114 年 國立臺灣大學心理系碩士班一般心理乙組《心理學方法》

本題考驗對二項分配近似常態分配的應用，以及常態分配機率的計算。

題目描述一個二項分配的實驗：重複 $n=100$ 次獨立試驗，每次成功的機率（正面出現）為 $p=0.4$。令隨機變數 $X$ 為正面出現的總次數。我們要求計算 $P(X > 45)$。

由於 $n$ 夠大 ($n=100$)，且 $np = 100 \times 0.4 = 40$ 及 $n(1-p) = 100 \times 0.6 = 60$ 都大於 $5$ (或 $10$)，我們可以利用常態分配來近似二項分配。

近似常態分配的平均數 $\mu = np = 40$。
近似常態分配的標準差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.4 \times 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.899$。

我們需要計算 $P(X > 45)$。由於我們是將離散的二項分配近似為連續的常態分配，我們需要進行連續性修正 (continuity correction)。
$P(X > 45)$ 在連續性修正後，相當於常態分配中 $P(Y > 45.5)$，其中 $Y$ 為近似的常態隨機變數。

現在計算標準化分數 $z$：
$z = \frac{45.5 - \mu}{\sigma} = \frac{45.5 - 40}{4.899} = \frac{5.5}{4.899} \approx 1.123$。

我們需要查詢標準常態分配表，計算 $P(Z > 1.123)$。
$P(Z > 1.123) = 1 - P(Z \le 1.123)$。
查表可知，$P(Z \le 1.12) \approx 0.8686$，$P(Z \le 1.13) \approx 0.8708$。

本題考驗對信賴區間、誤差範圍 (margin of error) 與樣本數之間關係的理解，以及在不同情境下樣本數是否足夠的判斷。

題目中的敘述「$1072$ 位受訪者, 在 $95\%$ 信心程度下, 正負誤差約為百分之 $3$」是民意調查中常見的統計結果報告。這裡的「誤差」通常指的是「抽樣誤差」(sampling error)，也就是信賴區間的半寬。

對於比例的估計，其抽樣誤差 (margin of error, ME) 的公式大致為：
$ME = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
其中：

• $n$ 是樣本數。
• $\hat{p}$ 是樣本比例。
• $z_{\alpha/2}$ 是對應於信心水準 $(1-\alpha)$ 的標準常態分配臨界值。對於 $95\%$ 信心水準，$\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$， $z_{0.025} \approx 1.96$。

題目提到誤差為 $3\%$，即 $ME = 0.03$。樣本數 $n=1072$。
$0.03 \approx 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{1072}}$

為了判斷樣本數 $1072$ 是否「保守」，我們需要看在什麼情況下，這個樣本數可以產生 $3\%$ 的誤差。
抽樣誤差的公式中，$\hat{p}(1-\hat{p})$ 的最大值出現在 $\hat{p}=0.5$ 時，其值為 $0.5 \times (1-0.5) = 0.25$。
所以，為了確保誤差在 $3\%$ 以內，通常會使用 $\hat{p}=0.5$ 來計算所需的最小樣本數，這是一種最保守的估計。

讓我們假設 $\hat{p}=0.5$ 來計算此樣本數 $1072$ 所能達到的誤差範圍：
$ME = 1.96 \sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{1072}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.25}{1072}} = 1.96 \sqrt{0.0002332} \approx 1.96 \times 0.01527 \approx 0.0299 \approx 3\%$。

這表示，當樣本比例 $\hat{p}$ 接近 $0.5$ 時，樣本數 $1072$ 在 $95\%$ 信心水準下，確實能提供約 $3\%$ 的誤差。

然而，題目問的是「此樣本數 $1072$ 屬保守估計嗎?」。
「保守估計」在這裡可以理解為：

1. 給定誤差，樣本數是否足夠？
2. 給定樣本數，誤差是否足夠小？

如果民調的真實結果 $\hat{p}$ 遠離 $0.5$ (例如 $\hat{p}=0.1$ 或 $\hat{p}=0.9$)，那麼 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 的值會比 $0.25$ 小，進而導致實際的抽樣誤差也會比 $3\%$ 小。
例如，如果真實的比例是 $0.1$，則：
$ME = 1.96 \sqrt{\frac{0.1 \times 0.9}{1072}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.09}{1072}} = 1.96 \sqrt{0.00008395} \approx 1.96 \times 0.00916 \approx 0.0179 \approx 1.8\%$。

也就是說，如果真實的比例是 $0.1$ 或 $0.9$，那麼 $1072$ 的樣本數所能達到的誤差會小於 $3\%$。
在此情況下，如果民調報告說「誤差是 $3\%$」，而實際誤差卻小於 $3\%$，那報告就顯得「保守」(即誤差範圍給得比實際情況寬)。

反過來說，如果民調的真實比例 $\hat{p}$ 確實非常接近 $0.5$，那麼 $3\%$ 的誤差是相對準確的。
但通常民調的真實比例不一定接近 $0.5$。

核心觀念

本題考查：

• 單尾檢定的 $p$ value 定義。
• $p$ value 是在虛無假設 $H_0$ 為真時，觀察到「和實際統計值同樣極端或更極端」結果的機率。
• $p$ value 只由 $H_0$ 的抽樣分配與觀察到的統計值決定，不由 $H_1$ 的位置決定。

由圖可知，$H_1$ 的分配位於 $H_0$ 左側，因此為左尾檢定。當觀察統計值為 $5.5$ 時，$p$ value 是 $H_0$ 分配中統計值小於或等於 $5.5$ 的面積。

