115 年 國立成功大學交通管理科學系碩士班甲組《統計學》

這題主要在考察敘述統計學中，用來描述資料集中趨勢與分布形狀的基本概念。

（1）各項統計量的定義如下：

• 平均數 (mean)：所有觀測值的總和除以觀測值的個數。它是最常用來衡量資料集中趨勢的指標。
  $\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i$
  其中 $\mu$ 為母體平均數，$N$ 為母體大小，$x_i$ 為母體中的第 $i$ 個觀測值。樣本平均數則記為 $\bar{x}$。

• 中位數 (median)：將所有觀測值由小到大（或由大到小）排列後，位於最中間的那個數值。如果觀測值的個數是偶數，則中位數為中間兩個數值的平均。中位數不受極端值影響，因此在資料有偏斜時，常比平均數更能代表資料的集中趨勢。

• 眾數 (mode)：在所有觀測值中出現頻率最高的數值。如果有多個數值出現的頻率相同且最高，則有多個眾數；如果所有數值出現的頻率都相同，則無眾數。眾數適用於類別資料和數值資料，但對於連續性資料，其意義較不顯著。

• 峰態 (kurtosis)：用來描述機率分布的峰部尖銳程度和尾部厚度，相較於常態分布。

  • 正峰態 (Leptokurtic)：峰部比常態分布更尖銳，尾部比常態分布更厚。這表示極端值出現的機率較高。
  • 負峰態 (Platykurtic)：峰部比常態分布更平坦，尾部比常態分布更薄。這表示極端值出現的機率較低。
  • 常態峰態 (Mesokurtic)：峰部尖銳度和尾部厚度與常態分布相似。

本題主要考察隨機變數的變異數、共變異數及相關係數等基本性質。

已知：
$Var(X) = 5$
$Var(Y) = 4$
$Var(Z) = 3$
$\rho(X,Y) = 0.6$ (X 與 Y 的相關係數)
X, Y 對 Z 為獨立 (表示 $Cov(X,Z)=0$ 且 $Cov(Y,Z)=0$)

（1）求 Cov(X,Y)：
我們知道相關係數 $\rho(X,Y)$ 與共變異數 $Cov(X,Y)$、標準差 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 的關係為：
$\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
首先，我們需要計算 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$：
$\sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{5}$
$\sigma_Y = \sqrt{Var(Y)} = \sqrt{4} = 2$
現在，我們可以重新整理公式來求解 $Cov(X,Y)$：
$Cov(X,Y) = \rho(X,Y) \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y$
$Cov(X,Y) = 0.6 \cdot \sqrt{5} \cdot 2$
$Cov(X,Y) = 1.2 \sqrt{5}$

（2）求 Var (X+Y)：
變異數的性質之一是 $Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2Cov(A,B)$。
$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$
我們已經知道 $Var(X)=5$、$Var(Y)=4$，以及從（1）計算出的 $Cov(X,Y) = 1.2\sqrt{5}$。
$Var(X+Y) = 5 + 4 + 2(1.2\sqrt{5})$
$Var(X+Y) = 9 + 2.4\sqrt{5}$

（3）求 Var (Y-Z)：
變異數的性質是 $Var(A-B) = Var(A) + Var(B) - 2Cov(A,B)$。
$Var(Y-Z) = Var(Y) + Var(Z) - 2Cov(Y,Z)$

本題考驗的是比例的信賴區間估計，以及兩個比例差的信賴區間估計。

樣本資訊：
總樣本數 $n = 700$
支持科技執法者人數 $n_S = 308$
反對科技執法者人數 $n_R = 252$
無效樣本人數 $n_{Invalid} = 700 - 308 - 252 = 140$

信賴水準為 95%，對應的 $Z$ 值為 $Z_{0.025} = 1.96$。

（1）民眾對科技執法之支持度之信賴區間：
首先，計算支持度的樣本比例 $\hat{p}_S$：
$\hat{p}_S = \frac{n_S}{n} = \frac{308}{700}$
$\hat{p}_S = 0.44$
支持度樣本比例的標準誤為：
$SE(\hat{p}_S) = \sqrt{\frac{\hat{p}_S(1-\hat{p}_S)}{n}}$
$SE(\hat{p}_S) = \sqrt{\frac{0.44(1-0.44)}{700}} = \sqrt{\frac{0.44 \times 0.56}{700}}$
$SE(\hat{p}_S) = \sqrt{\frac{0.2464}{700}} \approx \sqrt{0.000352} \approx 0.01876$
95% 信賴區間為：
$\hat{p}_S \pm Z_{0.025} \times SE(\hat{p}_S)$
$0.44 \pm 1.96 \times 0.01876$
$0.44 \pm 0.03677$
信賴區間約為 $(0.44 - 0.03677, 0.44 + 0.03677) = (0.40323, 0.47677)$。

