113 年 國立成功大學老年學研究所乙組《研究方法與統計》

本題主要在區分描述統計 (Descriptive Statistics) 與推論統計 (Inferential Statistics) 的應用。
描述統計是用來整理、簡化、呈現數據的特徵，例如平均數、百分比、標準差等。
推論統計則是利用樣本數據來推論母體的特性，通常涉及假設檢定或區間估計，並且會考慮抽樣誤差。

(1) 17%的學生表示他們想要取得社會工作的碩士學位：這是直接呈現樣本數據的百分比，屬於描述統計。
(2) 從這個班級調查所使用的資訊,教授總結在她任教的大學所有主修行為科學的學生,想要成為諮商心理師的學生顯著多過於研究心理學家：教授使用了班級（樣本）的數據來推論整個大學主修行為科學的學生

本題在考驗對統計假設檢定中兩種錯誤（Type I Error 和 Type II Error）以及正確決策的理解。
假設檢定中有兩種可能的錯誤：

1. 型一錯誤 (Type I Error)：當母體的虛無假設 ($H_0$) 為真時，我們卻拒絕了 $H_0$。其機率通常以 $\alpha$ 表示。
2. 型二錯誤 (Type II Error)：當母體的對立假設 ($H_1$) 為真（即 $H_0$ 為偽）時，我們卻未能拒絕 $H_0$。其機率通常以 $\beta$ 表示。
   正確決策則包括：
3. 當 $H_0$ 為真，且我們未能拒絕 $H_0$。
4. 當 $H_1$ 為真（$H_0$ 為偽），且我們拒絕了 $H_0$。

我們來逐一分析題目中的四個敘述：

(1) 母體的 $H_0$ 是正確的,但實驗者依據 $Z_{obs}$ 拒絕 $H_0$。
這裡的情況是：$H_0$ 實際上是真的，但實驗者卻根據檢定統計量 $Z_{obs}$ 做出拒絕 $H_0$ 的決定。這符合型一錯誤的定義。

本題考驗對數據分配形態（對稱或偏態）的判斷，主要根據平均數 (mean) 和中位數 (median) 的相對位置來推斷。

• 對稱分配 (Symmetrical Distribution)：在理想的對稱分配中，平均數、中位數和眾數 (mode) 通常是相等的，或者非常接近。
• 右偏態/正偏態 (Right-skewed/Positively Skewed Distribution)：分配的尾巴較長地延伸到右側。此時，平均數會大於中位數（因為較大的極端值會將平均數拉高）。

本題考驗對樣本平均數與母體平均數接近程度的理解，這與樣本大小 (sample size) 和抽樣誤差 (sampling error) 的概念有關。

根據中央極限定理 (Central Limit Theorem)，當樣本大小增加時，樣本平均數的抽樣分佈的標準差（稱為標準誤，standard error of the mean, SEM）會降低。標準誤的計算公式為：

$SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中 $\sigma$ 是母體的標準差，而 $n$ 是樣本大小。

本題是關於研究設計與統計方法的應用。

(1) 這個研究使用哪一種統計方法? (5分)

研究指出「較高的壓力負荷指數 (Allosatic Load) 與較高的血壓有關」。這句話暗示了兩個變項之間的關聯性。當研究者想要探討兩個連續型變項之間的關聯強度和方向時，常用的統計方法是：

• 相關分析 (Correlation Analysis)：用於衡量兩個變項之間線性關聯的強度和方向。
• 迴歸分析 (Regression Analysis)：用於預測一個變項（依變項）的值，基於一個或多個其他變項（自變項）的值。

在這個情境下，「有關」這個詞最直接指向的是探討兩個變項之間的關係，因此相關分析是基礎，而迴歸分析則可以進一步預測。若題目僅是陳述「有關」，則相關分析是最直接的答案。如果進一步探討「較高的壓力負荷指數」如何「預測」或「影響」血壓，則迴歸分析更為貼切。

