112 年 國立成功大學交通管理科學系碩士班乙組《統計學》

這題是關於單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的應用。題目提供了不同焦慮程度（正常、中度、嚴重）的學生在一個學期內缺課數量的統計資料，並要求進行 ANOVA 分析，包括填寫 ANOVA 表、假設檢定、估計共同標準差、建立信賴區間以及探討 ANOVA 的假設。

核心觀念：

1. ANOVA 表填寫： 根據總和平方和 (SS)、自由度 (df) 和平均平方和 (MS) 的關係，以及 F 檢定的定義，可以填寫 ANOVA 表。
2. 假設檢定： ANOVA 的核心是檢定各組平均數是否相等。
3. 共同標準差估計： $s_p$ 是對各組母體標準差的綜合估計。
4. 信賴區間： 針對兩組平均數差異的信賴區間計算，涉及 t 分配。
5. ANOVA 假設： 了解 ANOVA 分析成立的條件，特別是常態性和變異數同質性。

解題過程：

(a) 填寫 ANOVA 表及結果解釋

首先，我們需要計算 ANOVA 表中的各項數值。

• Groups (between-group) 變異：

  • df (Groups) = k - 1 = 3 - 1 = 2 (其中 k 為組別數，這裡有 Normal, Moderate, Severe 三組)。
  • SS (Groups) = $\sum_{i=1}^k n_i (\bar{x}_i - \bar{y})^2$。題目給了 $\bar{y} = 2.21$。
    • $n_{normal}(\bar{x}_{normal} - \bar{y})^2 = 181(2.01 - 2.21)^2 = 181(-0.20)^2 = 181 \times 0.04 = 7.24$
    • $n_{moderate}(\bar{x}_{moderate} - \bar{y})^2 = 56(2.13 - 2.21)^2 = 56(-0.08)^2 = 56 \times 0.0064 = 0.3584$
    • $n_{severe}(\bar{x}_{severe} - \bar{y})^2 = 16(4.75 - 2.21)^2 = 16(2.54)^2 = 16 \times 6.4516 = 103.2256$
    • SS (Groups) = $7.24 + 0.3584 + 103.2256 = 110.824$
  • MS (Groups) = SS (Groups) / df (Groups) = $110.824 / 2 = 55.412$

• Total 變異：

  • df (Total) = N - 1 = 253 - 1 = 252。
  • SS (Total) = $\sum_{i=1}^{253} (y_i - \bar{y})^2 = 2645.9$ (題目已給)。

• Error (within-group) 變異：

  • df (Error) = df (Total) - df (Groups) = $252 - 2 = 250$。
  • SS (Error) = SS (Total) - SS (Groups) = $2645.9 - 110.824 = 2535.076$。
    • 題目提供的 $180 \times (3.11)^2 + 55 \times (3.05)^2 + 15 \times (4.37)^2 \approx 2535.1$ 驗證了 SS (Error) 的計算。
  • MS (Error) = SS (Error) / df (Error) = $2535.076 / 250 = 10.1403$。

• F 檢定統計量：

  • F = MS (Groups) / MS (Error) = $55.412 / 10.1403 \approx 5.4645$。

將這些數值填入 ANOVA 表：

Source	df	SS	MS	F	p-value
Groups	2	110.824	55.412	5.4645	0.0048
Error	250	2535.076	10.1403
Total	252	2645.9

結果解釋：
ANOVA 表中的 p-value 為 0.0048，顯著水準 $\alpha$ 通常設定為 0.05。由於 p-value (0.0048) < $\alpha$ (0.05)，我們拒絕虛無假設。這表示至少有一個焦慮程度（正常、中度、嚴重）的母體平均缺課數與其他組不同。換句話說，焦慮程度對學生平均缺課數有顯著影響。

