114 年 國立中山大學電波聯合碩士班《電磁學》

核心觀念

兩板面積很大且忽略邊緣效應，因此具有平面對稱性，板間電場僅沿 $y$ 方向變化：

$$\mathbf E(y)=E_y(y)\,\hat{\mathbf y}.$$

題圖取下板為 $y=0$、上板為 $y=h$，且上板電位比下板高 $V_0$：

$$V(h)-V(0)=V_0.$$

使用高斯定律的微分形式：

$$\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho_v}{\varepsilon_0},$$

其中題目給定

$$\rho_v=\frac{\rho_0 y}{h}.$$

題圖未標示特殊介質，以下採空氣／真空近似，介電率為 $\varepsilon_0$。

解題方法

由於 $\mathbf E=E_y(y)\hat{\mathbf y}$，高斯定律成為

$$\frac{dE_y}{dy} =\frac{\rho_v}{\varepsilon_0} =\frac{\rho_0 y}{\varepsilon_0 h}.$$

對 $y$ 積分：

$$E_y(y)=\frac{\rho_0 y^2}{2\varepsilon_0 h}+C,$$

其中 $C$ 為積分常數。

電場與電位的關係為

$$E_y=-\frac{dV}{dy}.$$

利用兩板間的電位差：

$$V(h)-V(0) =-\int_0^h E_y(y)\,dy =V_0.$$

代入 $E_y(y)$：

$$-\int_0^h \left( \frac{\rho_0 y^2}{2\varepsilon_0 h}+C \right)dy =V_0.$$

因此

$$-\left( \frac{\rho_0 h^2}{6\varepsilon_0}+Ch \right)=V_0,$$

解得

$$C=-\frac{V_0}{h}-\frac{\rho_0 h}{6\varepsilon_0}.$$

所以板間電場為

內部電感 (單根導線)
均勵電流分布下，導線內部磁場

$B(r)=\frac{\mu_{0}I\,r}{2\pi b^{2}}\qquad(0\le r\le b)$

磁通量/單位長

$$\Phi_{\text{int}}=\int_{0}^{b}B(r)\,2\pi r\,dr =\frac{\mu_{0}I}{8\pi} \; .$$

單根導線的內部電感

$$L_{\text{int}}^{(1)}=\frac{\Phi_{\text{int}}}{I} =\frac{\mu_{0}}{8\pi}\;(\text{H/m})$$

兩根導線之內部電感
兩根相同導線均有相同內部電感，故

$$L_{\text{int}}=2L_{\text{int}}^{(1)} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\;(\text{H/m}) .$$

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外部電感
對於相鄰且電流方向相反的兩根長直導線，外部磁場等效於半徑 $r$ 的圓形迴路

核心觀念
本題考查沿 $+x$ 方向傳播之橫電磁波（TEM wave）在**頻域（Frequency Domain / Phasor Domain）與時域（Time Domain）**下的行波因子（Traveling-wave Factor）。

1. 頻域表示法（相量形式）：電磁波在空間中的傳播特性由複數傳播常數（Complex Propagation Constant）$\gamma = \alpha + j\beta$ 決定。沿 $+x$ 正方向傳播的波，其頻域空間行波因子為 $e^{-\gamma x}$（若在無耗損介質中，衰減常數 $\alpha = 0$，可簡化為 $e^{-j\beta x}$）。
2. 時域表示法（瞬時形式）：將頻域相量乘上時間相位因子 $e^{j\omega t}$ 並取實部 $\text{Re}\{\cdot\}$，可得到時域行波因子 $e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x)$（無耗損介質下為 $\cos(\omega t - \beta x)$）。

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解題方法
推導沿 $+x$ 方向傳播之 TEM 波在頻域與時域的行波因子步驟如下：

