113 年 國立成功大學交通管理科學系碩士班乙組《統計學》

此題考查最小平方法 (Least Squares Method)，目的是求得迴歸直線的參數估計量。

最小平方法的核心是最小化殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR)。對於迴歸模型 $\hat{y}_i = \beta_0 + \beta_1 x_i$，實際觀測值為 $y_i$，殘差為 $e_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)$。

我們要找的參數估計量 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 是使得 SSR 最小的 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 值。
SSR 定義為：
$SSR(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^n e_i^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2$

為了找到使 SSR 最小的 $\beta_0$ 和 $\beta_1$，我們對 SSR 分別對 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 求偏導數，並令其等於零。

1. 對 $\beta_0$ 求偏導數：
   $\frac{\partial SSR}{\partial \beta_0} = \sum_{i=1}^n 2(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)(-1) = -2 \sum_{i=1}^n (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)$
   令偏導數等於零：
   $-2 \sum_{i=1}^n (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i) = 0$
   $\sum_{i=1}^n (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i) = 0$
   $\sum y_i - n\beta_0 - \beta_1 \sum x_i = 0$
   $\sum y_i = n\beta_0 + \beta_1 \sum x_i$
   兩邊同時除以 $n$：
   $\frac{\sum y_i}{n} = \beta_0 + \beta_1 \frac{\sum x_i}{n}$
   即：
   $\bar{y} = \beta_0 + \beta_1 \bar{x}$
   這給出了 $\beta_0$ 的一個條件。將 $\beta_0$ 表示為：
   $\beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x}$

2. 對 $\beta_1$ 求偏導數：
   $\frac{\partial SSR}{\partial \beta_1} = \sum_{i=1}^n 2(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)(-x_i) = -2 \sum_{i=1}^n x_i(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)$
   令偏導數等於零：
   $-2 \sum_{i=1}^n x_i(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i) = 0$
   $\sum_{i=1}^n (x_i y_i - \beta_0 x_i - \beta_1 x_i^2) = 0$
   $\sum x_i y_i - \beta_0 \sum x_i - \beta_1 \sum x_i^2 = 0$

   現在將由第一步得到的 $\beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x}$ 代入上式：
   $\sum x_i y_i - (\bar{y} - \beta_1 \bar{x}) \sum x_i - \beta_1 \sum x_i^2 = 0$

此題主要考查統計估計量的性質，包括是否為不偏估計量、估計量的變異數，以及如何最小化均方誤差 (Mean Square Error, MSE) 以獲得最佳估計量。

已知 $X_1, X_2, X_3$ 是來自平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$ 的母體之隨機樣本，且為獨立同分配 (i.i.d.)。
因此，$E[X_i] = \mu$ 且 $Var(X_i) = \sigma^2$ 對於 $i=1, 2, 3$。
我們有一個統計量 $T_a = \frac{1}{4}(X_1 + bX_2 + X_3)$。

(a) 求使 $T_a$ 為 $\mu$ 的不偏估計量時 "b" 的值

一個估計量 $\hat{\theta}$ 被稱為對參數 $\theta$ 的不偏估計量，如果 $E[\hat{\theta}] = \theta$。
我們要求 $E[T_a] = \mu$。
$E[T_a] = E\left[\frac{1}{4}(X_1 + bX_2 + X_3)\right]$
利用期望值的線性性質：
$E[T_a] = \frac{1}{4} (E[X_1] + bE[X_2] + E[X_3])$
由於 $E[X_i] = \mu$ 對於所有 $i$：
$E[T_a] = \frac{1}{4} (\mu + b\mu + \mu) = \frac{1}{4} ((2+b)\mu)$

為了使 $T_a$ 為 $\mu$ 的不偏估計量，我們需要：
$E[T_a] = \mu$
$\frac{1}{4} (2+b)\mu = \mu$
由於 $\mu$ 通常不為零（否則變異數也為零，樣本無意義），我們可以將 $\mu$ 消去：
$\frac{1}{4} (2+b) = 1$
$2+b = 4$
$b = 2$

