112 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊甲組《機率》

核心觀念

本題考查：

• 等可能樣本空間
• 事件機率：
  $P(A)=\frac{\text{事件 }A\text{ 包含的結果數}}{\text{樣本空間的結果總數}}$
• 條件機率：
  $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

以出生順序表示三名子女，樣本空間為：

$$S=\{ggg,bgg,gbg,ggb,bbg,bgb,gbb,bbb\}$$

題目已明確假設八種排列等可能，因此每一種結果的機率皆為 $\frac18$。

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解題方法

a) 有兩個女孩與一個男孩的機率

設事件

$$A=\{\text{恰有兩個女孩與一個男孩}\}$$

符合條件的出生順序為：

$$A=\{bgg,gbg,ggb\}$$

共有 $3$ 種結果，而樣本空間共有 $8$ 種等可能結果，因此：

$$P(A)=\frac{3}{8}$$

也可使用組合數理解：三名子女中選一名為男孩，其餘兩名為女孩：

$$P(A)=\frac{\binom31}{2^3} =\frac{3}{8}$$

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b) 在給定條件下，有兩個女孩與一個男孩的機率

設條件事件為

$$B=\{\text{至少一名子女為男孩，且最小的子女不是女孩}\}$$

「最小的子女不是女孩」表示最小的子女必為男孩，因此出生順序的最後一個字母必須是 $b$。

符合條件 $B$ 的結果為：

$$B=\{ggb,bgb,gbb,bbb\}$$

其中「至少一名子女為男孩」已經由「最小的子女為男孩」自動滿足，因此不需另外排除任何結果。

在這四種結果中，恰有兩個女孩與一個男孩的只有：

本題考驗二項分配的機率質量函數、期望值與變異數的計算。

核心觀念：二項分配 (Binomial Distribution)。

一個公平的硬幣，表示每次拋擲出現正面 (H) 或反面 (T) 的機率皆為 1/2。
進行 10 次獨立的拋擲，X 代表出現正面的次數。
這符合二項分配的條件：

1. 試驗次數固定 (n=10)。
2. 每次試驗有兩種結果 (成功/失敗，在此為出現正面/反面)。
3. 成功機率固定 (p=1/2)。
4. 各次試驗為獨立事件。

因此，X 服從二項分配 B(n=10, p=1/2)。

(a) 求機率質量函數 (pmf)。
二項分配的機率質量函數為：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
在此，n=10, p=1/2, 1-p=1/2。

本題考驗機率密度函數 (pdf) 的性質、常數求解、機率計算、累積分布函數 (cdf) 推導以及期望值的計算。

核心觀念：機率密度函數、累積分布函數、期望值。

(a) 求常數 c。
對於一個合法的機率密度函數 $f_X(x)$，其必須滿足兩個條件：

1. $f_X(x) \ge 0$ 對於所有的 x。
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$。

由題目給定的 $f_X(x)$，當 $-1 \le x \le 1$ 時，$1-x^4 \ge 0$，所以只要 c > 0，則 $f_X(x) \ge 0$。
我們利用第二個條件來求解 c：
$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = \int_{-1}^{1} c(1-x^4) dx = 1$
$c \int_{-1}^{1} (1-x^4) dx = 1$
由於被積函數 $(1-x^4)$ 是偶函數，積分範圍 $(-1, 1)$ 對稱於原點，所以：
$c \cdot 2 \int_{0}^{1} (1-x^4) dx = 1$
$2c \left[ x - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = 1$
$2c \left[ (1 - \frac{1^5}{5}) - (0 - 0) \right] = 1$
$2c \left( 1 - \frac{1}{5} \right) = 1$
$2c \left( \frac{4}{5} \right) = 1$
$\frac{8c}{5} = 1$
$c = \frac{5}{8}$。