【答案】
ANOVA 表填寫如下：

Source	df	SS	MS	F	p-value
Groups	2	110.824	55.412	5.4645	0.0048
Error	250	2535.076	10.1403
Total	252	2645.9
解釋： 由於 p-value (0.0048) 小於常用的顯著水準 0.05，我們拒絕虛無假設，結論是至少有一個焦慮程度的學生群體，其平均缺課數與其他群體有顯著差異。

(b) 虛無與對立假設

• 虛無假設 ($H_0$)： 所有焦慮程度群體的母體平均缺課數都相等。
  $H_0: \mu_{normal} = \mu_{moderate} = \mu_{severe}$

一、第一部分：三組焦慮程度與缺課次數

核心觀念

本題使用單因子變異數分析（one-way ANOVA），比較三種焦慮程度下「平均缺課次數」是否相同。

• 組間自由度：$k-1$
• 組內自由度：$N-k$
• 總自由度：$N-1$
• $MS=\dfrac{SS}{df}$
• $F=\dfrac{MS_{\text{Groups}}}{MS_{\text{Error}}}$

其中共有 $k=3$ 組、$N=253$ 人。

(a) ANOVA 表與檢定結果

總自由度為

$$df_T=253-1=252$$

組間自由度為

$$df_G=3-1=2$$

誤差自由度為

$$df_E=253-3=250$$

由題目給定：

$$SS_T=2645.9$$ $$SS_E\approx2535.1$$

因此組間平方和為

$$SS_G=SS_T-SS_E=2645.9-2535.1=110.8$$

各均方為

$$MS_G=\frac{110.8}{2}=55.4$$ $$MS_E=\frac{2535.1}{250}=10.1404$$

故

$$F=\frac{55.4}{10.1404}\approx5.46$$

完整 ANOVA 表如下：

來源	$df$	$SS$	$MS$	$F$	$p$-value
Groups	$2$	$110.8$	$55.4$	$5.46$	$0.0048$
Error	$250$	$2535.1$	$10.1404$
Total	$252$	$2645.9$

因為

$$p=0.0048<0.05$$

所以拒絕「三組平均缺課次數相同」的虛無假設。資料顯示不同焦慮程度的學生，其平均缺課次數並非全部相同；但 ANOVA 本身只能判定至少有一組平均數不同，不能直接判定是哪幾組不同。

(b) 假設與結論

令 $\mu_N,\mu_M,\mu_S$ 分別代表正常、中度、重度焦慮學生的母體平均缺課次數。

$$H_0:\mu_N=\mu_M=\mu_S$$ $$H_a:\text{至少有一組平均數不同}$$

由 $p=0.0048<0.05$，拒絕 $H_0$。在統計上，焦慮程度與平均缺課次數之間存在顯著差異。

(c) 共用母體標準差的 pooled estimate

合併標準差估計為誤差均方的平方根：

$$s_p=\sqrt{MS_E} =\sqrt{10.1404} \approx3.18$$

因此

$$\boxed{s_p\approx3.18}$$

(d) 99% 信賴區間

重度焦慮組與正常焦慮組的樣本平均差為

$$\bar{x}_S-\bar{x}_N=4.75-2.01=2.74$$

所以信賴區間為

$$(\bar{x}_S-\bar{x}_N) \pm t^*s_p\sqrt{\frac1{n_S}+\frac1{n_N}}$$

代入

$$n_S=16,\qquad n_N=181,\qquad df=250$$

且

$$s_p\approx3.18,\qquad t^*_{0.995,250}\approx2.60$$

得到

$$2.74\pm2.60(3.18) \sqrt{\frac1{16}+\frac1{181}}$$ $$=2.74\pm2.16$$

因此

$$\boxed{(0.58,\ 4.90)}$$

各空格應填：

• 差異的點估計：$2.74$
• 第一個樣本數：$16$
• 第二個樣本數：$181$
• 自由度：$250$
• $s_p$：$3.18$

此區間不包含 $0$，也支持重度焦慮組的平均缺課次數高於正常焦慮組。

(e) ANOVA 的另外兩項假設

在已知各組為獨立隨機樣本之外，ANOVA 還假設：

1. 每一組內的觀察值來自常態分布。
2. 各組母體變異數相等，即具有相同母體標準差。

(f) 圖形顯示的最嚴重問題

這題主要在考驗資料整理、統計圖表繪製以及統計推論的基本概念，包含中位數、四分位數的計算，盒狀圖的繪製，以及判斷何種統計規則（Chebyshev's Theorem 或 Empirical Rule）適用於估計資料分布區間。