(a) 計算 $p$ value

由圖讀取 $H_0$ 分配：

• 在 $5$ 到 $6$ 的區間，高度為 $\frac{6}{8}$。
• 統計值 $5.5$ 左側只涵蓋該區間的一半，即 $5$ 到 $5.5$。

因此，

$$p = P_{H_0}(X\leq 5.5) = (5.5-5)\times \frac{6}{8}$$ $$p = \frac{1}{2}\times\frac{6}{8} = \frac{3}{8} = 0.375$$

所以，

本題考驗對 $z$ 檢定與 $t$ 檢定在估計信賴區間時的差異，以及兩者在不同情況下的應用。

核心概念：

• 假設檢定與信賴區間的關係：對於雙尾檢定 $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu \ne \mu_0$，如果 $H_0$ 的虛無假設值 $\mu_0$ 落入信賴區間，則我們不拒絕 $H_0$。反之，若 $\mu_0$ 不落入信賴區間，則拒絕 $H_0$。
• $z$ 檢定：當母體標準差 $\sigma$ 已知，或樣本數 $n$ 非常大（通常 $n \ge 30$），且母體常態時，我們使用 $z$ 檢定。對應的信賴區間公式為：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• $t$ 檢定：當母體標準差 $\sigma$ 未知，且必須由樣本標準差 $s$ 來估計，同時母體近似常態時，我們使用 $t$ 檢定。對應的信賴區間公式為：$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $df = n-1$ 是自由度。
• $z$ 分配與 $t$ 分配的比較：對於相同的顯著性水準 $\alpha$ 和自由度 $df$， $t$ 分配的尾部比 $z$ 分配更厚（variance of t-distribution is $df/(df-2)$ for $df>2$, which is $>1$）。這意味著，為了涵蓋相同的機率（例如 $95\%$ 的信賴區間）， $t$ 分配需要比 $z$ 分配有更大的臨界值 ($t_{\alpha/2, df} > z_{\alpha/2}$)。因此，基於 $t$ 分配的信賴區間通常比基於 $z$ 分配的信賴區間更寬，尤其是在樣本數較小時。

題目情境分析：
題目給出了一組數據（儘管沒有直接列出，但提到了「模擬五次的信賴區間」），並進行了假設檢定 $H_0: \mu = 4, H_1: \mu \ne 4$。
同時，使用 $z$ 檢定和 $t$ 檢定，各自模擬了五次信賴區間。
我們需要判斷哪張圖（(a) 或 (b)）是根據 $t$ 檢定畫出來的。

圖形判讀：
圖 (a) 和圖 (b) 都顯示了五個信賴區間，並且都標示了虛無假設值 $\mu = 4$。
信賴區間的範圍（長度）是 $2 \times \text{Margin of Error}$。
Margin of Error (ME) 的計算公式為：

• $z$-檢定：$ME_z = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (若 $\sigma$ 未知，則用 $s$)

本題考驗對統計量期望值、變異數以及偏差 (bias) 概念的理解，以及如何將期望值與變異數的公式連結起來。

核心概念：

• 期望值 (Expectation)：統計量 $\hat{\theta}$ 的平均值，表示為 $E[\hat{\theta}]$。
• 變異數 (Variance)：衡量統計量 $\hat{\theta}$ 相對於其期望值 $E[\hat{\theta}]$ 的離散程度，定義為 $Var(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])^2]$。
• 偏差 (Bias)：估計量 $\hat{\theta}$ 相對於真實參數 $\theta$ 的系統性誤差，定義為 $Bias(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta$。
• 均方誤差 (Mean Squared Error, MSE)：衡量估計量 $\hat{\theta}$ 相對於真實參數 $\theta$ 的總體誤差，定義為 $MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$。

題目關係：
題目要求比較兩個量的大小：

1. $E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$：這是估計量 $\hat{\theta}$ 相對於真實參數 $\theta$ 的均方誤差 (MSE)。
2. $E[(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])^2]$：這是估計量 $\hat{\theta}$ 相對於其期望值 $E[\hat{\theta}]$ 的變異數 ($Var(\hat{\theta})$)。

推導關係：
我們知道均方誤差 (MSE) 可以分解為變異數 (Variance) 和偏差的平方 (Squared Bias)。
$MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$
我們可以將 $\hat{\theta}-\theta$ 寫成 $(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}]) + (E[\hat{\theta}]-\theta)$。
所以，
$E[(\hat{\theta}-\theta)^2] = E\left[ \left( (\hat{\theta}-E[\hat{\theta}]) + (E[\hat{\theta}]-\theta) \right)^2 \right]$
展開平方項：
$= E\left[ (\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])^2 + 2(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])(E[\hat{\theta}]-\theta) + (E[\hat{\theta}]-\theta)^2 \right]$
根據期望值的線性性質，我們將期望值分別應用到每一項：
$= E[(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])^2] + E[2(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])(E[\hat{\theta}]-\theta)] + E[(E[\hat{\theta}]-\theta)^2]$

• 第一項：$E[(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])^2]$ 就是變異數 $Var(\hat{\theta})$。
• 第二項：$E[2(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])(E[\hat{\theta}]-\theta)]$。由於 $E[\hat{\theta}]-\theta$ 是常數（對於給定的 $\theta$ 和固定的估計量 $\hat{\theta}$），我們可以將其提出期望值運算。
  $E[2(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])(E[\hat{\theta}]-\theta)] = 2(E[\hat{\theta}]-\theta) E[\hat{\theta}-E[\hat{\theta}]]$
  而 $E[\hat{\theta}-E[\hat{\theta}]] = E[\hat{\theta}] - E[E[\hat{\theta}]] = E[\hat{\theta}] - E[\hat{\theta}] = 0$。
  所以，第二項的值為 $0$。
• 第三項：$E[(E[\hat{\theta}]-\theta)^2]$。由於 $E[\hat{\theta}]-\theta$ 是常數，它的期望值就是它本身。

