112 年 國立臺灣大學食品科技研究所丁組《單元操作與輸送現象》

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第 1 題5 分

  1. (5%) Regarding the Hagen-Poiseuille equation for flows in circular pipes, answer "True" or "False" to each of the following statements. Each 1%.
    (a) Applicable to flows at a steady state only.
    (b) Applicable to non-Newtonian fluids.
    (c) Applicable to flows in a pipe that is held fixed only.
    (d) Applicable to flows with Re < 0.1.
    (e) Applicable to flows that are driven purely by pressure drops.

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此題主要在考察對 Hagen-Poiseuille 方程式適用條件的理解。Hagen-Poiseuille 方程式是描述牛頓流體在圓形管中層流流動的基礎方程式，其推導基於一系列的假設。

(a) True。Hagen-Poiseuille 方程式是為穩態流動 (steady state flow) 推導的，這意味著流體性質（如速度、壓力）不隨時間變化。
(b) False。Hagen-Poiseuille 方程式僅適用於牛頓流體 (Newtonian fluids)，其剪應力與剪應變率成正比。對於非牛頓流體，需要使用其他模型。
(c) False。Hagen-Poiseuille 方程式描述的是流體在靜止管道中的流動。

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第 2 題5 分

  1. (5%) Let's consider an incompressible and Newtonian fluid. Its flow is at a non-steady state with a Reynold's number of approximately 0.05 (Re=0.05). Answer "Yes" or "No" to each of the following equations that can be used to describe the flow system. Each 1%.
    (a) Equation of continuity.
    (b) Equation of motion in terms of viscous force.
    (c) Navier-Stokes equation.
    (d) Euler equation.
    (e) Steady Stokes (creeping) flow equation.

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此題在於判斷在特定流動條件下（不可壓縮、牛頓流體、非穩態、低雷諾數）哪些基本流體力學方程式是適用的。

首先，分析給定的流動條件：

  1. 不可壓縮流體 (Incompressible fluid)：表示流體密度 ρ\rho 為常數。
  2. 牛頓流體 (Newtonian fluid)：表示剪應力與剪應變率成線性關係。
  3. 非穩態流動 (Non-steady state)：表示流體性質隨時間變化。
  4. 低雷諾數 (Re ≈ 0.05)：Re = ρuL/μ\rho u L / \mu。Re 值非常小（遠小於 1）意味著黏滯力 (viscous force) 相較於慣性力 (inertial force) 佔主導地位。這種流動稱為 Stokes flow 或 creeping flow。

接著，逐一評估各個方程式：

(a) Equation of continuity (連續方程式)：
連續方程式是質量守恆的數學表達，對於所有流體（包括不可壓縮和可壓縮、牛頓和非牛頓、穩態和非穩態）都適用。
對於不可壓縮流體，連續方程式簡化為 ∇⋅v=0\nabla \cdot \mathbf{v} = 0。
因此，此方程式適用。Yes。

(b) Equation of motion in terms of viscous force (考慮黏滯力的運動方程式)：
這是對運動方程式的一個籠統描述。運動方程式（如 Navier-Stokes 或 Euler 方程式）本身就包含了描述流體運動的各種力，其中就包括黏滯力（或其影響）。如果一個方程式能描述流體運動，它必然考慮了所有相關的力，包括黏滯力。
在低雷諾數下，黏滯力非常重要，所以任何描述此流動的運動方程式都必須包含它。
因此，如果能描述此流動的運動方程式存在，它必定考慮了黏滯力。Yes。

(c) Navier-Stokes equation (Navier-Stokes 方程式)：
Navier-Stokes 方程式是針對牛頓流體，結合了質量守恆（連續方程式）和動量守恆（運動方程式）的通用方程式。它包含了慣性項、壓力項、黏滯力項和外力項。
對於不可壓縮牛頓流體，Navier-Stokes 方程式為：

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第 3 題5 分

  1. (5%) Followings are statements associated with adsorption, absorption, and related processes. Answer "True" or "False" to each of the following statements. Each 1%.
    (a) Both adsorption and absorption can be purely physical processes or involving chemical reactions.
    (b) The stripping process is a reverse operation of absorption.
    (c) The adsorption process is commonly used to remove trace moisture in air to produce dry air.
    (d) Co-current flow arrangements are most commonly used in absorption processes to obtain a higher mass transfer rate than counter-current flow.
    (e) In absorption, solute molecules diffuse from the bulk of a gas phase to the bulk of a liquid phase, while for adsorption, molecules diffuse from the bulk of the fluid to the surface of the solid adsorbent forming an adsorbed phase.