(a) 計算中位數、第一四分位數與第三四分位數

核心觀念：
中位數（Median）是將排序後資料集中的中間值；第一四分位數（Q1）是排序後資料集中，低於中位數一半的資料的其中位數；第三四分位數（Q3）是排序後資料集中，高於中位數一半的資料的其中位數。

解題過程：
首先，將給定的 19 個數據由小到大排序：
6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0, 10.2, 11.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8

資料個數 $n=19$。

1. 計算中位數 (Median)：
   由於 $n=19$ 是奇數，中位數是排序後的第 $\frac{n+1}{2}$ 個數據。
   $\frac{19+1}{2} = \frac{20}{2} = 10$
   排序後的第 10 個數據是 10.2。
   所以，中位數為 10.2。

2. 計算第一四分位數 (Q1)：
   第一四分位數是低於中位數（第 10 個數據）的一半資料（即前 9 個數據）的中位數。
   前 9 個數據為：6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0。
   這 9 個數據的中位數是排序後的第 $\frac{9+1}{2} = 5$ 個數據。
   第 5 個數據是 8.9。
   所以，第一四分位數 Q1 為 8.9。

3. 計算第三四分位數 (Q3)：
   第三四分位數是高於中位數（第 10 個數據）的一半資料（即後 9 個數據）的中位數。
   後 9 個數據為：11.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8。
   這 9 個數據的中位數是排序後的第 $\frac{9+1}{2} = 5$ 個數據。
   排序後，這 9 個數據為：11.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8。
   請注意，這裡我重新列出所有數據：6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0, 10.2, 11.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8
   這裡我發現原始數據有 19 個，我在複製時漏掉了一個 11.2，且似乎有個 11.5 被重複計算。
   讓我們重新排序並確認數據個數。
   原始數據：8.9, 10.2, 11.5, 7.8, 10.0, 12.2, 13.5, 14.1, 10.0, 12.2, 6.8, 9.5, 11.5, 14.9, 7.5, 10.0, 6.0, 15.8, 11.5
   共有 19 個數據。
   排序後：6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0, 10.2, 11.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8
   這裡我發現一個問題，我重複了 10.0 和 11.5。
   重新仔細核對題目給的數據：
   8.9, 10.2, 11.5, 7.8, 10.0, 12.2, 13.5, 14.1, 10.0, 12.2
   6.8, 9.5, 11.5, 14.9, 7.5, 10.0, 6.0, 15.8, 11.5
   共有 19 個數據。
   它們是：
   6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0, 10.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8
   這個排序看起來是對的，沒有重複。
   $n=19$。
   中位數是第 $\frac{19+1}{2} = 10$ 個數據，即 10.2。

   Q1: 前 9 個數據的中位數。
   6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0
   第 $\frac{9+1}{2} = 5$ 個數據是 8.9。
   Q1 = 8.9。

   Q3: 後 9 個數據的中位數。
   11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8
   第 $\frac{9+1}{2} = 5$ 個數據是 12.2。
   Q3 = 12.2。

計算步驟確認：
數據個數 $n=19$。
排序後數據：6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0, 10.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8