本題考驗對簡單線性迴歸模型中最小平方法估計量 (OLS estimators) 的期望值、變異數以及共變數的推導。

核心概念：

• 簡單線性迴歸模型：$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i \sim N(0, \sigma_\epsilon^2)$ 且 $\epsilon_i$ 獨立。
• 最小平方法估計量 (OLS)：
  • $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
  • $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$
• 題目給定的簡化條件：題目給定 $\sum x_i = 0$。這意味著 $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 0$。
• 簡化後的 OLS 估計量：
  • $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \times 0 = \bar{y}$。
  • $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{\sum (x_i - 0)(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - 0)^2} = \frac{\sum x_i (y_i - \bar{y})}{\sum x_i^2}$。
  • 進一步展開 $\sum x_i (y_i - \bar{y}) = \sum x_i y_i - \sum x_i \bar{y} = \sum x_i y_i - \bar{y} \sum x_i$。
  • 由於 $\sum x_i = 0$，所以 $\sum x_i (y_i - \bar{y}) = \sum x_i y_i - \bar{y} \times 0 = \sum x_i y_i$。
  • 因此， $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}$。這與題目給定的結果一致。

目標：計算 $Cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1)$。
$Cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1) = Cov(\bar{y}, \hat{\beta}_1)$

推導步驟：

1. 表達 $\hat{\beta}_1$ 的形式：
   $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}$
   由於 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$，我們可以將 $y_i$ 代入 $\hat{\beta}_1$ 的公式。
   $\sum x_i y_i = \sum x_i (\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i)$
   $= \sum (\beta_0 x_i + \beta_1 x_i^2 + x_i \epsilon_i)$
   $= \beta_0 \sum x_i + \beta_1 \sum x_i^2 + \sum x_i \epsilon_i$
   由於 $\sum x_i = 0$，上式變為：
   $= \beta_0 \times 0 + \beta_1 \sum x_i^2 + \sum x_i \epsilon_i = \beta_1 \sum x_i^2 + \sum x_i \epsilon_i$。
   所以，
   $\hat{\beta}_1 = \frac{\beta_1 \sum x_i^2 + \sum x_i \epsilon_i}{\sum x_i^2} = \beta_1 + \frac{\sum x_i \epsilon_i}{\sum x_i^2}$。

2. 表達 $\bar{y}$ 的形式：
   $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum y_i = \frac{1}{n} \sum (\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i)$
   $= \frac{1}{n} (\sum \beta_0 + \beta_1 \sum x_i + \sum \epsilon_i)$
   $= \frac{1}{n} (n \beta_0 + \beta_1 \times 0 + \sum \epsilon_i)$
   $= \beta_0 + \frac{1}{n} \sum \epsilon_i$。
   所以，$\hat{\beta}_0 = \bar{y} = \beta_0 + \frac{1}{n} \sum \epsilon_i$。

3. 計算共變數 $Cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1)$：
   $Cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1) = Cov(\beta_0 + \frac{1}{n} \sum \epsilon_i, \beta_1 + \frac{\sum x_i \epsilon_i}{\sum x_i^2})$
   由於 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 是常數，它們的共變數為 $0$。
   $Cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1) = Cov(\frac{1}{n} \sum \epsilon_i, \frac{\sum x_j \epsilon_j}{\sum x_j^2})$ (這裡使用 $j$ 作為求和指標，避免與 $i$ 混淆)
   $= \frac{1}{n (\sum x_j^2)} Cov(\sum_i \epsilon_i, \sum_j x_j \epsilon_j)$
   根據共變數的性質， $Cov(\sum_i a_i X_i, \sum_j b_j Y_j) = \sum_i \sum_j a_i b_j Cov(X_i, Y_j)$。

本題考驗對測量工具信效度標準最新發展的理解，特別是 2014 年版《Standards》的核心觀念。

核心概念：

• 信度 (Reliability)：測量結果的一致性或穩定性。
• 效度 (Validity)：測量工具是否真正測量到其聲稱要測量的構念 (construct)。
• 《Standards for Educational & Psychological Testing》：由 AERA, APA, NCME 共同發布，是心理與教育測量領域的權威性指導原則。
• 傳統觀點：過去，效度常被視為獨立於信度，且有不同的類別（例如內容效度、效標關聯效度、構念效度）。信度則被視為效度的必要條件（測不準就談不上測得準）。
• 現代觀點 (2014 年版《Standards》的轉變)：2014 年版《Standards》強調「效度是測量中最重要、最核心的概念」，並將信度視為效度證據的一種。

2014 年版《Standards》的核心說法：
2014 年版《Standards》的核心觀念是將效度視為一個單一、連續的整體概念 (unitary concept of validity)，而過去所謂的「效度類別」（如內容效度、效標關聯效度、構念效度）現在被視為支持效度論證 (validity argument) 的不同證據種類 (sources of evidence)。

更具體地說，這種說法強調：

1. 效度是關於測量結果的解釋與應用 (validity is about the interpretation and use of test scores)，而不是測量工具本身。
2. 效度論證 (validity argument)：證明測量分數的解釋和應用是合理的，需要收集各種證據來支持這個論證。
3. 效度證據的種類：這些證據包括：
   • 基於測驗內容的證據 (Evidence based on test content)：與傳統的內容效度概念類似，指測驗內容是否能代表要測量的構念。

本題延續上一題，要求說明 2014 年版《Standards》將效度視為單一概念、並將傳統效度類別視為證據種類，對「探討效度」本身帶來了哪些影響。這需要從實務操作、理論建構、研究設計等方面闡述。