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此題考察對吸附 (adsorption)、吸收 (absorption) 及相關單元操作概念的理解。

(a) True。
吸附 (Adsorption) 可分為物理吸附 (physisorption) 和化學吸附 (chemisorption)。物理吸附是較弱的范德華力作用，可逆性強；化學吸附涉及化學鍵的形成，通常是不可逆的或需要較大能量才能解吸，過程類似化學反應。
吸收 (Absorption) 是指一種物質（溶質）溶解或分散到另一種物質（溶劑，通常是液體）的體積內。吸收過程可以是物理溶解（如氣體溶於液體），也可以是化學反應（如 CO₂ 吸收在鹼性溶液中）。
因此，兩者都可以是純物理過程或涉及化學反應。

(b) True。
吸收 (Absorption) 是將一種物質從氣相轉移到液相的過程。
脫附 (Stripping) 或稱汽提，是吸收的逆過程，指將溶解在液相中的物質轉移到氣相的過程。

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第 4 題5 分

  1. (5%) Followings are statements associated with transport and related processes. Answer "True" or "False" to each of the following statements. Each 1%.
    (a) The Schmidt number for mass transfer is analogous to the Prandtl number for heat transfer.
    (b) The thermal diffusivity, mass diffusivity, and momentum diffusivity (kinematic viscosity) all have the same dimensions.
    (c) For gaseous substances at a pressure below 10 atm, the thermal diffusivity, mass diffusivity, and viscosity are all independent of pressure.
    (d) In the cooling tower, the reduction of water temperature comes mainly from evaporation. It is therefore required that the ambient web-bulb temperature is above that of the water temperature.
    (e) The heat transfer coefficient in the nucleate boiling regime is higher than that in the film boiling regime.

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核心觀念

本題考查三類傳遞現象的無因次數、擴散係數的量綱與壓力依賴性，以及冷卻水塔與沸騰傳熱的基本原理。

重要定義如下：

Pr=να\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}

其中 ν\nu 為動量擴散率（運動黏度），α\alpha 為熱擴散率。

Sc=νDAB\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}

其中 DABD_{AB} 為質量擴散係數。

熱擴散率與質量擴散係數分別為：

α=kρCp\alpha=\frac{k}{\rho C_p} DAB∼1PD_{AB}\sim \frac{1}{P}

對稀薄氣體而言，動黏度為：

ν=μρ\nu=\frac{\mu}{\rho}

解題方法

逐項檢查：

  1. 判斷無因次數所比較的擴散機制。
  2. 由基本定義比較各物理量的量綱。
  3. 分析氣體性質隨壓力的變化。
  4. 以冷卻水塔的蒸發驅動力判斷濕球溫度關係。
  5. 由沸騰曲線比較成核沸騰與膜沸騰的傳熱係數。

選項分析

(a) Schmidt number 與 Prandtl number 的類比

判斷：True

Schmidt number 定義為：

Sc=動量擴散率質量擴散率=νDAB\mathrm{Sc}=\frac{\text{動量擴散率}}{\text{質量擴散率}} =\frac{\nu}{D_{AB}}

Prandtl number 定義為：

Pr=動量擴散率熱擴散率=να\mathrm{Pr}=\frac{\text{動量擴散率}}{\text{熱擴散率}} =\frac{\nu}{\alpha}

因此，Sc\mathrm{Sc} 是質量傳遞中對應於熱傳遞 Pr\mathrm{Pr} 的無因次數。兩者都以動量擴散率為分子，分母分別為質量擴散率與熱擴散率。

故本項為 True。

(b) 三種擴散率具有相同量綱

判斷：True

熱擴散率：

α=kρCp\alpha=\frac{k}{\rho C_p}

其量綱為：

[α]=L2T−1[\alpha]=\mathrm{L^2T^{-1}}

質量擴散係數的量綱為：

[DAB]=L2T−1[D_{AB}]=\mathrm{L^2T^{-1}}

動量擴散率即運動黏度：

ν=μρ\nu=\frac{\mu}{\rho}

其量綱同樣為：

[ν]=L2T−1[\nu]=\mathrm{L^2T^{-1}}

三者本質上都是「某種物理量在流體中的擴散率」，因此量綱相同，但數值與物理意義不同。

故本項為 True。

(c) 低於 10 atm 時，氣體的熱擴散率、質量擴散率與黏度皆與壓力無關

判斷：False

低壓至中低壓氣體中，動力黏度 μ\mu 與熱導率 kk 通常對壓力不敏感，但這不代表所有擴散率都與壓力無關。

由：

α=kρCp\alpha=\frac{k}{\rho C_p}

理想氣體在定溫下有：

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第 5 題5 分

  1. (5%) The flow shown below is a Newtonian and incompressible fluid sitting on top of an infinitely large plate that may be moving or fixed. Also, the flow may or may not be influenced by gravitational force along the flow direction. Answer "Yes" or "No" to each of the profiles shown below to indicate it is physically possible. Each 1%.
    (a) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    (b) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    (c) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    (d) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    (e) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁

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核心觀念

題目考查牛頓流體在平板上的穩態、充分發展流動。設液膜厚度為 HH，y=0y=0 位於平板，y=Hy=H 位於液面，流向速度為 u(y)u(y)。假設液面受空氣的剪應力可忽略，且流向沒有壓力梯度，動量方程為