考量到題目描述的是「關聯性」，且「壓力負荷指數」和「血壓」都是連續變項，最常見且直接的方法是相關分析。如果研究進一步想知道壓力負荷指數每增加一個單位，血壓會預期增加多少，則會用到迴歸分析。由於題目沒有明確說明預測或解釋的程度，但「有關」通常是相關分析的範疇。

可能的答案：

• 相關分析 (Correlation Analysis)
• 迴歸分析 (Regression Analysis) (如果將壓力負荷指數視為自變項，血壓視為依變項)

在研究所考試中，通常會期待更精確的答案。如果研究目的是為了「證明」或「量化」這種關聯，迴歸分析會是更進一步的統計方法。但僅憑「有關」二字，相關分析是較保守且普遍適用的答案。

本題為上一題的延續。題目指出「近來有一個針對高齡的研究顯示,過勞的程度和血壓有關。較高的壓力負荷指數(Allosatic Load)與較高的血壓有關。」

「兩組測量」指的是研究中測量或收集的兩個主要變項。根據題目描述，這兩個變項分別是：

本題考驗如何透過標準化分數 (z-score) 來比較不同分數在各自分佈中的相對位置。當我們想比較兩個來自不同分佈（例如不同考試）的分數時，直接比較原始分數可能無法反映真實的相對表現，因為它們的平均數和標準差可能不同。標準化分數 (z-score) 可以將不同分佈的分數轉換到一個共同的尺度上，以便進行比較。

標準化分數 (z-score) 的計算公式為：
$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
其中：

• $X$ 是個人分數
• $\mu$ 是該測驗的母體平均數（在此題目中，我們使用班級平均數作為樣本平均數來估計）
• $\sigma$ 是該測驗的母體標準差（在此題目中，我們使用班級標準差作為樣本標準差來估計）

我們來計算你在兩門課的標準化分數：

1. 研究方法 (Research Methods)

• 你的分數 ($X_1$) = 88
• 班級平均數 ($\mu_1$) = 83
• 班級標準差 ($\sigma_1$) = 6

$z_1 = \frac{88 - 83}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833$

本題是關於統計假設檢定的決策規則。當我們進行假設檢定時，會設定一個拒絕區 (rejection region)，也稱為顯著水準區 (alpha region)。如果檢定統計量 (test statistic) 的觀察值落入這個拒絕區，我們就會做出拒絕虛無假設 ($H_0$) 的決定。

核心概念：

• 虛無假設 ($H_0$)：通常代表沒有效應、沒有差異或沒有關係。
• 對立假設 ($H_1$)：通常代表存在效應、存在差異或存在關係。

本題是關於統計假設檢定的決策規則，與上一題是相對的情境。

核心概念：

• 虛無假設 ($H_0$)：通常代表沒有效應、沒有差異或沒有關係。
• 對立假設 ($H_1$)：通常代表存在效應、存在差異或存在關係。
• 拒絕區 (Rejection Region)：由顯著水準 $\alpha$ 所定義，是一組檢定統計量的數值，若觀察值落入此區，則有足夠的證據拒絕 $H_0$。
• 未能拒絕區 (Non-rejection Region)：與拒絕區相對，包含所有不屬於拒絕區的檢定統計量數值。

本題是關於統計假設檢定的解釋和結論。題目中提到了「樣本平均數」和「假設母體平均數」，以及「$Z_{obs}$ 落入拒絕區」，這表明這是一個關於單一樣本平均數與已知母體平均數進行假設檢定的情境。

核心概念：

• 假設母體平均數 ($\mu_0$)：在虛無假設 ($H_0$) 中設定的母體平均數值。
• 樣本平均數 ($\bar{x}$)：從母體中抽取樣本後計算得到的平均數。
• 檢定統計量 ($Z_{obs}$)：在此情況下，由於是比較樣本平均數與母體平均數，且題目直接給出 $Z_{obs}$，我們假設這是一個基於標準常態分佈的檢定。其公式通常為 $Z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ (如果母體標準差 $\sigma$ 已知)，或當樣本量足夠大時，可以用樣本標準差 $s$ 取代 $\sigma$。
• 拒絕區 (Rejection Region)：由顯著水準 $\alpha$ 所定義，是檢定統計量數值範圍，落入此區則有足夠證據拒絕 $H_0$。