核心概念：

• 單一整體效度概念 (Unitary Concept of Validity)：效度不再被劃分為獨立的幾種類型，而是被視為一個連續體。
• 效度論證 (Validity Argument)：需要透過收集多方面的證據來支持測量分數解釋和應用的合理性。
• 證據種類 (Sources of Evidence)：內容、反應過程、內部結構、與其他變數的關係、測驗後果。

對探討效度的五點影響：

1. 整合性研究設計與證據收集 (Integrated Research Design and Evidence Gathering)：

   • 影響：研究者在設計測量工具時，或在評估現有工具的效度時，必須預先規劃如何收集多種不同類型的效度證據，而不是只關注單一效度類別。
   • 說明：例如，在開發一個新的量表時，研究者不僅要確保題目內容能代表構念（內容證據），還需要分析題目的內部結構（如因子分析），並與其他相關變數（如其他已驗證的量表、行為指標）進行關聯分析（與其他變數的關係證據），甚至考量其使用可能帶來的後果（後果證據）。這需要更全面和系統性的研究規劃。

2. 強調理論框架的重要性 (Emphasis on Theoretical Framework)：

   • 影響：由於效度論證需要將不同證據聯繫起來，一個清晰、健全的理論框架（特別是關於要測量的構念的理論）變得至關重要。
   • 說明：研究者需要明確定義他們要測量的構念，並提出理論假設，說明這個構念與其他變數、測驗內容、內部結構之間的預期關係。例如，對於一個焦慮量表，理論需要說明焦慮的成分（如生理反應、認知擔憂、行為迴避），以及這些成分如何體現在測驗題目中，又如何與其他焦慮相關的行為或生理指標相關聯。

3. 更動態和連續的效度評估 (More Dynamic and Continuous Validity Evaluation)：

   • 影響：效度不再是一個「有」或「無」的靜態判斷，而是一個需要持續累積證據來支持的動態過程。

本題要求以臺大教務處主管的身份，說明發展一份用於測量學生對「成績膨脹」看法的量表之詳細步驟。這需要結合量表發展的一般流程與本題的特定情境。

量表發展的標準步驟 (以本題情境為例)：

1. 界定研究目的與目標構念 (Define Research Purpose and Target Constructs)：

   • 目的：瞭解學生對學校處理「成績膨脹」問題的看法，以及他們對學校政策、老師給分原則、學生間差異性的感受。
   • 目標構念：
     • 學校面向 (School Dimension)：學生對學校在成績管理、政策制定、溝通解釋等方面的看法。
     • 老師面向 (Teacher Dimension)：學生對老師在給分標準、公平性、鑑別度、教學方法等方面的主觀感受。
     • 學生面向 (Student Dimension)：學生對自身或同學之間成績差異、學術競爭、學習動機等方面的主觀感受。
   • 題目提及的量尺：李克氏五點量尺 (Likert scale)，1=非常不同意，5=非常同意。

2. 文獻回顧與概念化 (Literature Review and Conceptualization)：

   • 回顧：深入研究「成績膨脹」的定義、影響（如鑑別度下降、影響卓越追求、影響修課規劃、降低信賴度等），以及學生的相關看法（可參考相關新聞報導、內部調查、學術研究）。
   • 概念化：具體化每個面向下的子構念。例如，在「老師面向」，可以細分為「給分嚴謹度」、「給分公平性」、「給分標準一致性」、「給分與學習投入的關聯」等。

3. 發展題項 (Item Development)：

   • 題項草擬：根據文獻回顧和概念化，為每個面向（學校、老師、學生）草擬約 10 個題項。題項應清晰、簡潔、具體，避免模糊不清或雙重否定。
   • 範例題項草擬：
     • 學校面向：
       • 「學校應建立更嚴格的成績計算與公佈標準。」 (1-5)
       • 「我認為學校在處理成績膨脹問題上溝通不足。」 (1-5)
       • 「學校應鼓勵老師在給分上保持一定的鑑別度。」 (1-5)
     • 老師面向：
       • 「我認為我的老師在給分時，能公平地考量學生的努力程度。」 (1-5)
       • 「我的老師給分的標準，能清楚地反映出不同學生學習成效的差異。」 (1-5)
       • 「我覺得老師們在給予 A/A+ 等高分時，標準過於寬鬆。」 (1-5)
     • 學生面向：
       • 「我感覺班上大部分同學的分數都非常接近，缺乏應有的區別。」 (1-5)
       • 「成績的普遍偏高，降低了我努力爭取好成績的動力。」 (1-5)
       • 「我認為學生間的成績差異，應該更能反映出他們在學業上的投入程度。」 (1-5)
   • 題項數量：題目要求每面向 10 題，總共 30 題。草擬時可能需要多於 30 題，以便後續篩選。

4. 專家評估 (Expert Review)：

   • 邀請教育行政人員（如教務處同仁）、心理學家、教育學者、甚至部分學生代表，審查草擬的題項。
   • 評估內容：題項的清晰度、語意是否正確、是否能有效測量預定的構念、是否有偏差、是否符合李克氏量尺的設計、是否有重複或不適當的題項。
   • 目的：根據專家意見修改、刪除或增加題項。

5. 預試 (Pilot Testing)：

   • 選取一個與目標樣本（大學生）相似但非正式的學生群體（例如，挑選幾個班級或系所的學生）進行預試。
   • 目的：

本題考驗對李克氏量尺 (Likert scale) 的基本假設的理解。

核心概念：

• 李克氏量尺 (Likert Scale)：一種用於測量態度、意見或行為頻率的量表，通常包含一系列陳述句，受試者對每個陳述句表達同意或不同意的程度。
• 五點量尺：題目中提到是「李克氏五點量尺」，常見選項為「非常不同意」、「不同意」、「普通」、「同意」、「非常同意」。

