} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&-9&28&-29\\ 0&-16&42&-39 \end{bmatrix}.$$

第二欄以第二列作為主元列。先將第二列除以 $-9$，再消去第三列的第二欄：

$$\begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&-9&28&-29\\ 0&-16&42&-39 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2\leftarrow-\frac{1}{9}R_2} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&1&-\frac{28}{9}&\frac{29}{9}\\ 0&-16&42&-39 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3+16R_2} \begin{bmatrix} 1&3&-9&10\\ 0&1&-\frac{28}{9}&\frac{29}{9}\\ 0&0&-\frac{70}{9}&\frac{113}{9} \end{bmatrix}.$$

將第三列主元化為 $1$：

核心觀念

本題考查週期為 $2L = 2\pi$（即半週期 $L = \pi$）之週期函數的傅立葉級數（Fourier Series）展開及其傅立葉係數（Fourier Coefficients）計算，特別涉及奇函數（Odd Function）的對稱性性質。

1. 傅立葉級數標準形式：
   週期為 $2\pi$ 的函數 $f(x)$，其傅立葉級數表示為：

   $$f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$

   其中尤拉公式（Euler formulas）給出的傅立葉係數定義為：

   $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

   (註：若部分教材定義常數項為 $\frac{a_0}{2}$，則其 $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$。)

2. 奇偶對稱性（Parity Property）：

   • 若 $f(x)$ 為奇函數（即 $f(-x) = -f(x)$），則：
     • $f(x)\cos(nx)$ 為奇函數，在對稱區間 $[-\pi, \pi]$ 的積分為零，故 $a_0 = 0$ 且 $a_n = 0$。
     • $f(x)\sin(nx)$ 為偶函數，其傅立葉正弦係數可簡化為半區間積分： $$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$

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解題方法

步驟一：判斷函數奇偶性

給定週期為 $2\pi$ 的函數：

$$f(x) = \begin{cases} -k, & -\pi < x < 0 \\ k, & 0 < x < \pi \end{cases}$$

對於任意 $x \in (0, \pi)$，$-x \in (-\pi, 0)$，可得：

$$f(-x) = -k = -f(x)$$

因此，$f(x)$ 是一個奇函數（Odd Function）。

步驟二：求餘弦係數 $a_0$ 與 $a_n$

因為 $f(x)$ 為奇函數：

1. 直流分量： $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = 0$$
2. 餘弦係數： $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$