μd2udy2+ρgx=0\mu \frac{d^2u}{dy^2}+\rho g_x=0

其中 gxg_x 是重力沿流向的分量。邊界條件為平板處無滑移，以及液面剪應力為零：

u(0)=Up,μdudy∣y=H=0u(0)=U_p,\qquad \mu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=H}=0

積分可得

u(y)=Up+ρgxμ(Hy−y22)u(y)=U_p+\frac{\rho g_x}{\mu}\left(Hy-\frac{y^2}{2}\right)

因此，速度分布只能是二次曲線，液面處斜率必為零；若 gx=0g_x=0，速度分布則為常數。

選項分析

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第 6 題10 分

  1. (10%) For an incompressible and Newtonian fluid (density and viscosity: p and µ, respectively) in a cylindrical container that is initially at rest. There is a sudden motion applied to rotate the container at an angular velocity Ω. The time-dependent velocity profile along the θ\theta direction (vθv_\theta) in this system using cylindrical coordinates can be determined by the following partial differential equation:
    ∂vθ∂t=μ[∂∂r(1r∂∂r(rvθ))]\frac{\partial v_\theta}{\partial t} = \mu \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r v_\theta) \right) \right]
    (a) (5%) Perform a dimensional analysis to express the above PDE in terms of dimensionless variables (r~\tilde{r}, vθv_\theta, and t~\tilde{t}). Use l0l_0 and v0v_0 as the characteristic length and velocity, respectively. With these, you can then define a reasonable characteristic time accordingly.
    (b) (2%) Define Reynold's number (Re) from your analysis in (a) above.
    (c) (3%) Assuming that you place the same fluid in two containers (A and B) of different sizes (i.e., RA=RR_A=R and RB=3RR_B=3R in radius) and the Container A rotates at an angular velocity of Ω. What should the angular velocity of the Container B be in order to maintain the dynamic similarity between the two systems? Let's choose l0l_0 and v0v_0 to be the container's radius and rotating speed, respectively.

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核心觀念

本題考查：

  • 偏微分方程的無因次化；
  • 特徵長度、特徵速度與特徵時間的選定；
  • Reynolds number 的定義；
  • 幾何相似與動力相似條件。

題目將密度寫作 pp，以下以流體密度常用符號 ρ\rho 表示。由於題目說 μ\mu 是動力黏度，正確的動量擴散項應包含運動黏度

ν=μρ\nu=\frac{\mu}{\rho}

因此控制方程式寫為

∂vθ∂t=μρ[∂∂r(1r∂∂r(rvθ))]\frac{\partial v_\theta}{\partial t} = \frac{\mu}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rv_\theta) \right) \right]

若題目原式中的 μ\mu 已經代表運動黏度，則可直接將 μ/ρ\mu/\rho 視為 μ\mu。

解題方法

選定特徵尺度：

  • 特徵長度：l0l_0
  • 特徵速度：v0v_0
  • 特徵時間：t0t_0

定義無因次變數

r~=rl0,t~=tt0,v~θ=vθv0\tilde r=\frac{r}{l_0}, \qquad \tilde t=\frac{t}{t_0}, \qquad \tilde v_\theta=\frac{v_\theta}{v_0}

因此

r=l0r~,t=t0t~,vθ=v0v~θr=l_0\tilde r, \qquad t=t_0\tilde t, \qquad v_\theta=v_0\tilde v_\theta

左側時間微分項

∂vθ∂t=v0t0∂v~θ∂t~\frac{\partial v_\theta}{\partial t} = \frac{v_0}{t_0} \frac{\partial \tilde v_\theta}{\partial \tilde t}

右側徑向黏性擴散項

先計算

rvθ=l0v0r~v~θrv_\theta = l_0v_0\tilde r\tilde v_\theta

所以

∂∂r(rvθ)=v0∂∂r~(r~v~θ)\frac{\partial}{\partial r}(rv_\theta) = v_0 \frac{\partial}{\partial \tilde r} (\tilde r\tilde v_\theta)

接著

1r∂∂r(rvθ)=v0l0r~∂∂r~(r~v~θ)\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rv_\theta) = \frac{v_0}{l_0\tilde r} \frac{\partial}{\partial \tilde r} (\tilde r\tilde v_\theta)

再對 rr 微分：

∂∂r[1r∂∂r(rvθ)]=v0l02∂∂r~[1r~∂∂r~(r~v~θ)]\frac{\partial}{\partial r} \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rv_\theta) \right] = \frac{v_0}{l_0^2} \frac{\partial}{\partial \tilde r} \left[ \frac{1}{\tilde r} \frac{\partial}{\partial \tilde r} (\tilde r\tilde v_\theta) \right]