李克氏量尺的假設：

1. 等距性假設 (Interval Scale Assumption)：

   • 說明：這是李克氏量尺最常被討論且具爭議的假設。李克氏量尺本身是順序尺度 (Ordinal Scale)，因為選項之間存在順序關係（「同意」比「不同意」更同意）。然而，為了進行更深入的統計分析（如計算平均數、標準差、相關係數、進行 $t$ 檢定或 ANOVA），研究者通常將李克氏量尺的每個選項視為等距的，即將其轉換為數值（如 1, 2, 3, 4, 5），並假設這些數值之間的差距是相等的。
   • 影響：如果這個假設不成立，使用參數統計方法可能會導致結果的偏差。儘管如此，許多研究者認為，在實務上，當題項設計良好且選項足夠時，這種近似處理是可以接受的。

2. 單一構念假設 (Unidimensionality Assumption)：

   • 說明：理想情況下，李克氏量尺的每個題項應該只測量一個單一的構念或態度。也就是說，所有題項加總起來，應該能代表一個單一的、內在一致的構念。
   • 在題幹中的應用：題目提到量表要分成「學校面向」、「老師面向」、「學生面向」三個向度，每個向度有 10 個題項。這意味著，在每個向度內部，研究者期望這些題項能共同測量該特定面向下的單一構念。

本題要求說明如何運用古典測驗理論 (Classical Test Theory, CTT) 來發展一份量表，並需包含具體的方法與評斷標準。

核心概念：古典測驗理論 (CTT)
CTT 的基本假設是，任何測量分數 $X$ 可以被分解為真實分數 $T$ (True Score) 和測量誤差 $E$ (Error Score)，即 $X = T + E$。

• 真實分數 (True Score, T)：被測量構念的真實值，是理論上的概念，永遠無法直接得知。
• 測量誤差 (Error Score, E)：影響測量分數的隨機變異部分，假設其平均值為 $0$ ($E[E]=0$)，且與真實分數 $T$ 無關 ($Cov(T, E)=0$)。
  CTT 的主要目標是估計和控制測量誤差，以提高測量的信度 (Reliability)。

依據 CTT 發展量表的步驟與方法：

1. 定義構念與題項生成 (Construct Definition and Item Generation)：

   • 方法：首先，明確定義量表要測量的構念（如本題的學校面向、老師面向、學生面向）。然後，依據構念的定義，生成大量題項。CCT 鼓勵生成多於最終所需數量的題項，以便後續篩選。
   • 評斷標準：題項應盡可能地涵蓋構念的各個面向（內容效度），並盡量清楚、無歧義。

2. 題項篩選與分析 (Item Selection and Analysis) - 核心步驟：

   • 方法：
     • 內容效度審查：由專家（如學術專家、領域專家）審查題項，確保其內容能充分代表構念。
     • 統計題項分析 (Item Statistics)：
       • 題項難度 (Item Difficulty)：對於李克氏量表，這通常是指題項反應的平均值。雖然 CTT 主要關注信度，但題項的反應分佈也很重要。
       • 題項鑑別度 (Item Discrimination)：這是 CTT 中非常關鍵的指標。通常計算題項與總分相關係數 (Item-Total Correlation)。高相關係數表示該題項能有效區分高分者和低分者，與總體構念測量結果一致。
       • 內部一致性信度 (Internal Consistency Reliability)：計算Cronbach's alpha ($\alpha$) 係數。這個係數衡量量表中所有題項對單一構念的測量一致性程度。CTT 認為，一個好的量表應該具有足夠高的內部一致性。
   • 評斷標準：
     • 內容效度：專家評估認為題項能代表構念。
     • 題項鑑別度：題項與總分相關係數通常要求大於 $0.3$ 或 $0.4$。
     • 內部一致性信度：Cronbach's $\alpha$ 係數通常要求大於 $0.7$ (可接受)，或 $0.8$ 以上 (良好)，甚至 $0.9$ 以上 (非常良好)。

3. 信度估計 (Reliability Estimation)：

   • 方法：CTT 主要關注兩種信度估計：
     • 內部一致性信度 (Internal Consistency Reliability)：最常用的是 Cronbach's $\alpha$。它假設測量誤差是隨機的，且所有題項都在測量同一個構念。

本題要求說明如何運用項目反應理論 (Item Response Theory, IRT) 來發展一份量表，並需包含具體的方法與評斷標準。

核心概念：項目反應理論 (IRT)
IRT 是一種更先進的測量理論，它關注項目 (item) 的特性與受試者 (person) 的潛在特質 (latent trait) 之間的關係。

• 核心思想：測量分數的難易度、鑑別度等項目特性，與受試者在潛在特質（如能力、態度、知識水準）上的表現是相互獨立的。
• IRT 模型：最常見的是單參數模型 (Rasch Model, $P(\theta) = \frac{e^{\theta - b}}{1 + e^{\theta - b}}$)，雙參數模型 ($P(\theta) = \frac{e^{a(\theta - b)}}{1 + e^{a(\theta - b)}}$)，三參數模型。
  • $a$：項目鑑別度參數 (Item Discrimination)
  • $b$：項目難度參數 (Item Difficulty)
  • $c$：猜測參數 (Guessing Parameter)
• IRT 的優勢：
  • 項目參數與受試者參數獨立：項目特性不隨受試者而變，受試者特質也不隨項目而變。
  • 項目特性的量化：可以精確估計每個項目的難度、鑑別度等參數。
  • 潛在特質的量化：可以更精確地估計受試者在潛在特質上的分數（$\theta$），且分數的精確度（標準誤）會因項目回答情況而異。
  • 電腦化測驗 (CAT)：可以根據受試者回答情況，動態選擇最適合的題目，提高測驗效率和精確度。

