109 年 國立中山大學電波聯合碩士班《電磁學》

核心觀念

這題考平行板電容器中的電場力。圖中介質與空氣沿電場方向分層，兩層等效為串聯電容；忽略邊緣電場。導體表面的電場應力給出上極板所受的壓力：

$$p=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$$

其中 $\varepsilon$ 與 $E$ 是緊鄰上極板一側介質的介電常數與電場強度。

解題方法

設介質厚度為 $a_1$、空氣間隙為 $a_2$，極板面積為 $S$。兩層串聯，因此電位差為

$$V_0=E_{\varepsilon}a_1+E_0a_2$$

介質與空氣交界面的法向電位移連續：

$$\varepsilon E_{\varepsilon}=\varepsilon_0 E_0=D$$

代入電位差式，可得

$$D=\frac{V_0}{\dfrac{a_1}{\varepsilon}+\dfrac{a_2}{\varepsilon_0}}$$

上極板緊鄰介質，因此介質內的電場為

核心觀念

互感定義為

$$M=\frac{\Phi}{I},$$

其中 $I$ 為一線圈中的電流，$\Phi$ 為該電流在線圈二中所產生的磁通量。

由於 $h\gg a$，可將矩形線圈的兩條垂直長邊視為無限長直導線；上、下水平邊的端部效應忽略。圖中未標示小方環沿 $h$ 方向的位置，以下採用小方環位於矩形長邊中段、且遠離上下端點的標準近似。

解題方法

令矩形線圈電流為 $I$。小方環右側與矩形線圈左側長邊的距離為 $d$，小方環邊長為 $a$，矩形線圈寬度為 $w$。

取小方環內距離矩形近側長邊為 $x$ 的微小面積條帶，則

$$d\le x\le d+a,\qquad dS=a\,dx.$$

矩形線圈近側長邊所產生的磁場大小為

$$B_{\text{近}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi x}.$$

遠側長邊距離小方環為 $x+w$，且其電流方向與近側長邊相反，因此在小方環區域產生反向磁場：

$$B_{\text{遠}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi(x+w)}.$$

故小方環中的淨磁通量為

核心觀念

本題考查：

• 橢圓偏極平面波的相量表示。
• 正常入射於導電介質時的波阻抗、傳播常數與 Fresnel 反射係數。
• 電場、磁場與傳播方向的關係。
• 平均功率密度
  $\langle \mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\{\mathbf{E}\times\mathbf{H}^{*}\}$。

以下採用 cosine-based phasor 慣例：

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\operatorname{Re}\{\widetilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r})e^{j\omega t}\}.$$

令空氣區域為 $z<0$，導電介質為 $z>0$，入射波沿 $+z$ 方向傳播。

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一、入射波相量

已知

$$\mathbf{E}_i = 100\sin(\omega t-\beta_1z)\hat{\mathbf a}_x + 200\cos(\omega t-\beta_1z)\hat{\mathbf a}_y.$$

因為

$$\sin\theta=\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right),$$

所以 $x$ 分量的相量振幅為 $-j100$，$y$ 分量的相量振幅為 $200$。

空氣中的參數為

$$\eta_1=\eta_0\approx 376.7\ \Omega,$$ $$\beta_1=\frac{\omega}{c} = \frac{90\times10^6}{3\times10^8} = 0.300\ \text{rad/m}.$$

因此

$$\boxed{ \widetilde{\mathbf E}_i = (-j100\hat{\mathbf a}_x+200\hat{\mathbf a}_y)e^{-j0.3z} \ \text{V/m} }$$

對於沿 $+z$ 傳播的波，

$$\widetilde{\mathbf H}_i = \frac{1}{\eta_1}\hat{\mathbf a}_z\times\widetilde{\mathbf E}_i.$$

利用

$$\hat{\mathbf a}_z\times\hat{\mathbf a}_x=\hat{\mathbf a}_y, \qquad \hat{\mathbf a}_z\times\hat{\mathbf a}_y=-\hat{\mathbf a}_x,$$