代回控制方程式：

v0t0∂v~θ∂t~=μρv0l02∂∂r~[1r~∂∂r~(r~v~θ)]\frac{v_0}{t_0} \frac{\partial \tilde v_\theta}{\partial \tilde t} = \frac{\mu}{\rho} \frac{v_0}{l_0^2} \frac{\partial}{\partial \tilde r} \left[ \frac{1}{\tilde r} \frac{\partial}{\partial \tilde r} (\tilde r\tilde v_\theta) \right]

約去 v0v_0 後得到

∂v~θ∂t~=μt0ρl02∂∂r~[1r~∂∂r~(r~v~θ)]\frac{\partial \tilde v_\theta}{\partial \tilde t} = \frac{\mu t_0}{\rho l_0^2} \frac{\partial}{\partial \tilde r} \left[ \frac{1}{\tilde r} \frac{\partial}{\partial \tilde r} (\tilde r\tilde v_\theta) \right]

(a) 無因次形式與特徵時間

選擇黏性擴散時間尺度，使前方係數等於 11：

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第 7 題10 分

  1. (10%) Consider a liquid film of Bingham and incompressible fluid (density p) on an inclined and infinitely large plate with a thickness of H. If the fluid flows down the inclined plate, the flow is steady-state and laminar without any edge effects. The system's coordinates have been defined as schematically illustrated on the right. You are NOT allowed to define a new coordinate system otherwise 0 pts.
    For the Bingham fluid in this system, its stress-strain relationship is shown below:
    {dvzdx=0if τxz<τ0τxz=τ0−μdvzdxif τxz≥τ0\begin{cases} \frac{dv_z}{dx} = 0 & \text{if } \tau_{xz} < \tau_0 \\ \tau_{xz} = \tau_0 - \mu \frac{dv_z}{dx} & \text{if } \tau_{xz} \ge \tau_0 \end{cases}
    In this system, the tilted angle (β) of the plate is considered as a controllable variable; you are asked to develop a criterion in terms of β for determining when the fluid will flow down the plate.
    *You may find the following equations (in cartesian coordinates) potentially useful:
    Equation of continuity: ∂ρ∂t+∂(ρux)∂x+∂(ρuy)∂y+∂(ρuz)∂z=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho u_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z} = 0
    Equation of motion in terms of τ\tau:
    ρ(∂ux∂t+ux∂ux∂x+uy∂ux∂y+uz∂ux∂z)=−∂p∂x−∂τxx∂x−∂τxy∂y−∂τxz∂z+ρgx\rho\left(\frac{\partial u_x}{\partial t}+u_x \frac{\partial u_x}{\partial x}+u_y \frac{\partial u_x}{\partial y}+u_z \frac{\partial u_x}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x}-\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}-\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}-\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z}+\rho g_x
    ... (other components of Navier-Stokes) ...
    Navier-Stokes equation: ... (full forms) ...
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🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁原卷第 3 頁

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核心觀念

Bingham 流體具有屈服應力 τ0\tau_0：

  • 當 ∣τxz∣<τ0|\tau_{xz}|<\tau_0 時，流體未屈服，dvzdx=0\dfrac{dv_z}{dx}=0。
  • 當 ∣τxz∣≥τ0|\tau_{xz}|\ge \tau_0 時，流體屈服並產生流動。

因此，本題的關鍵是求出液膜內由重力造成的最大剪應力，再與 τ0\tau_0 比較。

座標與基本假設

依圖示，固定斜板位於 x=Hx=H，自由液面位於 x=0x=0；zz 軸沿斜板方向。因液膜無限寬、穩態且充分發展，可設

vz=vz(x),vx=vy=0.v_z=v_z(x),\qquad v_x=v_y=0.

重力沿斜板方向的分量大小為

∣gz∣=gsin⁡β.|g_z|=g\sin\beta.

自由液面與空氣接觸，空氣對液體的切向應力可視為零，因此

τxz(0)=0.\tau_{xz}(0)=0.

解題方法：沿斜板方向動量平衡

沿 zz 方向的穩態動量方程式為

0=−∂p∂z−dτxzdx+ρgz.0=-\frac{\partial p}{\partial z} -\frac{d\tau_{xz}}{dx} +\rho g_z.

由於自由液面平行於斜板，且沒有外加壓力梯度，

∂p∂z=0.\frac{\partial p}{\partial z}=0.

因此剪應力梯度的大小為

∣dτxzdx∣=ρgsin⁡β.\left|\frac{d\tau_{xz}}{dx}\right| =\rho g\sin\beta.

配合自由液面 τxz(0)=0\tau_{xz}(0)=0，液膜內剪應力大小為

∣τxz(x)∣=ρgxsin⁡β.|\tau_{xz}(x)|=\rho g x\sin\beta.

剪應力在固定板處最大，因此

∣τxz∣max⁡=∣τxz(H)∣=ρgHsin⁡β.|\tau_{xz}|_{\max} =|\tau_{xz}(H)| =\rho gH\sin\beta.