所以，當 $b=2$ 時，$T_a$ 是 $\mu$ 的不偏估計量。

【答案】$b=2$

(b) 計算 $T_a$ 的變異數 (假設 "b" 未知)

變異數的計算公式為 $Var(T_a) = E[T_a^2] - (E[T_a])^2$。
或者，由於 $X_1, X_2, X_3$ 是獨立的，我們可以利用獨立性來計算變異數。
$Var(T_a) = Var\left(\frac{1}{4}(X_1 + bX_2 + X_3)\right)$
利用變異數的性質 $Var(cX) = c^2 Var(X)$ 和獨立隨機變數的變異數和：
$Var(T_a) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 Var(X_1 + bX_2 + X_3)$
由於 $X_1, X_2, X_3$ 是獨立的：
$Var(T_a) = \frac{1}{16} (Var(X_1) + Var(bX_2) + Var(X_3))$
$Var(T_a) = \frac{1}{16} (Var(X_1) + b^2 Var(X_2) + Var(X_3))$
由於 $Var(X_i) = \sigma^2$ 對於所有 $i$：
$Var(T_a) = \frac{1}{16} (\sigma^2 + b^2\sigma^2 + \sigma^2)$
$Var(T_a) = \frac{1}{16} ((2+b^2)\sigma^2)$
$Var(T_a) = \frac{(2+b^2)\sigma^2}{16}$

這個結果是在 "b" 未知的情況下計算的。

【答案】$Var(T_a) = \frac{(2+b^2)\sigma^2}{16}$

(c) 尋找使均方誤差 (MSE) 最小的 "b" 值

此題考查假設檢定與信賴區間的應用，特別是在母體標準差已知的單一樣本問題。

已知資訊：
去年平均工時 ($\mu_0$) = 21 小時/週
今年樣本大小 ($n$) = 36
今年樣本平均工時 ($\bar{x}$) = 22.2 小時/週
母體標準差 ($\sigma$) = 2.4 小時/週
顯著水準 ($\alpha$) = 1% = 0.01

(a) 進行此檢定所需的假設

為了進行母體平均數的檢定 (z-test)，我們需要以下假設：

1. 隨機抽樣 (Random Sampling): 樣本必須是從母體中隨機抽取，以確保樣本的代表性。
2. 獨立性 (Independence): 樣本中的各個觀測值之間必須相互獨立。對於本題，36 位學生的工時應該是獨立的。
3. 母體標準差已知 (Population Standard Deviation Known): 我們假設母體標準差 $\sigma$ 是已知的。
4. 常態分配或樣本數足夠大 (Normality or Large Sample Size):
   • 若母體分配未知，則需要樣本數足夠大 (通常 $n \ge 30$)，根據中央極限定理 (Central Limit Theorem)，樣本平均數的抽樣分配近似於常態分配。
   • 若母體分配已知為常態分配，則不論樣本數大小，樣本平均數的抽樣分配都是常態分配。
     在本題中，樣本數 $n=36 \ge 30$，因此即使母體工時分配不是常態，根據中央極限定理，樣本平均數的抽樣分配近似於常態。

【答案】隨機抽樣、樣本獨立性、母體標準差已知、樣本數足夠大（或母體為常態分配）。

(b) 這是 z 檢定還是 t 檢定？請解釋。

這是 z 檢定。

解釋：

• z 檢定用於檢定母體平均數，當母體標準差 $\sigma$ 已知時。
• t 檢定用於檢定母體平均數，當母體標準差 $\sigma$ 未知，且我們使用樣本標準差 $s$ 作為 $\sigma$ 的估計時。

在本題中，題目明確給出了「母體標準差是 2.4 小時」($\sigma = 2.4$)，因此我們可以使用 z 檢定。

【答案】z 檢定，因為母體標準差 $\sigma$ 是已知的。

(c) 進行 5 步驟假設檢定，檢定學生今年花在功課上的時間是否比去年多，顯著水準為 1%。

步驟 1：設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)
我們想檢定的是「學生今年花在功課上的時間是否比去年多」，這表示我們想知道今年平均工時是否大於去年的平均工時。