1. 頻域（Frequency Domain）行波因子推導：
   由馬克斯威爾方程式導出之純量波動方程式（Helmholtz Equation）：
   $\frac{d^2 E_y}{dx^2} - \gamma^2 E_y = 0$
   其通解形式為：
   $E_y(x) = E_0^+ e^{-\gamma x} + E_0^- e^{+\gamma x}$
   其中，$E_0^+ e^{-\gamma x}$ 項代表沿 $+x$ 方向傳播的波。因此頻域行波因子為：

   • 有耗損介質（General Lossy Medium）：傳播常數 $\gamma = \alpha + j\beta$，頻域行波因子為：
     $e^{-\gamma x} = e^{-\alpha x} e^{-j\beta x}$
   • 無耗損介質（Lossless Medium）：衰減常數 $\alpha = 0$，$\gamma = j\beta$，頻域行波因子簡化為：
     $e^{-j\beta x}$

2. 時域（Time Domain）行波因子推導：
   將頻域相量轉換至時域瞬時表示式，採用相量-時域轉換公式：
   $\mathbf{E}(x, t) = \text{Re}\left\{ \mathbf{\tilde{E}}(x) e^{j\omega t} \right\}$
   將頻域正向行波相量 $\mathbf{\tilde{E}}(x) = \hat{a}_y E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta x}$ 代入：
   $\mathbf{E}(x, t) = \text{Re}\left\{ \hat{a}_y E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} e^{j\omega t} \right\} = \hat{a}_y E_0 e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x)$

核心觀念

1. 橫電磁波（TEM Wave）的定義：波動在傳播過程中，電場向量 $\vec{E}$ 與磁場向量 $\vec{H}$ 皆完全垂直於波的傳播方向 $\hat{a}_k$。若波動沿 $+z$ 方向傳播，則電場與磁場之縱向分量（Longitudinal Components）恆為零，即 $E_z = 0$ 且 $H_z = 0$。
2. 極化（Polarization）的定義：極化用於描述電場向量端點隨時間在與傳播方向垂直之「橫截面」（Transverse Plane，即 $xy$ 平面）上描繪出的軌跡形態。
3. 負橢圓極化（Negative Elliptically Polarized Wave）：當橫向電場分量 $E_x$ 與 $E_y$ 的振幅與相位滿足橢圓軌跡條件，且電場向量端點在橫截面上隨時間旋轉的方向符合負向（Negative Sense of Rotation）規定時，即稱為負橢圓極化波。

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解題方法
以下透過均勻平面波（Uniform Plane Wave）之場方程式進行嚴謹推導與說明：

步驟一：建立沿 $+z$ 方向傳播之平面波場相量
設一平面波於均勻、無損耗介質中沿 $+z$ 方向傳播，其電場相量（Phasor）一般式表示為：
$\vec{E}(z) = (\hat{a}_x E_x + \hat{a}_y E_y) e^{-j k z} = (\hat{a}_x E_{0x} e^{j\theta_x} + \hat{a}_y E_{0y} e^{j\theta_y}) e^{-j k z}$
其中 $E_{0x}, E_{0y} > 0$ 為兩正交橫向分量之振幅，$\theta_x, \theta_y$ 為其初始相位，$k$ 為波數。

對應之磁場相量由麥克斯威爾方程式推得：
$\vec{H}(z) = \frac{1}{\eta} \hat{a}_z \times \vec{E}(z) = \left( -\hat{a}_x \frac{E_{0y}}{\eta} e^{j\theta_y} + \hat{a}_y \frac{E_{0x}}{\eta} e^{j\theta_x} \right) e^{-j k z}$
其中 $\eta$ 為介質之本徵阻抗（Intrinsic Impedance）。

步驟二：驗證 TEM 波的充要條件
觀察上述電場與磁場之分量：
$E_z = 0$
$H_z = 0$
電場與磁場向量完全限制於 $xy$ 橫截面內，無任何縱向場分量，完全滿足 TEM 波的定義。