流動判準

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第 8 題15 分

  1. (15%) Consider a thin cylindrical wedge, as schematically shown on the right, that has a constant thermal conductivity k, thickness H, radius R, and angle α. The base of the wedge has a constant temperature of Th (i.e., T(r=R)=Th), and its surfaces except the two sides dissipate heat to the air that is at a temperature of Ta with a heat transfer coefficient of h (i.e., following Newton's law of cooling). The entire system is at a steady state.
    (a) (4%) Define Biot number (Bi). Also, should the system have a large or small Bi number such that it can be considered as an one-dimensional system? That is, the temperature profile is only a function of r (i.e., T=T(r)). Briefly state your reason.
    (b) (11%) Derive the temperature profile T(r).
    Hint: for a 2nd order ODE in a form of x²y" + xy' - λ²y = 0, its general solution is y = c₁Io(λx) + c₂Ko(λx) where Io and Ko are the modified Bessel functions of the first and second kind of an order 0, respectively. It is also known that Ko(0) = ∞.
    *You may find the following equations (in cylindrical coordinates) potentially useful:
    Fourier's law of heat conduction: qr=−k∂T∂rq_r = -k \frac{\partial T}{\partial r}
    ... (other forms of Fourier's law) ...
    Equation of energy for non-moving materials with constant p and k:
    ρcp∂T∂t=1r∂∂r(kr∂T∂r)+1r2k∂2T∂θ2+k∂2T∂z2\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( k r \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} k \frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2} + k \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}
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原卷第 3 頁

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核心觀念

本題考查：

  • Biot 數與一維導熱假設。
  • 圓柱座標下，具有表面對流散熱的穩態徑向導熱。
  • 修正 Bessel 方程的解法。
  • 利用 r=0r=0 處溫度有限與 r=Rr=R 處定溫求積分常數。

(a) Biot 數與一維假設

Biot 數定義為

Bi=hLck,Bi=\frac{hL_c}{k},

其中 LcL_c 為特徵導熱長度。若以薄楔形體的體積除以對流換熱面積計算，

Lc=VAs=12αR2HαR2=H2.L_c=\frac{V}{A_s} =\frac{\frac{1}{2}\alpha R^2H}{\alpha R^2} =\frac{H}{2}.

因此

Bi=hH2k.Bi=\frac{hH}{2k}.

若課本直接以厚度 HH 作為特徵長度，也會寫成 Bi=hH/kBi=hH/k；兩者判斷重點相同。

欲將溫度視為僅為半徑 rr 的函數，應使厚度方向的內部導熱熱阻遠小於表面对流熱阻，因此須有

Bi≪1（工程上通常取 Bi<0.1）.Bi\ll 1 \qquad \text{（工程上通常取 }Bi<0.1\text{）}.

小 Biot 數表示厚度方向溫度近似均勻。又因兩個側面均不散熱，且邊界條件沿 θ\theta 方向均勻，所以不產生角度方向溫度梯度，故可採用

T=T(r).T=T(r).

(b) 溫度分布推導

取半徑介於 rr 與 r+drr+dr 的微小環形控制體。其徑向導熱面積為

Ar=αrH.A_r=\alpha rH.

上、下兩個表面皆與環境對流，微小環形面積各為 αr dr\alpha r\,dr，所以總對流散熱量為

dQconv=2h(T−Ta)αr dr.dQ_{\mathrm{conv}} =2h(T-T_a)\alpha r\,dr.

徑向熱傳率由 Fourier 定律得

Qr=−kαrHdTdr.Q_r=-k\alpha rH\frac{dT}{dr}.

穩態能量平衡為

Qr(r)−Qr(r+dr)−2h(T−Ta)αr dr=0.Q_r(r)-Q_r(r+dr)-2h(T-T_a)\alpha r\,dr=0.

整理並令 dr→0dr\to0：

ddr(rdTdr)−2hkHr(T−Ta)=0.\frac{d}{dr} \left( r\frac{dT}{dr} \right) -\frac{2h}{kH}r(T-T_a)=0.

令超額溫度

θ(r)=T(r)−Ta,\theta(r)=T(r)-T_a,

並定義

λ=2hkH,\lambda=\sqrt{\frac{2h}{kH}},

則控制方程式為

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第 9 題10 分

  1. (10%) For a spherical particle flowing in a fluid, the friction factor is (24/Re+0.54)2(\sqrt{24/Re}+0.54)^2 for Re below 2000, and is 0.44 for Re in the range between 2000 and 100000. Answer the following questions. Note: if the required quantities are not given, you may clearly define and use them.
    (a) (5%) Calculate the terminal velocity for a ping-pong ball 2 gram in weight and 4 cm in diameter falling in air at 300 K. The air viscosity is 2*10-5 Pa.s.
    (b) (5%) For a sedimentation process of dilute suspensions operated at 300 K, calculate the terminal velocity of the suspension particles. The particle and fluid densities are 1.1 and 1 g/cm³, respectively, the viscosity of the fluid is 0.02 poise and the suspensions are spherical particles with a diameter of 0.07 mm.