得到

$$\boxed{ \widetilde{\mathbf H}_i = \frac{-200\hat{\mathbf a}_x-j100\hat{\mathbf a}_y}{376.7} e^{-j0.3z} \ \text{A/m} }$$

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二、導電介質的波參數

導電介質參數為

$$\varepsilon_2=81\varepsilon_0, \qquad \mu_2=\mu_0, \qquad \sigma=0.4\ \text{S/m}.$$

在 $e^{j\omega t}$ 慣例下，介質的複數介電常數可寫成

$$\varepsilon_c = \varepsilon_2-j\frac{\sigma}{\omega}.$$

計算導電程度參數：

$$\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_2} = \frac{0.4} {(90\times10^6)(81\varepsilon_0)} \approx 6.20.$$

導電介質的傳播常數為

$$\gamma_2=\alpha_2+j\beta_2 = \sqrt{j\omega\mu_2(\sigma+j\omega\varepsilon_2)}.$$

其中

$$\alpha_2 = \omega\sqrt{\frac{\mu_2\varepsilon_2}{2}} \sqrt{ \sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_2}\right)^2}-1 },$$ $$\beta_2 = \omega\sqrt{\frac{\mu_2\varepsilon_2}{2}} \sqrt{ \sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_2}\right)^2}+1 }.$$

代入數值得

$$\boxed{ \alpha_2\approx4.39\ \text{Np/m} }$$ $$\boxed{ \beta_2\approx5.15\ \text{rad/m} }$$

因此

$$\boxed{ \gamma_2\approx4.39+j5.15\ \text{m}^{-1} }$$

導電介質的本徵波阻抗為

$$\eta_2 = \sqrt{\frac{j\omega\mu_2}{\sigma+j\omega\varepsilon_2}} = \sqrt{\frac{\mu_2}{\varepsilon_2-j\sigma/\omega}}.$$

計算得

$$\boxed{ \eta_2\approx12.72+j10.83\ \Omega }$$

亦可寫成

$$\eta_2\approx16.71\angle40.4^\circ\ \Omega.$$

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三、反射與透射係數

正常入射時，電場反射係數為

$$\Gamma_E = \frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}.$$

代入 $\eta_1=376.7\ \Omega$ 與 $\eta_2=12.72+j10.83\ \Omega$：

$$\boxed{ \Gamma_E\approx-0.933+j0.0538 }$$

電場透射係數為

$$T_E=1+\Gamma_E = \frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2},$$

因此

$$\boxed{ T_E\approx0.0668+j0.0538 }$$

反射波沿 $-z$ 方向傳播，故其空間因子為 $e^{+j\beta_1z}$；透射波進入 $z>0$ 的導電介質後，空間因子為 $e^{-\gamma_2z}$。

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四、反射場

反射電場為

$$\widetilde{\mathbf E}_r = \Gamma_E (-j100\hat{\mathbf a}_x+200\hat{\mathbf a}_y)e^{+j0.3z} \ \text{V/m}.$$

因此

$$\boxed{ \widetilde{\mathbf E}_r = (-0.933+j0.0538) (-j100\hat{\mathbf a}_x+200\hat{\mathbf a}_y)e^{+j0.3z} \ \text{V/m} }$$

反射波沿 $-z$ 方向傳播，所以

$$\widetilde{\mathbf H}_r = -\frac{1}{\eta_1} \hat{\mathbf a}_z\times\widetilde{\mathbf E}_r.$$

故

$$\boxed{ \widetilde{\mathbf H}_r = \frac{\Gamma_E}{376.7} (200\hat{\mathbf a}_x+j100\hat{\mathbf a}_y)e^{+j0.3z} \ \text{A/m} }$$

負號已反映在反射波的傳播方向與磁場方向關係中。

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五、透射場

透射電場為

(a)  傳輸線長度 $l=3.6\ \text{m}$，$f=100\ \text{MHz}$
 波長 $\lambda =\dfrac{c}{f}=3\ \text{m}$，$\beta =\dfrac{2\pi}{\lambda}=2.094\ \text{rad/m}$，$\beta l =7.539\ \text{rad}$。