步驟三：驗證負橢圓極化條件
取固定位置 $z = 0$，將相量轉換為時域（Time-Domain）實數表達式：
$E_x(t) = E_{0x} \cos(\omega t + \theta_x)$
$E_y(t) = E_{0y} \cos(\omega t + \theta_y)$

核心觀念

同軸線以 TEM 模態傳播時：

• 電場只有徑向分量 $\mathbf{E}=E_r\hat{\mathbf a}_r$；
• 磁場只有方位角分量 $\mathbf{H}=H_\phi\hat{\mathbf a}_\phi$；
• 內導體半徑為 $a$，外導體內半徑為 $b$；
• 介質參數為 $\mu,\epsilon,\sigma$；
• 兩導體間電壓取為 $V_0^t(z)$，其對應的傳輸電流為 $I_0^t(z)$。

由高斯定律與安培定律，可分別求得徑向電場與方位角磁場。

解題方法

1. 電場強度

在 $a<r<b$ 的介質區域內，TEM 電場沿徑向：

$$\mathbf{E}(r,z)=E_r(r,z)\hat{\mathbf a}_r$$

由於同軸結構具有圓柱對稱性，電位只與 $r$ 有關，且滿足

$$V_0^t(z)=\int_a^b \mathbf{E}\cdot d\mathbf l =\int_a^b E_r(r,z)\,dr$$

又因為圓柱形電極的電場必與 $1/r$ 成正比，因此

$$E_r(r,z)=\frac{C(z)}{r}$$

代入電壓關係：

$$V_0^t(z)=C(z)\int_a^b\frac{dr}{r} =C(z)\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

故

$$\boxed{ \mathbf{E}(r,z)= \frac{V_0^t(z)} {r\ln(b/a)} \hat{\mathbf a}_r } \qquad (a<r<b)$$

若波沿 $+z$ 方向傳播，則

$$V_0^t(z)=V_0^t(0)e^{-\gamma z}$$

其中傳播常數為

$$\gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\epsilon)}$$

因此也可寫成

$$\boxed{ \mathbf{E}(r,z)= \frac{V_0^t(0)e^{-\gamma z}} {r\ln(b/a)} \hat{\mathbf a}_r }$$

2. 磁場強度

取半徑為 $r$ 的圓形安培迴路，根據安培定律：

$$\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf l=I_0^t(z)$$

由圓柱對稱性，$H_\phi$ 在迴路上為定值，因此

$$H_\phi(r,z)(2\pi r)=I_0^t(z)$$

得到

$$\boxed{ \mathbf{H}(r,z)= \frac{I_0^t(z)}{2\pi r} \hat{\mathbf a}_\phi }$$

在均勻介質中，電磁波的場阻抗為

$$\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}$$

且 TEM 波滿足

$$\mathbf{E}=\eta\mathbf{H}\times\hat{\mathbf a}_z$$

所以

$$H_\phi(r,z)=\frac{E_r(r,z)}{\eta}$$

因此

$$\boxed{ \mathbf{H}(r,z)= \frac{V_0^t(z)} {\eta\,r\ln(b/a)} \hat{\mathbf a}_\phi }$$

相對應的傳輸電流為

$$\boxed{ I_0^t(z)= \frac{2\pi V_0^t(z)} {\eta\ln(b/a)} }$$

同軸線的特性阻抗為

$$\boxed{ Z_0=\frac{V_0^t(z)}{I_0^t(z)} =\frac{\eta}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) }$$

3. 兩導體表面電流密度

表面電流密度由磁場的邊界條件決定：

$$\mathbf{J}_s=\hat{\mathbf a}_n\times\mathbf{H}$$

核心觀念

本題探討均勻平面波在兩種無耗損介質介面上的斜向入射與平行偏振（Parallel Polarization，又稱 TM 偏振或 E-偏振）。核心物理定律為電磁場在無自由電荷與自由表面電流分界面上的邊界條件（Boundary Conditions）：