【答案】$c = \frac{5}{8}$

(b) 求 P(X > 0)。
$P(X > 0) = \int_{0}^{\infty} f_X(x) dx$
由於 pdf 在 $x > 1$ 時為 0，且我們已求得 $c = 5/8$，所以：
$P(X > 0) = \int_{0}^{1} \frac{5}{8}(1-x^4) dx$
$P(X > 0) = \frac{5}{8} \int_{0}^{1} (1-x^4) dx$
$P(X > 0) = \frac{5}{8} \left[ x - \frac{x^5}{5} \right]_0^1$
$P(X > 0) = \frac{5}{8} \left[ (1 - \frac{1}{5}) - (0 - 0) \right]$
$P(X > 0) = \frac{5}{8} \left( \frac{4}{5} \right)$
$P(X > 0) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。

【答案】1/2

(c) 求累積分布函數 (cdf) $F_X(x)$。
cdf 定義為 $F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$。
我們需要分段討論 x 的範圍。

情況 1: $x < -1$
$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0$。

情況 2: $-1 \le x \le 1$
$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt = \int_{-\infty}^{-1} 0 dt + \int_{-1}^{x} \frac{5}{8}(1-t^4) dt$
$F_X(x) = \frac{5}{8} \int_{-1}^{x} (1-t^4) dt$
$F_X(x) = \frac{5}{8} \left[ t - \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^{x}$

核心觀念

• 邊際機率密度函數：將聯合機率密度對另一個變數積分，例如
  $f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dy.$
• 連續型隨機變數的區域機率：在指定區域上對聯合機率密度積分。
• 獨立性判斷：若 $X$ 與 $Y$ 獨立，則聯合密度在幾乎處處滿足 $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。

a) 求 $X$ 的邊際機率密度

聯合密度只在 $0\le x\le1$、$0\le y\le1$ 時非零，因此固定 $x\in[0,1]$，對 $y$ 從 $0$ 積分至 $1$：

$$f_X(x)=\int_0^1 (x+y)\,dy =x+\frac12.$$

區間外密度為 $0$，所以

$$f_X(x)= \begin{cases} x+\dfrac12, & 0\le x\le1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

b) 求 $P(Y>X+0.5)$

事件 $Y>X+0.5$ 又受到 $0\le x,y\le1$ 限制。由 $x+0.5<1$ 可知 $0\le x<0.5$；對每個這樣的 $x$，$y$ 的範圍為 $x+0.5<y\le1$。因此

本題考驗常態分配 (Normal Distribution) 的性質，包含線性轉換的期望值與變異數、機率密度函數 (pdf) 和特徵函數 (characteristic function) 的計算。

核心觀念：常態分配的期望值與變異數性質、線性轉換、機率密度函數、特徵函數。

已知 X 為常態分配，其期望值 $E[X] = \mu_X = 40$ 且變異數 $Var(X) = \sigma_X^2 = 16$。
因此，X 服從 $N(\mu_X, \sigma_X^2) = N(40, 16)$。
我們定義一個新的隨機變數 $Y = aX + b$。

(a) 求 a 和 b，使得 Y 的期望值為 0 且變異數為 1。
我們知道線性轉換的期望值和變異數公式：
$E[Y] = E[aX + b] = aE[X] + b$
$Var(Y) = Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

根據題目要求：

1. $E[Y] = 0$
   $aE[X] + b = 0$
   $a(40) + b = 0 \quad \Rightarrow 40a + b = 0 \quad (1)$

2. $Var(Y) = 1$
   $a^2 Var(X) = 1$
   $a^2 (16) = 1$
   $a^2 = \frac{1}{16}$
   $a = \pm \frac{1}{4}$

我們有兩種可能的 a 值。通常在標準化過程中，我們會選擇 $a = 1/\sigma_X$ (正值)。
若 $a = 1/4$:
將 $a = 1/4$ 代入 (1):
$40(\frac{1}{4}) + b = 0$
$10 + b = 0$
$b = -10$。
此時 $a = 1/4, b = -10$。

若 $a = -1/4$:
將 $a = -1/4$ 代入 (1):
$40(-\frac{1}{4}) + b = 0$
$-10 + b = 0$
$b = 10$。
此時 $a = -1/4, b = 10$。

