111 年 國立中正大學地球與環境科學系地震研究所《普通物理學》

本題考查簡諧運動 (Simple Harmonic Motion, SHM) 的基本概念,包含位移、速度、加速度的定義以及週期與相位。

給定的簡諧運動位移函數為 $x(t) = 5\cos(2t + \frac{\pi}{6})$ 公分。
其一般形式為 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$, 其中 $A$ 為振幅, $\omega$ 為角頻率, $\phi$ 為初始相位。
由題目給定的函數可得:
振幅 $A = 5$ 公分。
角頻率 $\omega = 2$ rad/s。
初始相位 $\phi = \frac{\pi}{6}$ rad。

(1) 物體運動中的最大速度。
速度 $v(t)$ 是位移 $x(t)$ 對時間 $t$ 的一階微分:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [5\cos(2t + \frac{\pi}{6})]$
$v(t) = 5 \cdot (-\sin(2t + \frac{\pi}{6})) \cdot 2$
$v(t) = -10\sin(2t + \frac{\pi}{6})$ 公分/秒。

速度的最大值 $|v|_{max}$ 發生在 $\sin(2t + \frac{\pi}{6}) = \pm 1$ 時。
$|v|_{max} = |-10 \cdot (\pm 1)| = 10$ 公分/秒。
或者, 我們知道簡諧運動的速度振幅為 $A\omega$。
$|v|_{max} = A\omega = 5 \text{ cm} \cdot 2 \text{ rad/s} = 10 \text{ cm/s}$。

【答案】 10 公分/秒。

(2) 出發點的位置,速度與加速度。
出發點是指時間 $t=0$ 時的狀態。
位置 $x(0) = 5\cos(2(0) + \frac{\pi}{6}) = 5\cos(\frac{\pi}{6}) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ 公分。
速度 $v(0) = -10\sin(2(0) + \frac{\pi}{6}) = -10\sin(\frac{\pi}{6}) = -10 \cdot \frac{1}{2} = -5$ 公分/秒。

加速度 $a(t)$ 是速度 $v(t)$ 對時間 $t$ 的一階微分, 或是位移 $x(t)$ 對時間 $t$ 的二階微分:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} [-10\sin(2t + \frac{\pi}{6})]$
$a(t) = -10 \cdot (\cos(2t + \frac{\pi}{6})) \cdot 2$
$a(t) = -20\cos(2t + \frac{\pi}{6})$ 公分/秒$^2$。

核心觀念

人造衛星做半徑為 $R$ 的圓周運動，所需向心力由地球萬有引力提供：

• 萬有引力：

$$F_g=\frac{GMm}{R^2}$$

• 向心力：

$$F_c=\frac{mv^2}{R}$$

其中 $m$ 為人造衛星質量。圓周運動的基本關係為：

$$v=R\omega$$ $$T=\frac{2\pi}{\omega}$$

單位時間掃過的面積則為扇形面積對時間的變化率：

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}R^2\omega$$

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解題方法與推導

(1) 人造衛星的切線速率

圓軌道運動時，萬有引力等於向心力：

$$\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}$$

約去衛星質量 $m$，得：

$$\frac{GM}{R^2}=\frac{v^2}{R}$$

因此：

$$v^2=\frac{GM}{R}$$

所以切線速率為：

$$\boxed{v=\sqrt{\frac{GM}{R}}}$$

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(2) 人造衛星的角速率

切線速率與角速率的關係為：

$$v=R\omega$$

因此：

$$\omega=\frac{v}{R}$$

代入 $v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$：

$$\omega =\frac{1}{R}\sqrt{\frac{GM}{R}} =\sqrt{\frac{GM}{R^3}}$$

故角速率為：

$$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{GM}{R^3}}}$$

單位為 $\mathrm{rad/s}$。

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(3) 人造衛星的旋轉週期

旋轉一周所走的路徑長度為 $2\pi R$，因此：

$$T=\frac{2\pi R}{v}$$

代入切線速率：

$$T=\frac{2\pi R}{\sqrt{GM/R}}$$

整理得：

$$T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$

所以旋轉週期為：

$$\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}}$$

也可由 $T=2\pi/\omega$ 直接得到相同結果。

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(4) 單位時間內掃過的面積

衛星與地心的連線在時間 $\Delta t$ 內轉過角度：

本題考查動能定理以及能量守恆的概念,特別是如何將煞車過程中產生的熱能與系統的動能變化聯繫起來。

已知金龜車的重量 $W = 6000$ N。
重力加速度 $g = 10 m/s^2$。
金龜車的質量 $m = \frac{W}{g} = \frac{6000 \text{ N}}{10 \text{ m/s}^2} = 600 \text{ kg}$。

