112 年 國立政治大學財政學系碩士班在職生《統計學》

本題主要在考驗對隨機變數期望值與變異數性質的理解，以及相關係數的計算。

核心觀念：

1. 期望值性質： 對於任意常數 $a, b$ 和隨機變數 $X, Y$，有 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。
2. 變異數性質： 對於任意常數 $a, b$ 和隨機變數 $X, Y$，若 $X, Y$ 獨立，則 $V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)$。若 $X, Y$ 不獨立，則需考慮共變異數 $V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab Cov(X, Y)$。
3. 相關係數： 衡量兩個隨機變數之間線性相關的強度與方向，計算公式為 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$。
4. 樣本統計量： 在此題中，我們將樣本數據視為對應隨機變數的實現值，並計算樣本均值、樣本變異數等作為對應期望值與變異數的估計。

解題過程：

首先，我們將給定的數據整理成表格，並計算相關的樣本統計量。
令 $X_i$ 為第 $i$ 個隊伍在 2022 年的勝率，$Y_i$ 為第 $i$ 個隊伍在 2021 年的勝率。
數據如下：

隊伍	$X_i$ (2022)	$Y_i$ (2021)
Monkey	0.603	0.479
Elephant	0.595	0.574
Snake	0.496	0.427
Lions	0.410	0.557
Fighter	0.397	0.466

樣本數 $n=5$。

計算樣本均值：
$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \frac{0.603 + 0.595 + 0.496 + 0.410 + 0.397}{5} = \frac{2.501}{5} = 0.5002$
$\bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i = \frac{0.479 + 0.574 + 0.427 + 0.557 + 0.466}{5} = \frac{2.503}{5} = 0.5006$

計算樣本變異數 (使用 $n-1$ 作為分母，即樣本變異數的標準定義)：
$S_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
$S_Y^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$

$\sum (X_i - \bar{X})^2 = (0.603-0.5002)^2 + (0.595-0.5002)^2 + (0.496-0.5002)^2 + (0.410-0.5002)^2 + (0.397-0.5002)^2$
$= (0.1028)^2 + (0.0948)^2 + (-0.0042)^2 + (-0.0902)^2 + (-0.1032)^2$
$= 0.01056784 + 0.00898704 + 0.00001764 + 0.00813604 + 0.01065024 = 0.0383588$
$S_X^2 = \frac{0.0383588}{5-1} = \frac{0.0383588}{4} \approx 0.0095897$

$\sum (Y_i - \bar{Y})^2 = (0.479-0.5006)^2 + (0.574-0.5006)^2 + (0.427-0.5006)^2 + (0.557-0.5006)^2 + (0.466-0.5006)^2$
$= (-0.0216)^2 + (0.0734)^2 + (-0.0736)^2 + (0.0564)^2 + (-0.0346)^2$
$= 0.00046656 + 0.00538756 + 0.00541696 + 0.00318096 + 0.00119716 = 0.0156492$
$S_Y^2 = \frac{0.0156492}{5-1} = \frac{0.0156492}{4} \approx 0.0039123$

a) Find $E\left(\frac{X+Y}{2}\right)$ and $V\left(\frac{X+Y}{2}\right)$

假設 $X$ 和 $Y$ 分別代表所有隊伍在 2022 年和 2021 年勝率的隨機變數。在此，我們使用樣本的期望值和變異數來估計總體的期望值和變異數。
由於我們只有 5 個數據點，我們將使用樣本均值 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 作為 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的估計，而樣本變異數 $S_X^2$ 和 $S_Y^2$ 作為 $V(X)$ 和 $V(Y)$ 的估計。

期望值：
$E\left(\frac{X+Y}{2}\right) = \frac{1}{2} E(X+Y) = \frac{1}{2} (E(X) + E(Y))$
我們使用樣本均值來估計：
$E\left(\frac{X+Y}{2}\right) \approx \frac{\bar{X}+\bar{Y}}{2} = \frac{0.5002 + 0.5006}{2} = \frac{1.0008}{2} = 0.5004$

變異數：
$V\left(\frac{X+Y}{2}\right) = V\left(\frac{1}{2}X + \frac{1}{2}Y\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 V(X) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 V(Y) + 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) Cov(X, Y)$
$V\left(\frac{X+Y}{2}\right) = \frac{1}{4} V(X) + \frac{1}{4} V(Y) + \frac{1}{2} Cov(X, Y)$