1. 平行偏振定義：電場向量 $\mathbf{E}$ 位於入射平面（Plane of Incidence）內，磁場向量 $\mathbf{H}$ 則垂直於入射平面。
2. 切線分量連續性：
   • 電場的切線分量在介面兩側連續：$E_{1t} = E_{2t}$。
   • 磁場的切線分量在無表面自由電流的介面兩側連續：$H_{1t} = H_{2t}$。
3. 反射與穿透係數定義：
   • 反射係數：$\Gamma = \frac{E_{r0}}{E_{i0}}$
   • 穿透係數：$\tau = \frac{E_{t0}}{E_{i0}}$
     其中 $E_{i0}$、$E_{r0}$ 與 $E_{t0}$ 分別為入射波、反射波與透射波的電場振幅。

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解題方法

設分界面為 $z = 0$ 平面，入射平面為 $xz$ 平面（即 $\hat{y}$ 為介面的法線外積方向，垂直於入射平面）。

1. 設定電場向量

在平行偏振下，各波的電場振幅與傳播方向關係如下：

• 入射波（入射角為 $\theta_i$）：
  電場向量在介面處（$z=0$）的切線分量（沿 $\hat{x}$ 方向）為： $$E_{ix} = E_{i0} \cos\theta_i$$
• 反射波（反射角由反射定律知等於入射角 $\theta_i$）：
  反射波的傳播方向向負 $z$ 方向反射，其電場切線分量反向： $$E_{rx} = - E_{r0} \cos\theta_i$$ （註：若選取反射波電場定義方向使得介面切向同向，則由反射係數定義對應其符號；標準教科書 Cheng / Sadiku / Hayt 中，平行偏振的反射電場切線分量為 $E_{r0} \cos\theta_i$，且與入射波同向相加）。在此依標準邊界連續條件設定：
  介面兩側平行於分界面的總切線電場為： $$E_{1t} = (E_{i0} + E_{r0}) \cos\theta_i$$
• 透射（折射）波（折射角為 $\theta_t$）：
  透射波電場在分界面處的切線分量為： $$E_{2t} = E_{t0} \cos\theta_t$$

2. 代入切線電場連續之邊界條件

在介面 $z = 0$ 處，切線電場必須連續：

$$E_{1t} = E_{2t}$$ $$(E_{i0} + E_{r0}) \cos\theta_i = E_{t0} \cos\theta_t$$

3. 整理出反射與穿透係數之關係

將等式兩邊同除以 $E_{i0} \cos\theta_i$：

$$\frac{E_{i0} + E_{r0}}{E_{i0}} = \frac{E_{t0}}{E_{i0}} \frac{\cos\theta_t}{\cos\theta_i}$$

核心觀念

圖 4 為對稱的 Wilkinson 功率分配器。輸入端激勵時，兩條支路具有相同電壓，因此

$V_2=V_3$

兩輸出端之間的隔離電阻兩端電壓為零，不流過電流。每條支路可視為特性阻抗 $\sqrt{2}Z_0$、電氣長度 $\theta=\pi/2$ 的四分之一波長變壓器，負載為 $Z_0$。

輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}$

四分之一波長傳輸線的阻抗轉換公式為

$$Z_{\mathrm{arm}}=\frac{Z_c^2}{Z_L}$$

其中

$$Z_c=\sqrt{2}Z_0,\qquad Z_L=Z_0$$

所以每一條支路在分岔點看入的阻抗為

$$Z_{\mathrm{arm}} =\frac{(\sqrt{2}Z_0)^2}{Z_0} =2Z_0$$

兩條相同支路並聯，因此

$$Z_{\mathrm{in}} =2Z_0\parallel 2Z_0 =\frac{(2Z_0)(2Z_0)}{2Z_0+2Z_0} =Z_0$$

因此輸入端與標示為 $Z_0$ 的輸入線匹配。

電壓比 $V_2/V_1$