初始速度 $v_i = 12$ m/s。
最終速度 $v_f = 0$ m/s (停止)。
煞車滑行時間 $\Delta t = 4$ s。

在緊急剎車過程中, 金龜車的動能轉化為熱能。
初始動能 $K_i = \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}(600 \text{ kg})(12 \text{ m/s})^2$
$K_i = \frac{1}{2}(600)(144) = 300 \times 144 = 43200$ 焦耳。

最終動能 $K_f = \frac{1}{2}mv_f^2 = \frac{1}{2}(600 \text{ kg})(0 \text{ m/s})^2 = 0$ 焦耳。

根據動能定理, 系統動能的變化量等於淨外力所做的功。
$\Delta K = K_f - K_i = W_{net}$。
在這裡, 煞車過程中產生的總熱能是由於摩擦力做功而產生的。
假設煞車時的平均阻力為 $f_{avg}$。
在滑行過程中, 阻力做功 $W_{friction} = -f_{avg} \cdot d$, 其中 $d$ 是滑行距離。
這個摩擦力做功轉化為熱能, 所以總熱能 $Q = -W_{friction} = f_{avg} \cdot d$。

核心觀念

本題考查：

• 單原子理想氣體的內能
• 理想氣體狀態方程式
• 隔離系統的能量守恆
• 兩種氣體混合後達到熱平衡時具有相同的溫度

單原子理想氣體的內能為

$$U=\frac{3}{2}nRT$$

其中 $n$ 為莫耳數。由於兩容器總體積固定，且題目指明無能量損失，因此整個系統的總內能守恆。

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解題方法

先分別求出兩種氣體的莫耳數，再利用總內能守恆求平衡溫度。

1. 求 A 氣體的莫耳數

A 氣體初始狀態為 $P、V、T$，由理想氣體方程式

$$PV=n_A RT$$

得

$$n_A=\frac{PV}{RT}$$

2. 求 B 氣體的莫耳數

B 氣體初始狀態為 $2P、3V、4T$，因此

$$(2P)(3V)=n_B R(4T)$$

整理得

$$n_B=\frac{6PV}{4RT} =\frac{3PV}{2RT}$$

因此

$$n_B=\frac{3}{2}n_A$$

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3. 寫出初始總內能

A 氣體的初始內能為

$$U_{A,i}=\frac{3}{2}n_A RT$$

B 氣體的初始內能為

$$U_{B,i}=\frac{3}{2}n_B R(4T)$$

所以初始總內能為

$$U_i=\frac{3}{2}n_A RT+\frac{3}{2}n_B R(4T)$$

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4. 寫出平衡時的總內能

核心觀念

本題考查庫侖定律與「三個點電荷皆須達到合力為零」的力平衡條件：

$$F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}$$

其中 $k$ 為庫侖常數。由於三電荷共線，每個電荷所受的力皆沿 $AB$ 方向，因此可利用力的方向判斷電荷 $C$ 必須位於何處，再列出力的大小相等關係。

設 $A$ 位於座標 $x=0$，$B$ 位於 $x=l$，而 $C$ 位於座標 $x$，電量為 $nq$，其中 $q>0$。

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解題方法：先判斷 $C$ 的位置與正負

$A$、$B$ 之間相距 $l$，電量分別為 $4q$ 與 $-9q$，兩者異號，因此互相吸引。

• $A$ 受到 $B$ 的力方向向右。
• $B$ 受到 $A$ 的力方向向左。

因此，$C$ 對 $A$ 與 $B$ 所產生的力，必須分別抵消上述兩力。

若 $C$ 在 $A$ 左側，為使 $C$ 對 $A$ 施力向左，$C$ 必須帶負電；此時負電荷 $C$ 會吸引正電荷 $A$ 向左，而對負電荷 $B$ 產生向右的排斥力，方向均符合平衡要求。

