115 年 國立中山大學海下科技研究所《工程數學》

核心觀念

與 $x$ 軸的交點可由 $y=0$ 求得。曲線在某點的斜率等於該點的導數值。曲線與 $x$ 軸所圍成的面積，則須在交點所界定的區間內積分 $|y|$。

解題方法

(1) 令 $y=0$，因式分解：

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$$

因此 $x=-1$ 或 $x=3$，與 $x$ 軸相交的座標為 $(-1,0)$ 與 $(3,0)$。

(2) 對曲線方程式微分：

$$\frac{dy}{dx}=2x-2$$

正 $x$ 軸交點是 $(3,0)$，代入 $x=3$：

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3}=2(3)-2=4$$

所以該點的斜率為 $4$。

(3) 兩交點之間可取頂點判斷曲線位於 $x$ 軸下方。頂點的 $x$ 座標為 $x=1$，且

$$y(1)=1-2-3=-4$$

核心觀念

• 平面上的三點若不共線，則可由兩條向量的叉積得到平面的法向量。
• 法向量 $\mathbf{n}$ 必須與平面內任意向量垂直，滿足 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0$。
• 單位向量需將法向量正規化：$\displaystyle \hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}$。

解題方法

1. 先以點 $P$ 為基準，算出兩條位於平面的向量

$\mathbf{u}= \overrightarrow{PQ}=Q-P=(-3-1,\;2-0,\;-4+1)=(-4,\;2,\;-3)$

$\mathbf{v}= \overrightarrow{PR}=R-P=(1-1,\;-6-0,\;2+1)=(0,\;-6,\;3)$

2. 求 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$ 的叉積（cross product），得到一個垂直於兩向量、亦即垂直於平面的法向量

$$\mathbf{n}= \mathbf{u}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[2pt] -4&2&-3\\[2pt] 0&-6&3 \end{vmatrix} =\bigl(2\cdot3-(-3)(-6),\; -\bigl((-4)3-(-3)0\bigr),\;(-4)(-6)-2\cdot0\bigr)$$

計算得

核心觀念

• 周長與邊長的關係：長方形的周長 $P$ 與長 $x$、寬 $y$ 之間滿足 $2(x+y)=P$。
• 面積的表達式：長方形的面積 $A$ 為 $A=xy$。
• 最值問題：求在給定條件下的最大（或最小）值，常用 微分法（令導數為 0）或 均值不等式 (AM‑GM)。

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解題方法

1. 建立變數與條件
   設長方形的長為 $x$（公尺），寬為 $y$（公尺）。
   依題目周長固定為 12 公尺：
   $2(x+y)=12\quad\Longrightarrow\quad x+y=6\quad\Longrightarrow\quad y=6-x.$

2. 寫出面積函數
   $A(x)=x\,y = x(6-x)=6x-x^{2}.$

3. 微分找極值（求導數並令其為 0）
   $\frac{dA}{dx}=6-2x=0\;\Longrightarrow\;x=3.$

4. 求對應的寬
   $y = 6 - x = 6 - 3 = 3.$

5. 驗證為最大值

   • 二階導數 $\displaystyle \frac{d^{2}A}{dx^{2}}=-2 <0$，表示 $x=3$ 為凹向下的臨界點，

核心觀念

• 此題屬於 一階可分離變數的常微分方程式。
• 公式：若 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$，則可寫成 $\displaystyle \frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx$ 並分別積分得到通解。
• 解微分方程時需留意 積分常數，之後利用 初始條件 代入求特解。

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解題方法：分離變數法

給定方程

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x-3}{2+3y^{2}}$

1. 分離變數

$(2+3y^{2})\,dy=(2x-3)\,dx$

2. 對兩側積分

$\int (2+3y^{2})\,dy=\int (2x-3)\,dx$

左側：

$\int (2+3y^{2})\,dy = 2y + y^{3}+C_{1}$

（因為 $\int 3y^{2}dy = y^{3}$。）

右側：

$\int (2x-3)\,dx = x^{2}-3x+C_{2}$

合併常數 $C=C_{2}-C_{1}$（仍為任意常數），得到

$2y + y^{3}=x^{2}-3x+C$

3. 寫成隱式通解

$\boxed{\,y^{3}+2y = x^{2}-3x + C\,}$

核心觀念

本題整合三個觀念：

1. 麥克勞林展開式，即在 $a=0$ 的泰勒展開。
2. 三角函數合角公式與小角近似。
3. 將正 $n$ 邊形分割成 $n$ 個全等的等腰三角形，再利用極限求圓面積。