 負載阻抗 $Z_L =25+j25\ \Omega$

$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}= \frac{-25+j25}{75+j25}= -0.2+j0.4$

 $|\Gamma_L|=0.4472$，$\angle\Gamma_L=2.034\ \text{rad}$。

 輸入端反射係數

$\Gamma_{\text{in}}=\Gamma_L e^{-2j\beta l}=0.397-j0.206$

 正向電壓幅值

$V^{+}= \frac{V_i}{1+\Gamma_{\text{in}}}=5.004-j1.441\ \text{V}$

 任意位置 $z$（以發生器端為 $z=0$）的電壓

$$\boxed{V(z)=V^{+}\Big[e^{-j\beta z}+\Gamma_{\text{in}}\,e^{j\beta z}\Big]} =(5.004-j1.441)\Big[e^{-j2.094z}+ (0.397-j0.206)e^{j2.094z}\Big]\ \text{V}$$

(b)  發生器端輸入電壓

核心觀念

本題考四分之一波長阻抗轉換器。長度為四分之一波長的無損傳輸線，會將負載阻抗 $Z_L$ 轉換成輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}=Z_1^2/Z_L$，其中 $Z_1$ 是轉換線的特性阻抗。選擇適當的 $Z_1$，即可讓輸入阻抗等於主線特性阻抗 $Z_0$，達成匹配。

圖中的設計條件為 $Z_1=\sqrt{Z_0Z_L}$，且負載 $Z_L$ 為實數。四分之一波長條件是 $\beta(\omega_0)l=\pi/2$；若題目以 $l=\pi/4$ 表示長度，則在 $\omega_0$ 必須滿足此電氣長度條件。

解題方法

無損傳輸線的輸入阻抗為

$$Z_{\mathrm{in}} = Z_1 \frac{Z_L+jZ_1\tan\!\bigl(\beta l\bigr)} {Z_1+jZ_L\tan\!\bigl(\beta l\bigr)}.$$

在設計頻率 $\omega_0$，線段為四分之一波長，故 $\beta(\omega_0)l=\pi/2$。此時 $\tan(\beta l)$ 趨於無限大，輸入阻抗化簡為

$$Z_{\mathrm{in}}(\omega_0) = Z_1\frac{jZ_1\tan(\beta l)}{jZ_L\tan(\beta l)} = \frac{Z_1^2}{Z_L}.$$

核心觀念

本題屬於電磁學經典理論基礎題，檢驗考生對三大基礎構件的掌握度：

1. 時域馬克士威方程式（Maxwell's Equations in Time Domain）：包含四個基本定律（高斯定律、高斯磁定律、法拉第電磁感應定律、安培—馬克士威定律）的物理定律名稱、微分形式（局域關係，適用於連續介質內部）與積分形式（全域關係，透過散度定理與史托克定理轉換）。
2. 電磁邊界條件（EM Boundary Conditions）：利用馬克士威積分式在無窮薄交界面上的極限推導。當介質 2 為理想導體（PEC, $\sigma \to \infty$）時，在時變場下其內部電磁場全為零（$\mathbf{E}_2 = \mathbf{0}, \mathbf{B}_2 = \mathbf{0}$），邊界條件轉化為介質 1 介面切線與法線場分量與表面電荷、表面電流的關係。
3. 行進模態之波阻抗（Wave Impedance in Propagating Modes）：橫向電場與橫向磁場之振幅比值（$Z = E_t / H_t$），包含無界均勻平面波之本質阻抗（TEM 模態），以及導波系統（如矩形波導、圓形波導）中 TE 模態與 TM 模態在截止頻率以上傳播時的波阻抗特性。

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解題方法

(1) The differential form, integral form, and physical law of Maxwell's equations in time domain (10%)