• 中位數 (Median): 第 $\frac{19+1}{2} = 10$ 個數，即 $10.2$。
• 第一四分位數 (Q1): 前 $(10-1)/2 = 4.5$ 的數據，即前 9 個數據的中位數。前 9 個數據為 6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0。Q1 為第 5 個數，即 $8.9$。
• 第三四分位數 (Q3): 後 $(19-10)/2 = 4.5$ 的數據，即後 9 個數據的中位數。後 9 個數據為 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8。Q3 為第 5 個數，即 $12.2$。

注意： 計算四分位數的方法有多種，這裡採用的是最常見的 Minitab 或 Tukey 的方法，即排除中位數後再取左右兩側的中位數。如果採用包含中位數的方法，結果會略有不同。通常在考試中，若無特別說明，採此方法。

【答案】
中位數 (Median) = 10.2
第一四分位數 (Q1) = 8.9
第三四分位數 (Q3) = 12.2

(b) 繪製盒狀圖 (Box Plot)

核心觀念：
盒狀圖是一種用來顯示資料分布的圖形，它主要由五數統計量（最小值、Q1、中位數、Q3、最大值）構成，並能顯示資料的離散程度、偏態及異常值。

解題過程：
在繪製盒狀圖之前，我們需要計算五數統計量：最小值、Q1、中位數、Q3、最大值。
我們已經計算出：

• Q1 = 8.9
• 中位數 (Median) = 10.2
• Q3 = 12.2

現在找出最小值和最大值：
排序後數據：6.0, 6.8, 7.5, 7.8, 8.9, 9.5, 10.0, 10.0, 10.0, 10.2, 11.5, 11.5, 11.5, 12.2, 12.2, 13.5, 14.1, 14.9, 15.8

• 最小值 (Minimum) = 6.0
• 最大值 (Maximum) = 15.8

接著，我們計算組距 (Interquartile Range, IQR)：
$IQR = Q3 - Q1 = 12.2 - 8.9 = 3.3$

盒狀圖的繪製步驟：

1. 繪製數軸： 選擇一個合適的數軸範圍，能夠包含最小值 (6.0) 和最大值 (15.8)。

2. 繪製箱體 (Box)： 從 Q1 (8.9) 到 Q3 (12.2) 繪製一個箱體。

3. 繪製中位數線： 在箱體內，標示出中位數 (10.2) 的位置，通常是一條線段。

4. 繪製鬚線 (Whiskers)：

   • 從箱體的 Q1 位置向左延伸一條鬚線到「非異常值」中的最小值。
   • 從箱體的 Q3 位置向右延伸一條鬚線到「非異常值」中的最大值。

   判斷異常值 (Outliers)：
   異常值的計算通常是：

   • 下限：$Q1 - 1.5 \times IQR = 8.9 - 1.5 \times 3.3 = 8.9 - 4.95 = 3.95$
   • 上限：$Q3 + 1.5 \times IQR = 12.2 + 1.5 \times 3.3 = 12.2 + 4.95 = 17.15$

   在這個數據集中：

   • 最小值 6.0 大於下限 3.95，所以 6.0 不是異常值。
   • 最大值 15.8 小於上限 17.15，所以 15.8 不是異常值。

   因此，鬚線的長度將延伸到最小值 (6.0) 和最大值 (15.8)。

盒狀圖的繪製：

        |-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
      6.0     7.0     8.0     8.9    10.2    12.2    13.0    14.0    15.0    15.8
      Min     Q1      Median  Q3      Max

      <--------------------- Box Plot --------------------->
      |-------|===========|-------|===========|-------|
      6.0     8.9       10.2      12.2      15.8
      Min     Q1       Median     Q3       Max

說明：

• 箱子的左邊緣是 Q1 (8.9)。
• 箱子的右邊緣是 Q3 (12.2)。
• 箱子中間的線是中位數 (10.2)。
• 左邊的鬚線從 Q1 (8.9) 延伸到最小值 (6.0)。
• 右邊的鬚線從 Q3 (12.2) 延伸到最大值 (15.8)。
• 由於沒有異常值，所以沒有獨立標示的點。