故 $C$ 應位於 $A$ 的左側，且 $n<0$。

令 $C$ 到 $A$ 的距離為 $a$，則：

$$AC=a,\qquad BC=l+a$$

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列出 $A$ 點的力平衡條件

$A$ 受到 $B$ 的吸引力大小為：

$$F_{AB}=k\frac{(4q)(9q)}{l^2} =\frac{36kq^2}{l^2}$$

$A$ 受到 $C$ 的吸引力大小為：

$$F_{AC}=k\frac{(4q)(|n|q)}{a^2} =\frac{4k|n|q^2}{a^2}$$

兩力大小相等：

$$\frac{4k|n|q^2}{a^2} = \frac{36kq^2}{l^2}$$

約去共同因子 $4kq^2$，得：

$$\frac{|n|}{a^2}=\frac{9}{l^2}$$

因此：

$$|n|=9\frac{a^2}{l^2} \tag{1}$$

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列出 $B$ 點的力平衡條件

$B$ 受到 $A$ 的吸引力大小為：

$$F_{BA}=k\frac{(9q)(4q)}{l^2} =\frac{36kq^2}{l^2}$$

$B$ 受到 $C$ 的排斥力大小為：

核心觀念

本題探討兩個帶同號電荷粒子在一維空間中的正面碰撞（排斥散射）問題。涉及的核心物理觀念包括：

1. 動量守恆定律（Conservation of Linear Momentum）：
   系統僅受兩粒子間的庫侖內力作用，未受任何外力，故整個系統的總動量守恆：
   $P_{\text{initial}} = P_{\text{final}}$
2. 最接近距離的運動條件（Condition for Distance of Closest Approach）：
   在碰撞過程中，兩粒子間距持續縮小，相對速度為負；直到兩粒子達到「相對靜止」（即具有相同速度）的瞬間，兩者距離達到極小值（最接近距離 $r_{\min}$）。此時兩粒子的速度皆等於系統質心速度 $v_{\text{cm}}$。
3. 力學能守恆定律（Conservation of Mechanical Energy）：
   庫侖靜電力為保守力，兩粒子系統的總動能與靜電位能之和恆定：
   $K_{\text{initial}} + U_{\text{initial}} = K_{\text{closest}} + U_{\text{closest}}$
   其中兩點電荷相距 $r$ 時的靜電位能公式為：
   $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$
   在無窮遠處時，設定位能基準面 $U_\infty = 0$。

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解題方法

(1) 求兩粒子最接近時 $\alpha$ 粒子的速度

• 物理分析：
  初始狀態：

  • $\alpha$ 粒子：質量 $m_\alpha = 4m$，初速 $v_\alpha = v$
  • 質子：質量 $m_p = m$，初速 $v_p = 0$

  最接近時，兩粒子間的相對速度為零，故 $\alpha$ 粒子與質子具有共同速度 $V$，亦即質心速度 $v_{\text{cm}}$。

• 推導步驟：
  由系統動量守恆：
  $m_\alpha v + m_p (0) = (m_\alpha + m_p) V$
  代入質量 $m_\alpha = 4m$ 與 $m_p = m$：
  $(4m)v = (4m + m) V = 5m V$
  解得兩粒子共同速度：
  $V = \frac{4}{5}v$

因此，最接近時 $\alpha$ 粒子的速度為 $\frac{4}{5}v$。

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(2) 求最接近時的距離 $r_{\min}$

• 物理分析：
  系統由無窮遠處接近至最接近點的過程，機械能守恆。

• 推導步驟：

  1. 初始狀態（無窮遠處，靜電位能 $U_i = 0$）：
     系統初始總力學能等於初始動能：
     $E_i = K_i = \frac{1}{2} m_\alpha v^2 = \frac{1}{2} (4m) v^2 = 2mv^2$

  2. 最接近狀態（間距為 $r_{\min}$）：
     此時兩粒子具有共同速度 $V = \frac{4}{5}v$，系統的動能為：