113 年 國立中山大學海下科技研究所《工程數學》

核心觀念

利用部分分式分解，將拉普拉斯域中的有理函數改寫成已知的基本形式，再套用反拉普拉斯轉換公式：

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad t\geq 0.$$

解題方法

先因式分解分母：

$$s^2+s-6=(s+3)(s-2).$$

因此

$$\frac{s+1}{s^2+s-6} =\frac{s+1}{(s-2)(s+3)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+3}.$$

通分後比較分子係數：

$$s+1=A(s+3)+B(s-2)$$ $$A+B=1,\qquad 3A-2B=1.$$

核心觀念

本題考查二階常係數線性齊次常微分方程（Second-Order Linear Homogeneous ODE with Constant Coefficients）的初始值問題（Initial Value Problem, IVP）。

1. 特徵方程式與通解結構：
   對於標準形式 $a y'' + b y' + c y = 0$（其中 $a \neq 0$ 為實常數），令試驗解為 $y(x) = e^{\lambda x}$，可導出其特徵方程式（Characteristic Equation）：
   $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$
   若判別式 $\Delta = b^2 - 4ac > 0$，特徵方程式具有兩相異實根 $\lambda_1, \lambda_2$，則齊次微分方程的兩個線性獨立解（Basis）為 $\{e^{\lambda_1 x}, e^{\lambda_2 x}\}$，其通解（General Solution）為：
   $y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$
   （其中 $c_1, c_2$ 為待定實常數）
2. 初始條件與特解：
   給定兩組初始條件 $y(0) = y_0$ 與 $y'(0) = y'_0$，可建立關於常數 $c_1, c_2$ 的二元一次線性方程組，解出唯一的常數值，即得該初始值問題的特解（Particular Solution）。

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解題步驟與推導

步驟一：建立特徵方程式並求特徵根

給定微分方程式為：
$4y'' - 8y' + 3y = 0$
對應的特徵方程式為：
$4\lambda^2 - 8\lambda + 3 = 0$
利用十字交乘法因式分解：
$(2\lambda - 1)(2\lambda - 3) = 0$
解得兩相異實根：
$\lambda_1 = \frac{1}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{3}{2}$

步驟二：寫出齊次方程式之通解及其導數

依據相異實根型態，設自變數為 $x$（亦可表為 $t$），得通解為：
$y(x) = c_1 e^{\frac{1}{2}x} + c_2 e^{\frac{3}{2}x}$
對 $x$ 微分求一階導數：
$y'(x) = \frac{1}{2}c_1 e^{\frac{1}{2}x} + \frac{3}{2}c_2 e^{\frac{3}{2}x}$

步驟三：代入初始條件求解待定常數 $c_1, c_2$

題目給定初始條件為 $y(0) = 2$ 及 $y'(0) = \frac{1}{2}$：

1. 代入 $y(0) = 2$：
   $c_1 e^0 + c_2 e^0 = 2 \implies c_1 + c_2 = 2 \quad \cdots\cdots (1)$

2. 代入 $y'(0) = \frac{1}{2}$：
   $\frac{1}{2}c_1 e^0 + \frac{3}{2}c_2 e^0 = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{2}c_1 + \frac{3}{2}c_2 = \frac{1}{2}$
   等號兩邊同乘以 $2$ 化簡得：
   $c_1 + 3c_2 = 1 \quad \cdots\cdots (2)$

$$A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&2\\1&-1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-1&0\end{pmatrix}$$

（依題意取前兩列作為可相乘的 $2\times3$ 矩陣）

計算 $AB$

核心觀念

速度向量為 $\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)$，速率為 $|\mathbf v(t)|$。切向加速度的純量分量是速率對時間的導數，也可由

$$a_T=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{|\mathbf v|}$$

求得；法向加速度的大小則為

$$a_N=\sqrt{|\mathbf a|^2-a_T^2},$$

其中 $\mathbf a(t)=\mathbf r''(t)$。

解題方法

先對位置向量微分，求出速度與加速度：

$$\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)=\mathbf i-2t\mathbf j, \qquad \mathbf a(t)=\mathbf r''(t)=-2\mathbf j.$$

速率為

$$|\mathbf v(t)|=\sqrt{1+4t^2}.$$

因此切向加速度為

$$a_T=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{|\mathbf v|} =\frac{(\mathbf i-2t\mathbf j)\cdot(-2\mathbf j)}{\sqrt{1+4t^2}} =\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}}.$$

核心觀念

• 向量場的功：在向量場 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 作用下，沿曲線 $C$ 的位移所做的功為
  $W=\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$
• 路徑參數化：將直線曲線以參數 $t$ 表示，使 $d\mathbf{r}= \frac{d\mathbf{r}}{dt}\,dt$，再代入積分。
• 線積分的計算：若 $\mathbf{F}$ 為任意向量場，使用
  $\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.$

解題方法

1. 參數化直線
   直線條件 $y=2x,\;z=2x$，且端點為 $(0,0,0)$ → $(3,6,6)$。令 $x=t$，則

$$\begin{cases} x=t,\\ y=2t,\\ z=2t, \end{cases}\qquad 0\le t\le 3.$$

因此路徑向量
$\mathbf{r}(t)=\langle t,\,2t,\,2t\rangle,$
且導向向量
$\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\,2,\,2\rangle.$

2. 將向量場寫成參數形式
   給定 $\mathbf{F}=4xy\,\mathbf{i}-8y\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}$。代入 $x=t,\;y=2t$ 得

核心觀念

• 傅立葉級數定義：週期為 $p=2L$ 的函數 $f(x)$ 可展開為

$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_{n}\cos\frac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L}\Bigr)$

其中

$$a_{0}= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx,\qquad a_{n}= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad b_{n}= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx .$$

• 奇偶性：若 $f(x)$ 為偶函數，則 $b_{n}=0$，級數僅含餘弦項。
• 週期與常數：本題 $p=4\Rightarrow L=2$。

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解題方法

1. 確認函數的奇偶性

$$f(-x)=\begin{cases} 0 & -2<x<-1\\ k & -1<x<1\\ 0 & 1<x<2 \end{cases}=f(x)$$

因此 $f$ 為偶函數，$b_{n}=0$。

2. 計算 $a_{0}$

$$a_{0}= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}k\,dx =\frac{1}{2}\,k\cdot2 = k .$$

故常數項為 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}= \frac{k}{2}$。

3. 計算 $a_{n}$（$n\ge 1$）

$$a_{n}= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}k\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx .$$

把常數 $k$ 拉出：

$a_{n}= \frac{k}{2}\int_{-1}^{1}\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx .$

直接積分得到

$$\int\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx =\frac{2}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{2}.$$

代入上、下限：

$$a_{n}= \frac{k}{2}\cdot\frac{2}{n\pi}\Bigl[\sin\frac{n\pi x}{2}\Bigr]_{-1}^{1} =\frac{k}{n\pi}\Bigl(\sin\frac{n\pi}{2}-\sin\!-\frac{n\pi}{2}\Bigr) =\frac{2k}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2}.$$