依據 IRT 發展量表的步驟與方法：

1. 定義構念與生成初步題項庫 (Construct Definition and Initial Item Pool Generation)：

   • 方法：與 CTT 類似，首先明確定義構念（學校、老師、學生面向），並生成大量題項。
   • IRT 的考量：在題項生成階段，就需要預期題項在難度、鑑別度上可能存在的差異。

2. 項目參數估計 (Item Parameter Estimation)：

   • 方法：
     • 數據收集：對一個較大的、代表性的樣本進行題項庫的施測。
     • 模型選擇：根據題型（二分題、計分題）和理論假設，選擇合適的 IRT 模型（如 Rasch Model, 1PL, 2PL, 3PL）。對於李克氏量表，通常使用部分分數模型 (Partial Credit Model, PCM) 或 總分數模型 (Rating Scale Model, RSM)，這屬於廣義的 IRT 模型，處理多類別反應。
     • 參數估計：使用最大概似估計 (Maximum Likelihood Estimation, MLE) 或貝氏估計 (Bayesian Estimation) 等方法，估計每個題項的參數（如難度 $b_i$，鑑別度 $a_i$）。
   • 評斷標準：
     • 參數估計的穩定性：估計出的項目參數應相對穩定，標準誤較小。
     • 模型擬合度 (Goodness-of-fit)：使用卡方檢定 (Chi-square test) 或其他擬合指標（如 $Q_1$ statistic）來評估項目是否符合所選的 IRT 模型。不符合模型的項目可能需要修正或剔除。

3. 項目篩選與量表建構 (Item Selection and Scale Construction)：

   • 方法：
     • 基於項目參數：根據研究目標，選擇具有期望參數特性的題項。

本題考驗對單尾檢定中 $p$ value 的理解，以及如何從統計分配圖中判讀。

核心概念：

• $p$ value：在虛無假說 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到樣本統計量與現有樣本統計量一樣極端或更極端的機率。
• 單尾檢定：檢定統計量只朝一個方向（大或小）偏離時，才被視為顯著。從圖形看，這是右尾檢定。

解題步驟：

1. 辨識 $H_0$ 的抽樣分配：題目提供了一個圖，其中標示了「under $H_0$」的曲線，代表虛無假說為真時的抽樣分配。
2. 確定統計值：題目告知計算得到的統計值為 $5.5$。

本題考驗對假設檢定中抽樣分配移動對 $p$ value 的理解，以及對題目敘述的判讀。

核心概念：

• $p$ value 的定義：$p$ value 是在虛無假說 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到樣本統計量與現有樣本統計量一樣極端或更極端的機率。
• $H_0$ 的抽樣分配：$p$ value 的計算是基於 $H_0$ 的抽樣分配。
• $H_1$ 的抽樣分配：$H_1$ 的抽樣分配與檢定力 (power) 相關，但不直接影響 $p$ value 的計算。

解題步驟：

1. 釐清 $p$ value 的計算基礎：根據 $p$ value 的標準定義，它的計算完全依賴於觀察到的統計值以及虛無假說 ($H_0$) 的抽樣分配。
2. 分析題意：題目說「現將 $H_1$ 的圖往右平移 $0.5$ 個單位」。這改變了對立假說 ($H_1$) 的抽樣分配，但並未改變虛無假說 ($H_0$) 的抽樣分配。
3. 判斷 $p$ value 是否改變：由於 $H_0$ 的抽樣分配沒有改變，且觀察到的統計值（$5.5$）也沒有改變，因此 $p$ value 的計算結果應保持不變。
   $p$ value $= P(\text{統計值} \ge 5.5 | H_0 \text{ is true})$。這個機率值是由 $H_0$ 的分配圖和統計值 $5.5$ 決定的。
4. 處理「重疊部份增加」的敘述：題目提到「故兩圖之重疊部份增加」。這句話可能與檢定力有關，但與 $p$ value 的計算無關。如果 $H_1$ 的分配移向 $H_0$ 的分配，確實可能增加兩者曲線的重疊區域，這通常意味著檢定力下降（在某些情況下）。然而，這不影響 $p$ value 的定義。
5. 處理「$p$ value 值變為多少」的疑問：題目問「請問 $p$ value 值變為多少?」，暗示 $p$ value 應該改變。

本題為一個綜合題，涉及實驗設計、變異數分析 (ANOVA)、統計結果判讀、實驗發現的解釋與限制。

實驗情境回顧：

• 研究對象：數十位 18-22 歲健康大學生。
• 測量內容：
  • 睡眠品質量表。
  • 記憶作業（背誦 100 個英文字母組合）。
  • 記憶測試（24 小時後 free recall）。
• 實驗操弄：受試者在記憶測試時，佩戴耳機聽到四種聲音刺激：無聲音 (control)、白噪音、咖啡廳、工地施工。
• 分組依據：根據睡眠品質量表分數，將受試者分成三組（高、中、低睡眠品質）。
• 資料分析：對每一組受試者在四種不同聲音刺激下的回憶作業數據進行分析。
• 提供的數據：描述性統計（平均值、標準差）以及兩份變異數分析 (ANOVA) 表格。

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1. 請問本實驗所操控的獨變項(independent variable)為何? (4%)

核心概念：

• 獨變項 (Independent Variable, IV)：實驗者操弄或改變的變項，用來觀察其對依變項的影響。
• 依變項 (Dependent Variable, DV)：實驗者測量的變項，用來觀察其是否受到獨變項影響。