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核心觀念

本題旨在考驗流體力學中**單一球形顆粒在流體中之自由沈降／運動（Free Settling / Flow past a Sphere）**的終端速度（Terminal Velocity, utu_t）計算與阻力係數（Drag Coefficient, CDC_D）的判定。

1. 力平衡方程式

當顆粒在流體中達到終端速度時，加速度為零，顆粒所受外力達靜力平衡：

Fg=Fb+FDF_g = F_b + F_D

其中：

  • 重力（Gravity Force）：Fg=mg=ρpVpg=ρp(π6Dp3)gF_g = m g = \rho_p V_p g = \rho_p \left(\frac{\pi}{6} D_p^3\right) g
  • 浮力（Buoyancy Force）：Fb=ρfVpg=ρf(π6Dp3)gF_b = \rho_f V_p g = \rho_f \left(\frac{\pi}{6} D_p^3\right) g
  • 阻力（Drag Force）：FD=CDAp(12ρfut2)=CD(π4Dp2)(12ρfut2)F_D = C_D A_p \left(\frac{1}{2} \rho_f u_t^2\right) = C_D \left(\frac{\pi}{4} D_p^2\right) \left(\frac{1}{2} \rho_f u_t^2\right)

整理可得終端速度之通式：

ut=4gDp(ρp−ρf)3ρfCD=2(mg−ρfVpg)ρfApCDu_t = \sqrt{\frac{4 g D_p (\rho_p - \rho_f)}{3 \rho_f C_D}} = \sqrt{\frac{2 (m g - \rho_f V_p g)}{\rho_f A_p C_D}}

2. 阻力係數 CDC_D 與雷諾數 ReRe 之關係

顆粒雷諾數定義為：

Re=ρfutDpμRe = \frac{\rho_f u_t D_p}{\mu}

題目給定之阻力關聯式為：

  • 過渡區／層流區（Re<2000Re < 2000）：
CD=(24Re+0.54)2C_D = \left(\sqrt{\frac{24}{Re}} + 0.54\right)^2
  • 牛頓區（Newton's Regime, 2000≤Re≤1000002000 \le Re \le 100000）：
CD=0.44C_D = 0.44

解題方法

(a) 乒乓球在空氣中落下的終端速度

  1. 物性與參數設定：
    • 乒乓球質量：m=2 g=2×10−3 kgm = 2\text{ g} = 2 \times 10^{-3}\text{ kg}
    • 乒乓球直徑：Dp=4 cm=0.04 mD_p = 4\text{ cm} = 0.04\text{ m}
    • 乒乓球體積：Vp=π6Dp3=π6(0.04)3≈3.351×10−5 m3V_p = \frac{\pi}{6} D_p^3 = \frac{\pi}{6} (0.04)^3 \approx 3.351 \times 10^{-5}\text{ m}^3
    • 投影面積：Ap=π4Dp2=π4(0.04)2≈1.257×10−3 m2A_p = \frac{\pi}{4} D_p^2 = \frac{\pi}{4} (0.04)^2 \approx 1.257 \times 10^{-3}\text{ m}^2
    • 空氣黏度（300 K300\text{ K}）：μ=2×10−5 Pa⋅s\mu = 2 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}
    • 空氣密度（300 K,1 atm300\text{ K}, 1\text{ atm}，視為理想氣體，分子量 M=29 g/molM = 29\text{ g/mol}）：
ρf=PMRT=101325×0.0298.314×300≈1.18 kg/m3\rho_f = \frac{P M}{R T} = \frac{101325 \times 0.029}{8.314 \times 300} \approx 1.18\text{ kg/m}^3
  • 重力加速度：g=9.81 m/s2g = 9.81\text{ m/s}^2

  1. 力平衡與速度計算：

    • 重力：Fg=mg=2×10−3×9.81=0.01962 NF_g = m g = 2 \times 10^{-3} \times 9.81 = 0.01962\text{ N}
    • 浮力：Fb=ρfVpg=1.18×3.351×10−5×9.81≈3.88×10−4 NF_b = \rho_f V_p g = 1.18 \times 3.351 \times 10^{-5} \times 9.81 \approx 3.88 \times 10^{-4}\text{ N}
    • 淨重力：Fnet=Fg−Fb=0.01962−0.000388=0.01923 NF_{net} = F_g - F_b = 0.01962 - 0.000388 = 0.01923\text{ N}

    先假設沈降落於牛頓阻力區（Newton's regime），即 CD=0.44C_D = 0.44：

ut=2FnetρfApCD=2×0.019231.18×(1.257×10−3)×0.44=0.038466.526×10−4≈7.68 m/su_t = \sqrt{\frac{2 F_{net}}{\rho_f A_p C_D}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.01923}{1.18 \times (1.257 \times 10^{-3}) \times 0.44}} = \sqrt{\frac{0.03846}{6.526 \times 10^{-4}}} \approx 7.68\text{ m/s}