本題是關於統計假設檢定的解釋和結論，與上一題是相對的情境。題目中提到了「樣本平均數」和「假設母體平均數」，以及「$Z_{obs}$ 沒有落入拒絕區」，這表明這是一個關於單一樣本平均數與已知母體平均數進行假設檢定的情境。

核心概念：

• 假設母體平均數 ($\mu_0$)：在虛無假設 ($H_0$) 中設定的母體平均數值。
• 樣本平均數 ($\bar{x}$)：從母體中抽取樣本後計算得到的平均數。
• 檢定統計量 ($Z_{obs}$)：在此情況下，由於是比較樣本平均數與母體平均數，且題目直接給出 $Z_{obs}$，我們假設這是一個基於標準常態分佈的檢定。
• 拒絕區 (Rejection Region)：由顯著水準 $\alpha$ 所定義，是檢定統計量數值範圍，落入此區則有足夠證據拒絕 $H_0$。
• 未能拒絕區 (Non-rejection Region)：與拒絕區相對，包含所有不屬於拒絕區的檢定統計量數值。

本題要求根據變異數分析 (ANOVA) 的結果，解釋實驗處理情境對吸菸間隔時間的效果。

核心概念：

• 變異數分析 (ANOVA)：一種統計方法，用於比較三個或更多組別的平均數是否存在顯著差異。
• 實驗處理情境 (Experimental Treatment Conditions)：本研究中有四種不同的處理方式（A1, A2, A3, A4）。
• 依變數 (Dependent Variable)：在此研究中是「吸菸間隔時間」(單位為分鐘)。
• 自變項 (Independent Variable)：在此研究中是「實驗處理情境」，它是一個類別變項，有四個水準。
• F 檢定 (F-test)：ANOVA 中用於檢定各組平均數之間是否存在顯著差異的統計檢定。
• 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)：通常設定為 0.05 或 0.01。題目中標示了 P<.01，表示顯著水準為 0.01。

分析步驟：

1. 檢視變異數分析表 (ANOVA Table)：

   • F 值 (F-statistic)：計算出的 F 值為 21.64。
   • 自由度 (df)：實驗處理情境的自由度為 3 (組數 - 1 = 4 - 1 = 3)。誤差的自由度為 64 (總樣本數 - 組數 = (17 * 4) - 4 = 68 - 4 = 64)。
   • p 值 (p-value)：題目中標示了 P<.01，表示計算出的 p 值小於 0.01。

2. 判斷統計顯著性：
   由於計算出的 p 值 (P<.01) 小於預設的顯著水準 (0.01)，我們拒絕虛無假設。

   • 虛無假設 ($H_0$)：所有實驗處理情境下的平均吸菸間隔時間都相等。($\mu_{A1} = \mu_{A2} = \mu_{A3} = \mu_{A4}$)
   • 對立假設 ($H_1$)：至少有一個實驗處理情境的平均吸菸間隔時間與其他情境不同。

本題要求根據變異數分析 (ANOVA) 的結果，解釋「記憶型態類型」(Factor A) 對於「回憶名詞」的影響。

核心概念：

• 變異數分析 (ANOVA)：在此為雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA)，用於檢驗兩個自變項（記憶型態類型 A、細節數量 B）對依變項（正確回憶名詞數）的個別主效果 (main effect) 以及交互作用 (interaction effect)。
• 記憶型態類型 (Factor A)：有兩個水準 - 一般型態 (A1) 和奇特型態 (A2)。
• 細節數量 (Factor B)：有兩個水準 - 少量 (B1) 和多數 (B2)。
• 依變項 (Dependent Variable)：正確回憶名詞的數量。
• 主效果 (Main Effect)：指一個自變項單獨對依變項產生的影響，忽略另一個自變項。
• 交互作用 (Interaction Effect)：指一個自變項對依變項的影響，會隨著另一個自變項的水準而改變。