在此，我們必須計算樣本的共變異數 $Cov(X, Y)$：
$Cov(X, Y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$
$\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = (0.603-0.5002)(0.479-0.5006) + (0.595-0.5002)(0.574-0.5006) + (0.496-0.5002)(0.427-0.5006) + (0.410-0.5002)(0.557-0.5006) + (0.397-0.5002)(0.466-0.5006)$
$= (0.1028)(-0.0216) + (0.0948)(0.0734) + (-0.0042)(-0.0736) + (-0.0902)(0.0564) + (-0.1032)(-0.0346)$
$= -0.00222048 + 0.00695072 + 0.00030912 + -0.00508728 + 0.00357072 = 0.0035228$
$Cov(X, Y) = \frac{0.0035228}{5-1} = \frac{0.0035228}{4} \approx 0.0008807$

本題主要考驗對比例的信賴區間估計、樣本大小的決定，以及比例的假設檢定。

核心觀念：

1. 比例的信賴區間： 對於一個比例 $p$，其信賴區間通常使用常態近似，公式為 $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
2. 樣本大小的決定： 為了達到特定的誤差範圍（margin of error, MOE），樣本大小 $n$ 的計算公式為 $n = \left(\frac{z_{\alpha/2}}{MOE}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$。若無先驗的 $\hat{p}$ 值，可使用 $\hat{p}=0.5$ 以獲得最大樣本數。
3. 比例的假設檢定： 比較兩個獨立樣本的比例，使用 $z$-檢定。虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$（或 $p_1 \le p_2$），對立假設 $H_1: p_1 > p_2$。檢定統計量為 $z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_p(1-\hat{p}_p)(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$，其中 $\hat{p}_p = \frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$ 為合併比例。

解題過程：

a) Find the 99% confidence interval for the current support of the bill.

目前（Present Sample）的數據：
樣本大小 $n_1 = 300$
支持人數 $x_1 = 150$
樣本比例 $\hat{p}_1 = \frac{150}{300} = 0.5$

要計算 99% 信賴區間，我們需要 $z_{\alpha/2}$。對於 99% 信賴水準，$\alpha = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$。查標準常態分配表，累積機率為 $1 - 0.005 = 0.995$ 時的 $z$ 值約為 $2.576$。

信賴區間的公式：$\hat{p}_1 \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}}$
$= 0.5 \pm 2.576 \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{300}}$
$= 0.5 \pm 2.576 \sqrt{\frac{0.25}{300}}$
$= 0.5 \pm 2.576 \sqrt{0.0008333}$
$= 0.5 \pm 2.576 \times 0.0288675$
$= 0.5 \pm 0.07447$

信賴區間為 $(0.5 - 0.07447, 0.5 + 0.07447) = (0.42553, 0.57447)$。
換成百分比，約為 (42.55%, 57.45%)。

b) Suppose the researcher wants to reduce the margin of error of the 95% confidence interval to be within $\pm 2$ percentage points. How large a sample should be taken the next time when she conducts the survey?

目標是將 95% 信賴區間的誤差範圍（margin of error, MOE）控制在 $\pm 0.02$ (2 percentage points)。
對於 95% 信賴水準，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。查標準常態分配表，累積機率為 $1 - 0.025 = 0.975$ 時的 $z$ 值約為 $1.96$。

本題主要考驗對二項分配的期望值與機率計算。

核心觀念：

1. 二項分配： 若一隨機試驗包含 $n$ 次獨立的伯努利試驗，每次試驗成功的機率為 $p$，則成功的次數 $X$ 服從二項分配 $B(n, p)$。
2. 二項分配的期望值： $E(X) = np$。
3. 二項分配的機率： $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。

解題過程：

a) How many sales can he expect to make each day?

每天銷售員會隨機接觸 10 位潛在客戶。
這次接觸可以視為一次獨立的試驗。
每次接觸，客戶購買的機率是 $p = 0.15$ (15%)。
接觸的客戶總數是 $n = 10$。
銷售次數 $X$ 服從二項分配 $B(n=10, p=0.15)$。

銷售員每天預期能獲得的銷售次數（期望值）為：
$E(X) = np$
$E(X) = 10 \times 0.15$
$E(X) = 1.5$

所以，他每天預期可以獲得 1.5 次銷售。

b) Suppose the manager promises him a bonus if he can make at least 3 sales in a day. What is the likelihood that the salesperson can earn the bonus?