• 虛無假設 ($H_0$): 今年平均工時不超過去年，即 $\mu \le 21$。
• 對立假設 ($H_1$): 今年平均工時多於去年，即 $\mu > 21$。

這是右尾檢定。

步驟 2：選擇顯著水準 ($\alpha$)
題目指定顯著水準為 $\alpha = 0.01$。

步驟 3：計算檢定統計量
由於母體標準差已知，我們使用 z 檢定統計量：
$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x} = 22.2$ (今年樣本平均值)
• $\mu_0 = 21$ (去年母體平均值，虛無假設中的值)
• $\sigma = 2.4$ (母體標準差)
• $n = 36$ (樣本大小)

計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2.4}{\sqrt{36}} = \frac{2.4}{6} = 0.4$
計算 z 值：
$z = \frac{22.2 - 21}{0.4} = \frac{1.2}{0.4} = 3.0$
檢定統計量為 $z = 3.0$。

步驟 4：決定臨界值或計算 P 值

• 方法一：臨界值法
  這是一個右尾檢定，顯著水準為 $\alpha = 0.01$。我們需要找到標準常態分配中，右尾機率為 0.01 的 z 值。
  查閱標準常態分配表 (Z-table)，累積機率為 $1 - 0.01 = 0.99$ 的 z 值大約是 2.326。
  臨界值為 $z_{crit} = 2.326$。

• 方法二：P 值法
  P 值是觀察到樣本統計量（或更極端）的機率，假設虛無假設為真。
  P 值 = $P(Z \ge 3.0)$
  查閱標準常態分配表，P(Z < 3.0) 約為 0.9987。
  所以，P 值 = $1 - P(Z < 3.0) = 1 - 0.9987 = 0.0013$。

此題考查單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)，用於比較三個或以上群體（國家）的平均數是否存在顯著差異。同時也涉及對 ANOVA 假設的判斷以及後續的顯著性檢定。

已知資訊：
三國家（America, Canada, France）的車輛擁有量數據。
樣本大小、平均值、標準差。
部分 ANOVA 表（SS, MS, F-Value, P-Value）。

Country	N	Mean	StDev
America	48	3.7	2.5
Canada	100	3.1	1.8
France	55	2.9	1.8

ANOVA 表：

Source	SS	MS	F-Value	P-Value
Country	16	8	XXX	0.138
Error	800	XXX

(a) 使用相等標準差假設是否合理？給出理由。

ANOVA 的一個關鍵假設是各組的母體變異數相等（同質性，Homogeneity of variances）。這意味著各組的標準差也應該大致相等。
觀察給定的樣本標準差：

• America: $StDev = 2.5$
• Canada: $StDev = 1.8$
• France: $StDev = 1.8$

America 的樣本標準差 (2.5) 明顯大於 Canada 和 France 的樣本標準差 (1.8)。雖然樣本標準差不完全等於母體標準差，但它們之間存在較大的差異。
一些經驗法則（如 Levene 檢定或 Bartlett 檢定，雖然這裡沒有計算）可以幫助判斷變異數的同質性。但僅憑觀察，2.5 和 1.8 的差異可能足以讓人質疑相等標準差的假設。

理由：
America 的樣本標準差 (2.5) 明顯大於 Canada 和 France 的樣本標準差 (1.8)。這兩個數值之間的差異可能不夠大到完全否定相等標準差的假設，但確實是一個需要注意的跡象，表明此假設可能不完全成立。嚴格來說，需要進行變異數同質性檢定（如 Levene test 或 Bartlett test）來做出更確定的判斷。但從提供的樣本數據來看，相等標準差的假設「可能」不完全合理。

【答案】不完全合理。因為 America 的樣本標準差 (2.5) 明顯大於 Canada 和 France 的樣本標準差 (1.8)。

(b) 求 MSE 的值。標準差是多少？

在 ANOVA 中，MSE (Mean Square Error) 是指組內均方 (Mean Square Within)，也就是誤差均方 (Mean Square Error, MSE)。它估計的是組內變異。
ANOVA 表中，"Error" 行代表組內變異。
MS (Mean Square) 的計算公式是 SS (Sum of Squares) 除以其對應的自由度 (df)。
$MS = \frac{SS}{df}$
對於 Error (組內變異)：
$SS_{Error} = 800$
$df_{Error}$ 是總樣本數 $N$ 減去組數 $k$。
總樣本數 $N = N_{America} + N_{Canada} + N_{France} = 48 + 100 + 55 = 203$。
組數 $k = 3$。
所以，$df_{Error} = N - k = 203 - 3 = 200$。