分析步驟：

1. 檢視變異數分析表 (表2)：
   我們需要關注「記憶型態類型(A)」這一列。

   • SS (Sum of Squares) = 84.050
   • df (degrees of freedom) = 1
   • MS (Mean Square) = 84.050
   • F 值 (F-statistic) = 4.91
   • p 值 (p-value)：題目標示 *P<.05，表示此 F 檢定的 p 值小於 0.05。

2. 判斷統計顯著性：
   由於「記憶型態類型(A)」對應的 p 值 (P<.05) 小於預設的顯著水準 (通常為 0.05)，我們拒絕關於記憶型態類型的主效果的虛無假設。

   • 虛無假設 ($H_0$)：不同記憶型態類型的平均回憶名詞數相等。

本題要求根據變異數分析 (ANOVA) 的結果，解釋「細節數量」(Factor B) 對於「回憶名詞」的影響。

核心概念：

• 細節數量 (Factor B)：有兩個水準 - 少量 (B1) 和多數 (B2)。
• 主效果 (Main Effect)：指一個自變項單獨對依變項產生的影響，忽略另一個自變項。

分析步驟：

1. 檢視變異數分析表 (表2)：
   我們需要關注「細節數量(B)」這一列。

   • SS (Sum of Squares) = 11.250
   • df (degrees of freedom) = 1
   • MS (Mean Square) = 11.250
   • F 值 (F-statistic) = 0.66
   • p 值 (p-value)：此 F 檢定的 p 值未直接標示，但通常 F 值較小且 p 值較大的話，則不顯著。

2. 判斷統計顯著性：
   由於 F 值為 0.66，這通常對應著一個較大的 p 值，很可能大於 0.05。因此，我們未能拒絕關於細節數量的主效果的虛無假設。

   • 虛無假設 ($H_0$)：不同細節數量的平均回憶名詞數相等。($\mu_{B1} = \mu_{B2}$)
   • 對立假設 ($H_1$)：不同細節數量的平均回憶名詞數不相等。

本題包含兩個小題，分別要求解釋記憶型態類型 (A) 和細節數量 (B) 的主效果。

核心概念：

• 雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA)：用於檢驗兩個自變項 (Factor A, Factor B) 對依變項的個別主效果 (main effect) 以及交互作用 (interaction effect)。
• 主效果 (Main Effect)：指一個自變項單獨對依變項產生的影響，忽略另一個自變項。
• 交互作用 (Interaction Effect)：指一個自變項對依變項的影響，會隨著另一個自變項的水準而改變。
• 顯著性 (Significance)：通常以 p 值來判斷，若 p 值小於預設的顯著水準 (如 0.05 或 0.01)，則結果被認為是統計上顯著的。
• P<.05 表示顯著水準為 0.05，*P<.01 表示顯著水準為 0.01。

分析步驟：

首先，我們觀察 ANOVA 表 (表2)。

• 記憶型態類型(A) 的 F 值是 4.91* (P<.05)。
• 細節數量(B) 的 F 值是 0.66。
• 交互作用 (AxB) 的 F 值是 45.62** (P<.01)。

重要觀察：
交互作用項 (AxB) 的 F 值 45.62 是高度顯著的 (P<.01)。這表示記憶型態類型對回憶名詞的影響，會隨著細節數量的不同而改變，反之亦然。在交互作用顯著時，我們通常優先解釋交互作用，而非個別主效果。然而，題目明確要求分別解釋兩個主效果。

(1) 記憶型態類型對於回憶名詞的影響為何? (5分)