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（1）$\sin x$ 與 $\cos x$ 的前四項

麥克勞林展開式為

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

$\sin x$ 的展開式

$\sin x$ 的各階導數在 $x=0$ 的值為

$$\sin 0=0,\qquad \cos 0=1,\qquad -\sin 0=0,\qquad -\cos 0=-1$$

因此

$$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

所以前四項為

$$\boxed{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}}$$

$\cos x$ 的展開式

同理，

$$\cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

所以前四項為

$$\boxed{\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}}$$

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（2）推導 $\sin x\cos x\approx x$

由三角函數合角公式

$$\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

令 $\alpha=\beta=x$，得到

$$\sin(2x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x$$

因此

$$\sin(2x)=2\sin x\cos x$$

也就是

$$\sin x\cos x=\frac12\sin(2x)$$

由 $\sin x$ 的麥克勞林展開式，

$$\sin(2x) =2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}-\cdots$$

所以

$$\frac12\sin(2x) =x-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\cdots$$

當 $x$ 很小時，三次以上的高次項相較於 $x$ 可忽略，因此

$$\sin x\cos x =\frac12\sin(2x) \approx x$$

故

$$\boxed{\sin x\cos x\approx x\qquad (x\to 0)}$$

也可直接使用小角近似 $\sin u\approx u$：

$$\frac12\sin(2x)\approx\frac12(2x)=x$$

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（3）正 $n$ 邊形面積公式

設正 $n$ 邊形的形心到每個頂點的距離為 $R$，將正 $n$ 邊形連接形心與各頂點，可分割成 $n$ 個全等的等腰三角形。

每個三角形的頂角，即圓心角為

$$\theta_n=\frac{2\pi}{n}$$

單一三角形的兩腰長均為 $R$，因此其面積為

$$\frac12 R^2\sin\theta_n$$

正 $n$ 邊形共有 $n$ 個這樣的三角形，所以

核心觀念

• 旋轉矩陣 $R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ 可把向量繞原點逆時針旋轉 $\theta$。
• 若再乘以伸縮係數 $m$，即同時將向量長度放大 $m$ 倍。
• 給定原向量 $V$ 與目標向量 $V'$，可利用向量長度與方向的關係分別求 $m$ 與 $\theta$。

解題方法

1. 寫出等式
   $V' = mR(\theta)V$
   代入 $V=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$，得到

$$\begin{bmatrix}-5.362\\4.499\end{bmatrix}=m\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} =m\begin{bmatrix} 3\cos\theta-4\sin\theta\\ 3\sin\theta+4\cos\theta \end{bmatrix}.$$

2. 分別寫出兩個分量方程式

$$\begin{cases} -5.362 = m\,(3\cos\theta-4\sin\theta)\\[4pt] \ \ 4.499 = m\,(3\sin\theta+4\cos\theta) \end{cases} \tag{1}$$

3. 利用向量長度求 $m$
   原向量長度

$\|V\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.$

目標向量長度

$$\|V'\|=\sqrt{(-5.362)^{2}+4.499^{2}} =\sqrt{28.753+20.242}\approx\sqrt{48.995}\approx6.999.$$

因為 $R(\theta)$ 為正交矩陣，保長度不變，故

$\|V'\| = m\|V\|\quad\Longrightarrow\quad m=\frac{\|V'\|}{\|V\|}=\frac{6.999}{5}=1.3998\approx1.40.$

4. 代入 $m$ 解 $\theta$
   把 $m\approx1.3998$ 代入 (1) 的兩式，可寫成

$$\begin{cases} 3\cos\theta-4\sin\theta = \displaystyle\frac{-5.362}{1.3998}\approx -3.831\\[6pt] 3\sin\theta+4\cos\theta = \displaystyle\frac{4.499}{1.3998}\approx 3.215. \end{cases} \tag{2}$$

設 $a=\cos\theta,\;b=\sin\theta$，則 (2) 為

$$\begin{cases} 3a-4b = -3.831\\ 4a+3b = 3.215 \end{cases}$$

解聯立方程：

• 先把第一式乘以 $4$，第二式乘以 $3$，得到