分析：
實驗者在實驗中，主要操弄的是受試者在記憶測試時聽到的聲音刺激的種類。受試者會經歷四種不同的聲音條件。
此外，研究者也根據受試者的「睡眠品質」將其分組。雖然「睡眠品質」是根據受試者本身特質來分組，但它在此實驗設計中，也被當作一個準獨變項 (Quasi-independent Variable) 或分組變項 (Grouping Variable)，用於觀察其與其他變項的交互作用。

然而，從嚴格的「操弄」角度來看，實驗者直接控制的是受試者所經歷的聲音刺激。睡眠品質是根據受試者本身的特質來分組的。

答案：
本實驗主要操控的獨變項是聲音刺激的種類 (四種條件：無聲音、白噪音、咖啡廳、工地施工)。
此外，睡眠品質 (分為高、中、低三組) 也是一個用來分組的因子 (factor)，可以視為一個準獨變項。

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2. 該研究生嘗試了兩種不同的變異數分析,請問哪一種分析正確或是兩種都正確?請說明你的理由。(8%)

核心概念：

• 變異數分析 (ANOVA)：用於比較兩個或兩個以上群體平均數差異的統計方法。
• 因子設計 (Factorial Design)：實驗包含兩個或兩個以上獨變項（因子）。
• 組內因子 (Within-Subjects Factor)：同一組受試者會經歷所有水準的因子（例如，同一受試者會聽到四種聲音刺激）。
• 組間因子 (Between-Subjects Factor)：不同組的受試者屬於不同水準的因子（例如，高睡眠品質組、中睡眠品質組、低睡眠品質組）。
• 兩因子變異數分析 (Two-Way ANOVA)：用於分析兩個因子及其交互作用對依變項的影響。
• 變異數分析表 (ANOVA Table)：包含總平方和 (Sum of Squares, SS)、自由度 (df)、均方 (Mean Square, MS)、F 值、p 值。
• 「Within Subjects Effects」與「Between Subjects Effects」：這是 ANOVA 表中用來區分不同類型因子效應的標頭。

分析兩份 ANOVA 表：

變異數分析一 (ANOVA Table 1)：

• Within Subjects Effects：
  • 睡眠品質：這裡出現在 Within Subjects Effects 下，這表示「睡眠品質」被當作組內因子。這與實驗設計（將受試者分成高/中/低三組）不符。睡眠品質應該是組間因子。
  • 聲音刺激：被列為組內因子。這與實驗設計相符。
  • 睡眠品質*聲音刺激：交互作用項，也列在 Within Subjects Effects 下。
• Between Subjects Effects：
  • Residuals：在此處出現。

分析問題：
在 ANOVA 結構中，組內因子 (Within-Subjects Factor) 的效應（主效應和交互作用）應該列在「Within Subjects Effects」部分。組間因子 (Between-Subjects Factor) 的效應應該列在「Between Subjects Effects」部分。

在「變異數分析一」中：

• 睡眠品質 被錯誤地歸類為組內因子。
• 聲音刺激 被正確歸類為組內因子。
• 睡眠品質*聲音刺激 交互作用也被錯誤地歸類為組內效應。

變異數分析二 (ANOVA Table 2)：

• Within Subjects Effects：
  • 聲音刺激：被列為組內因子，這與實驗設計相符。
  • 聲音刺激*睡眠品質：交互作用項，也被列在 Within Subjects Effects 下，這也是正確的，因為當一個因子是組內因子時，其與任何其他因子的交互作用也視為組內效應。
• Between Subjects Effects：
  • 睡眠品質：被列為組間因子，這與實驗設計相符。
  • Residuals：在此處出現。

結論：
「變異數分析一」的結構是錯誤的，因為它將組間因子「睡眠品質」錯誤地處理為組內因子。
「變異數分析二」的結構是正確的，它將「聲音刺激」作為組內因子，「睡眠品質」作為組間因子，並正確分析了它們的主效應和交互作用。

理由：
實驗設計是：

• 組間因子 (Between-Subjects Factor)：睡眠品質 (高/中/低三組)。不同的受試者屬於不同的睡眠品質組。
• 組內因子 (Within-Subjects Factor)：聲音刺激 (無聲/白噪音/咖啡廳/工地施工四種)。同一組受試者會經歷所有四種聲音刺激。

正確的 ANOVA 設計應該將「睡眠品質」分析為組間效應，將「聲音刺激」分析為組內效應，並分析兩者的交互作用。
「變異數分析二」遵循了這種結構。
「變異數分析一」則將「睡眠品質」錯誤地放在「Within Subjects Effects」下，這與實驗設計不符。

兩種分析都正確嗎？ 顯然不是。
哪一種正確？ 「變異數分析二」是正確的。

【答案】
「變異數分析二」是正確的。理由如下：

1. 實驗設計分類：本實驗包含一個組間因子（睡眠品質：高/中/低三組，不同受試者屬於不同組）和一個組內因子（聲音刺激：四種不同條件，同一受試者會經歷所有條件）。
2. ANOVA 表結構：在因子設計的 ANOVA 中，組間因子的效應應列在「Between Subjects Effects」下，組內因子的效應（包括其主效應和與組間因子的交互作用）應列在「Within Subjects Effects」下。
3. 分析二的結構：「變異數分析二」正確地將「睡眠品質」列為組間因子，將「聲音刺激」列為組內因子，並將「聲音刺激*睡眠品質」交互作用也歸類於組內效應，這完全符合實驗設計。
4. 分析一的結構：「變異數分析一」錯誤地將「睡眠品質」及其與「聲音刺激」的交互作用列在「Within Subjects Effects」下，這與實驗設計中「睡眠品質」是組間因子的事實不符。

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3. 請根據你所選擇的變異數分析,說明本實驗的發現?(8%)