• 檢視記憶型態類型(A)的主效果：
  • F 值 = 4.91
  • P 值 = <.05
  • 決策：由於 P<.05，我們拒絕關於記憶型態類型主效果的虛無假設 ($H_0: \mu_{A1} = \mu_{A2}$)。
  • 結論：記憶型態類型對正確回憶名詞的數量有統計上顯著的主效果。
  • 平均數解釋 (表1)：

本題考驗對統計顯著性 (statistical significance) 和相關係數 (correlation coefficient) 的理解，以及在實際研究中可能影響顯著性判斷的因素。

題目中提到：

• 樣本大小 (n) = 76
• 相關係數 ($r_{obs}$) = +.18
• 顯著水準 ($\alpha$) = .05
• 結果：未達顯著性 (not significant)

這表示，儘管觀察到 IQ 和學業成績之間存在一個正相關 (r = +.18)，但這個相關性在統計上不足以讓我們有足夠的信心拒絕虛無假設（即 IQ 和學業成績之間沒有真實相關，$\rho = 0$）。

題目要求指出「這兩個變數沒有相關的可能原因」。這句話有點誤導，嚴格來說，是「沒有足夠證據證明它們之間存在相關」。可能的原因有以下幾點：

1. 真實相關性很小或不存在 (True correlation is small or zero)：

   • 最直接的可能性是，IQ 與學業成績之間的真實相關性在母體中確實非常小，甚至為零。觀察到的 r = +.18 僅僅是抽樣變異 (sampling variability) 所造成的隨機波動，不足以代表母體中的真實情況。

2. 樣本量不足 (Insufficient Sample Size)：

   • 雖然 n=76 聽起來不算太小，但在某些情況下，如果真實相關性很微弱，可能需要更大的樣本量才能達到統計顯著性。統計檢定的檢定力 (power) 與樣本量有關，樣本量越大，檢定力越高，越容易偵測到微小的真實相關。

3. 測量誤差 (Measurement Error)：

   • IQ 測量誤差：魏氏智力測驗是一個相對可靠的測量工具，但任何測量都存在誤差。如果 IQ 分數的測量存在較大的隨機誤差，會降低 IQ 與其他變項（如學業成績）之間的真實相關性（這稱為attenuation of correlation）。
   • 學業成績測量誤差：學業成績的測量方式可能多樣（考試分數、GPA、教師評估等），其穩定性和客觀性可能不如 IQ 測驗。如果學業成績的測量不準確或不穩定，也會導致與 IQ 的相關性被低估。

本題要求根據提供的資訊，建立一個描述研究生非研究相關打工時間與畢業天數之間線性關係的方程式。這是一個典型的線性迴歸問題，其中斜率 (slope) 和 Y 截距 (Y-intercept) 都已給定。

核心概念：

• 線性關係方程式：通常表示為 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 或 $y = mx + b$ 的形式。
  • $Y$ (或 $y$)：依變項 (Dependent Variable)，在此是「畢業天數」。
  • $X$：自變項 (Independent Variable)，在此是「每週非研究相關打工單元數」。
  • $\beta_0$ (或 $b$)：Y 截距 (Y-intercept)，表示當自變項 X 為 0 時，依變項 Y 的預期值。
  • $\beta_1$ (或 $m$)：斜率 (Slope)，表示當自變項 X 每增加一個單位時，依變項 Y 的預期改變量。
  • $\epsilon$ (或未寫出)：誤差項，表示模型未能解釋的部分。在題目中，由於已經給出「平均」畢業天數，我們可以忽略誤差項，直接寫出預期值的方程式。

題目提供的資訊：

1. 自變項 (X)：每週非研究相關打工單元數。
2. 依變項 (Y)：畢業天數。
3. 斜率 ($\beta_1$)：
   • 「研究生在就學期間每週非研究相關打工一單元,那麼畢業的時間會增加 4.3 天。」
   • 這表示當 X 每增加 1，Y 增加 4.3。所以，斜率 $\beta_1 = 4.3$。