(註：若忽略極小的空氣浮力 FbF_b，則 ut=2×0.019626.526×10−4≈7.75 m/su_t = \sqrt{\frac{2 \times 0.01962}{6.526 \times 10^{-4}}} \approx 7.75\text{ m/s})

  1. 檢驗雷諾數（Verification）：
Re=ρfutDpμ=1.18×7.68×0.042×10−5≈18125Re = \frac{\rho_f u_t D_p}{\mu} = \frac{1.18 \times 7.68 \times 0.04}{2 \times 10^{-5}} \approx 18125

因為 2000≤18125≤1000002000 \le 18125 \le 100000，落於牛頓阻力區間，原假設 CD=0.44C_D = 0.44 正確無誤。

(b) 懸浮液中微細顆粒沈降之終端速度

  1. 物性與參數設定（統一轉換為 SI 制）：
    • 顆粒直徑：Dp=0.07 mm=7×10−5 mD_p = 0.07\text{ mm} = 7 \times 10^{-5}\text{ m}
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第 10 題10 分

  1. (10%) A 0.5-mm-thick square silicon chip is mounted to a 2-mm-thick aluminum plate with a thin layer of glue in between. The width and length of the chip and the aluminum plate are both 2 cm. Both sides of this sandwiched system are exposed to the flowing air at 25°C with the convection coefficient of 100 W/m².K. The thermal conductivity of silicon and aluminum are 150 and 240 W/m.K, respectively. The chip dissipates 10⁴ W/m² under normal condition. If the heat transfer is one-dimensional and the chip is isothermal, answer the following questions. Note: if the required quantities are not given, you may clearly define and use them.
    (a) (5%) Find the thermal resistance of the thin layer of glue required for the steady state chip temperature to be not greater than 80°C.
    (b) (5%) One engineer states that the thickness of the aluminum plate is very critical to the wafer steady-state temperature. Do you agree? State your reason.

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核心觀念

本題考查：

  • 穩態一維熱傳導的熱阻概念；
  • 對流熱阻與固體導熱熱阻；
  • 發熱元件向兩側散熱時的「並聯熱阻」；
  • 由熱生成率求晶片穩態溫度；
  • 判斷某一層熱阻對總熱阻及溫度的影響程度。

各熱阻定義為

Rcond=LkA,Rconv=1hAR_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}, \qquad R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}

其中晶片面積為

A=(0.02)(0.02)=4.0×10−4 m2A=(0.02)(0.02)=4.0\times10^{-4}\ \text{m}^2

晶片總發熱量為

Q˙=q′′A=(104)(4.0×10−4)=4.0 W\dot Q=q''A=(10^4)(4.0\times10^{-4})=4.0\ \text{W}

由於晶片為等溫體，晶片可視為一個等溫發熱節點，熱量分別經由上下兩條路徑散出。

解題方法：建立熱阻網路

上方路徑為晶片表面直接對流至空氣：

Rt=1hA=1(100)(4.0×10−4)=25.0 K/WR_t=\frac{1}{hA} =\frac{1}{(100)(4.0\times10^{-4})} =25.0\ \text{K/W}

下方路徑依序通過膠層、鋁板，再由鋁板表面對流至空氣：

Rb=Rg+RAl+Rconv,bR_b=R_g+R_{\text{Al}}+R_{\text{conv,b}}

鋁板導熱熱阻為

RAl=0.002(240)(4.0×10−4)=0.02083 K/WR_{\text{Al}} =\frac{0.002}{(240)(4.0\times10^{-4})} =0.02083\ \text{K/W}

下方對流熱阻為

Rconv,b=25.0 K/WR_{\text{conv,b}}=25.0\ \text{K/W}

因此

Rb=Rg+25.02083R_b=R_g+25.02083

上下兩條路徑並聯，晶片至環境的等效熱阻為

Req=RtRbRt+RbR_{\text{eq}} =\frac{R_tR_b}{R_t+R_b}

晶片最高允許溫升為

ΔTmax⁡=80−25=55∘C\Delta T_{\max}=80-25=55^\circ\text{C}

穩態時

ΔT=Q˙Req\Delta T=\dot Q R_{\text{eq}}

故必須滿足

Req≤554=13.75 K/WR_{\text{eq}}\leq \frac{55}{4}=13.75\ \text{K/W}

(a) 膠層所需熱阻

令設計極限為 Req=13.75 K/WR_{\text{eq}}=13.75\ \text{K/W}，則

13.75=(25)(Rg+25.02083)25+Rg+25.0208313.75 = \frac{(25)(R_g+25.02083)} {25+R_g+25.02083}