【答案】
盒狀圖的繪製步驟如上所述。箱體範圍為 [8.9, 12.2]，中位數線在 10.2，左鬚線延伸至 6.0，右鬚線延伸至 15.8。

(c) 判斷 Chebyshev's Theorem 或 Empirical Rule 的適用性

核心觀念：

• Chebyshev's Theorem (柴比雪夫定理)： 對於任何分布形狀的數據集，至少有 $(1 - 1/k^2)$ 的數據落在距離平均值 $k$ 個標準差的範圍內 ($k > 1$)。此定理適用於任何分布。
• Empirical Rule (經驗法則)： 適用於近似對稱且單峰的分布（特別是常態分布）。它指出：
  • 約 68% 的數據落在距離平均值 1 個標準差的範圍內。
  • 約 95% 的數據落在距離平均值 2 個標準差的範圍內。

核心觀念

本題考單一母體平均數的左尾 $t$ 檢定，以及母體平均數的 $95\%$ 信賴區間。母體標準差未知，使用樣本標準差 $s=6$ 估計，因此檢定統計量服從自由度 $n-1$ 的 $t$ 分配：

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

其中 $\bar{x}$ 為樣本平均數、$\mu_0$ 為虛無假設的邊界值。信賴區間則為：

$$\bar{x}\pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

解題方法

(a) 建立假設

股東團體主張 CEO 的平均任期至少為九年。要挑戰此主張，應檢定平均任期是否低於九年，因此設定左尾檢定：

$$H_0:\mu\geq 9 \qquad H_a:\mu<9$$

計算檢定統計量時，使用虛無假設的邊界值 $\mu_0=9$。

(b) 計算 $p$ 值並作成檢定結論

已知 $n=25$、$\bar{x}=7.8$、$s=6$，自由度為：

$$df=n-1=24$$

標準誤為：

$$\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{6}{\sqrt{25}}=1.2$$

檢定統計量為：

$$t=\frac{7.8-9}{1.2}=-1$$

此為左尾檢定，故 $p$ 值為：

$$p=P(T_{24}\leq -1)\approx 0.163$$

核心觀念

本題考查全機率公式與貝氏定理。先把「找到油」定義為找到高品質油或中品質油，兩種情形互斥，因此可將其機率相加。取得土壤檢驗結果後，再用貝氏定理更新各種油藏狀態的機率。

全機率公式為：

$$P(S)=\sum_i P(S\mid H_i)P(H_i)$$

貝氏定理為：

$$P(H_i\mid S)=\frac{P(S\mid H_i)P(H_i)}{P(S)}$$

其中 $S$ 表示檢驗發現題目所述的土壤，$H_i$ 表示不同的地質狀態。

解題方法與計算

(a) 找到油的機率

找到油包含高品質油與中品質油，故：

$$P(\text{找到油}) =P(\text{高品質油})+P(\text{中品質油}) =0.50+0.30 =0.80$$

因此，初始評估下找到油的機率為 $0.80$。

(b) 更新機率並解讀檢驗結果

先以全機率公式計算觀察到該土壤的總機率：

$$\begin{aligned} P(S) &=P(S\mid\text{高品質油})P(\text{高品質油})\\ &\quad+P(S\mid\text{中品質油})P(\text{中品質油})\\ &\quad+P(S\mid\text{無油})P(\text{無油})\\ &=(0.30)(0.50)+(0.50)(0.30)+(0.20)(0.20)\\ &=0.15+0.15+0.04\\ &=0.34 \end{aligned}$$

再分別套用貝氏定理：

$$P(\text{高品質油}\mid S) =\frac{(0.30)(0.50)}{0.34} =\frac{15}{34} \approx 0.4412$$ $$P(\text{中品質油}\mid S) =\frac{(0.50)(0.30)}{0.34} =\frac{15}{34} \approx 0.4412$$