分析依據：「變異數分析二」是正確的。我們將根據此表來判讀結果。

「變異數分析二」結果解讀：

Within Subjects Effects (組內因子：聲音刺激)：

• 聲音刺激：
  • $SS = 32842.858$, $df = 3$
  • $MS = 10947.619$
  • $F = 33.069$
  • $p < .001$
  • 發現：聲音刺激對記憶表現有顯著影響 ($F(3, 171) = 33.069, p < .001$)。這表示在四種不同的聲音條件下，受試者的平均回憶正確率有顯著差異。

Between Subjects Effects (組間因子：睡眠品質)：

• 睡眠品質：
  • $SS = 13452.744$, $df = 2$
  • $MS = 6726.372$
  • $F = 23.162$
  • $p < .001$
  • 發現：睡眠品質對記憶表現有顯著影響 ($F(2, 57) = 23.162, p < .001$)。這表示不同睡眠品質組別（高、中、低）的平均回憶正確率有顯著差異。

交互作用 (Interaction Effect)：

• 聲音刺激*睡眠品質 (列於 Within Subjects Effects 表中，但代表的是組內因子與組間因子的交互作用)：
  • $SS = 2248.833$, $df = 6$
  • $MS = 374.805$
  • $F = 1.132$
  • $p = 0.346$
  • 發現：睡眠品質與聲音刺激的交互作用不顯著 ($F(6, 171) = 1.132, p = 0.346 > .05$)。這表示，不同睡眠品質的受試者在面對四種聲音刺激時，其記憶表現的差異模式是相似的，聲音刺激對記憶的影響程度，在不同睡眠品質組之間沒有顯著差異。換句話說，聲音刺激的效果不依賴於受試者的睡眠品質。

綜合發現：

1. 主要效應 1 (聲音刺激)：無論受試者的睡眠品質如何，不同的聲音刺激都會顯著影響記憶表現。
2. 主要效應 2 (睡眠品質)：不同睡眠品質的受試者在記憶表現上有顯著差異。
3. 交互作用：睡眠品質對聲音刺激影響記憶表現的調節作用不顯著。

進一步的簡單主效果分析 (Post-hoc Tests)：

• 聲音刺激：由於聲音刺激有四個水準，且主效應顯著，需要進行事後比較（如 Tukey's HSD 或 Bonferroni 修正的 $t$ 檢定）來確定哪些聲音條件之間的差異是顯著的。從描述性統計來看，平均回憶正確率從無聲音 ($95.21, 86.26, 78.52$) 逐漸下降到工地施工 ($62.10, 53.91, 52.72$)，預期大部分配對比較都會顯著。
• 睡眠品質：由於睡眠品質有三個水準，且主效應顯著，也需要進行事後比較。從描述性統計來看，高睡眠品質組的平均回憶正確率最高，其次是中等，最低是低睡眠品質組。預期高 vs 中、高 vs 低、中 vs 低的比較，可能都會顯著（特別是高 vs 低）。

總結實驗發現：
實驗發現，無論受試者睡眠品質如何，聲音刺激的種類都會顯著影響記憶回憶的正確率。同時，受試者的睡眠品質高低也顯著影響其記憶表現。然而，聲音刺激對記憶表現的影響程度，在不同睡眠品質的受試者之間沒有顯著差異（即交互作用不顯著）。

【答案】
根據正確的「變異數分析二」的結果，本實驗發現：

1. 聲音刺激有顯著主效應：不同種類的聲音刺激（無聲音、白噪音、咖啡廳、工地施工）對受試者的記憶回憶正確率有顯著的影響 ($F(3, 171) = 33.069, p < .001$)。
2. 睡眠品質有顯著主效應：受試者的睡眠品質（高、中、低）對其記憶回憶的正確率有顯著的影響 ($F(2, 57) = 23.162, p < .001$)。
3. 聲音刺激與睡眠品質的交互作用不顯著：聲音刺激對記憶表現的影響程度，在不同睡眠品質組別之間沒有顯著差異 ($F(6, 171) = 1.132, p = 0.346 > .05$)。這表示聲音刺激對記憶的影響是普遍的，不因睡眠品質的高低而有不同。

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4. 總共有多少受試者參與本實驗?(2%)

分析：
我們需要從 ANOVA 表中的自由度 (df) 來推斷樣本數。

「變異數分析二」：

• Between Subjects Effects：
  • 睡眠品質 (組間因子)：$df = 2$。這代表睡眠品質有 $2+1=3$ 個水準（高、中、低）。
  • Residuals：$df = 57$。
• Within Subjects Effects：
  • 聲音刺激 (組內因子)：$df = 3$。這代表聲音刺激有 $3+1=4$ 個水準（無聲、白噪音、咖啡廳、工地施工）。
  • 聲音刺激*睡眠品質 (交互作用)：$df = 6$。這應該是組內因子 df * 組間因子 df = $3 \times 2 = 6$。這與表中的數字吻合。
  • Residuals：$df = 171$。

推算總樣本數：

• 組間誤差自由度 (Between-Subjects Residuals df) 通常等於 (總樣本數 $N$) - (組間因子水準數 $k$)。
  在這裡，$57 = N - 3$。所以，$N = 57 + 3 = 60$。
• 組內誤差自由度 (Within-Subjects Residuals df) 通常等於 (總樣本數 $N$) $\times$ (組內因子水準數 $m$ - 1)。
  在這裡，$171 = N \times (4 - 1) = N \times 3$。所以，$N = 171 / 3 = 57$。

出現差異：我們得到兩個不同的樣本數估計 ($N=60$ 和 $N=57$)。這是因為在 ANOVA 的計算中，通常會分別計算組間誤差和組內誤差。

• 組間誤差的自由度用於檢驗組間因子主效應和組間因子的其他效應。