銷售員要獲得獎金，必須至少有 3 次銷售。這表示銷售次數 $X$ 需要滿足 $X \ge 3$。
我們需要計算 $P(X \ge 3)$。
由於 $X$ 服從二項分配 $B(10, 0.15)$，我們可以計算：
$P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

計算各項機率：
$n=10$, $p=0.15$, $1-p=0.85$

本題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的設定與應用。

核心觀念：

1. 單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)： 用於比較三個或三個以上獨立樣本的平均數是否存在顯著差異。
2. ANOVA 的假設：
   • 各組樣本來自常態分配的母體。
   • 各組母體變異數相等（同質性）。
   • 各組樣本是獨立的。
3. ANOVA 的邏輯： 將總變異分解為組間變異 (Between-group variation) 和組內變異 (Within-group variation)。若組間變異相對於組內變異足夠大，則可推論各組平均數有顯著差異。
4. F 檢定統計量： $F = \frac{MS_{Between}}{MS_{Within}}$。
5. ANOVA 表： 總結變異分析結果，包含變異來源 (Source of Variation)、平方和 (Sum of Squares, SS)、自由度 (Degrees of Freedom, df)、均方 (Mean Square, MS)、F 值及 P 值。

解題過程：

首先，我們需要整理數據並計算一些基本統計量。
共有 $k=3$ 組（三位審計員）。
每組樣本數 $n_i = 5$。
總樣本數 $N = k \times n_i = 3 \times 5 = 15$。

各組數據：
Auditor 1 ($X_1$): 12, 15, 13, 14, 17
Auditor 2 ($X_2$): 4, 8, 6, 5, 4
Auditor 3 ($X_3$): 9, 3, 5, 7, 4

計算各組均值：
$\bar{X}_1 = \frac{12+15+13+14+17}{5} = \frac{71}{5} = 14.2$
$\bar{X}_2 = \frac{4+8+6+5+4}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$
$\bar{X}_3 = \frac{9+3+5+7+4}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$

計算總均值：
$\bar{X}_{Total} = \frac{\sum \bar{X}_i}{k} = \frac{14.2 + 5.4 + 5.6}{3} = \frac{25.2}{3} = 8.4$
或者 $\bar{X}_{Total} = \frac{\sum X_{ij}}{N} = \frac{71+27+28}{15} = \frac{126}{15} = 8.4$

a) Set up the complete ANOVA Table.

計算平方和 (Sum of Squares, SS)：

1. 組間平方和 (SSB, Sum of Squares Between groups):
   $SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{X}_i - \bar{X}_{Total})^2$
   $SSB = 5 \times (14.2 - 8.4)^2 + 5 \times (5.4 - 8.4)^2 + 5 \times (5.6 - 8.4)^2$
   $SSB = 5 \times (5.8)^2 + 5 \times (-3.0)^2 + 5 \times (-2.8)^2$
   $SSB = 5 \times 33.64 + 5 \times 9.00 + 5 \times 7.84$
   $SSB = 168.2 + 45.0 + 39.2 = 252.4$

2. 組內平方和 (SSW, Sum of Squares Within groups):
   $SSW = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2$
   對於 Auditor 1:
   $(12-14.2)^2 + (15-14.2)^2 + (13-14.2)^2 + (14-14.2)^2 + (17-14.2)^2$
   $= (-2.2)^2 + (0.8)^2 + (-1.2)^2 + (-0.2)^2 + (2.8)^2$
   $= 4.84 + 0.64 + 1.44 + 0.04 + 7.84 = 14.8$

   對於 Auditor 2:
   $(4-5.4)^2 + (8-5.4)^2 + (6-5.4)^2 + (5-5.4)^2 + (4-5.4)^2$
   $= (-1.4)^2 + (2.6)^2 + (0.6)^2 + (-0.4)^2 + (-1.4)^2$
   $= 1.96 + 6.76 + 0.36 + 0.16 + 1.96 = 11.2$

   對於 Auditor 3:
   $(9-5.6)^2 + (3-5.6)^2 + (5-5.6)^2 + (7-5.6)^2 + (4-5.6)^2$
   $= (3.4)^2 + (-2.6)^2 + (-0.6)^2 + (1.4)^2 + (-1.6)^2$