解得

Rg+25.02083=30.55556R_g+25.02083=30.55556

因此

Rg=5.53 K/W\boxed{R_g=5.53\ \text{K/W}}

這是膠層熱阻的最大允許值；實際設計應使膠層熱阻不大於此值。

若以單位面積熱阻表示，則

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📄 以下 4 題共用同一段題幹

A benzene-toluene mixture containing 50 mol% of benzene at a feed rate of 100 kmol/hr100\ \mathrm{kmol/hr} is to be separated using a fractionating column. The top and bottom products contain 90 and 10 mol% of benzene, respectively. The vapor leaves the column with reflux and product and is condensed but not cooled. The TT-xyxy diagram for benzene and toluene mixture at 1 atm is shown below.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

第 11-(a) 題5 分

Find the flow rate of the top and bottom products.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 4 頁原卷第 5 頁

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核心觀念

本題使用蒸餾塔的總莫耳衡算與苯的莫耳衡算。令塔頂產品流率為 DD、塔底產品流率為 BB，則總進料流率等於兩股產品流率之和；苯的進料量則等於塔頂與塔底產品中的苯量之和。

解題方法

原卷的 TT-xyxy 圖橫軸為苯的莫耳分率，範圍為 00 至 11；縱軸為溫度，範圍為 6565 至 115∘C115^\circ\mathrm{C}。本小題只需使用題幹給定的進料與產品組成，不必由圖讀取數值。

總莫耳衡算為

D+B=100D+B=100

以苯為衡算成分，進料含苯 100(0.50)=50 kmol/hr100(0.50)=50\ \mathrm{kmol/hr}，因此

0.90D+0.10B=500.90D+0.10B=50
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第 11-(b) 題5 分

Find the minimum reflux ratio if the feed enters the column at its boiling point.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 4 頁原卷第 5 頁

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核心觀念

最小回流比 Rmin⁡R_{\min} 對應精餾段操作線剛好通過進料板的平衡點。進料在泡點時為飽和液體，q=1q=1，因此 qq 線是 xF=0.50x_F=0.50 的垂直線。從 TT-xyxy 圖讀出進料泡點下的平衡氣相組成 yF∗y_F^*，即可求出最小回流比。

解題方法

圖的橫軸是苯的莫耳分率，縱軸是溫度（°C）；液相曲線是泡點線，氣相曲線是露點線。由圖在 xF=0.50x_F=0.50 處讀得泡點約為 91∘C91^\circ\mathrm{C}，在同一溫度水平線與露點線的交點讀得 yF∗≈0.70y_F^*\approx 0.70。

精餾段操作線為

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第 11-(c) 題5 分

If feed enters the column as 50% saturated liquid, find the relative volatility.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 4 頁原卷第 5 頁

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核心觀念

相對揮發度定義為兩成分在氣液平衡時，氣相與液相組成比值的比：

α苯／甲苯=y苯/y甲苯x苯/x甲苯=y/(1−y)x/(1−x)\alpha_{\text{苯／甲苯}} = \frac{y_{\text{苯}}/y_{\text{甲苯}}} {x_{\text{苯}}/x_{\text{甲苯}}} = \frac{y/(1-y)}{x/(1-x)}

其中 xx 是液相苯莫耳分率，yy 是與其平衡的氣相苯莫耳分率。

解題方法

圖的橫軸是苯的莫耳分率，範圍為 00 至 11；縱軸是溫度，約為 6565 至 115∘C115^\circ\mathrm{C}。液相線與氣相線在兩端相接，約對應 110∘C110^\circ\mathrm{C} 和 80∘C80^\circ\mathrm{C}。題目給定進料含 50%50\% 苯，且為 50%50\% 飽和液，表示進料中液相與氣相各占一半。

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第 11-(d) 題5 分

Show that the slope of the operating line in the stripping section is greater than one.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 4 頁原卷第 5 頁

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核心觀念

提餾段操作線的斜率為 L′/V′L'/V'，其中 L′L' 是提餾段內向下流動的液體莫耳流率，V′V' 是向上流動的蒸氣莫耳流率。由提餾段底部的總莫耳衡算，L′=V′+BL'=V'+B，因此只要底產品流率 B>0B>0，操作線斜率便大於 11。

解題方法

原卷第 5 頁第 11 題 (d) 要證明提餾段操作線斜率大於 11。附圖的橫軸是苯莫耳分率 00 至 11，縱軸是溫度 6565 至 115∘C115^\circ\mathrm{C}；本小題可直接用物料衡算證明，無須從圖上讀取數值。

先由全塔總莫耳衡算與苯衡算求底產品流率：

F=D+BF=D+B FzF=DxD+BxBFz_F=Dx_D+Bx_B

代入 F=100 kmol/hrF=100\ \mathrm{kmol/hr}、zF=0.50z_F=0.50、xD=0.90x_D=0.90、xB=0.10x_B=0.10，得

D=50 kmol/hr,B=50 kmol/hrD=50\ \mathrm{kmol/hr},\qquad B=50\ \mathrm{kmol/hr}

對提餾段底部作總莫耳衡算，向下流入的液體分成向上流動的蒸氣與底產品：

L′=V′+BL'=V'+B

提餾段操作線可寫成

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