通常，當我們進行標準化時，是為了將任意常態分配轉換為標準常態分配 $N(0, 1)$。標準化公式為 $Z = (X - \mu_X) / \sigma_X$。
比較 $Y = aX + b$ 與 $Z = X/\sigma_X - \mu_X/\sigma_X$。
若令 $a = 1/\sigma_X$ 且 $b = -\mu_X/\sigma_X$。
$a = 1/4$ 且 $b = -40/4 = -10$。
所以，我們選擇 $a = 1/4$ 和 $b = -10$。

【答案】$a = 1/4, b = -10$。

(b) 求 Y 的 pdf。
我們已經知道 Y 是由 X 線性轉換而來，$Y = aX + b$。
如果 X 服從常態分配 $N(\mu_X, \sigma_X^2)$，那麼 Y 也服從常態分配 $N(a\mu_X + b, a^2\sigma_X^2)$。
在 part (a) 中，我們已經設計 a 和 b 使得 $E[Y] = a\mu_X + b = 0$ 且 $Var(Y) = a^2\sigma_X^2 = 1$。
所以，Y 服從均值為 0，變異數為 1 的常態分配，即標準常態分配 $N(0, 1)$。

核心觀念

本題考查隨機變數轉換 $Y=g(X)$，其中

$$Y=X^2.$$

因為平方函數在整個實數軸上不是單調函數，不能直接套用單調轉換公式。最穩妥的方法是先由累積分布函數定義

$$F_Y(y)=P(Y\le y)$$

建立 $Y$ 的 cdf，再對 $y$ 微分得到 pdf。

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a) 事件轉換

當 $y\ge 0$ 時，

$$\{Y\le y\} =\{X^2\le y\}.$$

平方不等式可轉換為

$$-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}.$$

因此

$$\boxed{\{Y\le y\}=\{-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}\}},\qquad y\ge 0.$$

當 $y<0$ 時，由於 $Y=X^2\ge 0$，不可能有 $Y\le y$，所以

$$\boxed{\{Y\le y\}=\varnothing},\qquad y<0.$$

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b) $Y$ 的累積分布函數

依 cdf 定義，

$$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^2\le y).$$

分情況討論。

當 $y<0$ 時，

$$F_Y(y)=0.$$

當 $y\ge 0$ 時，由 a)，

$$\begin{aligned} F_Y(y) &=P(-\sqrt y\le X\le \sqrt y)\\ &=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y). \end{aligned}$$

因此 $Y$ 的 cdf 為

$$\boxed{ F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y), & y\ge 0. \end{cases} }$$

由於 $X$ 是連續型隨機變數，端點是否使用嚴格不等號不影響機率。

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c) $Y$ 的機率密度函數

對 b) 的 cdf 對 $y$ 微分。

當 $y>0$ 時，

$$F_Y(y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y).$$

利用鏈鎖律，

$$\frac{d}{dy}F_X(\sqrt y) =f_X(\sqrt y)\frac{1}{2\sqrt y},$$

而

$$\frac{d}{dy}F_X(-\sqrt y) =f_X(-\sqrt y)\left(-\frac{1}{2\sqrt y}\right).$$

所以

$$\begin{aligned} f_Y(y) &=\frac{d}{dy}F_Y(y)\\ &=\frac{f_X(\sqrt y)}{2\sqrt y} +\frac{f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y}. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y}, & y>0,\\[8pt] 0, & y<0. \end{cases} }$$

在 $y=0$ 的單點密度值不影響機率，通常不需特別指定。

此結果也可由兩個反函數分支理解：

$$x=\sqrt y,\qquad x=-\sqrt y.$$

平方轉換會把正、負兩個 $X$ 值映射到同一個 $Y$ 值，因此兩個分支的密度必須相加。

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d) squared envelope 的 pdf

題目給定 $X>0$ 時的 pdf：

$$f_X(x)=\frac{2}{\alpha^2}x e^{-x^2/(2\alpha^2)}, \qquad \alpha>0.$$

因為 $X$ 只取正值，所以對 $y>0$，

$$f_X(-\sqrt y)=0.$$

由 c)，

$$f_Y(y) =\frac{f_X(\sqrt y)}{2\sqrt y}.$$

代入 $f_X(\sqrt y)$：