馬克士威方程式由四個經驗/修正定律組成，其符號定義如下：

• $\mathbf{E}$：電場強度（$\text{V/m}$）
• $\mathbf{D}$：電通量密度或電位移（$\text{C/m}^2$），本構關係為 $\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$
• $\mathbf{H}$：磁場強度（$\text{A/m}$）
• $\mathbf{B}$：磁通量密度或磁感應強度（$\text{Wb/m}^2$ 或 $\text{T}$），本構關係為 $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$
• $\rho_v$：體電荷密度（$\text{C/m}^3$）
• $\mathbf{J}$：體傳導電流密度（$\text{A/m}^2$）

以下列出各方程式之物理定律、微分式與積分式（封閉曲面 $S$ 包圍體積 $V$；開放曲面 $S$ 之周界為閉合迴路 $C$，符合右手定則）：

1. 法拉第電磁感應定律（Faraday's Law of Electromagnetic Induction）

   • 物理意義：時變的磁通量變化會在空間周圍感應出渦旋電場。
   • 微分形式： $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
   • 積分形式： $$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s}$$

2. 安培—馬克士威定律（Ampère-Maxwell Law）

   • 物理意義：傳導電流與時變電場產生的「位移電流（$\partial \mathbf{D} / \partial t$）」皆為產生渦旋磁場的來源。
   • 微分形式： $$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$
   • 積分形式： $$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S \left( \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right) \cdot d\mathbf{s}$$

3. 高斯電場定律（Gauss's Law for Electricity）

   • 物理意義：靜電荷（或自由電荷）是電場的源（發散源或匯集源）。
   • 微分形式： $$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$$
   • 積分形式： $$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = \iiint_V \rho_v \, dv = Q_{\text{enclosed}}$$

4. 高斯磁場定律（Gauss's Law for Magnetism）

   • 物理意義：自然界中不存在單獨的磁單極（Magnetic Monopole），磁感應線必然為閉合迴路。
   • 微分形式： $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
   • 積分形式： $$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0$$

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(2) EM boundary conditions when medium 1 is a dielectric and medium 2 is a perfect conductor (5%)

設介質 1 為非理想導電介質（介電質，參數為 $\epsilon_1, \mu_1, \sigma_1 < \infty$），介質 2 為理想導體（PEC, $\sigma_2 \to \infty$）。
定義交界面上的單位法向量 $\hat{\mathbf{a}}_{n21}$（或寫作 $\hat{\mathbf{n}}$）由介質 2 指向介質 1。

• 理想導體內部條件：
  由於 $\sigma_2 \to \infty$ 且頻率非零（時變場），集膚深度 $\delta = \sqrt{2/(\omega \mu \sigma)} \to 0$。電磁波無法穿透進入理想導體內部，故理想導體內部之場恆為零：

  $$\mathbf{E}_2 = \mathbf{0}, \quad \mathbf{H}_2 = \mathbf{0}, \quad \mathbf{D}_2 = \mathbf{0}, \quad \mathbf{B}_2 = \mathbf{0}$$

• 交界面之邊界條件（將 $\mathbf{E}_2, \mathbf{H}_2, \mathbf{D}_2, \mathbf{B}_2 = \mathbf{0}$ 代入一般邊界條件公式）：

1. 電場切線分量（Tangential Electric Field）：
   切線分量跨介面連續，導體表面切線電場必為零。

   $$\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{E}_1 = \mathbf{0} \quad \left( E_{1t} = 0 \right)$$

   即：介質 1 側之電場線在導體表面必完全垂直於表面。

2. 磁場切線分量（Tangential Magnetic Field）：
   切線磁場的不連續量等於導體表面之表面自由電流密度 $\mathbf{J}_s$（$\text{A/m}$）。

   $$\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{H}_1 = \mathbf{J}_s \quad \left( H_{1t} = J_s \right)$$

3. 電通量密度法線分量（Normal Electric Flux Density）：
   法線電位移的跳變量等於導體表面之表面自由電荷密度 $\rho_s$（$\text{C/m}^2$）。

   $$\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{D}_1 = \rho_s \quad \left( D_{1n} = \rho_s \right)$$

4. 磁通量密度法線分量（Normal Magnetic Flux Density）：
   磁感線不中斷，導體表面法線磁場為零。