（2）民眾對科技執法支持度與反對度之差的信賴區間：
首先，計算反對度的樣本比例 $\hat{p}_R$：
$\hat{p}_R = \frac{n_R}{n} = \frac{252}{700}$
$\hat{p}_R = 0.36$
我們關心的是支持度與反對度之差，即 $p_S - p_R$。
樣本比例差的估計值為：

本題考驗對線性迴歸分析中 ANOVA 表格、標準誤、t 值、F 值及 $R^2$ 的理解與計算。

給定資料：
樣本數 $n = 20$
ANOVA 表格：

Standard 表格：

（1）完成表中自 (A) 到 (I) 之數值：

• (A)：Regression 的自由度 (df)。對於簡單線性迴歸，自變數只有一個 (X)，所以 Regression 的 df 為 1。
  $(A) = 1$

• (B)：Residual 的自由度 (df)。總樣本數 $n$ 減去模型參數的個數 (截距項和斜率項，共 2 個)。
  $(B) = n - 2 = 20 - 2 = 18$

• (C)：Total 的自由度 (df)。總樣本數減 1。
  $(C) = n - 1 = 20 - 1 = 19$
  驗證：$df_{Regression} + df_{Residual} = 1 + 18 = 19 = df_{Total}$。

• (D)：Residual 的平方和 (SS)。
  $SS_{Total} = SS_{Regression} + SS_{Residual}$
  $19.88 = 13.92 + SS_{Residual}$
  $(D) = SS_{Residual} = 19.88 - 13.92 = 5.96$

• (E)：Regression 的均方 (MS)。
  $MS_{Regression} = \frac{SS_{Regression}}{df_{Regression}}$
  $(E) = \frac{13.92}{1} = 13.92$

• (F)：Residual 的均方 (MS)。
  $MS_{Residual} = \frac{SS_{Residual}}{df_{Residual}}$
  $(F) = \frac{5.96}{18} \approx 0.3311$

• (G)：F 值。F 統計量是用來檢定迴歸模型整體顯著性的。
  $F = \frac{MS_{Regression}}{MS_{Residual}}$

本題考驗的是獨立樣本 t 檢定，用於比較兩組獨立樣本的平均數是否有顯著差異。

樣本資訊：
生產線 A：
樣本數 $n_A = 50$
樣本平均數 $\bar{x}_A = 27$
樣本標準差 $s_A = 23$

生產線 B：
樣本數 $n_B = 50$
樣本平均數 $\bar{x}_B = 24$
樣本標準差 $s_B = 26$

信賴水準為 95%，因此顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
由於是比較兩組平均數是否有差異，我們進行雙尾檢定。

檢定步驟：

1. 建立假設：

   • 虛無假設 $H_0: \mu_A = \mu_B$ (兩生產線的平均穩定率沒有差異)
   • 對立假設 $H_1: \mu_A \neq \mu_B$ (兩生產線的平均穩定率有差異)

2. 計算檢定統計量：
   由於兩組樣本數相同 ($n_A = n_B = 50$)，且我們通常假設兩組的變異數相等（雖然題目給的標準差不同，但在此類題目中，若未特別說明，常先假設變異數相等，進行合併變異數估計。若題目有提供變異數大小的資訊，則可考慮使用 Welch's t-test，但在此處，標準差的數值較大，直接使用合併變異數較為穩妥，且題目也提供了 t 表，暗示使用 t 檢定）。

   首先，計算合併變異數 $s_p^2$：
   $s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}$
   注意：題目給的是標準差 (SD)，但變異數是 SD 的平方。
   $s_A^2 = 23^2 = 529$
   $s_B^2 = 26^2 = 676$
   $s_p^2 = \frac{(50-1) \times 529 + (50-1) \times 676}{50 + 50 - 2}$
   $s_p^2 = \frac{49 \times 529 + 49 \times 676}{98}$
   $s_p^2 = \frac{49 \times (529 + 676)}{98}$
   $s_p^2 = \frac{49 \times 1205}{98}$
   $s_p^2 = \frac{1205}{2} = 602.5$

   接下來，計算 t 統計量：
   $t = \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - (\mu_A - \mu_B)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}}$
   在虛無假設下，$(\mu_A - \mu_B) = 0$。
   $s_p = \sqrt{s_p^2} = \sqrt{602.5} \approx 24.546$
   $t = \frac{(27 - 24) - 0}{24.546 \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{1}{50}}}$