現在可以計算 MSE (即 $MS_{Error}$)：
$MSE = MS_{Error} = \frac{SS_{Error}}{df_{Error}} = \frac{800}{200} = 4$

標準差是多少？
MSE 是變異數的估計值。因此，標準差是 MSE 的平方根。
$\hat{\sigma}^2 = MSE = 4$
$\hat{\sigma} = \sqrt{MSE} = \sqrt{4} = 2$
這個 $\hat{\sigma}$ 是組內標準差的估計值，它假設各組的母體變異數相等。

【答案】MSE = 4，標準差 = 2。

(c) F 統計量的分子和分母自由度分別是多少？

F 統計量用於比較組間變異 (Between-group variability) 和組內變異 (Within-group variability)。

• 分子自由度 (Numerator df): 對應於組間變異 (Source: Country)。
  分子自由度等於組數減 1 ($k-1$)。
  $k = 3$ (America, Canada, France)。
  $df_{numerator} = k - 1 = 3 - 1 = 2$。

• 分母自由度 (Denominator df): 對應於組內變異 (Source: Error)。
  分母自由度等於總樣本數減去組數 ($N-k$)。
  $N = 203$, $k = 3$。

此題考查基本統計學概念的定義與應用。

(a) 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)

定義：
中央極限定理是機率論中的一個基本定理。它指出，當從一個母體中抽取足夠大的隨機樣本時，無論該母體本身的機率分佈為何（即使母體不是常態分佈），樣本平均數的抽樣分佈都將近似於一個常態分佈。這個近似程度隨著樣本數量的增加而提高。

使用說明：
中央極限定理在統計推論中扮演著核心角色，尤其是在進行參數估計和假設檢定時。

1. 樣本平均數的抽樣分佈： 它告訴我們，即使我們不知道母體的確切分佈，只要樣本夠大（通常 $n \ge 30$），我們就可以近似地認為樣本平均數 $\bar{X}$ 服從一個平均數為母體平均數 $\mu$、標準差為 $\sigma/\sqrt{n}$ 的常態分佈。
2. 統計檢定： 許多統計檢定，例如 z 檢定和 t 檢定（在某些條件下），都依賴於 CLT 來建立檢定統計量的分佈。例如，在母體標準差已知且樣本數足夠大時，我們可以使用 z 檢定來檢定母體平均數。
3. 信賴區間： CLT 也是建構母體平均數信賴區間的基礎。

簡單來說： CLT 讓統計學家能夠在不知道母體分佈的情況下，對母體平均數進行推論，因為樣本平均數的分佈會趨向於我們熟悉的常態分佈。

【答案】中央極限定理指出，無論母體分佈為何，足夠大的隨機樣本的樣本平均數分佈近似於常態分佈。這使得我們能夠在不知道母體分佈的情況下，對母體平均數進行統計推論，如進行假設檢定和建構信賴區間。

(b) P 值 (P-value)

定義：
P 值是在虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，觀察到當前樣本統計量或比當前樣本統計量更極端（更不支持 $H_0$）的結果的機率。

使用說明：
P 值是假設檢定中用來衡量證據強度的指標。

1. 決策依據： P 值越小，表示觀察到的數據與虛無假設越不相符，我們就有越強的證據拒絕虛無假設。反之，P 值越大，表示觀察到的數據與虛無假設相符的可能性較高，我們就沒有足夠的證據拒絕虛無假設。
2. 與顯著水準比較： 在假設檢定中，我們將 P 值與預設的顯著水準 ($\alpha$) 進行比較：
   • 如果 P 值 $\le \alpha$，我們拒絕虛無假設 $H_0$。
   • 如果 P 值 $> \alpha$，我們不拒絕虛無假設 $H_0$。