核心觀念

本題考查**簡單線性迴歸分析（Simple Linear Regression, SLR）**的標準輸出報表解讀與推論，核心觀念包含：

1. 迴歸估計式與迴歸直線性質：
   • 迴歸方程式型態：$\widehat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i$。
   • 最小平方法（OLS）性質：迴歸直線必通過樣本平均數點 $(\bar{X}, \bar{Y})$，即 $\bar{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 \bar{X}$。
2. 斜率之假設檢定：
   • 檢定兩變數間是否有線性關係：$H_0: \beta_1 = 0$ vs. $H_1: \beta_1 \neq 0$。
   • 檢定統計量可用 $t$ 檢定（$t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)}$）或 ANOVA $F$ 檢定（在簡單線性迴歸下，$F = t^2$），自由度為 $n - 2$。
3. 條件期望值之信賴區間（Confidence Interval for Mean Response）：
   • 當 $X = x_0$ 時，平均反應值 $E(Y|X = x_0)$ 的估計式為 $\hat{\mu}_{Y|x_0} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_0$。
   • 其估計量之標準誤為： $$SE(\hat{\mu}_{Y|x_0}) = s_e \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{X})^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}}$$
   • 當 $x_0 = \bar{X}$ 時，第二項為 $0$，標準誤簡化為 $SE(\hat{\mu}_{Y|\bar{X}}) = \frac{s_e}{\sqrt{n}}$。
4. 相關係數與判定係數：
   • 判定係數 $R^2 = \frac{SSR}{SST}$。在簡單線性迴歸中，模型整體檢定的 $F$ 統計量滿足： $$F = \frac{R^2 / 1}{(1 - R^2) / (n - 2)} \implies R^2 = \frac{F}{F + (n - 2)}$$
   • 樣本相關係數 $r_{XY}$ 與判定係數的關係為 $r_{XY} = \text{sgn}(\hat{\beta}_1) \sqrt{R^2}$。
5. 模型配適度評估（Goodness of Fit）：
   • 以判定係數 $R^2$、殘差標準誤 $s_e$、以及整體顯著性 $F$ 檢定綜合評判。

---

解題方法與步驟推導

(a) 估計之迴歸方程式

• 由報表可得：
  • 截距項估計值：$\hat{\beta}_0 = -17.5791$
  • 斜率估計值：$\hat{\beta}_1 = 3.9324$
• 依題目定義，應變數為 $\text{distance}$，自變數為 $\text{speed}$，估計之迴歸方程式為： $$\widehat{\text{distance}} = -17.5791 + 3.9324 \times \text{speed}$$

---

(b) 煞車距離之樣本平均數 $\bar{Y}$

• 由 OLS 的基本幾何性質，估計迴歸線必通過重心 $(\bar{X}, \bar{Y})$： $$\bar{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 \bar{X}$$
• 題目已知平均車速 $\bar{X} = 15.4\text{ mph}$，代入計算： $$\bar{Y} = -17.5791 + 3.9324 \times 15.4 = -17.5791 + 60.55896 = 42.97986 \approx 42.98\text{ (feet)}$$

---

(c) 在 $\alpha = 0.05$ 下，檢定煞車距離是否與車速相關

1. 建立假說： $$H_0: \beta_1 = 0 \quad \text{vs.} \quad H_1: \beta_1 \neq 0$$
2. 檢定統計量：
   • 方法一（$t$ 檢定）： $$t^* = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{3.9324}{0.4155} \approx 9.464$$
   • 方法二（$F$ 檢定）：
     報表直接給定 $F^* = 89.567$。注意：$(t^*)^2 = (9.464)^2 \approx 89.57$，兩者完全等價。
3. 拒絕域與臨界值：
   • 樣本數 $n = 50$，自由度 $df = n - 2 = 50 - 2 = 48$。
   • 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
   • 雙尾檢定臨界值 $t_{0.025, 48} \approx 2.011$（或利用標準常態臨界值 $z_{0.025} \approx 1.96$ 近似；若用 $F$ 檢定，$F_{0.05}(1, 48) \approx 4.04$）。
4. 決策與結論：
   • 因為 $|t^*| = 9.464 > 2.011$（或 $F^* = 89.567 > 4.04$），$p\text{-value} < 0.001$。
   • 故在 $\alpha = 0.05$ 顯著水準下拒絕 $H_0$。
   • 結論：有充分的統計證據顯示，車輛的煞車距離與行駛車速呈顯著的線性相關。

---

(d) 當車速為 15.4 mph 時，平均煞車距離的 95% 信賴區間

1. 點估計：
   • 指定車速 $x_0 = 15.4\text{ mph}$，剛好等於樣本平均車速 $\bar{X} = 15.4$。
   • 點估計值為： $$\hat{\mu}_{Y|x_0 = 15.4} = \bar{Y} = 42.98\text{ (feet)}$$
2. 估計量標準誤：
   • 平均反應值之估計標準誤公式為： $$SE(\hat{\mu}_{Y|x_0}) = s_e \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{X})^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}}$$
   • 由於 $x_0 = \bar{X} = 15.4$，分子 $(x_0 - \bar{X})^2 = 0$，公式大幅簡化為：